Theorem mapdpglem26 41700

Description: Lemma for mapdpg 41708. Baer p. 45 line 14: "Consequently there exist numbers u,v in G neither of which is 0 such that y = uy'' and..." (We scope $d 𝑢𝜑 locally to avoid clashes with later substitutions into 𝜑.) (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpg.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpg.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpg.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpg.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdpg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpg.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpg.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpg.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpg.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpg.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpg.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpgem25.h1	⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}))))
mapdpgem25.i1	⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
mapdpglem26.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem26.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem26.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem26.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem26	⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ (𝐵 ∖ {𝑂})ℎ = (𝑢 · 𝑖))

Distinct variable groups:   ℎ,𝑖,𝑢   𝑢,𝐵   𝑢,𝐶   𝑢,𝑂   𝑢, ·   𝜑,𝑢

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑖)   𝐴(𝑢,ℎ,𝑖)   𝐵(ℎ,𝑖)   𝐶(ℎ,𝑖)   𝑅(𝑢,ℎ,𝑖)   · (ℎ,𝑖)   𝑈(𝑢,ℎ,𝑖)   𝐹(𝑢,ℎ,𝑖)   𝐺(𝑢,ℎ,𝑖)   𝐻(𝑢,ℎ,𝑖)   𝐽(𝑢,ℎ,𝑖)   𝐾(𝑢,ℎ,𝑖)   𝑀(𝑢,ℎ,𝑖)   − (𝑢,ℎ,𝑖)   𝑁(𝑢,ℎ,𝑖)   𝑂(ℎ,𝑖)   𝑉(𝑢,ℎ,𝑖)   𝑊(𝑢,ℎ,𝑖)   𝑋(𝑢,ℎ,𝑖)   𝑌(𝑢,ℎ,𝑖)   0 (𝑢,ℎ,𝑖)

Proof of Theorem mapdpglem26

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpg.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdpg.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdpg.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		mapdpg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		mapdpg.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑈)
6		mapdpg.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
7		mapdpg.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8		mapdpg.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
9		mapdpg.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
10		mapdpg.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
11		mapdpg.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12		mapdpg.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		mapdpg.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14		mapdpg.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
15		mapdpg.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
16		mapdpg.ne	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
17		mapdpg.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
18		mapdpgem25.h1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}))))
19		mapdpgem25.i1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19	mapdpglem25 41699	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐽‘{ℎ}) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))
21	20	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{ℎ}) = (𝐽‘{𝑖}))
22		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
23		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
24		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐶)) = (0g‘(Scalar‘𝐶))
25		mapdpglem26.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
26	1, 8, 12	lcdlvec 41593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
27	18	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℎ ∈ 𝐹)
28	19	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑖 ∈ 𝐹)
29	9, 22, 23, 24, 25, 11, 26, 27, 28	lspsneq 21124	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐽‘{ℎ}) = (𝐽‘{𝑖}) ↔ ∃𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐶)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐶))})ℎ = (𝑢 · 𝑖)))
30		mapdpglem26.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
31		mapdpglem26.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
32	1, 3, 30, 31, 8, 22, 23, 12	lcdsbase 41602	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
33		mapdpglem26.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐴)
34	1, 3, 30, 33, 8, 22, 24, 12	lcd0 41610	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐶)) = 𝑂)
35	34	sneqd 4638	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(0g‘(Scalar‘𝐶))} = {𝑂})
36	32, 35	difeq12d 4127	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(Scalar‘𝐶)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐶))}) = (𝐵 ∖ {𝑂}))
37	36	rexeqdv 3327	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐶)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐶))})ℎ = (𝑢 · 𝑖) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝐵 ∖ {𝑂})ℎ = (𝑢 · 𝑖)))
38	29, 37	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐽‘{ℎ}) = (𝐽‘{𝑖}) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝐵 ∖ {𝑂})ℎ = (𝑢 · 𝑖)))
39	21, 38	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ (𝐵 ∖ {𝑂})ℎ = (𝑢 · 𝑖))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070   ∖ cdif 3948  {csn 4626  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  0_gc0g 17484  -_gcsg 18953  LSpanclspn 20969  HLchlt 39351  LHypclh 39986  DVecHcdvh 41080  LCDualclcd 41588  mapdcmpd 41626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-riotaBAD 38954

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-undef 8298  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-0g 17486  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-oppg 19364  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-nzr 20513  df-rlreg 20694  df-domn 20695  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102  df-lsatoms 38977  df-lshyp 38978  df-lcv 39020  df-lfl 39059  df-lkr 39087  df-ldual 39125  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500  df-lplanes 39501  df-lvols 39502  df-lines 39503  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-lhyp 39990  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107  df-trl 40161  df-tgrp 40745  df-tendo 40757  df-edring 40759  df-dveca 41005  df-disoa 41031  df-dvech 41081  df-dib 41141  df-dic 41175  df-dih 41231  df-doch 41350  df-djh 41397  df-lcdual 41589

This theorem is referenced by:  mapdpglem32  41707