Theorem mapdpglem26 42901

Description: Lemma for mapdpg 42909. Baer p. 45 line 14: "Consequently there exist numbers u,v in G neither of which is 0 such that y = uy'' and..." (We scope $d 𝑢𝜑 locally to avoid clashes with later substitutions into 𝜑.) (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpg.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpg.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpg.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpg.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdpg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpg.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpg.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpg.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpg.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpg.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpg.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpgem25.h1	⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}))))
mapdpgem25.i1	⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
mapdpglem26.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem26.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem26.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem26.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem26	⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ (𝐵 ∖ {𝑂})ℎ = (𝑢 · 𝑖))

Distinct variable groups:   ℎ,𝑖,𝑢   𝑢,𝐵   𝑢,𝐶   𝑢,𝑂   𝑢, ·   𝜑,𝑢

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ, 𝑖)   𝐴(𝑢, ℎ, 𝑖)   𝐵(ℎ, 𝑖)   𝐶(ℎ, 𝑖)   𝑅(𝑢, ℎ, 𝑖)   · (ℎ, 𝑖)   𝑈(𝑢, ℎ, 𝑖)   𝐹(𝑢, ℎ, 𝑖)   𝐺(𝑢, ℎ, 𝑖)   𝐻(𝑢, ℎ, 𝑖)   𝐽(𝑢, ℎ, 𝑖)   𝐾(𝑢, ℎ, 𝑖)   𝑀(𝑢, ℎ, 𝑖)   − (𝑢, ℎ, 𝑖)   𝑁(𝑢, ℎ, 𝑖)   𝑂(ℎ, 𝑖)   𝑉(𝑢, ℎ, 𝑖)   𝑊(𝑢, ℎ, 𝑖)   𝑋(𝑢, ℎ, 𝑖)   𝑌(𝑢, ℎ, 𝑖)   0 (𝑢, ℎ, 𝑖)

Proof of Theorem mapdpglem26

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpg.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdpg.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdpg.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		mapdpg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		mapdpg.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑈)
6		mapdpg.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
7		mapdpg.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8		mapdpg.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
9		mapdpg.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
10		mapdpg.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
11		mapdpg.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12		mapdpg.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		mapdpg.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14		mapdpg.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
15		mapdpg.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
16		mapdpg.ne	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
17		mapdpg.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
18		mapdpgem25.h1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}))))
19		mapdpgem25.i1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19	mapdpglem25 42900	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐽‘{ℎ}) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))
21	20	simpld 500	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{ℎ}) = (𝐽‘{𝑖}))
22		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
23		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
24		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐶)) = (0g‘(Scalar‘𝐶))
25		mapdpglem26.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
26	1, 8, 12	lcdlvec 42794	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
27	18	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℎ ∈ 𝐹)
28	19	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑖 ∈ 𝐹)
29	9, 22, 23, 24, 25, 11, 26, 27, 28	lspsneq 21415	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐽‘{ℎ}) = (𝐽‘{𝑖}) ↔ ∃𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐶)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐶))})ℎ = (𝑢 · 𝑖)))
30		mapdpglem26.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
31		mapdpglem26.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
32	1, 3, 30, 31, 8, 22, 23, 12	lcdsbase 42803	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
33		mapdpglem26.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐴)
34	1, 3, 30, 33, 8, 22, 24, 12	lcd0 42811	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐶)) = 𝑂)
35	34	sneqd 4596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(0g‘(Scalar‘𝐶))} = {𝑂})
36	32, 35	difeq12d 4067	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(Scalar‘𝐶)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐶))}) = (𝐵 ∖ {𝑂}))
37	36	rexeqdv 3324	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐶)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐶))})ℎ = (𝑢 · 𝑖) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝐵 ∖ {𝑂})ℎ = (𝑢 · 𝑖)))
38	29, 37	bitrd 282	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐽‘{ℎ}) = (𝐽‘{𝑖}) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝐵 ∖ {𝑂})ℎ = (𝑢 · 𝑖)))
39	21, 38	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ (𝐵 ∖ {𝑂})ℎ = (𝑢 · 𝑖))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090   ∖ cdif 4048  {csn 4588  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  Basecbs 17402  Scalarcsca 17446   ·_𝑠 cvsca 17447  0_gc0g 17625  -_gcsg 19161  LSpanclspn 21261  HLchlt 40553  LHypclh 41187  DVecHcdvh 42281  LCDualclcd 42789  mapdcmpd 42827

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-riotaBAD 40156

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7703  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-tpos 8257  df-undef 8304  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-2o 8491  df-er 8731  df-map 8863  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-fz 13653  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-sca 17459  df-vsca 17460  df-0g 17627  df-mre 17771  df-mrc 17772  df-acs 17774  df-proset 18483  df-poset 18502  df-plt 18517  df-lub 18533  df-glb 18534  df-join 18535  df-meet 18536  df-p0 18612  df-p1 18613  df-lat 18621  df-clat 18688  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-submnd 18994  df-grp 19162  df-minusg 19163  df-sbg 19164  df-subg 19348  df-cntz 19546  df-oppg 19575  df-lsm 19865  df-cmn 20011  df-abl 20012  df-mgp 20376  df-rng 20390  df-ur 20423  df-ring 20476  df-oppr 20582  df-dvdsr 20602  df-unit 20603  df-invr 20633  df-dvr 20646  df-nzr 20778  df-rlreg 20961  df-domn 20962  df-drng 20997  df-lmod 21152  df-lss 21222  df-lsp 21262  df-lvec 21393  df-lsatoms 40179  df-lshyp 40180  df-lcv 40222  df-lfl 40261  df-lkr 40289  df-ldual 40327  df-oposet 40379  df-ol 40381  df-oml 40382  df-covers 40469  df-ats 40470  df-atl 40501  df-cvlat 40525  df-hlat 40554  df-llines 40701  df-lplanes 40702  df-lvols 40703  df-lines 40704  df-psubsp 40706  df-pmap 40707  df-padd 40999  df-lhyp 41191  df-laut 41192  df-ldil 41307  df-ltrn 41308  df-trl 41362  df-tgrp 41946  df-tendo 41958  df-edring 41960  df-dveca 42206  df-disoa 42232  df-dvech 42282  df-dib 42342  df-dic 42376  df-dih 42432  df-doch 42551  df-djh 42598  df-lcdual 42790

This theorem is used by:  mapdpglem32  42908