Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem26 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem26 38880
 Description: Lemma for mapdpg 38888. Baer p. 45 line 14: "Consequently there exist numbers u,v in G neither of which is 0 such that y = uy'' and..." (We scope \$d 𝑢𝜑 locally to avoid clashes with later substitutions into 𝜑.) (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpg.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpg.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpg.s = (-g𝑈)
mapdpg.z 0 = (0g𝑈)
mapdpg.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpg.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpg.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdpg.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpg.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpg.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.g (𝜑𝐺𝐹)
mapdpg.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpg.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpgem25.h1 (𝜑 → (𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅)}))))
mapdpgem25.i1 (𝜑 → (𝑖𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
mapdpglem26.a 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem26.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem26.t · = ( ·𝑠𝐶)
mapdpglem26.o 𝑂 = (0g𝐴)
Assertion
Ref Expression
mapdpglem26 (𝜑 → ∃𝑢 ∈ (𝐵 ∖ {𝑂}) = (𝑢 · 𝑖))
Distinct variable groups:   ,𝑖,𝑢   𝑢,𝐵   𝑢,𝐶   𝑢,𝑂   𝑢, ·   𝜑,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑖)   𝐴(𝑢,,𝑖)   𝐵(,𝑖)   𝐶(,𝑖)   𝑅(𝑢,,𝑖)   · (,𝑖)   𝑈(𝑢,,𝑖)   𝐹(𝑢,,𝑖)   𝐺(𝑢,,𝑖)   𝐻(𝑢,,𝑖)   𝐽(𝑢,,𝑖)   𝐾(𝑢,,𝑖)   𝑀(𝑢,,𝑖)   (𝑢,,𝑖)   𝑁(𝑢,,𝑖)   𝑂(,𝑖)   𝑉(𝑢,,𝑖)   𝑊(𝑢,,𝑖)   𝑋(𝑢,,𝑖)   𝑌(𝑢,,𝑖)   0 (𝑢,,𝑖)

Proof of Theorem mapdpglem26
StepHypRef Expression
1 mapdpg.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdpg.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdpg.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 mapdpg.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 mapdpg.s . . . 4 = (-g𝑈)
6 mapdpg.z . . . 4 0 = (0g𝑈)
7 mapdpg.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8 mapdpg.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
9 mapdpg.f . . . 4 𝐹 = (Base‘𝐶)
10 mapdpg.r . . . 4 𝑅 = (-g𝐶)
11 mapdpg.j . . . 4 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12 mapdpg.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
13 mapdpg.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14 mapdpg.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
15 mapdpg.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐹)
16 mapdpg.ne . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
17 mapdpg.e . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
18 mapdpgem25.h1 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅)}))))
19 mapdpgem25.i1 . . . 4 (𝜑 → (𝑖𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19mapdpglem25 38879 . . 3 (𝜑 → ((𝐽‘{}) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝐽‘{(𝐺𝑅)}) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))
2120simpld 498 . 2 (𝜑 → (𝐽‘{}) = (𝐽‘{𝑖}))
22 eqid 2821 . . . 4 (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
23 eqid 2821 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
24 eqid 2821 . . . 4 (0g‘(Scalar‘𝐶)) = (0g‘(Scalar‘𝐶))
25 mapdpglem26.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝐶)
261, 8, 12lcdlvec 38773 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
2718simpld 498 . . . 4 (𝜑𝐹)
2819simpld 498 . . . 4 (𝜑𝑖𝐹)
299, 22, 23, 24, 25, 11, 26, 27, 28lspsneq 19870 . . 3 (𝜑 → ((𝐽‘{}) = (𝐽‘{𝑖}) ↔ ∃𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐶)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐶))}) = (𝑢 · 𝑖)))
30 mapdpglem26.a . . . . . 6 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
31 mapdpglem26.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
321, 3, 30, 31, 8, 22, 23, 12lcdsbase 38782 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
33 mapdpglem26.o . . . . . . 7 𝑂 = (0g𝐴)
341, 3, 30, 33, 8, 22, 24, 12lcd0 38790 . . . . . 6 (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐶)) = 𝑂)
3534sneqd 4552 . . . . 5 (𝜑 → {(0g‘(Scalar‘𝐶))} = {𝑂})
3632, 35difeq12d 4076 . . . 4 (𝜑 → ((Base‘(Scalar‘𝐶)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐶))}) = (𝐵 ∖ {𝑂}))
3736rexeqdv 3397 . . 3 (𝜑 → (∃𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐶)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐶))}) = (𝑢 · 𝑖) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝐵 ∖ {𝑂}) = (𝑢 · 𝑖)))
3829, 37bitrd 282 . 2 (𝜑 → ((𝐽‘{}) = (𝐽‘{𝑖}) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝐵 ∖ {𝑂}) = (𝑢 · 𝑖)))
3921, 38mpbid 235 1 (𝜑 → ∃𝑢 ∈ (𝐵 ∖ {𝑂}) = (𝑢 · 𝑖))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3007  ∃wrex 3127   ∖ cdif 3907  {csn 4540  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  Basecbs 16462  Scalarcsca 16547   ·𝑠 cvsca 16548  0gc0g 16692  -gcsg 18084  LSpanclspn 19719  HLchlt 36532  LHypclh 37166  DVecHcdvh 38260  LCDualclcd 38768  mapdcmpd 38806 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-riotaBAD 36135 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-tpos 7867  df-undef 7914  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-0g 16694  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-proset 17517  df-poset 17535  df-plt 17547  df-lub 17563  df-glb 17564  df-join 17565  df-meet 17566  df-p0 17628  df-p1 17629  df-lat 17635  df-clat 17697  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-subg 18255  df-cntz 18426  df-oppg 18453  df-lsm 18740  df-cmn 18887  df-abl 18888  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-oppr 19352  df-dvdsr 19370  df-unit 19371  df-invr 19401  df-dvr 19412  df-drng 19480  df-lmod 19612  df-lss 19680  df-lsp 19720  df-lvec 19851  df-lsatoms 36158  df-lshyp 36159  df-lcv 36201  df-lfl 36240  df-lkr 36268  df-ldual 36306  df-oposet 36358  df-ol 36360  df-oml 36361  df-covers 36448  df-ats 36449  df-atl 36480  df-cvlat 36504  df-hlat 36533  df-llines 36680  df-lplanes 36681  df-lvols 36682  df-lines 36683  df-psubsp 36685  df-pmap 36686  df-padd 36978  df-lhyp 37170  df-laut 37171  df-ldil 37286  df-ltrn 37287  df-trl 37341  df-tgrp 37925  df-tendo 37937  df-edring 37939  df-dveca 38185  df-disoa 38211  df-dvech 38261  df-dib 38321  df-dic 38355  df-dih 38411  df-doch 38530  df-djh 38577  df-lcdual 38769 This theorem is referenced by:  mapdpglem32  38887
 Copyright terms: Public domain W3C validator