Theorem smfdiv 47225

Description: The fraction of two sigma-measurable functions is measurable. Proposition 121E (e) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfdiv.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfdiv.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfdiv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
smfdiv.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfdiv.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
smfdiv.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfdiv.m	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfdiv.n	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfdiv.e	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐷 ≠ 0}

Assertion

Ref	Expression
smfdiv	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) ↦ (𝐵 / 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐸

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem smfdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfdiv.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		elinel1 4141	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
4		smfdiv.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
5	3, 4	syldan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11173	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → 𝐵 ∈ ℂ)
7		smfdiv.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐷 ≠ 0}
8		ssrab2 4020	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐷 ≠ 0} ⊆ 𝐶
9	7, 8	eqsstri 3968	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 ⊆ 𝐶
10		elinel2 4142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) → 𝑥 ∈ 𝐸)
11	9, 10	sselid 3919	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) → 𝑥 ∈ 𝐶)
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → 𝑥 ∈ 𝐶)
13		smfdiv.d	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
14	12, 13	syldan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → 𝐷 ∈ ℝ)
15	14	recnd 11173	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → 𝐷 ∈ ℂ)
16	7	eleq2i 2828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐸 ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐷 ≠ 0})
17	16	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐸 → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐷 ≠ 0})
18		rabidim2 45532	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝐷 ≠ 0} → 𝐷 ≠ 0)
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐸 → 𝐷 ≠ 0)
20	10, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) → 𝐷 ≠ 0)
21	20	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → 𝐷 ≠ 0)
22	6, 15, 21	divrecd 11934	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸)) → (𝐵 / 𝐷) = (𝐵 · (1 / 𝐷)))
23	1, 22	mpteq2da 5177	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) ↦ (𝐵 / 𝐷)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) ↦ (𝐵 · (1 / 𝐷))))
24		smfdiv.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
25		smfdiv.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
26		1red 11145	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) → 1 ∈ ℝ)
27	9	sseli 3917	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐸 → 𝑥 ∈ 𝐶)
28	27	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) → 𝑥 ∈ 𝐶)
29	28, 13	syldan 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) → 𝐷 ∈ ℝ)
30	19	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) → 𝐷 ≠ 0)
31	26, 29, 30	redivcld 11983	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) → (1 / 𝐷) ∈ ℝ)
32		smfdiv.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
33		smfdiv.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
34		smfdiv.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
35	1, 24, 33, 13, 34, 7	smfrec 47217	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (1 / 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
36	1, 24, 25, 4, 31, 32, 35	smfmul 47223	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) ↦ (𝐵 · (1 / 𝐷))) ∈ (SMblFn‘𝑆))
37	23, 36	eqeltrd 2836	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐸) ↦ (𝐵 / 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  {crab 3389   ∩ cin 3888   ↦ cmpt 5166  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   / cdiv 11807  SAlgcsalg 46736  SMblFncsmblfn 47123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cc 10357  ax-ac2 10385  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-acn 9866  df-ac 10038  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-ioo 13302  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-word 14476  df-concat 14533  df-s1 14559  df-s2 14810  df-s3 14811  df-s4 14812  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-rest 17385  df-salg 46737  df-smblfn 47124

This theorem is referenced by: (None)