sin3t - Mathbox for Ender Ting

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Theorem sin3t 47341

Description: Triple-angle formula for sine, in pure sine form. (Contributed by Ender Ting, 16-Mar-2026.)

**Assertion**
Ref	Expression
sin3t	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(3 · 𝐴)) = ((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))))

**Proof of Theorem sin3t**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12243	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
2	1	oveq1i 7373	. . . 4 ⊢ (3 · 𝐴) = ((2 + 1) · 𝐴)
3		2cnd 12257	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
4		1cnd 11137	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
5		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	adddird 11168	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 + 1) · 𝐴) = ((2 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
7	2, 6	eqtrid 2787	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (3 · 𝐴) = ((2 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
8	7	fveq2d 6838	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(3 · 𝐴)) = (sin‘((2 · 𝐴) + (1 · 𝐴))))
9	3, 5	mulcld 11163	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
10	4, 5	mulcld 11163	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) ∈ ℂ)
11		sinadd 16129	. . 3 ⊢ (((2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 · 𝐴) ∈ ℂ) → (sin‘((2 · 𝐴) + (1 · 𝐴))) = (((sin‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) + ((cos‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴)))))
12	9, 10, 11	syl2anc 590	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((2 · 𝐴) + (1 · 𝐴))) = (((sin‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) + ((cos‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴)))))
13		sin2t 16142	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 𝐴)) = (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))
14	13	oveq1d 7378	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) = ((2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))) · (cos‘(1 · 𝐴))))
15		sincl 16091	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
16		coscl 16092	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
17	15, 16	mulcld 11163	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
18	10	coscld 16096	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(1 · 𝐴)) ∈ ℂ)
19	3, 17, 18	mulassd 11166	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))) · (cos‘(1 · 𝐴))) = (2 · (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴)))))
20		mullid 11141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
21	20	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(1 · 𝐴)) = (cos‘𝐴))
22	21	oveq2d 7379	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (cos‘𝐴)))
23	15, 16, 16	mulassd 11166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (cos‘𝐴)) = ((sin‘𝐴) · ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴))))
24	16	sqvald 14103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) = ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴)))
25	15	sqcld 14104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
26	16	sqcld 14104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
27		sincossq 16141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
28	25, 26, 27	mvlladdd 11559	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) = (1 − ((sin‘𝐴)↑2)))
29	24, 28	eqtr3d 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴)) = (1 − ((sin‘𝐴)↑2)))
30	29	oveq2d 7379	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴))) = ((sin‘𝐴) · (1 − ((sin‘𝐴)↑2))))
31	22, 23, 30	3eqtrd 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) = ((sin‘𝐴) · (1 − ((sin‘𝐴)↑2))))
32	31	oveq2d 7379	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴)))) = (2 · ((sin‘𝐴) · (1 − ((sin‘𝐴)↑2)))))
33	15, 4, 25	subdid 11604	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · (1 − ((sin‘𝐴)↑2))) = (((sin‘𝐴) · 1) − ((sin‘𝐴) · ((sin‘𝐴)↑2))))
34	15	mulridd 11160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · 1) = (sin‘𝐴))
35	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 3 = (2 + 1))
36	35	oveq2d 7379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑3) = ((sin‘𝐴)↑(2 + 1)))
37		2nn0 12452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℕ₀)
39	15, 38	expp1d 14107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑(2 + 1)) = (((sin‘𝐴)↑2) · (sin‘𝐴)))
40	25, 15	mulcomd 11164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) · (sin‘𝐴)) = ((sin‘𝐴) · ((sin‘𝐴)↑2)))
41	36, 39, 40	3eqtrrd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · ((sin‘𝐴)↑2)) = ((sin‘𝐴)↑3))
42	34, 41	oveq12d 7381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴) · 1) − ((sin‘𝐴) · ((sin‘𝐴)↑2))) = ((sin‘𝐴) − ((sin‘𝐴)↑3)))
43	33, 42	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · (1 − ((sin‘𝐴)↑2))) = ((sin‘𝐴) − ((sin‘𝐴)↑3)))
44	43	oveq2d 7379	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((sin‘𝐴) · (1 − ((sin‘𝐴)↑2)))) = (2 · ((sin‘𝐴) − ((sin‘𝐴)↑3))))
45		3nn0 12453	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
46	45	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 3 ∈ ℕ₀)
47	15, 46	expcld 14106	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑3) ∈ ℂ)
48	3, 15, 47	subdid 11604	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((sin‘𝐴) − ((sin‘𝐴)↑3))) = ((2 · (sin‘𝐴)) − (2 · ((sin‘𝐴)↑3))))
49	32, 44, 48	3eqtrd 2779	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴)))) = ((2 · (sin‘𝐴)) − (2 · ((sin‘𝐴)↑3))))
50	14, 19, 49	3eqtrd 2779	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) = ((2 · (sin‘𝐴)) − (2 · ((sin‘𝐴)↑3))))
51		cos2tsin 16144	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))
52	20	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(1 · 𝐴)) = (sin‘𝐴))
53	51, 52	oveq12d 7381	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴))) = ((1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) · (sin‘𝐴)))
54	3, 25	mulcld 11163	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((sin‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
55	4, 54, 15	subdird 11605	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) · (sin‘𝐴)) = ((1 · (sin‘𝐴)) − ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴))))
56	53, 55	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴))) = ((1 · (sin‘𝐴)) − ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴))))
57	50, 56	oveq12d 7381	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) + ((cos‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴)))) = (((2 · (sin‘𝐴)) − (2 · ((sin‘𝐴)↑3))) + ((1 · (sin‘𝐴)) − ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴)))))
58	3, 15	mulcld 11163	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
59	4, 15	mulcld 11163	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
60	3, 47	mulcld 11163	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((sin‘𝐴)↑3)) ∈ ℂ)
61	54, 15	mulcld 11163	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
62	58, 59, 60, 61	addsub4d 11550	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((2 · (sin‘𝐴)) + (1 · (sin‘𝐴))) − ((2 · ((sin‘𝐴)↑3)) + ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴)))) = (((2 · (sin‘𝐴)) − (2 · ((sin‘𝐴)↑3))) + ((1 · (sin‘𝐴)) − ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴)))))
63	3, 4, 15	adddird 11168	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 + 1) · (sin‘𝐴)) = ((2 · (sin‘𝐴)) + (1 · (sin‘𝐴))))
64		2p1e3 12316	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
65	64	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 + 1) = 3)
66	65	oveq1d 7378	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 + 1) · (sin‘𝐴)) = (3 · (sin‘𝐴)))
67	63, 66	eqtr3d 2777	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (sin‘𝐴)) + (1 · (sin‘𝐴))) = (3 · (sin‘𝐴)))
68	3, 3, 47	adddird 11168	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 + 2) · ((sin‘𝐴)↑3)) = ((2 · ((sin‘𝐴)↑3)) + (2 · ((sin‘𝐴)↑3))))
69		2p2e4 12309	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 2) = 4
70	69	eqcomi 2749	. . . . . . 7 ⊢ 4 = (2 + 2)
71	70	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 4 = (2 + 2))
72	71	oveq1d 7378	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (4 · ((sin‘𝐴)↑3)) = ((2 + 2) · ((sin‘𝐴)↑3)))
73	3, 25, 15	mulassd 11166	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴)) = (2 · (((sin‘𝐴)↑2) · (sin‘𝐴))))
74	40	oveq2d 7379	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (((sin‘𝐴)↑2) · (sin‘𝐴))) = (2 · ((sin‘𝐴) · ((sin‘𝐴)↑2))))
75	41	oveq2d 7379	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((sin‘𝐴) · ((sin‘𝐴)↑2))) = (2 · ((sin‘𝐴)↑3)))
76	73, 74, 75	3eqtrd 2779	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴)) = (2 · ((sin‘𝐴)↑3)))
77	76	oveq2d 7379	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴)↑3)) + ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴))) = ((2 · ((sin‘𝐴)↑3)) + (2 · ((sin‘𝐴)↑3))))
78	68, 72, 77	3eqtr4rd 2786	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴)↑3)) + ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴))) = (4 · ((sin‘𝐴)↑3)))
79	67, 78	oveq12d 7381	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((2 · (sin‘𝐴)) + (1 · (sin‘𝐴))) − ((2 · ((sin‘𝐴)↑3)) + ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) · (sin‘𝐴)))) = ((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))))
80	57, 62, 79	3eqtr2d 2781	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) + ((cos‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴)))) = ((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))))
81	8, 12, 80	3eqtrd 2779	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(3 · 𝐴)) = ((3 · (sin‘𝐴)) − (4 · ((sin‘𝐴)↑3))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1547 ∈ wcel 2119 ‘cfv 6492 (class class class)co 7363 ℂcc 11034 1c1 11037 + caddc 11039 · cmul 11041 − cmin 11375 2c2 12234 3c3 12235 4c4 12236 ℕ₀cn0 12435 ↑cexp 14021 sincsin 16026 cosccos 16027

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1802 ax-4 1816 ax-5 1917 ax-6 1974 ax-7 2015 ax-8 2121 ax-9 2129 ax-10 2152 ax-11 2168 ax-12 2189 ax-ext 2712 ax-rep 5206 ax-sep 5225 ax-nul 5235 ax-pow 5301 ax-pr 5369 ax-un 7685 ax-inf2 9560 ax-cnex 11092 ax-resscn 11093 ax-1cn 11094 ax-icn 11095 ax-addcl 11096 ax-addrcl 11097 ax-mulcl 11098 ax-mulrcl 11099 ax-mulcom 11100 ax-addass 11101 ax-mulass 11102 ax-distr 11103 ax-i2m1 11104 ax-1ne0 11105 ax-1rid 11106 ax-rnegex 11107 ax-rrecex 11108 ax-cnre 11109 ax-pre-lttri 11110 ax-pre-lttrn 11111 ax-pre-ltadd 11112 ax-pre-mulgt0 11113 ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions: df-bi 208 df-an 397 df-or 854 df-3or 1093 df-3an 1094 df-tru 1550 df-fal 1560 df-ex 1787 df-nf 1791 df-sb 2074 df-mo 2543 df-eu 2573 df-clab 2719 df-cleq 2732 df-clel 2815 df-nfc 2889 df-ne 2936 df-nel 3040 df-ral 3055 df-rex 3065 df-rmo 3345 df-reu 3346 df-rab 3393 df-v 3434 df-sbc 3731 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4269 df-if 4462 df-pw 4538 df-sn 4563 df-pr 4565 df-op 4569 df-uni 4846 df-int 4885 df-iun 4930 df-br 5080 df-opab 5142 df-mpt 5161 df-tr 5187 df-id 5520 df-eprel 5525 df-po 5533 df-so 5534 df-fr 5578 df-se 5579 df-we 5580 df-xp 5631 df-rel 5632 df-cnv 5633 df-co 5634 df-dm 5635 df-rn 5636 df-res 5637 df-ima 5638 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-isom 6501 df-riota 7320 df-ov 7366 df-oprab 7367 df-mpo 7368 df-om 7814 df-1st 7938 df-2nd 7939 df-frecs 8228 df-wrecs 8259 df-recs 8308 df-rdg 8346 df-1o 8402 df-er 8640 df-pm 8773 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-fin 8894 df-sup 9352 df-inf 9353 df-oi 9422 df-card 9861 df-pnf 11179 df-mnf 11180 df-xr 11181 df-ltxr 11182 df-le 11183 df-sub 11377 df-neg 11378 df-div 11806 df-nn 12173 df-2 12242 df-3 12243 df-4 12244 df-n0 12436 df-z 12523 df-uz 12787 df-rp 12941 df-ico 13302 df-fz 13460 df-fzo 13607 df-fl 13749 df-seq 13962 df-exp 14022 df-fac 14234 df-bc 14263 df-hash 14291 df-shft 15027 df-cj 15059 df-re 15060 df-im 15061 df-sqrt 15195 df-abs 15196 df-limsup 15431 df-clim 15448 df-rlim 15449 df-sum 15647 df-ef 16030 df-sin 16032 df-cos 16033

This theorem is referenced by: sin5t 47348

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