Theorem lmlim 34561

Description: Relate a limit in a given topology to a complex number limit, provided that topology agrees with the common topology on ℂ on the required subset. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmlim.j	⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑌)
lmlim.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
lmlim.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
lmlim.t	⊢ (𝐽 ↾t 𝑋) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)
lmlim.x	⊢ 𝑋 ⊆ ℂ

Assertion

Ref	Expression
lmlim	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑃))

Proof of Theorem lmlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑋) = (𝐽 ↾t 𝑋)
2		nnuz 12985	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3		cnex 11262	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
5		lmlim.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ⊆ ℂ
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
7	4, 6	ssexd 5286	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
8		lmlim.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑌)
9	8	topontopi 23213	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ Top
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
11		lmlim.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
12		1z 12707	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
14		lmlim.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
15	1, 2, 7, 10, 11, 13, 14	lmss 23596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(𝐽 ↾t 𝑋))𝑃))
16		lmlim.t	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑋) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)
17	16	fveq2i 6880	. . . 4 ⊢ (⇝𝑡‘(𝐽 ↾t 𝑋)) = (⇝𝑡‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))
18	17	breqi 5109	. . 3 ⊢ (𝐹(⇝𝑡‘(𝐽 ↾t 𝑋))𝑃 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))𝑃)
19	18	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(𝐽 ↾t 𝑋))𝑃 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))𝑃))
20		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)
21		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
22	21	cnfldtop 25082	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
24	20, 2, 7, 23, 11, 13, 14	lmss 23596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝑃 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))𝑃))
25		fss 6718	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
26	14, 5, 25	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
27	21, 2	lmclimf 25605	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℂ) → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝑃 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑃))
28	12, 26, 27	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝑃 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑃))
29	24, 28	bitr3d 284	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))𝑃 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑃))
30	15, 19, 29	3bitrd 308	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  1c1 11182  ℕcn 12316  ℤcz 12674   ⇝ cli 15631   ↾_t crest 17571  TopOpenctopn 17572  ℂ_fldccnfld 21658  Topctop 23191  TopOnctopon 23208  ⇝_𝑡clm 23524

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-fz 13621  df-seq 14125  df-exp 14185  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-clim 15635  df-struct 17305  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-rest 17573  df-topn 17574  df-topgen 17594  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-cnfld 21659  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-lm 23527  df-xms 24619  df-ms 24620

This theorem is used by:  lmlimxrge0  34562