sin3t - Mathbox for Ender Ting

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Theorem sin3t 47319

Description: Triple-angle formula for sine, in pure sine form. (Contributed by Ender Ting, 16-Mar-2026.)

**Assertion**
Ref	Expression
sin3t	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(3 · 𝐴)) = ((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))))

**Proof of Theorem sin3t**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12245	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
2	1	oveq1i 7377	. . . 4 ⊢ (3 · 𝐴) = ((2 + 1) · 𝐴)
3		2cnd 12259	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
4		1cnd 11139	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
5		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	adddird 11170	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 + 1) · 𝐴) = ((2 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
7	2, 6	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (3 · 𝐴) = ((2 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
8	7	fveq2d 6844	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(3 · 𝐴)) = (sin‘((2 · 𝐴) + (1 · 𝐴))))
9	3, 5	mulcld 11165	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
10	4, 5	mulcld 11165	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) ∈ ℂ)
11		sinadd 16131	. . 3 ⊢ (((2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 · 𝐴) ∈ ℂ) → (sin‘((2 · 𝐴) + (1 · 𝐴))) = (((sin‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) + ((cos‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴)))))
12	9, 10, 11	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((2 · 𝐴) + (1 · 𝐴))) = (((sin‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) + ((cos‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴)))))
13		sin2t 16144	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 𝐴)) = (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))
14	13	oveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) = ((2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))) · (cos‘(1 · 𝐴))))
15		sincl 16093	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
16		coscl 16094	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
17	15, 16	mulcld 11165	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
18	10	coscld 16098	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(1 · 𝐴)) ∈ ℂ)
19	3, 17, 18	mulassd 11168	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))) · (cos‘(1 · 𝐴))) = (2 · (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴)))))
20		mullid 11143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
21	20	fveq2d 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(1 · 𝐴)) = (cos‘𝐴))
22	21	oveq2d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (cos‘𝐴)))
23	15, 16, 16	mulassd 11168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (cos‘𝐴)) = ((sin‘𝐴) · ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴))))
24	16	sqvald 14105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) = ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴)))
25	15	sqcld 14106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
26	16	sqcld 14106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
27		sincossq 16143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
28	25, 26, 27	mvlladdd 11561	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) = (1 − ((sin‘𝐴)↑2)))
29	24, 28	eqtr3d 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴)) = (1 − ((sin‘𝐴)↑2)))
30	29	oveq2d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴))) = ((sin‘𝐴) · (1 − ((sin‘𝐴)↑2))))
31	22, 23, 30	3eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) = ((sin‘𝐴) · (1 − ((sin‘𝐴)↑2))))
32	31	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴)))) = (2 · ((sin‘𝐴) · (1 − ((sin‘𝐴)↑2)))))
33	15, 4, 25	subdid 11606	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · (1 − ((sin‘𝐴)↑2))) = (((sin‘𝐴) · 1) − ((sin‘𝐴) · ((sin‘𝐴)↑2))))
34	15	mulridd 11162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · 1) = (sin‘𝐴))
35	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 3 = (2 + 1))
36	35	oveq2d 7383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑3) = ((sin‘𝐴)↑(2 + 1)))
37		2nn0 12454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℕ₀)
39	15, 38	expp1d 14109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑(2 + 1)) = (((sin‘𝐴)↑2) · (sin‘𝐴)))
40	25, 15	mulcomd 11166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) · (sin‘𝐴)) = ((sin‘𝐴) · ((sin‘𝐴)↑2)))
41	36, 39, 40	3eqtrrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · ((sin‘𝐴)↑2)) = ((sin‘𝐴)↑3))
42	34, 41	oveq12d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴) · 1) − ((sin‘𝐴) · ((sin‘𝐴)↑2))) = ((sin‘𝐴) − ((sin‘𝐴)↑3)))
43	33, 42	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · (1 − ((sin‘𝐴)↑2))) = ((sin‘𝐴) − ((sin‘𝐴)↑3)))
44	43	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((sin‘𝐴) · (1 − ((sin‘𝐴)↑2)))) = (2 · ((sin‘𝐴) − ((sin‘𝐴)↑3))))
45		3nn0 12455	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
46	45	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 3 ∈ ℕ₀)
47	15, 46	expcld 14108	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑3) ∈ ℂ)
48	3, 15, 47	subdid 11606	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((sin‘𝐴) − ((sin‘𝐴)↑3))) = ((2 · (sin‘𝐴)) − (2 · ((sin‘𝐴)↑3))))
49	32, 44, 48	3eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴)))) = ((2 · (sin‘𝐴)) − (2 · ((sin‘𝐴)↑3))))
50	14, 19, 49	3eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) = ((2 · (sin‘𝐴)) − (2 · ((sin‘𝐴)↑3))))
51		cos2tsin 16146	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))
52	20	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(1 · 𝐴)) = (sin‘𝐴))
53	51, 52	oveq12d 7385	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴))) = ((1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) · (sin‘𝐴)))
54	3, 25	mulcld 11165	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((sin‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
55	4, 54, 15	subdird 11607	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) · (sin‘𝐴)) = ((1 · (sin‘𝐴)) − ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴))))
56	53, 55	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴))) = ((1 · (sin‘𝐴)) − ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴))))
57	50, 56	oveq12d 7385	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) + ((cos‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴)))) = (((2 · (sin‘𝐴)) − (2 · ((sin‘𝐴)↑3))) + ((1 · (sin‘𝐴)) − ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴)))))
58	3, 15	mulcld 11165	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
59	4, 15	mulcld 11165	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
60	3, 47	mulcld 11165	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((sin‘𝐴)↑3)) ∈ ℂ)
61	54, 15	mulcld 11165	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
62	58, 59, 60, 61	addsub4d 11552	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((2 · (sin‘𝐴)) + (1 · (sin‘𝐴))) − ((2 · ((sin‘𝐴)↑3)) + ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴)))) = (((2 · (sin‘𝐴)) − (2 · ((sin‘𝐴)↑3))) + ((1 · (sin‘𝐴)) − ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴)))))
63	3, 4, 15	adddird 11170	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 + 1) · (sin‘𝐴)) = ((2 · (sin‘𝐴)) + (1 · (sin‘𝐴))))
64		2p1e3 12318	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
65	64	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 + 1) = 3)
66	65	oveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 + 1) · (sin‘𝐴)) = (3 · (sin‘𝐴)))
67	63, 66	eqtr3d 2773	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (sin‘𝐴)) + (1 · (sin‘𝐴))) = (3 · (sin‘𝐴)))
68	3, 3, 47	adddird 11170	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 + 2) · ((sin‘𝐴)↑3)) = ((2 · ((sin‘𝐴)↑3)) + (2 · ((sin‘𝐴)↑3))))
69		2p2e4 12311	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 2) = 4
70	69	eqcomi 2745	. . . . . . 7 ⊢ 4 = (2 + 2)
71	70	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 4 = (2 + 2))
72	71	oveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (4 · ((sin‘𝐴)↑3)) = ((2 + 2) · ((sin‘𝐴)↑3)))
73	3, 25, 15	mulassd 11168	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴)) = (2 · (((sin‘𝐴)↑2) · (sin‘𝐴))))
74	40	oveq2d 7383	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (((sin‘𝐴)↑2) · (sin‘𝐴))) = (2 · ((sin‘𝐴) · ((sin‘𝐴)↑2))))
75	41	oveq2d 7383	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((sin‘𝐴) · ((sin‘𝐴)↑2))) = (2 · ((sin‘𝐴)↑3)))
76	73, 74, 75	3eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴)) = (2 · ((sin‘𝐴)↑3)))
77	76	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴)↑3)) + ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴))) = ((2 · ((sin‘𝐴)↑3)) + (2 · ((sin‘𝐴)↑3))))
78	68, 72, 77	3eqtr4rd 2782	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴)↑3)) + ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴))) = (4 · ((sin‘𝐴)↑3)))
79	67, 78	oveq12d 7385	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((2 · (sin‘𝐴)) + (1 · (sin‘𝐴))) − ((2 · ((sin‘𝐴)↑3)) + ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴)))) = ((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))))
80	57, 62, 79	3eqtr2d 2777	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) + ((cos‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴)))) = ((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))))
81	8, 12, 80	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(3 · 𝐴)) = ((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ‘cfv 6498 (class class class)co 7367 ℂcc 11036 1c1 11039 + caddc 11041 · cmul 11043 − cmin 11377 2c2 12236 3c3 12237 4c4 12238 ℕ₀cn0 12437 ↑cexp 14023 sincsin 16028 cosccos 16029

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2708 ax-rep 5212 ax-sep 5231 ax-nul 5241 ax-pow 5307 ax-pr 5375 ax-un 7689 ax-inf2 9562 ax-cnex 11094 ax-resscn 11095 ax-1cn 11096 ax-icn 11097 ax-addcl 11098 ax-addrcl 11099 ax-mulcl 11100 ax-mulrcl 11101 ax-mulcom 11102 ax-addass 11103 ax-mulass 11104 ax-distr 11105 ax-i2m1 11106 ax-1ne0 11107 ax-1rid 11108 ax-rnegex 11109 ax-rrecex 11110 ax-cnre 11111 ax-pre-lttri 11112 ax-pre-lttrn 11113 ax-pre-ltadd 11114 ax-pre-mulgt0 11115 ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2811 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3062 df-rmo 3342 df-reu 3343 df-rab 3390 df-v 3431 df-sbc 3729 df-csb 3838 df-dif 3892 df-un 3894 df-in 3896 df-ss 3906 df-pss 3909 df-nul 4274 df-if 4467 df-pw 4543 df-sn 4568 df-pr 4570 df-op 4574 df-uni 4851 df-int 4890 df-iun 4935 df-br 5086 df-opab 5148 df-mpt 5167 df-tr 5193 df-id 5526 df-eprel 5531 df-po 5539 df-so 5540 df-fr 5584 df-se 5585 df-we 5586 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6265 df-ord 6326 df-on 6327 df-lim 6328 df-suc 6329 df-iota 6454 df-fun 6500 df-fn 6501 df-f 6502 df-f1 6503 df-fo 6504 df-f1o 6505 df-fv 6506 df-isom 6507 df-riota 7324 df-ov 7370 df-oprab 7371 df-mpo 7372 df-om 7818 df-1st 7942 df-2nd 7943 df-frecs 8231 df-wrecs 8262 df-recs 8311 df-rdg 8349 df-1o 8405 df-er 8643 df-pm 8776 df-en 8894 df-dom 8895 df-sdom 8896 df-fin 8897 df-sup 9355 df-inf 9356 df-oi 9425 df-card 9863 df-pnf 11181 df-mnf 11182 df-xr 11183 df-ltxr 11184 df-le 11185 df-sub 11379 df-neg 11380 df-div 11808 df-nn 12175 df-2 12244 df-3 12245 df-4 12246 df-n0 12438 df-z 12525 df-uz 12789 df-rp 12943 df-ico 13304 df-fz 13462 df-fzo 13609 df-fl 13751 df-seq 13964 df-exp 14024 df-fac 14236 df-bc 14265 df-hash 14293 df-shft 15029 df-cj 15061 df-re 15062 df-im 15063 df-sqrt 15197 df-abs 15198 df-limsup 15433 df-clim 15450 df-rlim 15451 df-sum 15649 df-ef 16032 df-sin 16034 df-cos 16035

This theorem is referenced by: sin5t 47326

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