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Theorem noetalem3 32241
Description: Lemma for noeta 32244. When 𝐴 and 𝐵 are separated, then 𝑍 is a lower bound for 𝐵. Part of Theorem 5.1 of [Lipparini] p. 7-8. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
noetalem.1 𝑆 = if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
noetalem.2 𝑍 = (𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}))
Assertion
Ref Expression
noetalem3 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V) ∧ ∀𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑎 <s 𝑏) → ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑔   𝑢,𝑎,𝐴,𝑣,𝑥,𝑦   𝐵,𝑎,𝑏   𝑔,𝑏,𝑥   𝑢,𝑔,𝑣,𝑥,𝑦   𝑆,𝑎,𝑔   𝑣,𝑢,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑏)   𝑍(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem noetalem3
Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ralcom 3245 . . 3 (∀𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑎 <s 𝑏 ↔ ∀𝑏𝐵𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑏)
2 simplll 791 . . . . . 6 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝐴 No )
3 simpllr 793 . . . . . 6 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝐴 ∈ V)
4 simprl 787 . . . . . . 7 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) → 𝐵 No )
54sselda 3761 . . . . . 6 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏 No )
6 noetalem.1 . . . . . . 7 𝑆 = if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
76nosupbnd2 32238 . . . . . 6 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑏 No ) → (∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑏 ↔ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆))
82, 3, 5, 7syl3anc 1490 . . . . 5 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ 𝑏𝐵) → (∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑏 ↔ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆))
9 simpl 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) → 𝑏𝐵)
10 ssel2 3756 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 No 𝑏𝐵) → 𝑏 No )
114, 9, 10syl2an 589 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → 𝑏 No )
12 nodmord 32182 . . . . . . . . . 10 (𝑏 No → Ord dom 𝑏)
13 ordirr 5926 . . . . . . . . . 10 (Ord dom 𝑏 → ¬ dom 𝑏 ∈ dom 𝑏)
1411, 12, 133syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → ¬ dom 𝑏 ∈ dom 𝑏)
15 ssun2 3939 . . . . . . . . . . 11 suc ( bday 𝐵) ⊆ (dom 𝑆 ∪ suc ( bday 𝐵))
16 bdayval 32177 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 No → ( bday 𝑏) = dom 𝑏)
1711, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → ( bday 𝑏) = dom 𝑏)
18 bdayfo 32204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 bday : No onto→On
19 fofn 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( bday : No onto→On → bday Fn No )
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 bday Fn No
21 fnfvima 6689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( bday Fn No 𝐵 No 𝑏𝐵) → ( bday 𝑏) ∈ ( bday 𝐵))
2220, 21mp3an1 1572 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 No 𝑏𝐵) → ( bday 𝑏) ∈ ( bday 𝐵))
234, 9, 22syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → ( bday 𝑏) ∈ ( bday 𝐵))
2417, 23eqeltrrd 2845 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → dom 𝑏 ∈ ( bday 𝐵))
25 elssuni 4625 . . . . . . . . . . . . 13 (dom 𝑏 ∈ ( bday 𝐵) → dom 𝑏 ( bday 𝐵))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → dom 𝑏 ( bday 𝐵))
27 nodmon 32179 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 No → dom 𝑏 ∈ On)
28 imassrn 5659 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( bday 𝐵) ⊆ ran bday
29 forn 6301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( bday : No onto→On → ran bday = On)
3018, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran bday = On
3128, 30sseqtri 3797 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( bday 𝐵) ⊆ On
32 ssorduni 7183 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( bday 𝐵) ⊆ On → Ord ( bday 𝐵))
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 Ord ( bday 𝐵)
34 ordsssuc 5994 . . . . . . . . . . . . . 14 ((dom 𝑏 ∈ On ∧ Ord ( bday 𝐵)) → (dom 𝑏 ( bday 𝐵) ↔ dom 𝑏 ∈ suc ( bday 𝐵)))
3533, 34mpan2 682 . . . . . . . . . . . . 13 (dom 𝑏 ∈ On → (dom 𝑏 ( bday 𝐵) ↔ dom 𝑏 ∈ suc ( bday 𝐵)))
3611, 27, 353syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → (dom 𝑏 ( bday 𝐵) ↔ dom 𝑏 ∈ suc ( bday 𝐵)))
3726, 36mpbid 223 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → dom 𝑏 ∈ suc ( bday 𝐵))
3815, 37sseldi 3759 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → dom 𝑏 ∈ (dom 𝑆 ∪ suc ( bday 𝐵)))
39 eleq2 2833 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝑆 ∪ suc ( bday 𝐵)) = dom 𝑏 → (dom 𝑏 ∈ (dom 𝑆 ∪ suc ( bday 𝐵)) ↔ dom 𝑏 ∈ dom 𝑏))
4038, 39syl5ibcom 236 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → ((dom 𝑆 ∪ suc ( bday 𝐵)) = dom 𝑏 → dom 𝑏 ∈ dom 𝑏))
4114, 40mtod 189 . . . . . . . 8 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → ¬ (dom 𝑆 ∪ suc ( bday 𝐵)) = dom 𝑏)
42 noetalem.2 . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}))
4342dmeqi 5493 . . . . . . . . . . 11 dom 𝑍 = dom (𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}))
44 dmun 5499 . . . . . . . . . . 11 dom (𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜})) = (dom 𝑆 ∪ dom ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}))
4543, 44eqtri 2787 . . . . . . . . . 10 dom 𝑍 = (dom 𝑆 ∪ dom ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}))
46 1oex 7772 . . . . . . . . . . . . 13 1𝑜 ∈ V
4746snnz 4463 . . . . . . . . . . . 12 {1𝑜} ≠ ∅
48 dmxp 5512 . . . . . . . . . . . 12 ({1𝑜} ≠ ∅ → dom ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) = (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆))
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 dom ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) = (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆)
5049uneq2i 3926 . . . . . . . . . 10 (dom 𝑆 ∪ dom ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜})) = (dom 𝑆 ∪ (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆))
51 undif2 4204 . . . . . . . . . 10 (dom 𝑆 ∪ (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆)) = (dom 𝑆 ∪ suc ( bday 𝐵))
5245, 50, 513eqtri 2791 . . . . . . . . 9 dom 𝑍 = (dom 𝑆 ∪ suc ( bday 𝐵))
53 dmeq 5492 . . . . . . . . 9 (𝑍 = 𝑏 → dom 𝑍 = dom 𝑏)
5452, 53syl5eqr 2813 . . . . . . . 8 (𝑍 = 𝑏 → (dom 𝑆 ∪ suc ( bday 𝐵)) = dom 𝑏)
5541, 54nsyl 137 . . . . . . 7 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → ¬ 𝑍 = 𝑏)
56 df-ne 2938 . . . . . . . 8 (𝑍𝑏 ↔ ¬ 𝑍 = 𝑏)
57 notnotr 128 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ ¬ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 → dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆)
58 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆)
5958fvresd 6395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑍 ↾ dom 𝑆)‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) = (𝑍 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
6042reseq1i 5561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑍 ↾ dom 𝑆) = ((𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜})) ↾ dom 𝑆)
61 resundir 5587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜})) ↾ dom 𝑆) = ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) ↾ dom 𝑆))
62 df-res 5289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) ↾ dom 𝑆) = (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) ∩ (dom 𝑆 × V))
63 incom 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) ∩ dom 𝑆) = (dom 𝑆 ∩ (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆))
64 disjdif 4200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (dom 𝑆 ∩ (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆)) = ∅
6563, 64eqtri 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) ∩ dom 𝑆) = ∅
66 xpdisj1 5738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) ∩ dom 𝑆) = ∅ → (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) ∩ (dom 𝑆 × V)) = ∅)
6765, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) ∩ (dom 𝑆 × V)) = ∅
6862, 67eqtri 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) ↾ dom 𝑆) = ∅
6968uneq2i 3926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) ↾ dom 𝑆)) = ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ ∅)
70 un0 4129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ ∅) = (𝑆 ↾ dom 𝑆)
7169, 70eqtri 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) ↾ dom 𝑆)) = (𝑆 ↾ dom 𝑆)
7260, 61, 713eqtri 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑍 ↾ dom 𝑆) = (𝑆 ↾ dom 𝑆)
73 simplll 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → (𝐴 No 𝐴 ∈ V))
746nosupno 32225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V) → 𝑆 No )
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → 𝑆 No )
7675adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → 𝑆 No )
77 nofun 32178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑆 No → Fun 𝑆)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → Fun 𝑆)
79 funrel 6085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Fun 𝑆 → Rel 𝑆)
80 resdm 5618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Rel 𝑆 → (𝑆 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
8178, 79, 803syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (𝑆 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
8272, 81syl5eq 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (𝑍 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
8382fveq1d 6377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑍 ↾ dom 𝑆)‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) = (𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
8459, 83eqtr3d 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (𝑍 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) = (𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
85 simp-4l 801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → 𝐴 No )
86 simp-4r 803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → 𝐴 ∈ V)
87 simplrr 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → 𝐵 ∈ V)
8887adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → 𝐵 ∈ V)
896, 42noetalem1 32239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑍 No )
9085, 86, 88, 89syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → 𝑍 No )
9190adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → 𝑍 No )
9211adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → 𝑏 No )
9392adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → 𝑏 No )
94 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → 𝑍𝑏)
95 nosepne 32207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑍 No 𝑏 No 𝑍𝑏) → (𝑍 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) ≠ (𝑏 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
9691, 93, 94, 95syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (𝑍 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) ≠ (𝑏 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
9784, 96eqnetrrd 3005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) ≠ (𝑏 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
9858fvresd 6395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) = (𝑏 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
9997, 98neeqtrrd 3011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) ≠ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
100 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑞 = {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} → ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
101 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑞 = {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} → (𝑆𝑞) = (𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
102100, 101neeq12d 2998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 = {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} → (((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) ≠ (𝑆𝑞) ↔ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) ≠ (𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)})))
103 df-ne 2938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) ≠ (𝑆𝑞) ↔ ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞))
104 necom 2990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) ≠ (𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) ↔ (𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) ≠ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
105102, 103, 1043bitr3g 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 = {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} → (¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞) ↔ (𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) ≠ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)})))
106105rspcev 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆 ∧ (𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) ≠ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)})) → ∃𝑞 ∈ dom 𝑆 ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞))
10758, 99, 106syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ∃𝑞 ∈ dom 𝑆 ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞))
108 rexeq 3287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 → (∃𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞) ↔ ∃𝑞 ∈ dom 𝑆 ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞)))
109107, 108syl5ibrcom 238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 → ∃𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞)))
110 rexnal 3141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞) ↔ ¬ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞))
111109, 110syl6ib 242 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 → ¬ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞)))
11257, 111syl5 34 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (¬ ¬ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 → ¬ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞)))
113112orrd 889 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (¬ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 ∨ ¬ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞)))
114 nofun 32178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 No → Fun 𝑏)
115 funres 6110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Fun 𝑏 → Fun (𝑏 ↾ dom 𝑆))
11693, 114, 1153syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → Fun (𝑏 ↾ dom 𝑆))
117 eqfunfv 6506 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Fun (𝑏 ↾ dom 𝑆) ∧ Fun 𝑆) → ((𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆 ↔ (dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 ∧ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞))))
118116, 78, 117syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆 ↔ (dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 ∧ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞))))
119 ianor 1004 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ (dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 ∧ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞)) ↔ (¬ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 ∨ ¬ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞)))
120119con1bii 347 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ (¬ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 ∨ ¬ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞)) ↔ (dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 ∧ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞)))
121118, 120syl6bbr 280 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆 ↔ ¬ (¬ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 ∨ ¬ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞))))
122121con2bid 345 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((¬ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 ∨ ¬ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆𝑞)) ↔ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆))
123113, 122mpbid 223 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
124123pm2.21d 119 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆𝑍 <s 𝑏))
12582breq1d 4819 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑍 ↾ dom 𝑆) <s (𝑏 ↾ dom 𝑆) ↔ 𝑆 <s (𝑏 ↾ dom 𝑆)))
126 nodmon 32179 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 No → dom 𝑆 ∈ On)
12776, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → dom 𝑆 ∈ On)
128 sltres 32191 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑍 No 𝑏 No ∧ dom 𝑆 ∈ On) → ((𝑍 ↾ dom 𝑆) <s (𝑏 ↾ dom 𝑆) → 𝑍 <s 𝑏))
12991, 93, 127, 128syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑍 ↾ dom 𝑆) <s (𝑏 ↾ dom 𝑆) → 𝑍 <s 𝑏))
130125, 129sylbird 251 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (𝑆 <s (𝑏 ↾ dom 𝑆) → 𝑍 <s 𝑏))
131 simplrr 796 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
132131adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
133 noreson 32189 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 No ∧ dom 𝑆 ∈ On) → (𝑏 ↾ dom 𝑆) ∈ No )
13493, 127, 133syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (𝑏 ↾ dom 𝑆) ∈ No )
135 sltso 32203 . . . . . . . . . . . . . . 15 <s Or No
136 sotric 5224 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( <s Or No ∧ ((𝑏 ↾ dom 𝑆) ∈ No 𝑆 No )) → ((𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆 ↔ ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆𝑆 <s (𝑏 ↾ dom 𝑆))))
137135, 136mpan 681 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ↾ dom 𝑆) ∈ No 𝑆 No ) → ((𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆 ↔ ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆𝑆 <s (𝑏 ↾ dom 𝑆))))
138134, 76, 137syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆 ↔ ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆𝑆 <s (𝑏 ↾ dom 𝑆))))
139138con2bid 345 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (((𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆𝑆 <s (𝑏 ↾ dom 𝑆)) ↔ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆))
140132, 139mpbird 248 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆𝑆 <s (𝑏 ↾ dom 𝑆)))
141124, 130, 140mpjaod 886 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆) → 𝑍 <s 𝑏)
14290adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → 𝑍 No )
14392adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → 𝑏 No )
144 simplr 785 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → 𝑍𝑏)
14542fveq1i 6376 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) = ((𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}))‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)})
146 simp-4l 801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → (𝐴 No 𝐴 ∈ V))
147146, 74, 773syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → Fun 𝑆)
148 funfn 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Fun 𝑆𝑆 Fn dom 𝑆)
149147, 148sylib 209 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → 𝑆 Fn dom 𝑆)
15046fconst 6273 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}):(suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆)⟶{1𝑜}
151 ffn 6223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}):(suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆)⟶{1𝑜} → ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) Fn (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆))
152150, 151ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) Fn (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆)
153152a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) Fn (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆))
15464a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → (dom 𝑆 ∩ (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆)) = ∅)
155 necom 2990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝) ↔ (𝑏𝑝) ≠ (𝑍𝑝))
156155rabbii 3334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} = {𝑝 ∈ On ∣ (𝑏𝑝) ≠ (𝑍𝑝)}
157156inteqi 4637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} = {𝑝 ∈ On ∣ (𝑏𝑝) ≠ (𝑍𝑝)}
158144necomd 2992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → 𝑏𝑍)
159 nosepssdm 32212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 No 𝑍 No 𝑏𝑍) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑏𝑝) ≠ (𝑍𝑝)} ⊆ dom 𝑏)
160143, 142, 158, 159syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑏𝑝) ≠ (𝑍𝑝)} ⊆ dom 𝑏)
161157, 160syl5eqss 3809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ⊆ dom 𝑏)
162143, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → ( bday 𝑏) = dom 𝑏)
163 simplrl 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → 𝐵 No )
164163adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → 𝐵 No )
165164adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → 𝐵 No )
166 simplrl 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → 𝑏𝐵)
167166adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → 𝑏𝐵)
168165, 167, 22syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → ( bday 𝑏) ∈ ( bday 𝐵))
169162, 168eqeltrrd 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → dom 𝑏 ∈ ( bday 𝐵))
170169, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → dom 𝑏 ( bday 𝐵))
171143, 27, 353syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → (dom 𝑏 ( bday 𝐵) ↔ dom 𝑏 ∈ suc ( bday 𝐵)))
172170, 171mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → dom 𝑏 ∈ suc ( bday 𝐵))
173 nosepon 32194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑍 No 𝑏 No 𝑍𝑏) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ On)
174142, 143, 144, 173syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ On)
175 eloni 5918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ On → Ord {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)})
176 ordsuc 7212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Ord ( bday 𝐵) ↔ Ord suc ( bday 𝐵))
17733, 176mpbi 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ord suc ( bday 𝐵)
178 ordtr2 5952 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Ord {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∧ Ord suc ( bday 𝐵)) → (( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ⊆ dom 𝑏 ∧ dom 𝑏 ∈ suc ( bday 𝐵)) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ suc ( bday 𝐵)))
179177, 178mpan2 682 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Ord {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} → (( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ⊆ dom 𝑏 ∧ dom 𝑏 ∈ suc ( bday 𝐵)) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ suc ( bday 𝐵)))
180174, 175, 1793syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → (( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ⊆ dom 𝑏 ∧ dom 𝑏 ∈ suc ( bday 𝐵)) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ suc ( bday 𝐵)))
181161, 172, 180mp2and 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ suc ( bday 𝐵))
182 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)})
183146, 74, 1263syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → dom 𝑆 ∈ On)
184 ontri1 5942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((dom 𝑆 ∈ On ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ On) → (dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ↔ ¬ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆))
185183, 174, 184syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → (dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ↔ ¬ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆))
186182, 185mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → ¬ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆)
187181, 186eldifd 3743 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆))
188 fvun2 6459 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 Fn dom 𝑆 ∧ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) Fn (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) ∧ ((dom 𝑆 ∩ (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆)) = ∅ ∧ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆))) → ((𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}))‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) = (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜})‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
189149, 153, 154, 187, 188syl112anc 1493 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → ((𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}))‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) = (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜})‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
190145, 189syl5eq 2811 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → (𝑍 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) = (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜})‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
19146fvconst2 6662 . . . . . . . . . . . . 13 ( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) → (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜})‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) = 1𝑜)
192187, 191syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜})‘ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) = 1𝑜)
193190, 192eqtrd 2799 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → (𝑍 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) = 1𝑜)
194 nosep1o 32208 . . . . . . . . . . 11 (((𝑍 No 𝑏 No 𝑍𝑏) ∧ (𝑍 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) = 1𝑜) → 𝑍 <s 𝑏)
195142, 143, 144, 193, 194syl31anc 1492 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) ∧ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}) → 𝑍 <s 𝑏)
196 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → 𝑍𝑏)
19790, 92, 196, 173syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ On)
198197, 175syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → Ord {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)})
199 nodmord 32182 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 No → Ord dom 𝑆)
20073, 74, 1993syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → Ord dom 𝑆)
201 ordtri2or 6003 . . . . . . . . . . 11 ((Ord {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∧ Ord dom 𝑆) → ( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆 ∨ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
202198, 200, 201syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → ( {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)} ∈ dom 𝑆 ∨ dom 𝑆 {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍𝑝) ≠ (𝑏𝑝)}))
203141, 195, 202mpjaodan 981 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍𝑏) → 𝑍 <s 𝑏)
204203ex 401 . . . . . . . 8 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → (𝑍𝑏𝑍 <s 𝑏))
20556, 204syl5bir 234 . . . . . . 7 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → (¬ 𝑍 = 𝑏𝑍 <s 𝑏))
20655, 205mpd 15 . . . . . 6 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → 𝑍 <s 𝑏)
207206expr 448 . . . . 5 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ 𝑏𝐵) → (¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆𝑍 <s 𝑏))
2088, 207sylbid 231 . . . 4 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) ∧ 𝑏𝐵) → (∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑏𝑍 <s 𝑏))
209208ralimdva 3109 . . 3 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) → (∀𝑏𝐵𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑏 → ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏))
2101, 209syl5bi 233 . 2 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V)) → (∀𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑎 <s 𝑏 → ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏))
2112103impia 1145 1 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V) ∧ ∀𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑎 <s 𝑏) → ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  {cab 2751  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  {crab 3059  Vcvv 3350  cdif 3729  cun 3730  cin 3731  wss 3732  c0 4079  ifcif 4243  {csn 4334  cop 4340   cuni 4594   cint 4633   class class class wbr 4809  cmpt 4888   Or wor 5197   × cxp 5275  dom cdm 5277  ran crn 5278  cres 5279  cima 5280  Rel wrel 5282  Ord word 5907  Oncon0 5908  suc csuc 5910  cio 6029  Fun wfun 6062   Fn wfn 6063  wf 6064  ontowfo 6066  cfv 6068  crio 6802  1𝑜c1o 7757  2𝑜c2o 7758   No csur 32169   <s cslt 32170   bday cbday 32171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-ord 5911  df-on 5912  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-1o 7764  df-2o 7765  df-no 32172  df-slt 32173  df-bday 32174
This theorem is referenced by:  noetalem5  32243
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