Theorem plyconz 26661

Description: The composition of a nonzero and a nonconstant polynomial is a nonzero polynomial. (Contributed by SN, 30-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyconz.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plyconz.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plyconz.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
plyconz.2	⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
plyconz	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) ≠ 0𝑝)

Proof of Theorem plyconz

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyconz.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
2		plyconz.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ≠ 0)
3	1, 2	rnplynfin 26660	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ ran 𝐺 ∈ Fin)
4		plyconz.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
5		plyconz.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
6		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (◡𝐹 “ {0}) = (◡𝐹 “ {0})
7	6	fta1 26659	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → ((◡𝐹 “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(◡𝐹 “ {0})) ≤ (deg‘𝐹)))
8	4, 5, 7	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐹 “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(◡𝐹 “ {0})) ≤ (deg‘𝐹)))
9	8	simpld 500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {0}) ∈ Fin)
10	9	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ran 𝐺 ⊆ (◡𝐹 “ {0})) → (◡𝐹 “ {0}) ∈ Fin)
11		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ran 𝐺 ⊆ (◡𝐹 “ {0})) → ran 𝐺 ⊆ (◡𝐹 “ {0}))
12	10, 11	ssfid 9288	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ran 𝐺 ⊆ (◡𝐹 “ {0})) → ran 𝐺 ∈ Fin)
13	3, 12	mtand 828	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ ran 𝐺 ⊆ (◡𝐹 “ {0}))
14		plyf 26546	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
15	1, 14	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
16	15	frnd 6740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ ℂ)
17	16	sseld 3912	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ran 𝐺 → 𝑧 ∈ ℂ))
18		fveqeq2 6917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑦) = 0 ↔ (𝐹‘𝑧) = 0))
19	18	rspcv 3576	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ran 𝐺 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0 → (𝐹‘𝑧) = 0))
20	19	com12 33	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0 → (𝑧 ∈ ran 𝐺 → (𝐹‘𝑧) = 0))
21	17, 20	anim12ii 630	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0) → (𝑧 ∈ ran 𝐺 → (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0)))
22		plyf 26546	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
23	4, 22	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
24	23	ffnd 6732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℂ)
25	24	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0) → 𝐹 Fn ℂ)
26		fniniseg 7083	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn ℂ → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0)))
27	25, 26	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0) → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) = 0)))
28	21, 27	sylibrd 262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0) → (𝑧 ∈ ran 𝐺 → 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {0})))
29	28	ssrdv 3919	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0) → ran 𝐺 ⊆ (◡𝐹 “ {0}))
30	13, 29	mtand 828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0)
31		df-ne 2960	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐹‘𝑦) = 0)
32	31	rexbii 3113	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) ≠ 0 ↔ ∃𝑦 ∈ ran 𝐺 ¬ (𝐹‘𝑦) = 0)
33		rexnal 3118	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ ran 𝐺 ¬ (𝐹‘𝑦) = 0 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0)
34	32, 33	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) ≠ 0 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) = 0)
35	30, 34	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) ≠ 0)
36		fvexd 6923	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑥) ∈ V)
37	15	ffnd 6732	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn ℂ)
38		fvelrnb 6968	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 Fn ℂ → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐺‘𝑥) = 𝑦))
39		eqcom 2770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺‘𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝐺‘𝑥))
40	39	rexbii 3113	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℂ (𝐺‘𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑦 = (𝐺‘𝑥))
41	38, 40	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Fn ℂ → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑦 = (𝐺‘𝑥)))
42	37, 41	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ 𝑦 = (𝐺‘𝑥)))
43		fveq2 6908	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐺‘𝑥) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝐺‘𝑥)))
44	43	neeq1d 3018	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐺‘𝑥) → ((𝐹‘𝑦) ≠ 0 ↔ (𝐹‘(𝐺‘𝑥)) ≠ 0))
45	44	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝐺‘𝑥)) → ((𝐹‘𝑦) ≠ 0 ↔ (𝐹‘(𝐺‘𝑥)) ≠ 0))
46	36, 42, 45	rexxfr2d 5377	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ran 𝐺(𝐹‘𝑦) ≠ 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐹‘(𝐺‘𝑥)) ≠ 0))
47	35, 46	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐹‘(𝐺‘𝑥)) ≠ 0)
48	15	ffund 6736	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
49	48	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Fun 𝐺)
50	15	fdmd 6742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = ℂ)
51	50	eqimsscd 3970	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ dom 𝐺)
52	51	sselda 3913	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
53		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ 𝐺)
54	49, 52, 53	fvcod 7007	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑥) = (𝐹‘(𝐺‘𝑥)))
55	54	neeq1d 3018	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐹‘(𝐺‘𝑥)) ≠ 0))
56	55	rexbidva 3188	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑥) ≠ 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐹‘(𝐺‘𝑥)) ≠ 0))
57	47, 56	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑥) ≠ 0)
58		ne0p 26555	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑥) ≠ 0) → (𝐹 ∘ 𝐺) ≠ 0𝑝)
59	58	rexlimiva 3159	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑥) ≠ 0 → (𝐹 ∘ 𝐺) ≠ 0𝑝)
60	57, 59	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) ≠ 0𝑝)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  {csn 4588   class class class wbr 5106  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655  ran crn 5656   “ cima 5658   ∘ ccom 5659  Fun wfun 6552   Fn wfn 6553  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  Fincfn 9001  ℂcc 11225  0cc0 11227   ≤ cle 11371  ♯chash 14501  0_𝑝c0p 26020  Polycply 26532  degcdgr 26535

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-seq 14172  df-exp 14232  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-clim 15684  df-rlim 15685  df-sum 15883  df-0p 26021  df-ply 26536  df-idp 26537  df-coe 26538  df-dgr 26539  df-quot 26642

This theorem is used by:  preimaaa  26676