Theorem mapdpglem26 42534

Description: Lemma for mapdpg 42542. Baer p. 45 line 14: "Consequently there exist numbers u,v in G neither of which is 0 such that y = uy'' and..." (We scope $d 𝑢𝜑 locally to avoid clashes with later substitutions into 𝜑.) (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpg.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpg.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpg.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpg.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdpg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpg.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpg.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpg.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpg.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpg.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpg.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpgem25.h1	⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}))))
mapdpgem25.i1	⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
mapdpglem26.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem26.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem26.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem26.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem26	⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ (𝐵 ∖ {𝑂})ℎ = (𝑢 · 𝑖))

Distinct variable groups:   ℎ,𝑖,𝑢   𝑢,𝐵   𝑢,𝐶   𝑢,𝑂   𝑢, ·   𝜑,𝑢

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ, 𝑖)   𝐴(𝑢, ℎ, 𝑖)   𝐵(ℎ, 𝑖)   𝐶(ℎ, 𝑖)   𝑅(𝑢, ℎ, 𝑖)   · (ℎ, 𝑖)   𝑈(𝑢, ℎ, 𝑖)   𝐹(𝑢, ℎ, 𝑖)   𝐺(𝑢, ℎ, 𝑖)   𝐻(𝑢, ℎ, 𝑖)   𝐽(𝑢, ℎ, 𝑖)   𝐾(𝑢, ℎ, 𝑖)   𝑀(𝑢, ℎ, 𝑖)   − (𝑢, ℎ, 𝑖)   𝑁(𝑢, ℎ, 𝑖)   𝑂(ℎ, 𝑖)   𝑉(𝑢, ℎ, 𝑖)   𝑊(𝑢, ℎ, 𝑖)   𝑋(𝑢, ℎ, 𝑖)   𝑌(𝑢, ℎ, 𝑖)   0 (𝑢, ℎ, 𝑖)

Proof of Theorem mapdpglem26

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpg.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdpg.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdpg.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		mapdpg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		mapdpg.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑈)
6		mapdpg.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
7		mapdpg.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8		mapdpg.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
9		mapdpg.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
10		mapdpg.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
11		mapdpg.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12		mapdpg.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		mapdpg.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14		mapdpg.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
15		mapdpg.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
16		mapdpg.ne	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
17		mapdpg.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
18		mapdpgem25.h1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}))))
19		mapdpgem25.i1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19	mapdpglem25 42533	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐽‘{ℎ}) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))
21	20	simpld 500	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{ℎ}) = (𝐽‘{𝑖}))
22		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
23		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
24		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐶)) = (0g‘(Scalar‘𝐶))
25		mapdpglem26.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
26	1, 8, 12	lcdlvec 42427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
27	18	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℎ ∈ 𝐹)
28	19	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑖 ∈ 𝐹)
29	9, 22, 23, 24, 25, 11, 26, 27, 28	lspsneq 21300	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐽‘{ℎ}) = (𝐽‘{𝑖}) ↔ ∃𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐶)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐶))})ℎ = (𝑢 · 𝑖)))
30		mapdpglem26.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
31		mapdpglem26.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
32	1, 3, 30, 31, 8, 22, 23, 12	lcdsbase 42436	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
33		mapdpglem26.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐴)
34	1, 3, 30, 33, 8, 22, 24, 12	lcd0 42444	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐶)) = 𝑂)
35	34	sneqd 4603	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(0g‘(Scalar‘𝐶))} = {𝑂})
36	32, 35	difeq12d 4082	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(Scalar‘𝐶)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐶))}) = (𝐵 ∖ {𝑂}))
37	36	rexeqdv 3326	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐶)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐶))})ℎ = (𝑢 · 𝑖) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝐵 ∖ {𝑂})ℎ = (𝑢 · 𝑖)))
38	29, 37	bitrd 282	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐽‘{ℎ}) = (𝐽‘{𝑖}) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝐵 ∖ {𝑂})ℎ = (𝑢 · 𝑖)))
39	21, 38	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ (𝐵 ∖ {𝑂})ℎ = (𝑢 · 𝑖))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091   ∖ cdif 3903  {csn 4591  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17295  Scalarcsca 17339   ·_𝑠 cvsca 17340  0_gc0g 17518  -_gcsg 19050  LSpanclspn 21146  HLchlt 40186  LHypclh 40820  DVecHcdvh 41914  LCDualclcd 42422  mapdcmpd 42460

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-riotaBAD 39789

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-undef 8275  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12883  df-fz 13556  df-struct 17233  df-sets 17250  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-ress 17317  df-plusg 17349  df-mulr 17350  df-sca 17352  df-vsca 17353  df-0g 17520  df-mre 17664  df-mrc 17665  df-acs 17667  df-proset 18376  df-poset 18395  df-plt 18410  df-lub 18426  df-glb 18427  df-join 18428  df-meet 18429  df-p0 18505  df-p1 18506  df-lat 18514  df-clat 18581  df-mgm 18724  df-sgrp 18813  df-mnd 18829  df-submnd 18883  df-grp 19051  df-minusg 19052  df-sbg 19053  df-subg 19237  df-cntz 19435  df-oppg 19464  df-lsm 19754  df-cmn 19900  df-abl 19901  df-mgp 20265  df-rng 20279  df-ur 20312  df-ring 20365  df-oppr 20469  df-dvdsr 20489  df-unit 20490  df-invr 20520  df-dvr 20533  df-nzr 20664  df-rlreg 20847  df-domn 20848  df-drng 20883  df-lmod 21037  df-lss 21107  df-lsp 21147  df-lvec 21278  df-lsatoms 39812  df-lshyp 39813  df-lcv 39855  df-lfl 39894  df-lkr 39922  df-ldual 39960  df-oposet 40012  df-ol 40014  df-oml 40015  df-covers 40102  df-ats 40103  df-atl 40134  df-cvlat 40158  df-hlat 40187  df-llines 40334  df-lplanes 40335  df-lvols 40336  df-lines 40337  df-psubsp 40339  df-pmap 40340  df-padd 40632  df-lhyp 40824  df-laut 40825  df-ldil 40940  df-ltrn 40941  df-trl 40995  df-tgrp 41579  df-tendo 41591  df-edring 41593  df-dveca 41839  df-disoa 41865  df-dvech 41915  df-dib 41975  df-dic 42009  df-dih 42065  df-doch 42184  df-djh 42231  df-lcdual 42423

This theorem is used by:  mapdpglem32  42541