Theorem preimaaa 26647

Description: An element of the preimage of the algebraic numbers by a nonconstant polynomial is an algebraic number. (Contributed by SN, 30-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
preimaaa.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℚ))
preimaaa.0	⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ≠ 0)
preimaaa.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
preimaaa.1	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝔸)

Assertion

Ref	Expression
preimaaa	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔸)

Proof of Theorem preimaaa

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preimaaa.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		preimaaa.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝔸)
3		elqaa 26646	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝔸 ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ∃𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0))
4	3	simprbi 503	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝔸 → ∃𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)
5	2, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)
6		fveq1 6884	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ∘ 𝐹) → (𝑓‘𝐴) = ((𝑔 ∘ 𝐹)‘𝐴))
7	6	eqeq1d 2762	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ∘ 𝐹) → ((𝑓‘𝐴) = 0 ↔ ((𝑔 ∘ 𝐹)‘𝐴) = 0))
8		eldifi 4067	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) → 𝑔 ∈ (Poly‘ℚ))
9	8	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → 𝑔 ∈ (Poly‘ℚ))
10		preimaaa.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℚ))
11	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℚ))
12		qaddcl 13094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℚ)
13	12	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℚ)
14		qmulcl 13096	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℚ)
15	14	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℚ)
16	9, 11, 13, 15	plyco 26561	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → (𝑔 ∘ 𝐹) ∈ (Poly‘ℚ))
17		eldifsni 4752	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) → 𝑔 ≠ 0𝑝)
18	17	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → 𝑔 ≠ 0𝑝)
19		preimaaa.0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ≠ 0)
20	19	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → (deg‘𝐹) ≠ 0)
21	9, 11, 18, 20	plyconz 26632	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → (𝑔 ∘ 𝐹) ≠ 0𝑝)
22	16, 21	eldifsnd 4749	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → (𝑔 ∘ 𝐹) ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
23		plyf 26517	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
24	10, 23	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
25	24, 1	fvco3d 6986	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∘ 𝐹)‘𝐴) = (𝑔‘(𝐹‘𝐴)))
26	25	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})) → ((𝑔 ∘ 𝐹)‘𝐴) = (𝑔‘(𝐹‘𝐴)))
27	26	eqeq1d 2762	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})) → (((𝑔 ∘ 𝐹)‘𝐴) = 0 ↔ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0))
28	27	biimprd 251	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})) → ((𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0 → ((𝑔 ∘ 𝐹)‘𝐴) = 0))
29	28	impr 460	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → ((𝑔 ∘ 𝐹)‘𝐴) = 0)
30	7, 22, 29	rspcedvdw 3579	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0)
31	5, 30	rexlimddv 3169	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0)
32		elqaa 26646	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
33	1, 31, 32	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ∖ cdif 4045  {csn 4583   ∘ ccom 5654  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11199  0cc0 11201   + caddc 11204   · cmul 11206  ℚcq 13076  0_𝑝c0p 25991  Polycply 26503  degcdgr 26506  𝔸caa 26638

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9643  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-oadd 8481  df-er 8718  df-map 8850  df-pm 8851  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9435  df-inf 9436  df-oi 9505  df-dju 9983  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-n0 12608  df-xnn0 12681  df-z 12695  df-uz 12967  df-q 13077  df-rp 13122  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-fl 13933  df-mod 14011  df-seq 14146  df-exp 14206  df-hash 14476  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-clim 15656  df-rlim 15657  df-sum 15855  df-0p 25992  df-ply 26507  df-idp 26508  df-coe 26509  df-dgr 26510  df-quot 26613  df-aa 26639

This theorem is used by:  iaa  26652