Theorem cos5t 47657

Description: Five-times-angle formula for cosine, in pure cosine form. (Contributed by Ender Ting, 20-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
cos5t	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(5 · 𝐴)) = (((;16 · ((cos‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((cos‘𝐴)↑3))) + (5 · (cos‘𝐴))))

Proof of Theorem cos5t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		picn 26658	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℂ
2		2cn 12334	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		2ne0 12365	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
4	1, 2, 3	divcli 11975	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (π / 2) ∈ ℂ)
6		5cn 12347	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 5 ∈ ℂ)
8		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
9	7, 8	mulcld 11247	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (5 · 𝐴) ∈ ℂ)
10	5, 9	subcld 11587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π / 2) − (5 · 𝐴)) ∈ ℂ)
11		1zzd 12643	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℤ)
12		sinper 26683	. . . 4 ⊢ ((((π / 2) − (5 · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (sin‘(((π / 2) − (5 · 𝐴)) + (1 · (2 · π)))) = (sin‘((π / 2) − (5 · 𝐴))))
13	10, 11, 12	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(((π / 2) − (5 · 𝐴)) + (1 · (2 · π)))) = (sin‘((π / 2) − (5 · 𝐴))))
14	7, 5, 8	subdid 11688	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (5 · ((π / 2) − 𝐴)) = ((5 · (π / 2)) − (5 · 𝐴)))
15	4	mullidi 11232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · (π / 2)) = (π / 2)
16	15	eqcomi 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 2) = (1 · (π / 2))
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (π / 2) = (1 · (π / 2)))
18	2, 1	mulcli 11234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
19	18	mullidi 11232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · (2 · π)) = (2 · π)
20	1, 2, 3	divcan2i 11976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · (π / 2)) = π
21	20	eqcomi 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π = (2 · (π / 2))
22	21	oveq2i 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · π) = (2 · (2 · (π / 2)))
23	2, 2, 4	mulassi 11238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 2) · (π / 2)) = (2 · (2 · (π / 2)))
24		2t2e4 12422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 2) = 4
25	24	oveq1i 7433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 2) · (π / 2)) = (4 · (π / 2))
26	23, 25	eqtr3i 2791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · (2 · (π / 2))) = (4 · (π / 2))
27	19, 22, 26	3eqtri 2793	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · (2 · π)) = (4 · (π / 2))
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (2 · π)) = (4 · (π / 2)))
29	17, 28	oveq12d 7441	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π / 2) + (1 · (2 · π))) = ((1 · (π / 2)) + (4 · (π / 2))))
30		1cnd 11220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
31		4cn 12344	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 4 ∈ ℂ)
33	30, 32, 5	adddird 11252	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 4) · (π / 2)) = ((1 · (π / 2)) + (4 · (π / 2))))
34		ax-1cn 11176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
35		df-5 12324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 = (4 + 1)
36	31, 34, 35	comraddi 11443	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 = (1 + 4)
37	36	eqcomi 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 4) = 5
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 4) = 5)
39	38	oveq1d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 4) · (π / 2)) = (5 · (π / 2)))
40	29, 33, 39	3eqtr2d 2807	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π / 2) + (1 · (2 · π))) = (5 · (π / 2)))
41	40	oveq1d 7438	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((π / 2) + (1 · (2 · π))) − (5 · 𝐴)) = ((5 · (π / 2)) − (5 · 𝐴)))
42	34, 18	mulcli 11234	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (2 · π)) ∈ ℂ
43	42	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (2 · π)) ∈ ℂ)
44	5, 43, 9	addsubd 11608	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((π / 2) + (1 · (2 · π))) − (5 · 𝐴)) = (((π / 2) − (5 · 𝐴)) + (1 · (2 · π))))
45	14, 41, 44	3eqtr2rd 2808	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((π / 2) − (5 · 𝐴)) + (1 · (2 · π))) = (5 · ((π / 2) − 𝐴)))
46	45	fveq2d 6892	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(((π / 2) − (5 · 𝐴)) + (1 · (2 · π)))) = (sin‘(5 · ((π / 2) − 𝐴))))
47		sinhalfpim 26695	. . . 4 ⊢ ((5 · 𝐴) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) − (5 · 𝐴))) = (cos‘(5 · 𝐴)))
48	9, 47	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) − (5 · 𝐴))) = (cos‘(5 · 𝐴)))
49	13, 46, 48	3eqtr3rd 2810	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(5 · 𝐴)) = (sin‘(5 · ((π / 2) − 𝐴))))
50	5, 8	subcld 11587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π / 2) − 𝐴) ∈ ℂ)
51		sin5t 47656	. . 3 ⊢ (((π / 2) − 𝐴) ∈ ℂ → (sin‘(5 · ((π / 2) − 𝐴))) = (((;16 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑5)) − (;20 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑3))) + (5 · (sin‘((π / 2) − 𝐴)))))
52	50, 51	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(5 · ((π / 2) − 𝐴))) = (((;16 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑5)) − (;20 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑3))) + (5 · (sin‘((π / 2) − 𝐴)))))
53		sinhalfpim 26695	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) − 𝐴)) = (cos‘𝐴))
54	53	oveq1d 7438	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑5) = ((cos‘𝐴)↑5))
55	54	oveq2d 7439	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (;16 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑5)) = (;16 · ((cos‘𝐴)↑5)))
56	53	oveq1d 7438	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑3) = ((cos‘𝐴)↑3))
57	56	oveq2d 7439	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (;20 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑3)) = (;20 · ((cos‘𝐴)↑3)))
58	55, 57	oveq12d 7441	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((;16 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑5)) − (;20 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑3))) = ((;16 · ((cos‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((cos‘𝐴)↑3))))
59	53	oveq2d 7439	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (5 · (sin‘((π / 2) − 𝐴))) = (5 · (cos‘𝐴)))
60	58, 59	oveq12d 7441	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((;16 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑5)) − (;20 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑3))) + (5 · (sin‘((π / 2) − 𝐴)))) = (((;16 · ((cos‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((cos‘𝐴)↑3))) + (5 · (cos‘𝐴))))
61	49, 52, 60	3eqtrd 2805	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(5 · 𝐴)) = (((;16 · ((cos‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((cos‘𝐴)↑3))) + (5 · (cos‘𝐴))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123   − cmin 11459   / cdiv 11889  2c2 12313  3c3 12314  4c4 12315  5c5 12316  6c6 12317  ℤcz 12609  ;cdc 12729  ↑cexp 14117  sincsin 16142  cosccos 16143  πcpi 16145

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-ef 16146  df-sin 16148  df-cos 16149  df-pi 16151  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-rest 17500  df-topn 17501  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-topgen 17521  df-pt 17522  df-prds 17525  df-xrs 17581  df-qtop 17586  df-imas 17587  df-xps 17589  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-mulg 19165  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-fbas 21556  df-fg 21557  df-cnfld 21560  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-bases 23140  df-cld 23213  df-ntr 23214  df-cls 23215  df-nei 23292  df-lp 23330  df-perf 23331  df-cn 23421  df-cnp 23422  df-haus 23509  df-tx 23756  df-hmeo 23949  df-fil 24040  df-fm 24132  df-flim 24133  df-flf 24134  df-xms 24514  df-ms 24515  df-tms 24516  df-cncf 25074  df-limc 26062  df-dv 26063

This theorem is used by:  cos5teq  47658