Theorem smfdiv 46812

Description: The fraction of two sigma-measurable functions is measurable. Proposition 121E (e) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfdiv.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfdiv.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfdiv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
smfdiv.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfdiv.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
smfdiv.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfdiv.m	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfdiv.n	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfdiv.e	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐷 ≠ 0}

Assertion

Ref	Expression
smfdiv	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) ↦ (𝐵 / 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐸

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem smfdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfdiv.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		elinel1 4201	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
4		smfdiv.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
5	3, 4	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11289	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → 𝐵 ∈ ℂ)
7		smfdiv.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐷 ≠ 0}
8		ssrab2 4080	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐷 ≠ 0} ⊆ 𝐶
9	7, 8	eqsstri 4030	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 ⊆ 𝐶
10		elinel2 4202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) → 𝑥 ∈ 𝐸)
11	9, 10	sselid 3981	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) → 𝑥 ∈ 𝐶)
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → 𝑥 ∈ 𝐶)
13		smfdiv.d	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
14	12, 13	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → 𝐷 ∈ ℝ)
15	14	recnd 11289	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → 𝐷 ∈ ℂ)
16	7	eleq2i 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐸 ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐷 ≠ 0})
17	16	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐸 → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐷 ≠ 0})
18		rabidim2 45107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐷 ≠ 0} → 𝐷 ≠ 0)
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐸 → 𝐷 ≠ 0)
20	10, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) → 𝐷 ≠ 0)
21	20	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → 𝐷 ≠ 0)
22	6, 15, 21	divrecd 12046	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → (𝐵 / 𝐷) = (𝐵 · (1 / 𝐷)))
23	1, 22	mpteq2da 5240	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) ↦ (𝐵 / 𝐷)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) ↦ (𝐵 · (1 / 𝐷))))
24		smfdiv.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
25		smfdiv.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
26		1red 11262	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) → 1 ∈ ℝ)
27	9	sseli 3979	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐸 → 𝑥 ∈ 𝐶)
28	27	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) → 𝑥 ∈ 𝐶)
29	28, 13	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) → 𝐷 ∈ ℝ)
30	19	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) → 𝐷 ≠ 0)
31	26, 29, 30	redivcld 12095	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) → (1 / 𝐷) ∈ ℝ)
32		smfdiv.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
33		smfdiv.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
34		smfdiv.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
35	1, 24, 33, 13, 34, 7	smfrec 46804	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (1 / 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
36	1, 24, 25, 4, 31, 32, 35	smfmul 46810	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) ↦ (𝐵 · (1 / 𝐷))) ∈ (SMblFn‘𝑆))
37	23, 36	eqeltrd 2841	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) ↦ (𝐵 / 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  {crab 3436   ∩ cin 3950   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   / cdiv 11920  SAlgcsalg 46323  SMblFncsmblfn 46710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887  df-s3 14888  df-s4 14889  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-rest 17467  df-salg 46324  df-smblfn 46711

This theorem is referenced by: (None)