Theorem plyconz 26547

Description: The composition of a nonzero and a nonconstant polynomial is a nonzero polynomial. (Contributed by SN, 30-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyconz.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plyconz.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plyconz.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
plyconz.2	⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
plyconz	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) ≠ 0𝑝)

Proof of Theorem plyconz

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyconz.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
2		plyconz.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ≠ 0)
3	1, 2	rnplynfin 26546	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ ran 𝐺 ∈ Fin)
4		plyconz.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
5		plyconz.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
6		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (◡𝐹 “ {0}) = (◡𝐹 “ {0})
7	6	fta1 26545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → ((◡𝐹 “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(◡𝐹 “ {0})) ≤ (deg‘𝐹)))
8	4, 5, 7	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐹 “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(◡𝐹 “ {0})) ≤ (deg‘𝐹)))
9	8	simpld 500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {0}) ∈ Fin)
10	9	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ran 𝐺 ⊆ (◡𝐹 “ {0})) → (◡𝐹 “ {0}) ∈ Fin)
11		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ran 𝐺 ⊆ (◡𝐹 “ {0})) → ran 𝐺 ⊆ (◡𝐹 “ {0}))
12	10, 11	ssfid 9243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ran 𝐺 ⊆ (◡𝐹 “ {0})) → ran 𝐺 ∈ Fin)
13	3, 12	mtand 828	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ ran 𝐺 ⊆ (◡𝐹 “ {0}))
14		plyf 26430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
15	1, 14	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
16	15	frnd 6715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ ℂ)
17	16	sseld 3933	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ran 𝐺 → 𝑧 ∈ ℂ))
18		fveqeq2 6891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑦) = 0 ↔ (𝐹‘𝑧) = 0))
19	18	rspcv 3575	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ran 𝐺 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0 → (𝐹‘𝑧) = 0))
20	19	com12 33	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0 → (𝑧 ∈ ran 𝐺 → (𝐹‘𝑧) = 0))
21	17, 20	anim12ii 630	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0) → (𝑧 ∈ ran 𝐺 → (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0)))
22		plyf 26430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
23	4, 22	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
24	23	ffnd 6707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℂ)
25	24	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0) → 𝐹 Fn ℂ)
26		fniniseg 7056	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn ℂ → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0)))
27	25, 26	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0) → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0)))
28	21, 27	sylibrd 262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0) → (𝑧 ∈ ran 𝐺 → 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {0})))
29	28	ssrdv 3940	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0) → ran 𝐺 ⊆ (◡𝐹 “ {0}))
30	13, 29	mtand 828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0)
31		df-ne 2958	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐹‘𝑦) = 0)
32	31	rexbii 3111	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) ≠ 0 ↔ ∃𝑦 ∈ ran 𝐺 ¬ (𝐹‘𝑦) = 0)
33		rexnal 3116	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ ran 𝐺 ¬ (𝐹‘𝑦) = 0 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0)
34	32, 33	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) ≠ 0 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0)
35	30, 34	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) ≠ 0)
36		fvexd 6897	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑥) ∈ V)
37	15	ffnd 6707	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn ℂ)
38		fvelrnb 6942	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 Fn ℂ → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐺‘𝑥) = 𝑦))
39		eqcom 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺‘𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝐺‘𝑥))
40	39	rexbii 3111	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℂ (𝐺‘𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑦 = (𝐺‘𝑥))
41	38, 40	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Fn ℂ → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑦 = (𝐺‘𝑥)))
42	37, 41	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑦 = (𝐺‘𝑥)))
43		fveq2 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐺‘𝑥) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝐺‘𝑥)))
44	43	neeq1d 3016	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐺‘𝑥) → ((𝐹‘𝑦) ≠ 0 ↔ (𝐹‘(𝐺‘𝑥)) ≠ 0))
45	44	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝐺‘𝑥)) → ((𝐹‘𝑦) ≠ 0 ↔ (𝐹‘(𝐺‘𝑥)) ≠ 0))
46	36, 42, 45	rexxfr2d 5380	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) ≠ 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐹‘(𝐺‘𝑥)) ≠ 0))
47	35, 46	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐹‘(𝐺‘𝑥)) ≠ 0)
48	15	ffund 6711	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
49	48	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Fun 𝐺)
50	15	fdmd 6717	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = ℂ)
51	50	eqimsscd 3991	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ dom 𝐺)
52	51	sselda 3934	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
53		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ 𝐺)
54	49, 52, 53	fvcod 6981	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑥) = (𝐹‘(𝐺‘𝑥)))
55	54	neeq1d 3016	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐹‘(𝐺‘𝑥)) ≠ 0))
56	55	rexbidva 3186	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑥) ≠ 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐹‘(𝐺‘𝑥)) ≠ 0))
57	47, 56	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑥) ≠ 0)
58		ne0p 26439	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑥) ≠ 0) → (𝐹 ∘ 𝐺) ≠ 0𝑝)
59	58	rexlimiva 3157	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑥) ≠ 0 → (𝐹 ∘ 𝐺) ≠ 0𝑝)
60	57, 59	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) ≠ 0𝑝)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  {csn 4587   class class class wbr 5107  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659  ran crn 5660   “ cima 5662   ∘ ccom 5663  Fun wfun 6531   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  Fincfn 8956  ℂcc 11126  0cc0 11128   ≤ cle 11272  ♯chash 14398  0_𝑝c0p 25903  Polycply 26416  degcdgr 26419

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-xnn0 12606  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-rlim 15580  df-sum 15778  df-0p 25904  df-ply 26420  df-idp 26421  df-coe 26422  df-dgr 26423  df-quot 26528

This theorem is used by:  preimaaa  26562