Theorem cos5t 48018

Description: Five-times-angle formula for cosine, in pure cosine form. (Contributed by Ender Ting, 20-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
cos5t	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(5 · 𝐴)) = (((;16 · ((cos‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((cos‘𝐴)↑3))) + (5 · (cos‘𝐴))))

Proof of Theorem cos5t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		picn 26790	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℂ
2		2cn 12421	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		2ne0 12452	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
4	1, 2, 3	divcli 12062	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (π / 2) ∈ ℂ)
6		5cn 12434	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 5 ∈ ℂ)
8		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
9	7, 8	mulcld 11332	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (5 · 𝐴) ∈ ℂ)
10	5, 9	subcld 11672	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π / 2) − (5 · 𝐴)) ∈ ℂ)
11		1zzd 12730	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℤ)
12		sinper 26815	. . . 4 ⊢ ((((π / 2) − (5 · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (sin‘(((π / 2) − (5 · 𝐴)) + (1 · (2 · π)))) = (sin‘((π / 2) − (5 · 𝐴))))
13	10, 11, 12	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(((π / 2) − (5 · 𝐴)) + (1 · (2 · π)))) = (sin‘((π / 2) − (5 · 𝐴))))
14	7, 5, 8	subdid 11775	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (5 · ((π / 2) − 𝐴)) = ((5 · (π / 2)) − (5 · 𝐴)))
15	4	mullidi 11317	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · (π / 2)) = (π / 2)
16	15	eqcomi 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 2) = (1 · (π / 2))
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (π / 2) = (1 · (π / 2)))
18		2picn 26791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
19	18	mullidi 11317	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · (2 · π)) = (2 · π)
20	1, 2, 3	divcan2i 12063	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · (π / 2)) = π
21	20	eqcomi 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π = (2 · (π / 2))
22	21	oveq2i 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · π) = (2 · (2 · (π / 2)))
23	2, 2, 4	mulassi 11323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 2) · (π / 2)) = (2 · (2 · (π / 2)))
24		2t2e4 12509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 2) = 4
25	24	oveq1i 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 2) · (π / 2)) = (4 · (π / 2))
26	23, 25	eqtr3i 2785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · (2 · (π / 2))) = (4 · (π / 2))
27	19, 22, 26	3eqtri 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · (2 · π)) = (4 · (π / 2))
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (2 · π)) = (4 · (π / 2)))
29	17, 28	oveq12d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π / 2) + (1 · (2 · π))) = ((1 · (π / 2)) + (4 · (π / 2))))
30		1cnd 11305	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
31		4cn 12431	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 4 ∈ ℂ)
33	30, 32, 5	adddird 11337	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 4) · (π / 2)) = ((1 · (π / 2)) + (4 · (π / 2))))
34		ax-1cn 11261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
35		df-5 12411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 = (4 + 1)
36	31, 34, 35	comraddi 11528	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 = (1 + 4)
37	36	eqcomi 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 4) = 5
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 4) = 5)
39	38	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 4) · (π / 2)) = (5 · (π / 2)))
40	29, 33, 39	3eqtr2d 2801	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π / 2) + (1 · (2 · π))) = (5 · (π / 2)))
41	40	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((π / 2) + (1 · (2 · π))) − (5 · 𝐴)) = ((5 · (π / 2)) − (5 · 𝐴)))
42	34, 18	mulcli 11319	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (2 · π)) ∈ ℂ
43	42	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (2 · π)) ∈ ℂ)
44	5, 43, 9	addsubd 11693	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((π / 2) + (1 · (2 · π))) − (5 · 𝐴)) = (((π / 2) − (5 · 𝐴)) + (1 · (2 · π))))
45	14, 41, 44	3eqtr2rd 2802	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((π / 2) − (5 · 𝐴)) + (1 · (2 · π))) = (5 · ((π / 2) − 𝐴)))
46	45	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(((π / 2) − (5 · 𝐴)) + (1 · (2 · π)))) = (sin‘(5 · ((π / 2) − 𝐴))))
47		sinhalfpim 26827	. . . 4 ⊢ ((5 · 𝐴) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) − (5 · 𝐴))) = (cos‘(5 · 𝐴)))
48	9, 47	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) − (5 · 𝐴))) = (cos‘(5 · 𝐴)))
49	13, 46, 48	3eqtr3rd 2804	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(5 · 𝐴)) = (sin‘(5 · ((π / 2) − 𝐴))))
50	5, 8	subcld 11672	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π / 2) − 𝐴) ∈ ℂ)
51		sin5t 48017	. . 3 ⊢ (((π / 2) − 𝐴) ∈ ℂ → (sin‘(5 · ((π / 2) − 𝐴))) = (((;16 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑5)) − (;20 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑3))) + (5 · (sin‘((π / 2) − 𝐴)))))
52	50, 51	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(5 · ((π / 2) − 𝐴))) = (((;16 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑5)) − (;20 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑3))) + (5 · (sin‘((π / 2) − 𝐴)))))
53		sinhalfpim 26827	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) − 𝐴)) = (cos‘𝐴))
54	53	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑5) = ((cos‘𝐴)↑5))
55	54	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (;16 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑5)) = (;16 · ((cos‘𝐴)↑5)))
56	53	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑3) = ((cos‘𝐴)↑3))
57	56	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (;20 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑3)) = (;20 · ((cos‘𝐴)↑3)))
58	55, 57	oveq12d 7438	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((;16 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑5)) − (;20 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑3))) = ((;16 · ((cos‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((cos‘𝐴)↑3))))
59	53	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (5 · (sin‘((π / 2) − 𝐴))) = (5 · (cos‘𝐴)))
60	58, 59	oveq12d 7438	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((;16 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑5)) − (;20 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑3))) + (5 · (sin‘((π / 2) − 𝐴)))) = (((;16 · ((cos‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((cos‘𝐴)↑3))) + (5 · (cos‘𝐴))))
61	49, 52, 60	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(5 · 𝐴)) = (((;16 · ((cos‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((cos‘𝐴)↑3))) + (5 · (cos‘𝐴))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208   − cmin 11544   / cdiv 11976  2c2 12400  3c3 12401  4c4 12402  5c5 12403  6c6 12404  ℤcz 12696  ;cdc 12817  ↑cexp 14207  sincsin 16234  cosccos 16235  πcpi 16237

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281  ax-addf 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-ioo 13483  df-ioc 13484  df-ico 13485  df-icc 13486  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-seq 14148  df-exp 14208  df-fac 14421  df-bc 14450  df-hash 14478  df-shft 15225  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-limsup 15643  df-clim 15660  df-rlim 15661  df-sum 15859  df-ef 16238  df-sin 16240  df-cos 16241  df-pi 16243  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-hom 17457  df-cco 17458  df-rest 17598  df-topn 17599  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-topgen 17619  df-pt 17620  df-prds 17623  df-xrs 17679  df-qtop 17684  df-imas 17685  df-xps 17687  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-submnd 18984  df-mulg 19283  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-fbas 21680  df-fg 21681  df-cnfld 21684  df-top 23217  df-topon 23234  df-topsp 23256  df-bases 23269  df-cld 23342  df-ntr 23343  df-cls 23344  df-nei 23421  df-lp 23459  df-perf 23460  df-cn 23550  df-cnp 23551  df-haus 23638  df-tx 23886  df-hmeo 24079  df-fil 24170  df-fm 24262  df-flim 24263  df-flf 24264  df-xms 24644  df-ms 24645  df-tms 24646  df-cncf 25204  df-limc 26191  df-dv 26192

This theorem is used by:  cos5teq  48019