Theorem plyconz 26595

Description: The composition of a nonzero and a nonconstant polynomial is a nonzero polynomial. (Contributed by SN, 30-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyconz.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plyconz.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plyconz.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
plyconz.2	⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
plyconz	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) ≠ 0𝑝)

Proof of Theorem plyconz

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyconz.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
2		plyconz.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ≠ 0)
3	1, 2	rnplynfin 26594	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ ran 𝐺 ∈ Fin)
4		plyconz.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
5		plyconz.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
6		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (◡𝐹 “ {0}) = (◡𝐹 “ {0})
7	6	fta1 26593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → ((◡𝐹 “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(◡𝐹 “ {0})) ≤ (deg‘𝐹)))
8	4, 5, 7	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐹 “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(◡𝐹 “ {0})) ≤ (deg‘𝐹)))
9	8	simpld 500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {0}) ∈ Fin)
10	9	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ran 𝐺 ⊆ (◡𝐹 “ {0})) → (◡𝐹 “ {0}) ∈ Fin)
11		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ran 𝐺 ⊆ (◡𝐹 “ {0})) → ran 𝐺 ⊆ (◡𝐹 “ {0}))
12	10, 11	ssfid 9238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ran 𝐺 ⊆ (◡𝐹 “ {0})) → ran 𝐺 ∈ Fin)
13	3, 12	mtand 828	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ ran 𝐺 ⊆ (◡𝐹 “ {0}))
14		plyf 26478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
15	1, 14	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
16	15	frnd 6706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ ℂ)
17	16	sseld 3929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ran 𝐺 → 𝑧 ∈ ℂ))
18		fveqeq2 6882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑦) = 0 ↔ (𝐹‘𝑧) = 0))
19	18	rspcv 3572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ran 𝐺 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0 → (𝐹‘𝑧) = 0))
20	19	com12 33	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0 → (𝑧 ∈ ran 𝐺 → (𝐹‘𝑧) = 0))
21	17, 20	anim12ii 630	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0) → (𝑧 ∈ ran 𝐺 → (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0)))
22		plyf 26478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
23	4, 22	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
24	23	ffnd 6698	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℂ)
25	24	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0) → 𝐹 Fn ℂ)
26		fniniseg 7047	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn ℂ → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0)))
27	25, 26	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0) → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0)))
28	21, 27	sylibrd 262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0) → (𝑧 ∈ ran 𝐺 → 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {0})))
29	28	ssrdv 3936	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0) → ran 𝐺 ⊆ (◡𝐹 “ {0}))
30	13, 29	mtand 828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0)
31		df-ne 2956	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐹‘𝑦) = 0)
32	31	rexbii 3109	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) ≠ 0 ↔ ∃𝑦 ∈ ran 𝐺 ¬ (𝐹‘𝑦) = 0)
33		rexnal 3114	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ ran 𝐺 ¬ (𝐹‘𝑦) = 0 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0)
34	32, 33	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) ≠ 0 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0)
35	30, 34	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) ≠ 0)
36		fvexd 6888	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑥) ∈ V)
37	15	ffnd 6698	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn ℂ)
38		fvelrnb 6933	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 Fn ℂ → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐺‘𝑥) = 𝑦))
39		eqcom 2767	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺‘𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝐺‘𝑥))
40	39	rexbii 3109	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℂ (𝐺‘𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑦 = (𝐺‘𝑥))
41	38, 40	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Fn ℂ → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑦 = (𝐺‘𝑥)))
42	37, 41	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑦 = (𝐺‘𝑥)))
43		fveq2 6873	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐺‘𝑥) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝐺‘𝑥)))
44	43	neeq1d 3014	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐺‘𝑥) → ((𝐹‘𝑦) ≠ 0 ↔ (𝐹‘(𝐺‘𝑥)) ≠ 0))
45	44	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝐺‘𝑥)) → ((𝐹‘𝑦) ≠ 0 ↔ (𝐹‘(𝐺‘𝑥)) ≠ 0))
46	36, 42, 45	rexxfr2d 5372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) ≠ 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐹‘(𝐺‘𝑥)) ≠ 0))
47	35, 46	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐹‘(𝐺‘𝑥)) ≠ 0)
48	15	ffund 6702	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
49	48	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Fun 𝐺)
50	15	fdmd 6708	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = ℂ)
51	50	eqimsscd 3987	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ dom 𝐺)
52	51	sselda 3930	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
53		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ 𝐺)
54	49, 52, 53	fvcod 6972	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑥) = (𝐹‘(𝐺‘𝑥)))
55	54	neeq1d 3014	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐹‘(𝐺‘𝑥)) ≠ 0))
56	55	rexbidva 3184	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑥) ≠ 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐹‘(𝐺‘𝑥)) ≠ 0))
57	47, 56	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑥) ≠ 0)
58		ne0p 26487	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑥) ≠ 0) → (𝐹 ∘ 𝐺) ≠ 0𝑝)
59	58	rexlimiva 3155	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑥) ≠ 0 → (𝐹 ∘ 𝐺) ≠ 0𝑝)
60	57, 59	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) ≠ 0𝑝)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3898  {csn 4583   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5646  dom cdm 5647  ran crn 5648   “ cima 5650   ∘ ccom 5651  Fun wfun 6521   Fn wfn 6522  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  Fincfn 8951  ℂcc 11170  0cc0 11172   ≤ cle 11316  ♯chash 14442  0_𝑝c0p 25952  Polycply 26464  degcdgr 26467

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249  ax-pre-sup 11250

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9954  df-card 9992  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-div 11944  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-n0 12577  df-xnn0 12650  df-z 12664  df-uz 12936  df-rp 13091  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-fl 13901  df-seq 14114  df-exp 14174  df-hash 14443  df-cj 15234  df-re 15235  df-im 15236  df-sqrt 15370  df-abs 15371  df-clim 15623  df-rlim 15624  df-sum 15822  df-0p 25953  df-ply 26468  df-idp 26469  df-coe 26470  df-dgr 26471  df-quot 26576

This theorem is used by:  preimaaa  26610