Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmlim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmlim 30591
Description: Relate a limit in a given topology to a complex number limit, provided that topology agrees with the common topology on on the required subset. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmlim.j 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑌)
lmlim.f (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
lmlim.p (𝜑𝑃𝑋)
lmlim.t (𝐽t 𝑋) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)
lmlim.x 𝑋 ⊆ ℂ
Assertion
Ref Expression
lmlim (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃𝐹𝑃))

Proof of Theorem lmlim
StepHypRef Expression
1 eqid 2778 . . 3 (𝐽t 𝑋) = (𝐽t 𝑋)
2 nnuz 12029 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
3 cnex 10353 . . . . 5 ℂ ∈ V
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℂ ∈ V)
5 lmlim.x . . . . 5 𝑋 ⊆ ℂ
65a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
74, 6ssexd 5042 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ V)
8 lmlim.j . . . . 5 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑌)
98topontopi 21127 . . . 4 𝐽 ∈ Top
109a1i 11 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
11 lmlim.p . . 3 (𝜑𝑃𝑋)
12 1z 11759 . . . 4 1 ∈ ℤ
1312a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
14 lmlim.f . . 3 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
151, 2, 7, 10, 11, 13, 14lmss 21510 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃𝐹(⇝𝑡‘(𝐽t 𝑋))𝑃))
16 lmlim.t . . . . 5 (𝐽t 𝑋) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)
1716fveq2i 6449 . . . 4 (⇝𝑡‘(𝐽t 𝑋)) = (⇝𝑡‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))
1817breqi 4892 . . 3 (𝐹(⇝𝑡‘(𝐽t 𝑋))𝑃𝐹(⇝𝑡‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))𝑃)
1918a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(𝐽t 𝑋))𝑃𝐹(⇝𝑡‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))𝑃))
20 eqid 2778 . . . 4 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)
21 eqid 2778 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2221cnfldtop 22995 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
2322a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
2420, 2, 7, 23, 11, 13, 14lmss 21510 . . 3 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝑃𝐹(⇝𝑡‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))𝑃))
25 fss 6304 . . . . 5 ((𝐹:ℕ⟶𝑋𝑋 ⊆ ℂ) → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
2614, 5, 25sylancl 580 . . . 4 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℂ)
2721, 2lmclimf 23510 . . . 4 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℂ) → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝑃𝐹𝑃))
2812, 26, 27sylancr 581 . . 3 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝑃𝐹𝑃))
2924, 28bitr3d 273 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))𝑃𝐹𝑃))
3015, 19, 293bitrd 297 1 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃𝐹𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   = wceq 1601  wcel 2107  Vcvv 3398  wss 3792   class class class wbr 4886  wf 6131  cfv 6135  (class class class)co 6922  cc 10270  1c1 10273  cn 11374  cz 11728  cli 14623  t crest 16467  TopOpenctopn 16468  fldccnfld 20142  Topctop 21105  TopOnctopon 21122  𝑡clm 21438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-fz 12644  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-rest 16469  df-topn 16470  df-topgen 16490  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-lm 21441  df-xms 22533  df-ms 22534
This theorem is referenced by:  lmlimxrge0  30592
  Copyright terms: Public domain W3C validator