Theorem preimaaa 26610

Description: An element of the preimage of the algebraic numbers by a nonconstant polynomial is an algebraic number. (Contributed by SN, 30-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
preimaaa.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℚ))
preimaaa.0	⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ≠ 0)
preimaaa.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
preimaaa.1	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝔸)

Assertion

Ref	Expression
preimaaa	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔸)

Proof of Theorem preimaaa

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preimaaa.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		preimaaa.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝔸)
3		elqaa 26609	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝔸 ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ∃𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0))
4	3	simprbi 503	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝔸 → ∃𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)
5	2, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)
6		fveq1 6872	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ∘ 𝐹) → (𝑓‘𝐴) = ((𝑔 ∘ 𝐹)‘𝐴))
7	6	eqeq1d 2762	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ∘ 𝐹) → ((𝑓‘𝐴) = 0 ↔ ((𝑔 ∘ 𝐹)‘𝐴) = 0))
8		eldifi 4077	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) → 𝑔 ∈ (Poly‘ℚ))
9	8	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → 𝑔 ∈ (Poly‘ℚ))
10		preimaaa.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℚ))
11	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℚ))
12		qaddcl 13063	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℚ)
13	12	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℚ)
14		qmulcl 13065	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℚ)
15	14	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℚ)
16	9, 11, 13, 15	plyco 26522	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → (𝑔 ∘ 𝐹) ∈ (Poly‘ℚ))
17		eldifsni 4752	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) → 𝑔 ≠ 0𝑝)
18	17	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → 𝑔 ≠ 0𝑝)
19		preimaaa.0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ≠ 0)
20	19	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → (deg‘𝐹) ≠ 0)
21	9, 11, 18, 20	plyconz 26595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → (𝑔 ∘ 𝐹) ≠ 0𝑝)
22	16, 21	eldifsnd 4749	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → (𝑔 ∘ 𝐹) ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
23		plyf 26478	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
24	10, 23	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
25	24, 1	fvco3d 6974	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∘ 𝐹)‘𝐴) = (𝑔‘(𝐹‘𝐴)))
26	25	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})) → ((𝑔 ∘ 𝐹)‘𝐴) = (𝑔‘(𝐹‘𝐴)))
27	26	eqeq1d 2762	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})) → (((𝑔 ∘ 𝐹)‘𝐴) = 0 ↔ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0))
28	27	biimprd 251	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})) → ((𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0 → ((𝑔 ∘ 𝐹)‘𝐴) = 0))
29	28	impr 460	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → ((𝑔 ∘ 𝐹)‘𝐴) = 0)
30	7, 22, 29	rspcedvdw 3579	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0)
31	5, 30	rexlimddv 3169	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0)
32		elqaa 26609	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
33	1, 31, 32	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ∖ cdif 3895  {csn 4583   ∘ ccom 5651  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℂcc 11170  0cc0 11172   + caddc 11175   · cmul 11177  ℚcq 13045  0_𝑝c0p 25952  Polycply 26464  degcdgr 26467  𝔸caa 26601

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249  ax-pre-sup 11250

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9954  df-card 9992  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-div 11944  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-n0 12577  df-xnn0 12650  df-z 12664  df-uz 12936  df-q 13046  df-rp 13091  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-fl 13901  df-mod 13979  df-seq 14114  df-exp 14174  df-hash 14443  df-cj 15234  df-re 15235  df-im 15236  df-sqrt 15370  df-abs 15371  df-clim 15623  df-rlim 15624  df-sum 15822  df-0p 25953  df-ply 26468  df-idp 26469  df-coe 26470  df-dgr 26471  df-quot 26576  df-aa 26602

This theorem is used by:  iaa  26615