Theorem lmlim 33978

Description: Relate a limit in a given topology to a complex number limit, provided that topology agrees with the common topology on ℂ on the required subset. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmlim.j	⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑌)
lmlim.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
lmlim.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
lmlim.t	⊢ (𝐽 ↾t 𝑋) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)
lmlim.x	⊢ 𝑋 ⊆ ℂ

Assertion

Ref	Expression
lmlim	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑃))

Proof of Theorem lmlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑋) = (𝐽 ↾t 𝑋)
2		nnuz 12895	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3		cnex 11210	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
5		lmlim.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ⊆ ℂ
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
7	4, 6	ssexd 5294	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
8		lmlim.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑌)
9	8	topontopi 22853	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ Top
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
11		lmlim.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
12		1z 12622	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
14		lmlim.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
15	1, 2, 7, 10, 11, 13, 14	lmss 23236	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(𝐽 ↾t 𝑋))𝑃))
16		lmlim.t	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑋) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)
17	16	fveq2i 6879	. . . 4 ⊢ (⇝𝑡‘(𝐽 ↾t 𝑋)) = (⇝𝑡‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))
18	17	breqi 5125	. . 3 ⊢ (𝐹(⇝𝑡‘(𝐽 ↾t 𝑋))𝑃 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))𝑃)
19	18	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(𝐽 ↾t 𝑋))𝑃 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))𝑃))
20		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)
21		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
22	21	cnfldtop 24722	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
24	20, 2, 7, 23, 11, 13, 14	lmss 23236	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝑃 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))𝑃))
25		fss 6722	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
26	14, 5, 25	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
27	21, 2	lmclimf 25256	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℂ) → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝑃 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑃))
28	12, 26, 27	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝑃 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑃))
29	24, 28	bitr3d 281	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))𝑃 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑃))
30	15, 19, 29	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  1c1 11130  ℕcn 12240  ℤcz 12588   ⇝ cli 15500   ↾_t crest 17434  TopOpenctopn 17435  ℂ_fldccnfld 21315  Topctop 22831  TopOnctopon 22848  ⇝_𝑡clm 23164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-fz 13525  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504  df-struct 17166  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-rest 17436  df-topn 17437  df-topgen 17457  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-cnfld 21316  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-lm 23167  df-xms 24259  df-ms 24260

This theorem is referenced by:  lmlimxrge0  33979