Theorem cos5t 47869

Description: Five-times-angle formula for cosine, in pure cosine form. (Contributed by Ender Ting, 20-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
cos5t	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(5 · 𝐴)) = (((;16 · ((cos‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((cos‘𝐴)↑3))) + (5 · (cos‘𝐴))))

Proof of Theorem cos5t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		picn 26767	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℂ
2		2cn 12399	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		2ne0 12430	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
4	1, 2, 3	divcli 12040	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (π / 2) ∈ ℂ)
6		5cn 12412	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 5 ∈ ℂ)
8		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
9	7, 8	mulcld 11310	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (5 · 𝐴) ∈ ℂ)
10	5, 9	subcld 11650	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π / 2) − (5 · 𝐴)) ∈ ℂ)
11		1zzd 12708	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℤ)
12		sinper 26792	. . . 4 ⊢ ((((π / 2) − (5 · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (sin‘(((π / 2) − (5 · 𝐴)) + (1 · (2 · π)))) = (sin‘((π / 2) − (5 · 𝐴))))
13	10, 11, 12	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(((π / 2) − (5 · 𝐴)) + (1 · (2 · π)))) = (sin‘((π / 2) − (5 · 𝐴))))
14	7, 5, 8	subdid 11753	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (5 · ((π / 2) − 𝐴)) = ((5 · (π / 2)) − (5 · 𝐴)))
15	4	mullidi 11295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · (π / 2)) = (π / 2)
16	15	eqcomi 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 2) = (1 · (π / 2))
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (π / 2) = (1 · (π / 2)))
18		2picn 26768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
19	18	mullidi 11295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · (2 · π)) = (2 · π)
20	1, 2, 3	divcan2i 12041	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · (π / 2)) = π
21	20	eqcomi 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π = (2 · (π / 2))
22	21	oveq2i 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · π) = (2 · (2 · (π / 2)))
23	2, 2, 4	mulassi 11301	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 2) · (π / 2)) = (2 · (2 · (π / 2)))
24		2t2e4 12487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 2) = 4
25	24	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 2) · (π / 2)) = (4 · (π / 2))
26	23, 25	eqtr3i 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · (2 · (π / 2))) = (4 · (π / 2))
27	19, 22, 26	3eqtri 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · (2 · π)) = (4 · (π / 2))
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (2 · π)) = (4 · (π / 2)))
29	17, 28	oveq12d 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π / 2) + (1 · (2 · π))) = ((1 · (π / 2)) + (4 · (π / 2))))
30		1cnd 11283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
31		4cn 12409	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 4 ∈ ℂ)
33	30, 32, 5	adddird 11315	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 4) · (π / 2)) = ((1 · (π / 2)) + (4 · (π / 2))))
34		ax-1cn 11239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
35		df-5 12389	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 = (4 + 1)
36	31, 34, 35	comraddi 11506	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 = (1 + 4)
37	36	eqcomi 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 4) = 5
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 4) = 5)
39	38	oveq1d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 4) · (π / 2)) = (5 · (π / 2)))
40	29, 33, 39	3eqtr2d 2802	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π / 2) + (1 · (2 · π))) = (5 · (π / 2)))
41	40	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((π / 2) + (1 · (2 · π))) − (5 · 𝐴)) = ((5 · (π / 2)) − (5 · 𝐴)))
42	34, 18	mulcli 11297	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (2 · π)) ∈ ℂ
43	42	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (2 · π)) ∈ ℂ)
44	5, 43, 9	addsubd 11671	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((π / 2) + (1 · (2 · π))) − (5 · 𝐴)) = (((π / 2) − (5 · 𝐴)) + (1 · (2 · π))))
45	14, 41, 44	3eqtr2rd 2803	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((π / 2) − (5 · 𝐴)) + (1 · (2 · π))) = (5 · ((π / 2) − 𝐴)))
46	45	fveq2d 6881	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(((π / 2) − (5 · 𝐴)) + (1 · (2 · π)))) = (sin‘(5 · ((π / 2) − 𝐴))))
47		sinhalfpim 26804	. . . 4 ⊢ ((5 · 𝐴) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) − (5 · 𝐴))) = (cos‘(5 · 𝐴)))
48	9, 47	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) − (5 · 𝐴))) = (cos‘(5 · 𝐴)))
49	13, 46, 48	3eqtr3rd 2805	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(5 · 𝐴)) = (sin‘(5 · ((π / 2) − 𝐴))))
50	5, 8	subcld 11650	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π / 2) − 𝐴) ∈ ℂ)
51		sin5t 47868	. . 3 ⊢ (((π / 2) − 𝐴) ∈ ℂ → (sin‘(5 · ((π / 2) − 𝐴))) = (((;16 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑5)) − (;20 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑3))) + (5 · (sin‘((π / 2) − 𝐴)))))
52	50, 51	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(5 · ((π / 2) − 𝐴))) = (((;16 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑5)) − (;20 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑3))) + (5 · (sin‘((π / 2) − 𝐴)))))
53		sinhalfpim 26804	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) − 𝐴)) = (cos‘𝐴))
54	53	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑5) = ((cos‘𝐴)↑5))
55	54	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (;16 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑5)) = (;16 · ((cos‘𝐴)↑5)))
56	53	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑3) = ((cos‘𝐴)↑3))
57	56	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (;20 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑3)) = (;20 · ((cos‘𝐴)↑3)))
58	55, 57	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((;16 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑5)) − (;20 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑3))) = ((;16 · ((cos‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((cos‘𝐴)↑3))))
59	53	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (5 · (sin‘((π / 2) − 𝐴))) = (5 · (cos‘𝐴)))
60	58, 59	oveq12d 7430	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((;16 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑5)) − (;20 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑3))) + (5 · (sin‘((π / 2) − 𝐴)))) = (((;16 · ((cos‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((cos‘𝐴)↑3))) + (5 · (cos‘𝐴))))
61	49, 52, 60	3eqtrd 2800	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(5 · 𝐴)) = (((;16 · ((cos‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((cos‘𝐴)↑3))) + (5 · (cos‘𝐴))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186   − cmin 11522   / cdiv 11954  2c2 12378  3c3 12379  4c4 12380  5c5 12381  6c6 12382  ℤcz 12674  ;cdc 12795  ↑cexp 14184  sincsin 16209  cosccos 16210  πcpi 16212

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-ioo 13461  df-ioc 13462  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-seq 14125  df-exp 14185  df-fac 14398  df-bc 14427  df-hash 14455  df-shft 15200  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-limsup 15618  df-clim 15635  df-rlim 15636  df-sum 15834  df-ef 16213  df-sin 16215  df-cos 16216  df-pi 16218  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-rest 17573  df-topn 17574  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-topgen 17594  df-pt 17595  df-prds 17598  df-xrs 17654  df-qtop 17659  df-imas 17660  df-xps 17662  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-mulg 19258  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-fbas 21655  df-fg 21656  df-cnfld 21659  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-cld 23317  df-ntr 23318  df-cls 23319  df-nei 23396  df-lp 23434  df-perf 23435  df-cn 23525  df-cnp 23526  df-haus 23613  df-tx 23861  df-hmeo 24054  df-fil 24145  df-fm 24237  df-flim 24238  df-flf 24239  df-xms 24619  df-ms 24620  df-tms 24621  df-cncf 25179  df-limc 26166  df-dv 26167

This theorem is used by:  cos5teq  47870