Theorem preimaaa 26676

Description: An element of the preimage of the algebraic numbers by a nonconstant polynomial is an algebraic number. (Contributed by SN, 30-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
preimaaa.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℚ))
preimaaa.0	⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ≠ 0)
preimaaa.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
preimaaa.1	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝔸)

Assertion

Ref	Expression
preimaaa	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔸)

Proof of Theorem preimaaa

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preimaaa.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		preimaaa.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝔸)
3		elqaa 26675	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝔸 ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ∃𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0))
4	3	simprbi 503	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝔸 → ∃𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)
5	2, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)
6		fveq1 6907	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ∘ 𝐹) → (𝑓‘𝐴) = ((𝑔 ∘ 𝐹)‘𝐴))
7	6	eqeq1d 2765	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ∘ 𝐹) → ((𝑓‘𝐴) = 0 ↔ ((𝑔 ∘ 𝐹)‘𝐴) = 0))
8		eldifi 4070	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) → 𝑔 ∈ (Poly‘ℚ))
9	8	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → 𝑔 ∈ (Poly‘ℚ))
10		preimaaa.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℚ))
11	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℚ))
12		qaddcl 13120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℚ)
13	12	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℚ)
14		qmulcl 13122	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℚ)
15	14	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) ∧ (𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℚ)
16	9, 11, 13, 15	plyco 26590	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → (𝑔 ∘ 𝐹) ∈ (Poly‘ℚ))
17		eldifsni 4753	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) → 𝑔 ≠ 0𝑝)
18	17	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → 𝑔 ≠ 0𝑝)
19		preimaaa.0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ≠ 0)
20	19	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → (deg‘𝐹) ≠ 0)
21	9, 11, 18, 20	plyconz 26661	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → (𝑔 ∘ 𝐹) ≠ 0𝑝)
22	16, 21	eldifsnd 4750	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → (𝑔 ∘ 𝐹) ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
23		plyf 26546	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
24	10, 23	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
25	24, 1	fvco3d 7009	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∘ 𝐹)‘𝐴) = (𝑔‘(𝐹‘𝐴)))
26	25	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})) → ((𝑔 ∘ 𝐹)‘𝐴) = (𝑔‘(𝐹‘𝐴)))
27	26	eqeq1d 2765	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})) → (((𝑔 ∘ 𝐹)‘𝐴) = 0 ↔ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0))
28	27	biimprd 251	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})) → ((𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0 → ((𝑔 ∘ 𝐹)‘𝐴) = 0))
29	28	impr 460	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → ((𝑔 ∘ 𝐹)‘𝐴) = 0)
30	7, 22, 29	rspcedvdw 3583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑔‘(𝐹‘𝐴)) = 0)) → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0)
31	5, 30	rexlimddv 3173	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0)
32		elqaa 26675	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
33	1, 31, 32	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090   ∖ cdif 4048  {csn 4588   ∘ ccom 5659  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227   + caddc 11230   · cmul 11232  ℚcq 13102  0_𝑝c0p 26020  Polycply 26532  degcdgr 26535  𝔸caa 26667

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-mod 14037  df-seq 14172  df-exp 14232  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-clim 15684  df-rlim 15685  df-sum 15883  df-0p 26021  df-ply 26536  df-idp 26537  df-coe 26538  df-dgr 26539  df-quot 26642  df-aa 26668

This theorem is used by:  iaa  26681