Theorem cos5t 47327

Description: Five-times-angle formula for cosine, in pure cosine form. (Contributed by Ender Ting, 20-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
cos5t	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(5 · 𝐴)) = (((;16 · ((cos‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((cos‘𝐴)↑3))) + (5 · (cos‘𝐴))))

Proof of Theorem cos5t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		picn 26422	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℂ
2		2cn 12256	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		2ne0 12285	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
4	1, 2, 3	divcli 11897	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (π / 2) ∈ ℂ)
6		5cn 12269	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 5 ∈ ℂ)
8		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
9	7, 8	mulcld 11165	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (5 · 𝐴) ∈ ℂ)
10	5, 9	subcld 11505	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π / 2) − (5 · 𝐴)) ∈ ℂ)
11		1zzd 12558	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℤ)
12		sinper 26445	. . . 4 ⊢ ((((π / 2) − (5 · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (sin‘(((π / 2) − (5 · 𝐴)) + (1 · (2 · π)))) = (sin‘((π / 2) − (5 · 𝐴))))
13	10, 11, 12	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(((π / 2) − (5 · 𝐴)) + (1 · (2 · π)))) = (sin‘((π / 2) − (5 · 𝐴))))
14	7, 5, 8	subdid 11606	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (5 · ((π / 2) − 𝐴)) = ((5 · (π / 2)) − (5 · 𝐴)))
15	4	mullidi 11150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · (π / 2)) = (π / 2)
16	15	eqcomi 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 2) = (1 · (π / 2))
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (π / 2) = (1 · (π / 2)))
18	2, 1	mulcli 11152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
19	18	mullidi 11150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · (2 · π)) = (2 · π)
20	1, 2, 3	divcan2i 11898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · (π / 2)) = π
21	20	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π = (2 · (π / 2))
22	21	oveq2i 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · π) = (2 · (2 · (π / 2)))
23	2, 2, 4	mulassi 11156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 2) · (π / 2)) = (2 · (2 · (π / 2)))
24		2t2e4 12340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 2) = 4
25	24	oveq1i 7377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 2) · (π / 2)) = (4 · (π / 2))
26	23, 25	eqtr3i 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · (2 · (π / 2))) = (4 · (π / 2))
27	19, 22, 26	3eqtri 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · (2 · π)) = (4 · (π / 2))
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (2 · π)) = (4 · (π / 2)))
29	17, 28	oveq12d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π / 2) + (1 · (2 · π))) = ((1 · (π / 2)) + (4 · (π / 2))))
30		1cnd 11139	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
31		4cn 12266	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 4 ∈ ℂ)
33	30, 32, 5	adddird 11170	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 4) · (π / 2)) = ((1 · (π / 2)) + (4 · (π / 2))))
34		ax-1cn 11096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
35		df-5 12247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 = (4 + 1)
36	31, 34, 35	comraddi 11361	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 = (1 + 4)
37	36	eqcomi 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 4) = 5
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 4) = 5)
39	38	oveq1d 7382	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 4) · (π / 2)) = (5 · (π / 2)))
40	29, 33, 39	3eqtr2d 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π / 2) + (1 · (2 · π))) = (5 · (π / 2)))
41	40	oveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((π / 2) + (1 · (2 · π))) − (5 · 𝐴)) = ((5 · (π / 2)) − (5 · 𝐴)))
42	34, 18	mulcli 11152	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (2 · π)) ∈ ℂ
43	42	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (2 · π)) ∈ ℂ)
44	5, 43, 9	addsubd 11526	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((π / 2) + (1 · (2 · π))) − (5 · 𝐴)) = (((π / 2) − (5 · 𝐴)) + (1 · (2 · π))))
45	14, 41, 44	3eqtr2rd 2778	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((π / 2) − (5 · 𝐴)) + (1 · (2 · π))) = (5 · ((π / 2) − 𝐴)))
46	45	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(((π / 2) − (5 · 𝐴)) + (1 · (2 · π)))) = (sin‘(5 · ((π / 2) − 𝐴))))
47		sinhalfpim 26457	. . . 4 ⊢ ((5 · 𝐴) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) − (5 · 𝐴))) = (cos‘(5 · 𝐴)))
48	9, 47	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) − (5 · 𝐴))) = (cos‘(5 · 𝐴)))
49	13, 46, 48	3eqtr3rd 2780	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(5 · 𝐴)) = (sin‘(5 · ((π / 2) − 𝐴))))
50	5, 8	subcld 11505	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π / 2) − 𝐴) ∈ ℂ)
51		sin5t 47326	. . 3 ⊢ (((π / 2) − 𝐴) ∈ ℂ → (sin‘(5 · ((π / 2) − 𝐴))) = (((;16 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑5)) − (;20 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑3))) + (5 · (sin‘((π / 2) − 𝐴)))))
52	50, 51	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(5 · ((π / 2) − 𝐴))) = (((;16 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑5)) − (;20 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑3))) + (5 · (sin‘((π / 2) − 𝐴)))))
53		sinhalfpim 26457	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) − 𝐴)) = (cos‘𝐴))
54	53	oveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑5) = ((cos‘𝐴)↑5))
55	54	oveq2d 7383	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (;16 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑5)) = (;16 · ((cos‘𝐴)↑5)))
56	53	oveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑3) = ((cos‘𝐴)↑3))
57	56	oveq2d 7383	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (;20 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑3)) = (;20 · ((cos‘𝐴)↑3)))
58	55, 57	oveq12d 7385	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((;16 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑5)) − (;20 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑3))) = ((;16 · ((cos‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((cos‘𝐴)↑3))))
59	53	oveq2d 7383	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (5 · (sin‘((π / 2) − 𝐴))) = (5 · (cos‘𝐴)))
60	58, 59	oveq12d 7385	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((;16 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑5)) − (;20 · ((sin‘((π / 2) − 𝐴))↑3))) + (5 · (sin‘((π / 2) − 𝐴)))) = (((;16 · ((cos‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((cos‘𝐴)↑3))) + (5 · (cos‘𝐴))))
61	49, 52, 60	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(5 · 𝐴)) = (((;16 · ((cos‘𝐴)↑5)) − (;20 · ((cos‘𝐴)↑3))) + (5 · (cos‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11377   / cdiv 11807  2c2 12236  3c3 12237  4c4 12238  5c5 12239  6c6 12240  ℤcz 12524  ;cdc 12644  ↑cexp 14023  sincsin 16028  cosccos 16029  πcpi 16031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ioc 13303  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15029  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-ef 16032  df-sin 16034  df-cos 16035  df-pi 16037  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-lp 23101  df-perf 23102  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-haus 23280  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cncf 24845  df-limc 25833  df-dv 25834

This theorem is referenced by:  cos5teq  47328