Theorem smfdiv 46795

Description: The fraction of two sigma-measurable functions is measurable. Proposition 121E (e) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfdiv.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfdiv.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfdiv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
smfdiv.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfdiv.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
smfdiv.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfdiv.m	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfdiv.n	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfdiv.e	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐷 ≠ 0}

Assertion

Ref	Expression
smfdiv	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) ↦ (𝐵 / 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐸

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem smfdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfdiv.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		elinel1 4164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
4		smfdiv.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
5	3, 4	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11202	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → 𝐵 ∈ ℂ)
7		smfdiv.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐷 ≠ 0}
8		ssrab2 4043	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐷 ≠ 0} ⊆ 𝐶
9	7, 8	eqsstri 3993	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 ⊆ 𝐶
10		elinel2 4165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) → 𝑥 ∈ 𝐸)
11	9, 10	sselid 3944	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) → 𝑥 ∈ 𝐶)
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → 𝑥 ∈ 𝐶)
13		smfdiv.d	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
14	12, 13	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → 𝐷 ∈ ℝ)
15	14	recnd 11202	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → 𝐷 ∈ ℂ)
16	7	eleq2i 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐸 ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐷 ≠ 0})
17	16	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐸 → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐷 ≠ 0})
18		rabidim2 45096	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐷 ≠ 0} → 𝐷 ≠ 0)
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐸 → 𝐷 ≠ 0)
20	10, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) → 𝐷 ≠ 0)
21	20	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → 𝐷 ≠ 0)
22	6, 15, 21	divrecd 11961	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → (𝐵 / 𝐷) = (𝐵 · (1 / 𝐷)))
23	1, 22	mpteq2da 5199	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) ↦ (𝐵 / 𝐷)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) ↦ (𝐵 · (1 / 𝐷))))
24		smfdiv.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
25		smfdiv.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
26		1red 11175	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) → 1 ∈ ℝ)
27	9	sseli 3942	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐸 → 𝑥 ∈ 𝐶)
28	27	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) → 𝑥 ∈ 𝐶)
29	28, 13	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) → 𝐷 ∈ ℝ)
30	19	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) → 𝐷 ≠ 0)
31	26, 29, 30	redivcld 12010	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) → (1 / 𝐷) ∈ ℝ)
32		smfdiv.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
33		smfdiv.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
34		smfdiv.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
35	1, 24, 33, 13, 34, 7	smfrec 46787	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (1 / 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
36	1, 24, 25, 4, 31, 32, 35	smfmul 46793	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) ↦ (𝐵 · (1 / 𝐷))) ∈ (SMblFn‘𝑆))
37	23, 36	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) ↦ (𝐵 / 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {crab 3405   ∩ cin 3913   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   · cmul 11073   / cdiv 11835  SAlgcsalg 46306  SMblFncsmblfn 46693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cc 10388  ax-ac2 10416  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-omul 8439  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-acn 9895  df-ac 10069  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-ioo 13310  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-word 14479  df-concat 14536  df-s1 14561  df-s2 14814  df-s3 14815  df-s4 14816  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-rest 17385  df-salg 46307  df-smblfn 46694

This theorem is referenced by: (None)