Theorem cnfldtop 25010

Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnfldtopn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnfldtop	⊢ 𝐽 ∈ Top

Proof of Theorem cnfldtop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldtopn.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	cnfldtopon 25009	. 2 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
3	2	topontopi 23141	1 ⊢ 𝐽 ∈ Top

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  ℂcc 11125  TopOpenctopn 17510  ℂ_fldccnfld 21586  Topctop 23119

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-fz 13564  df-seq 14068  df-exp 14128  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-struct 17243  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-rest 17511  df-topn 17512  df-topgen 17532  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-xms 24547  df-ms 24548

This theorem is used by:  cnopn  25013  rerest  25031  recld2  25042  zdis  25044  reperflem  25046  metdcn  25068  ngnmcncn  25073  metdscn2  25085  cncfcnvcn  25154  icchmeo  25170  cnrehmeo  25182  cnheiborlem  25183  cnheibor  25184  cnllycmp  25185  evth  25188  reparphti  25226  cncmet  25551  resscdrg  25587  mbfimaopn2  25886  ellimc2  26106  limcnlp  26107  limcflflem  26109  limcflf  26110  limccnp  26120  limciun  26123  dvbss  26130  perfdvf  26132  dvreslem  26138  dvres2lem  26139  dvidlem  26144  dvcnp2  26149  dvnres  26160  dvaddbr  26167  dvmulbr  26168  dvrec  26184  dvmptres  26192  dveflem  26208  dvlipcn  26223  dvcnvrelem2  26247  dvply1  26515  ulmdvlem3  26635  psercn  26659  abelth  26674  dvlog  26886  dvlog2  26888  efopnlem2  26892  efopn  26893  efrlim  27204  lgamucov  27272  lgamucov2  27273  nmcnc  31163  raddcn  34426  lmlim  34444  cvxpconn  35808  cvxsconn  35809  cnllysconn  35811  ivthALT  36941  knoppcnlem10  37186  broucube  38390  binomcxplemdvbinom  45164  binomcxplemnotnn0  45167  climreeq  46430  limcrecl  46446  islpcn  46454  limcresiooub  46457  limcresioolb  46458  lptioo2cn  46460  lptioo1cn  46461  limclner  46466  fsumcncf  46693  ioccncflimc  46700  cncfuni  46701  icocncflimc  46704  cncfiooicclem1  46708  cncfiooicc  46709  itgsubsticclem  46790  dirkercncflem2  46919  dirkercncflem4  46921  dirkercncf  46922  fourierdlem32  46954  fourierdlem33  46955  fourierdlem48  46969  fourierdlem49  46970  fourierdlem62  46983  fourierdlem93  47014  fourierdlem101  47022  fourierdlem113  47034  fouriercnp  47041  fouriersw  47046