Theorem cnfldtop 24951

Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnfldtopn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnfldtop	⊢ 𝐽 ∈ Top

Proof of Theorem cnfldtop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldtopn.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	cnfldtopon 24950	. 2 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
3	2	topontopi 23083	1 ⊢ 𝐽 ∈ Top

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6536  ℂcc 11104  TopOpenctopn 17480  ℂ_fldccnfld 21533  Topctop 23061

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13143  df-xadd 13144  df-xmul 13145  df-fz 13542  df-seq 14045  df-exp 14105  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-struct 17213  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-rest 17481  df-topn 17482  df-topgen 17502  df-psmet 21525  df-xmet 21526  df-met 21527  df-bl 21528  df-mopn 21529  df-cnfld 21534  df-top 23062  df-topon 23079  df-topsp 23101  df-bases 23114  df-xms 24488  df-ms 24489

This theorem is used by:  cnopn  24954  rerest  24972  recld2  24983  zdis  24985  reperflem  24987  metdcn  25009  ngnmcncn  25014  metdscn2  25026  cncfcnvcn  25095  icchmeo  25111  cnrehmeo  25123  cnheiborlem  25124  cnheibor  25125  cnllycmp  25126  evth  25129  reparphti  25167  cncmet  25492  resscdrg  25528  mbfimaopn2  25827  ellimc2  26047  limcnlp  26048  limcflflem  26050  limcflf  26051  limccnp  26061  limciun  26064  dvbss  26071  perfdvf  26073  dvreslem  26079  dvres2lem  26080  dvidlem  26085  dvcnp2  26090  dvnres  26101  dvaddbr  26108  dvmulbr  26109  dvrec  26125  dvmptres  26133  dveflem  26149  dvlipcn  26164  dvcnvrelem2  26188  dvply1  26456  ulmdvlem3  26576  psercn  26600  abelth  26615  dvlog  26827  dvlog2  26829  efopnlem2  26833  efopn  26834  efrlim  27145  lgamucov  27213  lgamucov2  27214  nmcnc  31059  raddcn  34328  lmlim  34346  cvxpconn  35742  cvxsconn  35743  cnllysconn  35745  ivthALT  36874  knoppcnlem10  37119  broucube  38333  binomcxplemdvbinom  45091  binomcxplemnotnn0  45094  climreeq  46357  limcrecl  46373  islpcn  46381  limcresiooub  46384  limcresioolb  46385  lptioo2cn  46387  lptioo1cn  46388  limclner  46393  fsumcncf  46620  ioccncflimc  46627  cncfuni  46628  icocncflimc  46631  cncfiooicclem1  46635  cncfiooicc  46636  itgsubsticclem  46717  dirkercncflem2  46846  dirkercncflem4  46848  dirkercncf  46849  fourierdlem32  46881  fourierdlem33  46882  fourierdlem48  46896  fourierdlem49  46897  fourierdlem62  46910  fourierdlem93  46941  fourierdlem101  46949  fourierdlem113  46961  fouriercnp  46968  fouriersw  46973