Theorem preimaaa 26646

Description: An element of the preimage of the algebraic numbers by a nonconstant polynomial is an algebraic number. (Contributed by SN, 30-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
preimaaa.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℚ))
preimaaa.0	⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ≠ 0)
preimaaa.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
preimaaa.1	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝔸)

Assertion

Ref	Expression
preimaaa	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔸)

Proof of Theorem preimaaa

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preimaaa.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		preimaaa.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝔸)
3		elqaa 26645	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝔸 ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ∃𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0))
4	3	simprbi 503	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝔸 → ∃𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)
5	2, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)
6		fveq1 6884	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ∘ 𝐹) → (𝑓‘𝐴) = ((𝑔 ∘ 𝐹)‘𝐴))
7	6	eqeq1d 2763	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ∘ 𝐹) → ((𝑓‘𝐴) = 0 ↔ ((𝑔 ∘ 𝐹)‘𝐴) = 0))
8		eldifi 4078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) → 𝑔 ∈ (Poly‘ℚ))
9	8	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → 𝑔 ∈ (Poly‘ℚ))
10		preimaaa.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℚ))
11	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℚ))
12		qaddcl 13093	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℚ)
13	12	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℚ)
14		qmulcl 13095	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℚ)
15	14	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℚ)
16	9, 11, 13, 15	plyco 26560	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → (𝑔 ∘ 𝐹) ∈ (Poly‘ℚ))
17		eldifsni 4753	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) → 𝑔 ≠ 0𝑝)
18	17	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → 𝑔 ≠ 0𝑝)
19		preimaaa.0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ≠ 0)
20	19	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → (deg‘𝐹) ≠ 0)
21	9, 11, 18, 20	plyconz 26631	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → (𝑔 ∘ 𝐹) ≠ 0𝑝)
22	16, 21	eldifsnd 4750	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → (𝑔 ∘ 𝐹) ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
23		plyf 26516	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
24	10, 23	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
25	24, 1	fvco3d 6986	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∘ 𝐹)‘𝐴) = (𝑔‘(𝐹‘𝐴)))
26	25	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})) → ((𝑔 ∘ 𝐹)‘𝐴) = (𝑔‘(𝐹‘𝐴)))
27	26	eqeq1d 2763	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})) → (((𝑔 ∘ 𝐹)‘𝐴) = 0 ↔ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0))
28	27	biimprd 251	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})) → ((𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0 → ((𝑔 ∘ 𝐹)‘𝐴) = 0))
29	28	impr 460	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → ((𝑔 ∘ 𝐹)‘𝐴) = 0)
30	7, 22, 29	rspcedvdw 3580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0)
31	5, 30	rexlimddv 3170	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0)
32		elqaa 26645	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
33	1, 31, 32	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087   ∖ cdif 3896  {csn 4584   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  0cc0 11200   + caddc 11203   · cmul 11205  ℚcq 13075  0_𝑝c0p 25990  Polycply 26502  degcdgr 26505  𝔸caa 26637

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-0p 25991  df-ply 26506  df-idp 26507  df-coe 26508  df-dgr 26509  df-quot 26612  df-aa 26638

This theorem is used by:  iaa  26651