Theorem smfdiv 46802

Description: The fraction of two sigma-measurable functions is measurable. Proposition 121E (e) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfdiv.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfdiv.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfdiv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
smfdiv.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfdiv.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
smfdiv.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfdiv.m	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfdiv.n	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfdiv.e	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐷 ≠ 0}

Assertion

Ref	Expression
smfdiv	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) ↦ (𝐵 / 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐸

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem smfdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfdiv.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		elinel1 4167	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
4		smfdiv.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
5	3, 4	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11209	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → 𝐵 ∈ ℂ)
7		smfdiv.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐷 ≠ 0}
8		ssrab2 4046	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐷 ≠ 0} ⊆ 𝐶
9	7, 8	eqsstri 3996	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 ⊆ 𝐶
10		elinel2 4168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) → 𝑥 ∈ 𝐸)
11	9, 10	sselid 3947	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) → 𝑥 ∈ 𝐶)
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → 𝑥 ∈ 𝐶)
13		smfdiv.d	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
14	12, 13	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → 𝐷 ∈ ℝ)
15	14	recnd 11209	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → 𝐷 ∈ ℂ)
16	7	eleq2i 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐸 ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐷 ≠ 0})
17	16	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐸 → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐷 ≠ 0})
18		rabidim2 45103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐷 ≠ 0} → 𝐷 ≠ 0)
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐸 → 𝐷 ≠ 0)
20	10, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) → 𝐷 ≠ 0)
21	20	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → 𝐷 ≠ 0)
22	6, 15, 21	divrecd 11968	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → (𝐵 / 𝐷) = (𝐵 · (1 / 𝐷)))
23	1, 22	mpteq2da 5202	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) ↦ (𝐵 / 𝐷)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) ↦ (𝐵 · (1 / 𝐷))))
24		smfdiv.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
25		smfdiv.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
26		1red 11182	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) → 1 ∈ ℝ)
27	9	sseli 3945	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐸 → 𝑥 ∈ 𝐶)
28	27	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) → 𝑥 ∈ 𝐶)
29	28, 13	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) → 𝐷 ∈ ℝ)
30	19	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) → 𝐷 ≠ 0)
31	26, 29, 30	redivcld 12017	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) → (1 / 𝐷) ∈ ℝ)
32		smfdiv.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
33		smfdiv.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
34		smfdiv.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
35	1, 24, 33, 13, 34, 7	smfrec 46794	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (1 / 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
36	1, 24, 25, 4, 31, 32, 35	smfmul 46800	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) ↦ (𝐵 · (1 / 𝐷))) ∈ (SMblFn‘𝑆))
37	23, 36	eqeltrd 2829	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) ↦ (𝐵 / 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  {crab 3408   ∩ cin 3916   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080   / cdiv 11842  SAlgcsalg 46313  SMblFncsmblfn 46700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cc 10395  ax-ac2 10423  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-acn 9902  df-ac 10076  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-ioo 13317  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-word 14486  df-concat 14543  df-s1 14568  df-s2 14821  df-s3 14822  df-s4 14823  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-rest 17392  df-salg 46314  df-smblfn 46701

This theorem is referenced by: (None)