Theorem smfdiv 47751

Description: The fraction of two sigma-measurable functions is measurable. Proposition 121E (e) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfdiv.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfdiv.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfdiv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
smfdiv.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfdiv.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
smfdiv.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfdiv.m	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfdiv.n	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfdiv.e	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐷 ≠ 0}

Assertion

Ref	Expression
smfdiv	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) ↦ (𝐵 / 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐸

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem smfdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfdiv.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		elinel1 4147	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
4		smfdiv.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
5	3, 4	syldan 603	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11318	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → 𝐵 ∈ ℂ)
7		smfdiv.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐷 ≠ 0}
8		ssrab2 4028	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐷 ≠ 0} ⊆ 𝐶
9	7, 8	eqsstri 3977	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 ⊆ 𝐶
10		elinel2 4148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) → 𝑥 ∈ 𝐸)
11	9, 10	sselid 3929	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) → 𝑥 ∈ 𝐶)
12	11	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → 𝑥 ∈ 𝐶)
13		smfdiv.d	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
14	12, 13	syldan 603	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → 𝐷 ∈ ℝ)
15	14	recnd 11318	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → 𝐷 ∈ ℂ)
16	7	eleq2i 2853	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐸 ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐷 ≠ 0})
17	16	biimpi 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐸 → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐷 ≠ 0})
18		rabidim2 46060	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐷 ≠ 0} → 𝐷 ≠ 0)
19	17, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐸 → 𝐷 ≠ 0)
20	10, 19	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) → 𝐷 ≠ 0)
21	20	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → 𝐷 ≠ 0)
22	6, 15, 21	divrecd 12077	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → (𝐵 / 𝐷) = (𝐵 · (1 / 𝐷)))
23	1, 22	mpteq2da 5197	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) ↦ (𝐵 / 𝐷)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) ↦ (𝐵 · (1 / 𝐷))))
24		smfdiv.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
25		smfdiv.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
26		1red 11290	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) → 1 ∈ ℝ)
27	9	sseli 3927	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐸 → 𝑥 ∈ 𝐶)
28	27	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) → 𝑥 ∈ 𝐶)
29	28, 13	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) → 𝐷 ∈ ℝ)
30	19	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) → 𝐷 ≠ 0)
31	26, 29, 30	redivcld 12126	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) → (1 / 𝐷) ∈ ℝ)
32		smfdiv.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
33		smfdiv.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
34		smfdiv.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
35	1, 24, 33, 13, 34, 7	smfrec 47743	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (1 / 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
36	1, 24, 25, 4, 31, 32, 35	smfmul 47749	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) ↦ (𝐵 · (1 / 𝐷))) ∈ (SMblFn‘𝑆))
37	23, 36	eqeltrd 2861	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) ↦ (𝐵 / 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  {crab 3413   ∩ cin 3898   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182   · cmul 11186   / cdiv 11954  SAlgcsalg 47262  SMblFncsmblfn 47649

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cc 10494  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-omul 8465  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-acn 10004  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-ioo 13461  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-word 14639  df-concat 14696  df-s1 14723  df-s2 14979  df-s3 14980  df-s4 14981  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-rest 17573  df-salg 47263  df-smblfn 47650

This theorem is used by: (None)