Theorem plyconz 26632

Description: The composition of a nonzero and a nonconstant polynomial is a nonzero polynomial. (Contributed by SN, 30-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyconz.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plyconz.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plyconz.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
plyconz.2	⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
plyconz	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) ≠ 0𝑝)

Proof of Theorem plyconz

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyconz.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
2		plyconz.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ≠ 0)
3	1, 2	rnplynfin 26631	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ ran 𝐺 ∈ Fin)
4		plyconz.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
5		plyconz.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
6		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (◡𝐹 “ {0}) = (◡𝐹 “ {0})
7	6	fta1 26630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → ((◡𝐹 “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(◡𝐹 “ {0})) ≤ (deg‘𝐹)))
8	4, 5, 7	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐹 “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(◡𝐹 “ {0})) ≤ (deg‘𝐹)))
9	8	simpld 500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {0}) ∈ Fin)
10	9	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ran 𝐺 ⊆ (◡𝐹 “ {0})) → (◡𝐹 “ {0}) ∈ Fin)
11		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ran 𝐺 ⊆ (◡𝐹 “ {0})) → ran 𝐺 ⊆ (◡𝐹 “ {0}))
12	10, 11	ssfid 9261	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ran 𝐺 ⊆ (◡𝐹 “ {0})) → ran 𝐺 ∈ Fin)
13	3, 12	mtand 828	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ ran 𝐺 ⊆ (◡𝐹 “ {0}))
14		plyf 26517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
15	1, 14	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
16	15	frnd 6718	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ ℂ)
17	16	sseld 3907	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ran 𝐺 → 𝑧 ∈ ℂ))
18		fveqeq2 6894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑦) = 0 ↔ (𝐹‘𝑧) = 0))
19	18	rspcv 3572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ran 𝐺 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0 → (𝐹‘𝑧) = 0))
20	19	com12 33	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0 → (𝑧 ∈ ran 𝐺 → (𝐹‘𝑧) = 0))
21	17, 20	anim12ii 630	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0) → (𝑧 ∈ ran 𝐺 → (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0)))
22		plyf 26517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
23	4, 22	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
24	23	ffnd 6710	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℂ)
25	24	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0) → 𝐹 Fn ℂ)
26		fniniseg 7059	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn ℂ → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0)))
27	25, 26	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0) → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0)))
28	21, 27	sylibrd 262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0) → (𝑧 ∈ ran 𝐺 → 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {0})))
29	28	ssrdv 3914	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0) → ran 𝐺 ⊆ (◡𝐹 “ {0}))
30	13, 29	mtand 828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0)
31		df-ne 2956	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐹‘𝑦) = 0)
32	31	rexbii 3109	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) ≠ 0 ↔ ∃𝑦 ∈ ran 𝐺 ¬ (𝐹‘𝑦) = 0)
33		rexnal 3114	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ ran 𝐺 ¬ (𝐹‘𝑦) = 0 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0)
34	32, 33	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) ≠ 0 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0)
35	30, 34	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) ≠ 0)
36		fvexd 6900	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑥) ∈ V)
37	15	ffnd 6710	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn ℂ)
38		fvelrnb 6945	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 Fn ℂ → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐺‘𝑥) = 𝑦))
39		eqcom 2767	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺‘𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝐺‘𝑥))
40	39	rexbii 3109	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℂ (𝐺‘𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑦 = (𝐺‘𝑥))
41	38, 40	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Fn ℂ → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑦 = (𝐺‘𝑥)))
42	37, 41	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑦 = (𝐺‘𝑥)))
43		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐺‘𝑥) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝐺‘𝑥)))
44	43	neeq1d 3014	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐺‘𝑥) → ((𝐹‘𝑦) ≠ 0 ↔ (𝐹‘(𝐺‘𝑥)) ≠ 0))
45	44	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝐺‘𝑥)) → ((𝐹‘𝑦) ≠ 0 ↔ (𝐹‘(𝐺‘𝑥)) ≠ 0))
46	36, 42, 45	rexxfr2d 5372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) ≠ 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐹‘(𝐺‘𝑥)) ≠ 0))
47	35, 46	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐹‘(𝐺‘𝑥)) ≠ 0)
48	15	ffund 6714	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
49	48	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Fun 𝐺)
50	15	fdmd 6720	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = ℂ)
51	50	eqimsscd 3965	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ dom 𝐺)
52	51	sselda 3908	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
53		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ 𝐺)
54	49, 52, 53	fvcod 6984	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑥) = (𝐹‘(𝐺‘𝑥)))
55	54	neeq1d 3014	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐹‘(𝐺‘𝑥)) ≠ 0))
56	55	rexbidva 3184	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑥) ≠ 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐹‘(𝐺‘𝑥)) ≠ 0))
57	47, 56	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑥) ≠ 0)
58		ne0p 26526	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑥) ≠ 0) → (𝐹 ∘ 𝐺) ≠ 0𝑝)
59	58	rexlimiva 3155	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑥) ≠ 0 → (𝐹 ∘ 𝐺) ≠ 0𝑝)
60	57, 59	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) ≠ 0𝑝)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  {csn 4583   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650  ran crn 5651   “ cima 5653   ∘ ccom 5654  Fun wfun 6532   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  Fincfn 8974  ℂcc 11199  0cc0 11201   ≤ cle 11345  ♯chash 14475  0_𝑝c0p 25991  Polycply 26503  degcdgr 26506

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9643  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-oadd 8481  df-er 8718  df-map 8850  df-pm 8851  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9435  df-inf 9436  df-oi 9505  df-dju 9983  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-n0 12608  df-xnn0 12681  df-z 12695  df-uz 12967  df-rp 13122  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-fl 13933  df-seq 14146  df-exp 14206  df-hash 14476  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-clim 15656  df-rlim 15657  df-sum 15855  df-0p 25992  df-ply 26507  df-idp 26508  df-coe 26509  df-dgr 26510  df-quot 26613

This theorem is used by:  preimaaa  26647