Theorem mapdpglem26 42755

Description: Lemma for mapdpg 42763. Baer p. 45 line 14: "Consequently there exist numbers u,v in G neither of which is 0 such that y = uy'' and..." (We scope $d 𝑢𝜑 locally to avoid clashes with later substitutions into 𝜑.) (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpg.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpg.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpg.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpg.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdpg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpg.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpg.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpg.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpg.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpg.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpg.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpgem25.h1	⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}))))
mapdpgem25.i1	⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
mapdpglem26.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem26.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem26.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem26.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem26	⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ (𝐵 ∖ {𝑂})ℎ = (𝑢 · 𝑖))

Distinct variable groups:   ℎ,𝑖,𝑢   𝑢,𝐵   𝑢,𝐶   𝑢,𝑂   𝑢, ·   𝜑,𝑢

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ, 𝑖)   𝐴(𝑢, ℎ, 𝑖)   𝐵(ℎ, 𝑖)   𝐶(ℎ, 𝑖)   𝑅(𝑢, ℎ, 𝑖)   · (ℎ, 𝑖)   𝑈(𝑢, ℎ, 𝑖)   𝐹(𝑢, ℎ, 𝑖)   𝐺(𝑢, ℎ, 𝑖)   𝐻(𝑢, ℎ, 𝑖)   𝐽(𝑢, ℎ, 𝑖)   𝐾(𝑢, ℎ, 𝑖)   𝑀(𝑢, ℎ, 𝑖)   − (𝑢, ℎ, 𝑖)   𝑁(𝑢, ℎ, 𝑖)   𝑂(ℎ, 𝑖)   𝑉(𝑢, ℎ, 𝑖)   𝑊(𝑢, ℎ, 𝑖)   𝑋(𝑢, ℎ, 𝑖)   𝑌(𝑢, ℎ, 𝑖)   0 (𝑢, ℎ, 𝑖)

Proof of Theorem mapdpglem26

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpg.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdpg.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdpg.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		mapdpg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		mapdpg.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑈)
6		mapdpg.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
7		mapdpg.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8		mapdpg.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
9		mapdpg.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
10		mapdpg.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
11		mapdpg.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12		mapdpg.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		mapdpg.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14		mapdpg.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
15		mapdpg.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
16		mapdpg.ne	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
17		mapdpg.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
18		mapdpgem25.h1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}))))
19		mapdpgem25.i1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19	mapdpglem25 42754	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐽‘{ℎ}) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))
21	20	simpld 500	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{ℎ}) = (𝐽‘{𝑖}))
22		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
23		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
24		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐶)) = (0g‘(Scalar‘𝐶))
25		mapdpglem26.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
26	1, 8, 12	lcdlvec 42648	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
27	18	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℎ ∈ 𝐹)
28	19	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑖 ∈ 𝐹)
29	9, 22, 23, 24, 25, 11, 26, 27, 28	lspsneq 21400	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐽‘{ℎ}) = (𝐽‘{𝑖}) ↔ ∃𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐶)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐶))})ℎ = (𝑢 · 𝑖)))
30		mapdpglem26.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
31		mapdpglem26.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
32	1, 3, 30, 31, 8, 22, 23, 12	lcdsbase 42657	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
33		mapdpglem26.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐴)
34	1, 3, 30, 33, 8, 22, 24, 12	lcd0 42665	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐶)) = 𝑂)
35	34	sneqd 4596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(0g‘(Scalar‘𝐶))} = {𝑂})
36	32, 35	difeq12d 4075	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(Scalar‘𝐶)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐶))}) = (𝐵 ∖ {𝑂}))
37	36	rexeqdv 3321	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐶)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐶))})ℎ = (𝑢 · 𝑖) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝐵 ∖ {𝑂})ℎ = (𝑢 · 𝑖)))
38	29, 37	bitrd 282	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐽‘{ℎ}) = (𝐽‘{𝑖}) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝐵 ∖ {𝑂})ℎ = (𝑢 · 𝑖)))
39	21, 38	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ (𝐵 ∖ {𝑂})ℎ = (𝑢 · 𝑖))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087   ∖ cdif 3896  {csn 4584  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  Scalarcsca 17431   ·_𝑠 cvsca 17432  0_gc0g 17610  -_gcsg 19146  LSpanclspn 21246  HLchlt 40407  LHypclh 41041  DVecHcdvh 42135  LCDualclcd 42643  mapdcmpd 42681

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-riotaBAD 40010

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-undef 8290  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-0g 17612  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-proset 18468  df-poset 18487  df-plt 18502  df-lub 18518  df-glb 18519  df-join 18520  df-meet 18521  df-p0 18597  df-p1 18598  df-lat 18606  df-clat 18673  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-subg 19333  df-cntz 19531  df-oppg 19560  df-lsm 19850  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-dvr 20631  df-nzr 20763  df-rlreg 20946  df-domn 20947  df-drng 20982  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247  df-lvec 21378  df-lsatoms 40033  df-lshyp 40034  df-lcv 40076  df-lfl 40115  df-lkr 40143  df-ldual 40181  df-oposet 40233  df-ol 40235  df-oml 40236  df-covers 40323  df-ats 40324  df-atl 40355  df-cvlat 40379  df-hlat 40408  df-llines 40555  df-lplanes 40556  df-lvols 40557  df-lines 40558  df-psubsp 40560  df-pmap 40561  df-padd 40853  df-lhyp 41045  df-laut 41046  df-ldil 41161  df-ltrn 41162  df-trl 41216  df-tgrp 41800  df-tendo 41812  df-edring 41814  df-dveca 42060  df-disoa 42086  df-dvech 42136  df-dib 42196  df-dic 42230  df-dih 42286  df-doch 42405  df-djh 42452  df-lcdual 42644

This theorem is used by:  mapdpglem32  42762