Theorem preimaaa 26562

Description: An element of the preimage of the algebraic numbers by a nonconstant polynomial is an algebraic number. (Contributed by SN, 30-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
preimaaa.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℚ))
preimaaa.0	⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ≠ 0)
preimaaa.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
preimaaa.1	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝔸)

Assertion

Ref	Expression
preimaaa	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔸)

Proof of Theorem preimaaa

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preimaaa.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		preimaaa.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝔸)
3		elqaa 26561	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝔸 ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ∃𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0))
4	3	simprbi 503	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝔸 → ∃𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)
5	2, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)
6		fveq1 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ∘ 𝐹) → (𝑓‘𝐴) = ((𝑔 ∘ 𝐹)‘𝐴))
7	6	eqeq1d 2764	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ∘ 𝐹) → ((𝑓‘𝐴) = 0 ↔ ((𝑔 ∘ 𝐹)‘𝐴) = 0))
8		eldifi 4081	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) → 𝑔 ∈ (Poly‘ℚ))
9	8	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → 𝑔 ∈ (Poly‘ℚ))
10		preimaaa.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℚ))
11	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℚ))
12		qaddcl 13019	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℚ)
13	12	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℚ)
14		qmulcl 13021	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℚ)
15	14	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℚ)
16	9, 11, 13, 15	plyco 26474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → (𝑔 ∘ 𝐹) ∈ (Poly‘ℚ))
17		eldifsni 4756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) → 𝑔 ≠ 0𝑝)
18	17	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → 𝑔 ≠ 0𝑝)
19		preimaaa.0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ≠ 0)
20	19	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → (deg‘𝐹) ≠ 0)
21	9, 11, 18, 20	plyconz 26547	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → (𝑔 ∘ 𝐹) ≠ 0𝑝)
22	16, 21	eldifsnd 4753	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → (𝑔 ∘ 𝐹) ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
23		plyf 26430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
24	10, 23	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
25	24, 1	fvco3d 6983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∘ 𝐹)‘𝐴) = (𝑔‘(𝐹‘𝐴)))
26	25	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})) → ((𝑔 ∘ 𝐹)‘𝐴) = (𝑔‘(𝐹‘𝐴)))
27	26	eqeq1d 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})) → (((𝑔 ∘ 𝐹)‘𝐴) = 0 ↔ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0))
28	27	biimprd 251	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})) → ((𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0 → ((𝑔 ∘ 𝐹)‘𝐴) = 0))
29	28	impr 460	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → ((𝑔 ∘ 𝐹)‘𝐴) = 0)
30	7, 22, 29	rspcedvdw 3582	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0)
31	5, 30	rexlimddv 3171	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0)
32		elqaa 26561	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
33	1, 31, 32	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088   ∖ cdif 3899  {csn 4587   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  0cc0 11128   + caddc 11131   · cmul 11133  ℚcq 13001  0_𝑝c0p 25903  Polycply 26416  degcdgr 26419  𝔸caa 26553

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-xnn0 12606  df-z 12620  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-mod 13935  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-rlim 15580  df-sum 15778  df-0p 25904  df-ply 26420  df-idp 26421  df-coe 26422  df-dgr 26423  df-quot 26528  df-aa 26554

This theorem is used by:  iaa  26567