sin3t - Mathbox for Ender Ting

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Theorem sin3t 47861

Description: Triple-angle formula for sine, in pure sine form. (Contributed by Ender Ting, 16-Mar-2026.)

**Assertion**
Ref	Expression
sin3t	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(3 · 𝐴)) = ((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))))

**Proof of Theorem sin3t**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12387	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
2	1	oveq1i 7422	. . . 4 ⊢ (3 · 𝐴) = ((2 + 1) · 𝐴)
3		2cnd 12402	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
4		1cnd 11283	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
5		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	adddird 11315	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 + 1) · 𝐴) = ((2 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
7	2, 6	eqtrid 2808	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (3 · 𝐴) = ((2 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
8	7	fveq2d 6881	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(3 · 𝐴)) = (sin‘((2 · 𝐴) + (1 · 𝐴))))
9	3, 5	mulcld 11310	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
10	4, 5	mulcld 11310	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) ∈ ℂ)
11		sinadd 16312	. . 3 ⊢ (((2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 · 𝐴) ∈ ℂ) → (sin‘((2 · 𝐴) + (1 · 𝐴))) = (((sin‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) + ((cos‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴)))))
12	9, 10, 11	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((2 · 𝐴) + (1 · 𝐴))) = (((sin‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) + ((cos‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴)))))
13		sin2t 16325	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 𝐴)) = (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))
14	13	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) = ((2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))) · (cos‘(1 · 𝐴))))
15		sincl 16274	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
16		coscl 16275	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
17	15, 16	mulcld 11310	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
18	10	coscld 16279	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(1 · 𝐴)) ∈ ℂ)
19	3, 17, 18	mulassd 11313	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))) · (cos‘(1 · 𝐴))) = (2 · (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴)))))
20		mullid 11288	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
21	20	fveq2d 6881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(1 · 𝐴)) = (cos‘𝐴))
22	21	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (cos‘𝐴)))
23	15, 16, 16	mulassd 11313	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (cos‘𝐴)) = ((sin‘𝐴) · ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴))))
24	16	sqvald 14266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) = ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴)))
25	15	sqcld 14267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
26	16	sqcld 14267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
27		sincossq 16324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
28	25, 26, 27	mvlladdd 11706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) = (1 − ((sin‘𝐴)↑2)))
29	24, 28	eqtr3d 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴)) = (1 − ((sin‘𝐴)↑2)))
30	29	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴))) = ((sin‘𝐴) · (1 − ((sin‘𝐴)↑2))))
31	22, 23, 30	3eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) = ((sin‘𝐴) · (1 − ((sin‘𝐴)↑2))))
32	31	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴)))) = (2 · ((sin‘𝐴) · (1 − ((sin‘𝐴)↑2)))))
33	15, 4, 25	subdid 11753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · (1 − ((sin‘𝐴)↑2))) = (((sin‘𝐴) · 1) − ((sin‘𝐴) · ((sin‘𝐴)↑2))))
34	15	mulridd 11307	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · 1) = (sin‘𝐴))
35	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 3 = (2 + 1))
36	35	oveq2d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑3) = ((sin‘𝐴)↑(2 + 1)))
37		2nn0 12604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℕ₀)
39	15, 38	expp1d 14270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑(2 + 1)) = (((sin‘𝐴)↑2) · (sin‘𝐴)))
40	25, 15	mulcomd 11311	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) · (sin‘𝐴)) = ((sin‘𝐴) · ((sin‘𝐴)↑2)))
41	36, 39, 40	3eqtrrd 2801	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · ((sin‘𝐴)↑2)) = ((sin‘𝐴)↑3))
42	34, 41	oveq12d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴) · 1) − ((sin‘𝐴) · ((sin‘𝐴)↑2))) = ((sin‘𝐴) − ((sin‘𝐴)↑3)))
43	33, 42	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · (1 − ((sin‘𝐴)↑2))) = ((sin‘𝐴) − ((sin‘𝐴)↑3)))
44	43	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((sin‘𝐴) · (1 − ((sin‘𝐴)↑2)))) = (2 · ((sin‘𝐴) − ((sin‘𝐴)↑3))))
45		3nn0 12605	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
46	45	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 3 ∈ ℕ₀)
47	15, 46	expcld 14269	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑3) ∈ ℂ)
48	3, 15, 47	subdid 11753	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((sin‘𝐴) − ((sin‘𝐴)↑3))) = ((2 · (sin‘𝐴)) − (2 · ((sin‘𝐴)↑3))))
49	32, 44, 48	3eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴)))) = ((2 · (sin‘𝐴)) − (2 · ((sin‘𝐴)↑3))))
50	14, 19, 49	3eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) = ((2 · (sin‘𝐴)) − (2 · ((sin‘𝐴)↑3))))
51		cos2tsin 16327	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))
52	20	fveq2d 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(1 · 𝐴)) = (sin‘𝐴))
53	51, 52	oveq12d 7430	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴))) = ((1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) · (sin‘𝐴)))
54	3, 25	mulcld 11310	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((sin‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
55	4, 54, 15	subdird 11754	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) · (sin‘𝐴)) = ((1 · (sin‘𝐴)) − ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴))))
56	53, 55	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴))) = ((1 · (sin‘𝐴)) − ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴))))
57	50, 56	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) + ((cos‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴)))) = (((2 · (sin‘𝐴)) − (2 · ((sin‘𝐴)↑3))) + ((1 · (sin‘𝐴)) − ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴)))))
58	3, 15	mulcld 11310	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
59	4, 15	mulcld 11310	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
60	3, 47	mulcld 11310	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((sin‘𝐴)↑3)) ∈ ℂ)
61	54, 15	mulcld 11310	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
62	58, 59, 60, 61	addsub4d 11697	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((2 · (sin‘𝐴)) + (1 · (sin‘𝐴))) − ((2 · ((sin‘𝐴)↑3)) + ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴)))) = (((2 · (sin‘𝐴)) − (2 · ((sin‘𝐴)↑3))) + ((1 · (sin‘𝐴)) − ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴)))))
63	3, 4, 15	adddird 11315	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 + 1) · (sin‘𝐴)) = ((2 · (sin‘𝐴)) + (1 · (sin‘𝐴))))
64		2p1e3 12465	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
65	64	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 + 1) = 3)
66	65	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 + 1) · (sin‘𝐴)) = (3 · (sin‘𝐴)))
67	63, 66	eqtr3d 2798	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (sin‘𝐴)) + (1 · (sin‘𝐴))) = (3 · (sin‘𝐴)))
68	3, 3, 47	adddird 11315	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 + 2) · ((sin‘𝐴)↑3)) = ((2 · ((sin‘𝐴)↑3)) + (2 · ((sin‘𝐴)↑3))))
69		2p2e4 12458	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 2) = 4
70	69	eqcomi 2770	. . . . . . 7 ⊢ 4 = (2 + 2)
71	70	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 4 = (2 + 2))
72	71	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (4 · ((sin‘𝐴)↑3)) = ((2 + 2) · ((sin‘𝐴)↑3)))
73	3, 25, 15	mulassd 11313	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴)) = (2 · (((sin‘𝐴)↑2) · (sin‘𝐴))))
74	40	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (((sin‘𝐴)↑2) · (sin‘𝐴))) = (2 · ((sin‘𝐴) · ((sin‘𝐴)↑2))))
75	41	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((sin‘𝐴) · ((sin‘𝐴)↑2))) = (2 · ((sin‘𝐴)↑3)))
76	73, 74, 75	3eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴)) = (2 · ((sin‘𝐴)↑3)))
77	76	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴)↑3)) + ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴))) = ((2 · ((sin‘𝐴)↑3)) + (2 · ((sin‘𝐴)↑3))))
78	68, 72, 77	3eqtr4rd 2807	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴)↑3)) + ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴))) = (4 · ((sin‘𝐴)↑3)))
79	67, 78	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((2 · (sin‘𝐴)) + (1 · (sin‘𝐴))) − ((2 · ((sin‘𝐴)↑3)) + ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴)))) = ((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))))
80	57, 62, 79	3eqtr2d 2802	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) + ((cos‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴)))) = ((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))))
81	8, 12, 80	3eqtrd 2800	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(3 · 𝐴)) = ((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ‘cfv 6531 (class class class)co 7412 ℂcc 11179 1c1 11182 + caddc 11184 · cmul 11186 − cmin 11522 2c2 12378 3c3 12379 4c4 12380 ℕ₀cn0 12587 ↑cexp 14184 sincsin 16209 cosccos 16210

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2733 ax-rep 5232 ax-sep 5249 ax-nul 5260 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7740 ax-inf2 9626 ax-cnex 11237 ax-resscn 11238 ax-1cn 11239 ax-icn 11240 ax-addcl 11241 ax-addrcl 11242 ax-mulcl 11243 ax-mulrcl 11244 ax-mulcom 11245 ax-addass 11246 ax-mulass 11247 ax-distr 11248 ax-i2m1 11249 ax-1ne0 11250 ax-1rid 11251 ax-rnegex 11252 ax-rrecex 11253 ax-cnre 11254 ax-pre-lttri 11255 ax-pre-lttrn 11256 ax-pre-ltadd 11257 ax-pre-mulgt0 11258 ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3063 df-ral 3078 df-rex 3088 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3453 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4868 df-int 4908 df-iun 4953 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-se 5605 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6297 df-ord 6358 df-on 6359 df-lim 6360 df-suc 6361 df-iota 6487 df-fun 6533 df-fn 6534 df-f 6535 df-f1 6536 df-fo 6537 df-f1o 6538 df-fv 6539 df-isom 6540 df-riota 7369 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-om 7867 df-1st 7990 df-2nd 7991 df-frecs 8283 df-wrecs 8314 df-recs 8363 df-rdg 8402 df-1o 8460 df-er 8701 df-pm 8834 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-fin 8961 df-sup 9418 df-inf 9419 df-oi 9488 df-card 10001 df-pnf 11326 df-mnf 11327 df-xr 11328 df-ltxr 11329 df-le 11330 df-sub 11524 df-neg 11525 df-div 11955 df-nn 12317 df-2 12386 df-3 12387 df-4 12388 df-n0 12588 df-z 12675 df-uz 12947 df-rp 13102 df-ico 13463 df-fz 13621 df-fzo 13769 df-fl 13912 df-seq 14125 df-exp 14185 df-fac 14398 df-bc 14427 df-hash 14455 df-shft 15200 df-cj 15246 df-re 15247 df-im 15248 df-sqrt 15382 df-abs 15383 df-limsup 15618 df-clim 15635 df-rlim 15636 df-sum 15834 df-ef 16213 df-sin 16215 df-cos 16216

This theorem is used by: sin5t 47868

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