Theorem lmlim 33913

Description: Relate a limit in a given topology to a complex number limit, provided that topology agrees with the common topology on ℂ on the required subset. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmlim.j	⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑌)
lmlim.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
lmlim.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
lmlim.t	⊢ (𝐽 ↾t 𝑋) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)
lmlim.x	⊢ 𝑋 ⊆ ℂ

Assertion

Ref	Expression
lmlim	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑃))

Proof of Theorem lmlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑋) = (𝐽 ↾t 𝑋)
2		nnuz 12796	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3		cnex 11109	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
5		lmlim.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ⊆ ℂ
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
7	4, 6	ssexd 5266	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
8		lmlim.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑌)
9	8	topontopi 22818	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ Top
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
11		lmlim.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
12		1z 12523	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
14		lmlim.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
15	1, 2, 7, 10, 11, 13, 14	lmss 23201	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(𝐽 ↾t 𝑋))𝑃))
16		lmlim.t	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑋) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)
17	16	fveq2i 6829	. . . 4 ⊢ (⇝𝑡‘(𝐽 ↾t 𝑋)) = (⇝𝑡‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))
18	17	breqi 5101	. . 3 ⊢ (𝐹(⇝𝑡‘(𝐽 ↾t 𝑋))𝑃 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))𝑃)
19	18	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(𝐽 ↾t 𝑋))𝑃 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))𝑃))
20		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)
21		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
22	21	cnfldtop 24687	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
24	20, 2, 7, 23, 11, 13, 14	lmss 23201	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝑃 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))𝑃))
25		fss 6672	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
26	14, 5, 25	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
27	21, 2	lmclimf 25220	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℂ) → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝑃 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑃))
28	12, 26, 27	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝑃 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑃))
29	24, 28	bitr3d 281	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))𝑃 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑃))
30	15, 19, 29	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5095  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  1c1 11029  ℕcn 12146  ℤcz 12489   ⇝ cli 15409   ↾_t crest 17342  TopOpenctopn 17343  ℂ_fldccnfld 21279  Topctop 22796  TopOnctopon 22813  ⇝_𝑡clm 23129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-fz 13429  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-rest 17344  df-topn 17345  df-topgen 17365  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-cnfld 21280  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-bases 22849  df-lm 23132  df-xms 24224  df-ms 24225

This theorem is referenced by:  lmlimxrge0  33914