Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfdiv 46753
Description: The fraction of two sigma-measurable functions is measurable. Proposition 121E (e) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfdiv.x 𝑥𝜑
smfdiv.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfdiv.a (𝜑𝐴𝑉)
smfdiv.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfdiv.c (𝜑𝐶𝑊)
smfdiv.d ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfdiv.m (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfdiv.n (𝜑 → (𝑥𝐶𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfdiv.e 𝐸 = {𝑥𝐶𝐷 ≠ 0}
Assertion
Ref Expression
smfdiv (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐸) ↦ (𝐵 / 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐸
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem smfdiv
StepHypRef Expression
1 smfdiv.x . . 3 𝑥𝜑
2 elinel1 4211 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴𝐸) → 𝑥𝐴)
32adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐸)) → 𝑥𝐴)
4 smfdiv.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
53, 4syldan 591 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐸)) → 𝐵 ∈ ℝ)
65recnd 11287 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐸)) → 𝐵 ∈ ℂ)
7 smfdiv.e . . . . . . . . 9 𝐸 = {𝑥𝐶𝐷 ≠ 0}
8 ssrab2 4090 . . . . . . . . 9 {𝑥𝐶𝐷 ≠ 0} ⊆ 𝐶
97, 8eqsstri 4030 . . . . . . . 8 𝐸𝐶
10 elinel2 4212 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴𝐸) → 𝑥𝐸)
119, 10sselid 3993 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴𝐸) → 𝑥𝐶)
1211adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐸)) → 𝑥𝐶)
13 smfdiv.d . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
1412, 13syldan 591 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐸)) → 𝐷 ∈ ℝ)
1514recnd 11287 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐸)) → 𝐷 ∈ ℂ)
167eleq2i 2831 . . . . . . . 8 (𝑥𝐸𝑥 ∈ {𝑥𝐶𝐷 ≠ 0})
1716biimpi 216 . . . . . . 7 (𝑥𝐸𝑥 ∈ {𝑥𝐶𝐷 ≠ 0})
18 rabidim2 45042 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑥𝐶𝐷 ≠ 0} → 𝐷 ≠ 0)
1917, 18syl 17 . . . . . 6 (𝑥𝐸𝐷 ≠ 0)
2010, 19syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴𝐸) → 𝐷 ≠ 0)
2120adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐸)) → 𝐷 ≠ 0)
226, 15, 21divrecd 12044 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐸)) → (𝐵 / 𝐷) = (𝐵 · (1 / 𝐷)))
231, 22mpteq2da 5246 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐸) ↦ (𝐵 / 𝐷)) = (𝑥 ∈ (𝐴𝐸) ↦ (𝐵 · (1 / 𝐷))))
24 smfdiv.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
25 smfdiv.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
26 1red 11260 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐸) → 1 ∈ ℝ)
279sseli 3991 . . . . . 6 (𝑥𝐸𝑥𝐶)
2827adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐸) → 𝑥𝐶)
2928, 13syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐸) → 𝐷 ∈ ℝ)
3019adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐸) → 𝐷 ≠ 0)
3126, 29, 30redivcld 12093 . . 3 ((𝜑𝑥𝐸) → (1 / 𝐷) ∈ ℝ)
32 smfdiv.m . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
33 smfdiv.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑊)
34 smfdiv.n . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
351, 24, 33, 13, 34, 7smfrec 46745 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐸 ↦ (1 / 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
361, 24, 25, 4, 31, 32, 35smfmul 46751 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐸) ↦ (𝐵 · (1 / 𝐷))) ∈ (SMblFn‘𝑆))
3723, 36eqeltrd 2839 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐸) ↦ (𝐵 / 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  wne 2938  {crab 3433  cin 3962  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158   / cdiv 11918  SAlgcsalg 46264  SMblFncsmblfn 46651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-ac2 10501  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-ac 10154  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884  df-s3 14885  df-s4 14886  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-rest 17469  df-salg 46265  df-smblfn 46652
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator