Theorem cos5t 47437

Description: Five-times-angle formula for cosine, in pure cosine form. (Contributed by Ender Ting, 20-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
cos5t	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(5 · 𝐴)) = (((;16 · ((cos‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((cos‘𝐴)↑3))) + (5 · (cos‘𝐴))))

Proof of Theorem cos5t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		picn 26498	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℂ
2		2cn 12290	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		2ne0 12321	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
4	1, 2, 3	divcli 11930	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (π / 2) ∈ ℂ)
6		5cn 12303	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 5 ∈ ℂ)
8		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
9	7, 8	mulcld 11199	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (5 · 𝐴) ∈ ℂ)
10	5, 9	subcld 11539	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π / 2) − (5 · 𝐴)) ∈ ℂ)
11		1zzd 12599	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℤ)
12		sinper 26523	. . . 4 ⊢ ((((π / 2) − (5 · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (sin‘(((π / 2) − (5 · 𝐴)) + (1 · (2 · π)))) = (sin‘((π / 2) − (5 · 𝐴))))
13	10, 11, 12	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(((π / 2) − (5 · 𝐴)) + (1 · (2 · π)))) = (sin‘((π / 2) − (5 · 𝐴))))
14	7, 5, 8	subdid 11640	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (5 · ((π / 2) − 𝐴)) = ((5 · (π / 2)) − (5 · 𝐴)))
15	4	mullidi 11184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · (π / 2)) = (π / 2)
16	15	eqcomi 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 2) = (1 · (π / 2))
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (π / 2) = (1 · (π / 2)))
18	2, 1	mulcli 11186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
19	18	mullidi 11184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · (2 · π)) = (2 · π)
20	1, 2, 3	divcan2i 11931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · (π / 2)) = π
21	20	eqcomi 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π = (2 · (π / 2))
22	21	oveq2i 7403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · π) = (2 · (2 · (π / 2)))
23	2, 2, 4	mulassi 11190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 2) · (π / 2)) = (2 · (2 · (π / 2)))
24		2t2e4 12378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 2) = 4
25	24	oveq1i 7402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 2) · (π / 2)) = (4 · (π / 2))
26	23, 25	eqtr3i 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · (2 · (π / 2))) = (4 · (π / 2))
27	19, 22, 26	3eqtri 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · (2 · π)) = (4 · (π / 2))
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (2 · π)) = (4 · (π / 2)))
29	17, 28	oveq12d 7410	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π / 2) + (1 · (2 · π))) = ((1 · (π / 2)) + (4 · (π / 2))))
30		1cnd 11172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
31		4cn 12300	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 4 ∈ ℂ)
33	30, 32, 5	adddird 11204	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 4) · (π / 2)) = ((1 · (π / 2)) + (4 · (π / 2))))
34		ax-1cn 11128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
35		df-5 12280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 = (4 + 1)
36	31, 34, 35	comraddi 11395	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 = (1 + 4)
37	36	eqcomi 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 4) = 5
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 4) = 5)
39	38	oveq1d 7407	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 4) · (π / 2)) = (5 · (π / 2)))
40	29, 33, 39	3eqtr2d 2802	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π / 2) + (1 · (2 · π))) = (5 · (π / 2)))
41	40	oveq1d 7407	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((π / 2) + (1 · (2 · π))) − (5 · 𝐴)) = ((5 · (π / 2)) − (5 · 𝐴)))
42	34, 18	mulcli 11186	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (2 · π)) ∈ ℂ
43	42	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (2 · π)) ∈ ℂ)
44	5, 43, 9	addsubd 11560	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((π / 2) + (1 · (2 · π))) − (5 · 𝐴)) = (((π / 2) − (5 · 𝐴)) + (1 · (2 · π))))
45	14, 41, 44	3eqtr2rd 2803	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((π / 2) − (5 · 𝐴)) + (1 · (2 · π))) = (5 · ((π / 2) − 𝐴)))
46	45	fveq2d 6867	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(((π / 2) − (5 · 𝐴)) + (1 · (2 · π)))) = (sin‘(5 · ((π / 2) − 𝐴))))
47		sinhalfpim 26535	. . . 4 ⊢ ((5 · 𝐴) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) − (5 · 𝐴))) = (cos‘(5 · 𝐴)))
48	9, 47	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) − (5 · 𝐴))) = (cos‘(5 · 𝐴)))
49	13, 46, 48	3eqtr3rd 2805	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(5 · 𝐴)) = (sin‘(5 · ((π / 2) − 𝐴))))
50	5, 8	subcld 11539	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π / 2) − 𝐴) ∈ ℂ)
51		sin5t 47436	. . 3 ⊢ (((π / 2) − 𝐴) ∈ ℂ → (sin‘(5 · ((π / 2) − 𝐴))) = (((;16 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑5)) − (;20 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑3))) + (5 · (sin‘((π / 2) − 𝐴)))))
52	50, 51	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(5 · ((π / 2) − 𝐴))) = (((;16 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑5)) − (;20 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑3))) + (5 · (sin‘((π / 2) − 𝐴)))))
53		sinhalfpim 26535	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) − 𝐴)) = (cos‘𝐴))
54	53	oveq1d 7407	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑5) = ((cos‘𝐴)↑5))
55	54	oveq2d 7408	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (;16 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑5)) = (;16 · ((cos‘𝐴)↑5)))
56	53	oveq1d 7407	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑3) = ((cos‘𝐴)↑3))
57	56	oveq2d 7408	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (;20 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑3)) = (;20 · ((cos‘𝐴)↑3)))
58	55, 57	oveq12d 7410	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((;16 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑5)) − (;20 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑3))) = ((;16 · ((cos‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((cos‘𝐴)↑3))))
59	53	oveq2d 7408	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (5 · (sin‘((π / 2) − 𝐴))) = (5 · (cos‘𝐴)))
60	58, 59	oveq12d 7410	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((;16 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑5)) − (;20 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑3))) + (5 · (sin‘((π / 2) − 𝐴)))) = (((;16 · ((cos‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((cos‘𝐴)↑3))) + (5 · (cos‘𝐴))))
61	49, 52, 60	3eqtrd 2800	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(5 · 𝐴)) = (((;16 · ((cos‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((cos‘𝐴)↑3))) + (5 · (cos‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073   · cmul 11075   − cmin 11411   / cdiv 11841  2c2 12269  3c3 12270  4c4 12271  5c5 12272  6c6 12273  ℤcz 12565  ;cdc 12685  ↑cexp 14071  sincsin 16076  cosccos 16077  πcpi 16079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148  ax-addf 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-xadd 13112  df-xmul 13113  df-ioo 13350  df-ioc 13351  df-ico 13352  df-icc 13353  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-seq 14012  df-exp 14072  df-fac 14284  df-bc 14313  df-hash 14341  df-shft 15077  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-limsup 15481  df-clim 15498  df-rlim 15499  df-sum 15697  df-ef 16080  df-sin 16082  df-cos 16083  df-pi 16085  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17515  df-qtop 17520  df-imas 17521  df-xps 17523  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-submnd 18801  df-mulg 19093  df-cntz 19340  df-cmn 19805  df-psmet 21396  df-xmet 21397  df-met 21398  df-bl 21399  df-mopn 21400  df-fbas 21401  df-fg 21402  df-cnfld 21405  df-top 22934  df-topon 22951  df-topsp 22973  df-bases 22986  df-cld 23059  df-ntr 23060  df-cls 23061  df-nei 23138  df-lp 23176  df-perf 23177  df-cn 23267  df-cnp 23268  df-haus 23355  df-tx 23602  df-hmeo 23795  df-fil 23886  df-fm 23978  df-flim 23979  df-flf 23980  df-xms 24360  df-ms 24361  df-tms 24362  df-cncf 24920  df-limc 25908  df-dv 25909

This theorem is referenced by:  cos5teq  47438