sin3t - Mathbox for Ender Ting

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Theorem sin3t 47335

Description: Triple-angle formula for sine, in pure sine form. (Contributed by Ender Ting, 16-Mar-2026.)

**Assertion**
Ref	Expression
sin3t	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(3 · 𝐴)) = ((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))))

**Proof of Theorem sin3t**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12236	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
2	1	oveq1i 7370	. . . 4 ⊢ (3 · 𝐴) = ((2 + 1) · 𝐴)
3		2cnd 12250	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
4		1cnd 11130	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
5		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	adddird 11161	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 + 1) · 𝐴) = ((2 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
7	2, 6	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (3 · 𝐴) = ((2 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
8	7	fveq2d 6838	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(3 · 𝐴)) = (sin‘((2 · 𝐴) + (1 · 𝐴))))
9	3, 5	mulcld 11156	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
10	4, 5	mulcld 11156	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) ∈ ℂ)
11		sinadd 16122	. . 3 ⊢ (((2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 · 𝐴) ∈ ℂ) → (sin‘((2 · 𝐴) + (1 · 𝐴))) = (((sin‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) + ((cos‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴)))))
12	9, 10, 11	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((2 · 𝐴) + (1 · 𝐴))) = (((sin‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) + ((cos‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴)))))
13		sin2t 16135	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 𝐴)) = (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))
14	13	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) = ((2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))) · (cos‘(1 · 𝐴))))
15		sincl 16084	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
16		coscl 16085	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
17	15, 16	mulcld 11156	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
18	10	coscld 16089	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(1 · 𝐴)) ∈ ℂ)
19	3, 17, 18	mulassd 11159	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))) · (cos‘(1 · 𝐴))) = (2 · (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴)))))
20		mullid 11134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
21	20	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(1 · 𝐴)) = (cos‘𝐴))
22	21	oveq2d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (cos‘𝐴)))
23	15, 16, 16	mulassd 11159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (cos‘𝐴)) = ((sin‘𝐴) · ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴))))
24	16	sqvald 14096	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) = ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴)))
25	15	sqcld 14097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
26	16	sqcld 14097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
27		sincossq 16134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
28	25, 26, 27	mvlladdd 11552	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) = (1 − ((sin‘𝐴)↑2)))
29	24, 28	eqtr3d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴)) = (1 − ((sin‘𝐴)↑2)))
30	29	oveq2d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴))) = ((sin‘𝐴) · (1 − ((sin‘𝐴)↑2))))
31	22, 23, 30	3eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) = ((sin‘𝐴) · (1 − ((sin‘𝐴)↑2))))
32	31	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴)))) = (2 · ((sin‘𝐴) · (1 − ((sin‘𝐴)↑2)))))
33	15, 4, 25	subdid 11597	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · (1 − ((sin‘𝐴)↑2))) = (((sin‘𝐴) · 1) − ((sin‘𝐴) · ((sin‘𝐴)↑2))))
34	15	mulridd 11153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · 1) = (sin‘𝐴))
35	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 3 = (2 + 1))
36	35	oveq2d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑3) = ((sin‘𝐴)↑(2 + 1)))
37		2nn0 12445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℕ₀)
39	15, 38	expp1d 14100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑(2 + 1)) = (((sin‘𝐴)↑2) · (sin‘𝐴)))
40	25, 15	mulcomd 11157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) · (sin‘𝐴)) = ((sin‘𝐴) · ((sin‘𝐴)↑2)))
41	36, 39, 40	3eqtrrd 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · ((sin‘𝐴)↑2)) = ((sin‘𝐴)↑3))
42	34, 41	oveq12d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴) · 1) − ((sin‘𝐴) · ((sin‘𝐴)↑2))) = ((sin‘𝐴) − ((sin‘𝐴)↑3)))
43	33, 42	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · (1 − ((sin‘𝐴)↑2))) = ((sin‘𝐴) − ((sin‘𝐴)↑3)))
44	43	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((sin‘𝐴) · (1 − ((sin‘𝐴)↑2)))) = (2 · ((sin‘𝐴) − ((sin‘𝐴)↑3))))
45		3nn0 12446	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
46	45	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 3 ∈ ℕ₀)
47	15, 46	expcld 14099	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑3) ∈ ℂ)
48	3, 15, 47	subdid 11597	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((sin‘𝐴) − ((sin‘𝐴)↑3))) = ((2 · (sin‘𝐴)) − (2 · ((sin‘𝐴)↑3))))
49	32, 44, 48	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴)))) = ((2 · (sin‘𝐴)) − (2 · ((sin‘𝐴)↑3))))
50	14, 19, 49	3eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) = ((2 · (sin‘𝐴)) − (2 · ((sin‘𝐴)↑3))))
51		cos2tsin 16137	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))
52	20	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(1 · 𝐴)) = (sin‘𝐴))
53	51, 52	oveq12d 7378	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴))) = ((1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) · (sin‘𝐴)))
54	3, 25	mulcld 11156	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((sin‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
55	4, 54, 15	subdird 11598	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) · (sin‘𝐴)) = ((1 · (sin‘𝐴)) − ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴))))
56	53, 55	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴))) = ((1 · (sin‘𝐴)) − ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴))))
57	50, 56	oveq12d 7378	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) + ((cos‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴)))) = (((2 · (sin‘𝐴)) − (2 · ((sin‘𝐴)↑3))) + ((1 · (sin‘𝐴)) − ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴)))))
58	3, 15	mulcld 11156	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
59	4, 15	mulcld 11156	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
60	3, 47	mulcld 11156	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((sin‘𝐴)↑3)) ∈ ℂ)
61	54, 15	mulcld 11156	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
62	58, 59, 60, 61	addsub4d 11543	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((2 · (sin‘𝐴)) + (1 · (sin‘𝐴))) − ((2 · ((sin‘𝐴)↑3)) + ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴)))) = (((2 · (sin‘𝐴)) − (2 · ((sin‘𝐴)↑3))) + ((1 · (sin‘𝐴)) − ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴)))))
63	3, 4, 15	adddird 11161	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 + 1) · (sin‘𝐴)) = ((2 · (sin‘𝐴)) + (1 · (sin‘𝐴))))
64		2p1e3 12309	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
65	64	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 + 1) = 3)
66	65	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 + 1) · (sin‘𝐴)) = (3 · (sin‘𝐴)))
67	63, 66	eqtr3d 2774	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (sin‘𝐴)) + (1 · (sin‘𝐴))) = (3 · (sin‘𝐴)))
68	3, 3, 47	adddird 11161	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 + 2) · ((sin‘𝐴)↑3)) = ((2 · ((sin‘𝐴)↑3)) + (2 · ((sin‘𝐴)↑3))))
69		2p2e4 12302	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 2) = 4
70	69	eqcomi 2746	. . . . . . 7 ⊢ 4 = (2 + 2)
71	70	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 4 = (2 + 2))
72	71	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (4 · ((sin‘𝐴)↑3)) = ((2 + 2) · ((sin‘𝐴)↑3)))
73	3, 25, 15	mulassd 11159	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴)) = (2 · (((sin‘𝐴)↑2) · (sin‘𝐴))))
74	40	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (((sin‘𝐴)↑2) · (sin‘𝐴))) = (2 · ((sin‘𝐴) · ((sin‘𝐴)↑2))))
75	41	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((sin‘𝐴) · ((sin‘𝐴)↑2))) = (2 · ((sin‘𝐴)↑3)))
76	73, 74, 75	3eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴)) = (2 · ((sin‘𝐴)↑3)))
77	76	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴)↑3)) + ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴))) = ((2 · ((sin‘𝐴)↑3)) + (2 · ((sin‘𝐴)↑3))))
78	68, 72, 77	3eqtr4rd 2783	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴)↑3)) + ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴))) = (4 · ((sin‘𝐴)↑3)))
79	67, 78	oveq12d 7378	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((2 · (sin‘𝐴)) + (1 · (sin‘𝐴))) − ((2 · ((sin‘𝐴)↑3)) + ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴)))) = ((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))))
80	57, 62, 79	3eqtr2d 2778	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) + ((cos‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴)))) = ((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))))
81	8, 12, 80	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(3 · 𝐴)) = ((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ‘cfv 6492 (class class class)co 7360 ℂcc 11027 1c1 11030 + caddc 11032 · cmul 11034 − cmin 11368 2c2 12227 3c3 12228 4c4 12229 ℕ₀cn0 12428 ↑cexp 14014 sincsin 16019 cosccos 16020

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-rep 5212 ax-sep 5231 ax-nul 5241 ax-pow 5302 ax-pr 5370 ax-un 7682 ax-inf2 9553 ax-cnex 11085 ax-resscn 11086 ax-1cn 11087 ax-icn 11088 ax-addcl 11089 ax-addrcl 11090 ax-mulcl 11091 ax-mulrcl 11092 ax-mulcom 11093 ax-addass 11094 ax-mulass 11095 ax-distr 11096 ax-i2m1 11097 ax-1ne0 11098 ax-1rid 11099 ax-rnegex 11100 ax-rrecex 11101 ax-cnre 11102 ax-pre-lttri 11103 ax-pre-lttrn 11104 ax-pre-ltadd 11105 ax-pre-mulgt0 11106 ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-rmo 3343 df-reu 3344 df-rab 3391 df-v 3432 df-sbc 3730 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4275 df-if 4468 df-pw 4544 df-sn 4569 df-pr 4571 df-op 4575 df-uni 4852 df-int 4891 df-iun 4936 df-br 5087 df-opab 5149 df-mpt 5168 df-tr 5194 df-id 5519 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5577 df-se 5578 df-we 5579 df-xp 5630 df-rel 5631 df-cnv 5632 df-co 5633 df-dm 5634 df-rn 5635 df-res 5636 df-ima 5637 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-isom 6501 df-riota 7317 df-ov 7363 df-oprab 7364 df-mpo 7365 df-om 7811 df-1st 7935 df-2nd 7936 df-frecs 8224 df-wrecs 8255 df-recs 8304 df-rdg 8342 df-1o 8398 df-er 8636 df-pm 8769 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-fin 8890 df-sup 9348 df-inf 9349 df-oi 9418 df-card 9854 df-pnf 11172 df-mnf 11173 df-xr 11174 df-ltxr 11175 df-le 11176 df-sub 11370 df-neg 11371 df-div 11799 df-nn 12166 df-2 12235 df-3 12236 df-4 12237 df-n0 12429 df-z 12516 df-uz 12780 df-rp 12934 df-ico 13295 df-fz 13453 df-fzo 13600 df-fl 13742 df-seq 13955 df-exp 14015 df-fac 14227 df-bc 14256 df-hash 14284 df-shft 15020 df-cj 15052 df-re 15053 df-im 15054 df-sqrt 15188 df-abs 15189 df-limsup 15424 df-clim 15441 df-rlim 15442 df-sum 15640 df-ef 16023 df-sin 16025 df-cos 16026

This theorem is referenced by: sin5t 47342

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