Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmlim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmlim 31250
 Description: Relate a limit in a given topology to a complex number limit, provided that topology agrees with the common topology on ℂ on the required subset. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmlim.j 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑌)
lmlim.f (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
lmlim.p (𝜑𝑃𝑋)
lmlim.t (𝐽t 𝑋) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)
lmlim.x 𝑋 ⊆ ℂ
Assertion
Ref Expression
lmlim (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃𝐹𝑃))

Proof of Theorem lmlim
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . 3 (𝐽t 𝑋) = (𝐽t 𝑋)
2 nnuz 12278 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
3 cnex 10616 . . . . 5 ℂ ∈ V
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℂ ∈ V)
5 lmlim.x . . . . 5 𝑋 ⊆ ℂ
65a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
74, 6ssexd 5214 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ V)
8 lmlim.j . . . . 5 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑌)
98topontopi 21526 . . . 4 𝐽 ∈ Top
109a1i 11 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
11 lmlim.p . . 3 (𝜑𝑃𝑋)
12 1z 12009 . . . 4 1 ∈ ℤ
1312a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
14 lmlim.f . . 3 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
151, 2, 7, 10, 11, 13, 14lmss 21909 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃𝐹(⇝𝑡‘(𝐽t 𝑋))𝑃))
16 lmlim.t . . . . 5 (𝐽t 𝑋) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)
1716fveq2i 6664 . . . 4 (⇝𝑡‘(𝐽t 𝑋)) = (⇝𝑡‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))
1817breqi 5058 . . 3 (𝐹(⇝𝑡‘(𝐽t 𝑋))𝑃𝐹(⇝𝑡‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))𝑃)
1918a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(𝐽t 𝑋))𝑃𝐹(⇝𝑡‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))𝑃))
20 eqid 2824 . . . 4 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)
21 eqid 2824 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2221cnfldtop 23395 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
2322a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
2420, 2, 7, 23, 11, 13, 14lmss 21909 . . 3 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝑃𝐹(⇝𝑡‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))𝑃))
25 fss 6517 . . . . 5 ((𝐹:ℕ⟶𝑋𝑋 ⊆ ℂ) → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
2614, 5, 25sylancl 589 . . . 4 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℂ)
2721, 2lmclimf 23914 . . . 4 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℂ) → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝑃𝐹𝑃))
2812, 26, 27sylancr 590 . . 3 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝑃𝐹𝑃))
2924, 28bitr3d 284 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))𝑃𝐹𝑃))
3015, 19, 293bitrd 308 1 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃𝐹𝑃))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3480   ⊆ wss 3919   class class class wbr 5052  ⟶wf 6339  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  ℂcc 10533  1c1 10536  ℕcn 11634  ℤcz 11978   ⇝ cli 14841   ↾t crest 16694  TopOpenctopn 16695  ℂfldccnfld 20098  Topctop 21504  TopOnctopon 21521  ⇝𝑡clm 21837 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-fz 12895  df-seq 13374  df-exp 13435  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-rest 16696  df-topn 16697  df-topgen 16717  df-psmet 20090  df-xmet 20091  df-met 20092  df-bl 20093  df-mopn 20094  df-cnfld 20099  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-lm 21840  df-xms 22933  df-ms 22934 This theorem is referenced by:  lmlimxrge0  31251
 Copyright terms: Public domain W3C validator