Theorem mapdpglem26 42190

Description: Lemma for mapdpg 42198. Baer p. 45 line 14: "Consequently there exist numbers u,v in G neither of which is 0 such that y = uy'' and..." (We scope $d 𝑢𝜑 locally to avoid clashes with later substitutions into 𝜑.) (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpg.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpg.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpg.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpg.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdpg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpg.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpg.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpg.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpg.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpg.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpg.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpgem25.h1	⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}))))
mapdpgem25.i1	⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
mapdpglem26.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem26.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem26.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem26.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem26	⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ (𝐵 ∖ {𝑂})ℎ = (𝑢 · 𝑖))

Distinct variable groups:   ℎ,𝑖,𝑢   𝑢,𝐵   𝑢,𝐶   𝑢,𝑂   𝑢, ·   𝜑,𝑢

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑖)   𝐴(𝑢,ℎ,𝑖)   𝐵(ℎ,𝑖)   𝐶(ℎ,𝑖)   𝑅(𝑢,ℎ,𝑖)   · (ℎ,𝑖)   𝑈(𝑢,ℎ,𝑖)   𝐹(𝑢,ℎ,𝑖)   𝐺(𝑢,ℎ,𝑖)   𝐻(𝑢,ℎ,𝑖)   𝐽(𝑢,ℎ,𝑖)   𝐾(𝑢,ℎ,𝑖)   𝑀(𝑢,ℎ,𝑖)   − (𝑢,ℎ,𝑖)   𝑁(𝑢,ℎ,𝑖)   𝑂(ℎ,𝑖)   𝑉(𝑢,ℎ,𝑖)   𝑊(𝑢,ℎ,𝑖)   𝑋(𝑢,ℎ,𝑖)   𝑌(𝑢,ℎ,𝑖)   0 (𝑢,ℎ,𝑖)

Proof of Theorem mapdpglem26

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpg.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdpg.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdpg.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		mapdpg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		mapdpg.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑈)
6		mapdpg.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
7		mapdpg.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8		mapdpg.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
9		mapdpg.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
10		mapdpg.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
11		mapdpg.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12		mapdpg.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		mapdpg.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14		mapdpg.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
15		mapdpg.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
16		mapdpg.ne	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
17		mapdpg.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
18		mapdpgem25.h1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}))))
19		mapdpgem25.i1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19	mapdpglem25 42189	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐽‘{ℎ}) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))
21	20	simpld 495	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{ℎ}) = (𝐽‘{𝑖}))
22		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
23		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
24		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐶)) = (0g‘(Scalar‘𝐶))
25		mapdpglem26.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
26	1, 8, 12	lcdlvec 42083	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
27	18	simpld 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℎ ∈ 𝐹)
28	19	simpld 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑖 ∈ 𝐹)
29	9, 22, 23, 24, 25, 11, 26, 27, 28	lspsneq 21115	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐽‘{ℎ}) = (𝐽‘{𝑖}) ↔ ∃𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐶)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐶))})ℎ = (𝑢 · 𝑖)))
30		mapdpglem26.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
31		mapdpglem26.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
32	1, 3, 30, 31, 8, 22, 23, 12	lcdsbase 42092	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
33		mapdpglem26.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐴)
34	1, 3, 30, 33, 8, 22, 24, 12	lcd0 42100	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐶)) = 𝑂)
35	34	sneqd 4567	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(0g‘(Scalar‘𝐶))} = {𝑂})
36	32, 35	difeq12d 4058	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(Scalar‘𝐶)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐶))}) = (𝐵 ∖ {𝑂}))
37	36	rexeqdv 3298	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐶)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐶))})ℎ = (𝑢 · 𝑖) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝐵 ∖ {𝑂})ℎ = (𝑢 · 𝑖)))
38	29, 37	bitrd 280	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐽‘{ℎ}) = (𝐽‘{𝑖}) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝐵 ∖ {𝑂})ℎ = (𝑢 · 𝑖)))
39	21, 38	mpbid 233	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ (𝐵 ∖ {𝑂})ℎ = (𝑢 · 𝑖))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∃wrex 3063   ∖ cdif 3880  {csn 4555  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  0_gc0g 17393  -_gcsg 18902  LSpanclspn 20961  HLchlt 39842  LHypclh 40476  DVecHcdvh 41570  LCDualclcd 42078  mapdcmpd 42116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-riotaBAD 39445

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-undef 8213  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-0g 17395  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-proset 18251  df-poset 18270  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18389  df-clat 18456  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-cntz 19283  df-oppg 19312  df-lsm 19602  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-dvr 20372  df-nzr 20485  df-rlreg 20666  df-domn 20667  df-drng 20703  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-lvec 21093  df-lsatoms 39468  df-lshyp 39469  df-lcv 39511  df-lfl 39550  df-lkr 39578  df-ldual 39616  df-oposet 39668  df-ol 39670  df-oml 39671  df-covers 39758  df-ats 39759  df-atl 39790  df-cvlat 39814  df-hlat 39843  df-llines 39990  df-lplanes 39991  df-lvols 39992  df-lines 39993  df-psubsp 39995  df-pmap 39996  df-padd 40288  df-lhyp 40480  df-laut 40481  df-ldil 40596  df-ltrn 40597  df-trl 40651  df-tgrp 41235  df-tendo 41247  df-edring 41249  df-dveca 41495  df-disoa 41521  df-dvech 41571  df-dib 41631  df-dic 41665  df-dih 41721  df-doch 41840  df-djh 41887  df-lcdual 42079

This theorem is referenced by:  mapdpglem32  42197