Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem26 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem26 41681
Description: Lemma for mapdpg 41689. Baer p. 45 line 14: "Consequently there exist numbers u,v in G neither of which is 0 such that y = uy'' and..." (We scope $d 𝑢𝜑 locally to avoid clashes with later substitutions into 𝜑.) (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpg.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpg.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpg.s = (-g𝑈)
mapdpg.z 0 = (0g𝑈)
mapdpg.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpg.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpg.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdpg.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpg.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpg.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.g (𝜑𝐺𝐹)
mapdpg.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpg.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpgem25.h1 (𝜑 → (𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅)}))))
mapdpgem25.i1 (𝜑 → (𝑖𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
mapdpglem26.a 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem26.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem26.t · = ( ·𝑠𝐶)
mapdpglem26.o 𝑂 = (0g𝐴)
Assertion
Ref Expression
mapdpglem26 (𝜑 → ∃𝑢 ∈ (𝐵 ∖ {𝑂}) = (𝑢 · 𝑖))
Distinct variable groups:   ,𝑖,𝑢   𝑢,𝐵   𝑢,𝐶   𝑢,𝑂   𝑢, ·   𝜑,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑖)   𝐴(𝑢,,𝑖)   𝐵(,𝑖)   𝐶(,𝑖)   𝑅(𝑢,,𝑖)   · (,𝑖)   𝑈(𝑢,,𝑖)   𝐹(𝑢,,𝑖)   𝐺(𝑢,,𝑖)   𝐻(𝑢,,𝑖)   𝐽(𝑢,,𝑖)   𝐾(𝑢,,𝑖)   𝑀(𝑢,,𝑖)   (𝑢,,𝑖)   𝑁(𝑢,,𝑖)   𝑂(,𝑖)   𝑉(𝑢,,𝑖)   𝑊(𝑢,,𝑖)   𝑋(𝑢,,𝑖)   𝑌(𝑢,,𝑖)   0 (𝑢,,𝑖)

Proof of Theorem mapdpglem26
StepHypRef Expression
1 mapdpg.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdpg.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdpg.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 mapdpg.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 mapdpg.s . . . 4 = (-g𝑈)
6 mapdpg.z . . . 4 0 = (0g𝑈)
7 mapdpg.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8 mapdpg.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
9 mapdpg.f . . . 4 𝐹 = (Base‘𝐶)
10 mapdpg.r . . . 4 𝑅 = (-g𝐶)
11 mapdpg.j . . . 4 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12 mapdpg.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
13 mapdpg.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14 mapdpg.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
15 mapdpg.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐹)
16 mapdpg.ne . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
17 mapdpg.e . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
18 mapdpgem25.h1 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅)}))))
19 mapdpgem25.i1 . . . 4 (𝜑 → (𝑖𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19mapdpglem25 41680 . . 3 (𝜑 → ((𝐽‘{}) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝐽‘{(𝐺𝑅)}) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))
2120simpld 494 . 2 (𝜑 → (𝐽‘{}) = (𝐽‘{𝑖}))
22 eqid 2735 . . . 4 (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
23 eqid 2735 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
24 eqid 2735 . . . 4 (0g‘(Scalar‘𝐶)) = (0g‘(Scalar‘𝐶))
25 mapdpglem26.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝐶)
261, 8, 12lcdlvec 41574 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
2718simpld 494 . . . 4 (𝜑𝐹)
2819simpld 494 . . . 4 (𝜑𝑖𝐹)
299, 22, 23, 24, 25, 11, 26, 27, 28lspsneq 21142 . . 3 (𝜑 → ((𝐽‘{}) = (𝐽‘{𝑖}) ↔ ∃𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐶)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐶))}) = (𝑢 · 𝑖)))
30 mapdpglem26.a . . . . . 6 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
31 mapdpglem26.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
321, 3, 30, 31, 8, 22, 23, 12lcdsbase 41583 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
33 mapdpglem26.o . . . . . . 7 𝑂 = (0g𝐴)
341, 3, 30, 33, 8, 22, 24, 12lcd0 41591 . . . . . 6 (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐶)) = 𝑂)
3534sneqd 4643 . . . . 5 (𝜑 → {(0g‘(Scalar‘𝐶))} = {𝑂})
3632, 35difeq12d 4137 . . . 4 (𝜑 → ((Base‘(Scalar‘𝐶)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐶))}) = (𝐵 ∖ {𝑂}))
3736rexeqdv 3325 . . 3 (𝜑 → (∃𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐶)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐶))}) = (𝑢 · 𝑖) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝐵 ∖ {𝑂}) = (𝑢 · 𝑖)))
3829, 37bitrd 279 . 2 (𝜑 → ((𝐽‘{}) = (𝐽‘{𝑖}) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝐵 ∖ {𝑂}) = (𝑢 · 𝑖)))
3921, 38mpbid 232 1 (𝜑 → ∃𝑢 ∈ (𝐵 ∖ {𝑂}) = (𝑢 · 𝑖))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  cdif 3960  {csn 4631  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  0gc0g 17486  -gcsg 18966  LSpanclspn 20987  HLchlt 39332  LHypclh 39967  DVecHcdvh 41061  LCDualclcd 41569  mapdcmpd 41607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-riotaBAD 38935
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-undef 8297  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17488  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-oppg 19377  df-lsm 19669  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-nzr 20530  df-rlreg 20711  df-domn 20712  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120  df-lsatoms 38958  df-lshyp 38959  df-lcv 39001  df-lfl 39040  df-lkr 39068  df-ldual 39106  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483  df-lines 39484  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142  df-tgrp 40726  df-tendo 40738  df-edring 40740  df-dveca 40986  df-disoa 41012  df-dvech 41062  df-dib 41122  df-dic 41156  df-dih 41212  df-doch 41331  df-djh 41378  df-lcdual 41570
This theorem is referenced by:  mapdpglem32  41688
  Copyright terms: Public domain W3C validator