Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  stri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stri 30043
 Description: Strong state theorem. The states on a Hilbert lattice define an ordering. Remark in [Mayet] p. 370. (Contributed by NM, 2-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
str.1 𝐴C
str.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
stri (∀𝑓 ∈ States ((𝑓𝐴) = 1 → (𝑓𝐵) = 1) → 𝐴𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem stri
Dummy variables 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfral2 3231 . 2 (∀𝑓 ∈ States ((𝑓𝐴) = 1 → (𝑓𝐵) = 1) ↔ ¬ ∃𝑓 ∈ States ¬ ((𝑓𝐴) = 1 → (𝑓𝐵) = 1))
2 str.1 . . . . 5 𝐴C
3 str.2 . . . . 5 𝐵C
42, 3strlem1 30036 . . . 4 𝐴𝐵 → ∃𝑢 ∈ (𝐴𝐵)(norm𝑢) = 1)
5 eqid 2824 . . . . . . 7 (𝑥C ↦ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2)) = (𝑥C ↦ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2))
6 biid 264 . . . . . . 7 ((𝑢 ∈ (𝐴𝐵) ∧ (norm𝑢) = 1) ↔ (𝑢 ∈ (𝐴𝐵) ∧ (norm𝑢) = 1))
75, 6, 2, 3strlem3 30039 . . . . . 6 ((𝑢 ∈ (𝐴𝐵) ∧ (norm𝑢) = 1) → (𝑥C ↦ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2)) ∈ States)
85, 6, 2, 3strlem6 30042 . . . . . 6 ((𝑢 ∈ (𝐴𝐵) ∧ (norm𝑢) = 1) → ¬ (((𝑥C ↦ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐴) = 1 → ((𝑥C ↦ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐵) = 1))
9 fveq1 6660 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑥C ↦ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2)) → (𝑓𝐴) = ((𝑥C ↦ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐴))
109eqeq1d 2826 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑥C ↦ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2)) → ((𝑓𝐴) = 1 ↔ ((𝑥C ↦ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐴) = 1))
11 fveq1 6660 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑥C ↦ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2)) → (𝑓𝐵) = ((𝑥C ↦ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐵))
1211eqeq1d 2826 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑥C ↦ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2)) → ((𝑓𝐵) = 1 ↔ ((𝑥C ↦ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐵) = 1))
1310, 12imbi12d 348 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑥C ↦ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2)) → (((𝑓𝐴) = 1 → (𝑓𝐵) = 1) ↔ (((𝑥C ↦ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐴) = 1 → ((𝑥C ↦ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐵) = 1)))
1413notbid 321 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑥C ↦ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2)) → (¬ ((𝑓𝐴) = 1 → (𝑓𝐵) = 1) ↔ ¬ (((𝑥C ↦ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐴) = 1 → ((𝑥C ↦ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐵) = 1)))
1514rspcev 3609 . . . . . 6 (((𝑥C ↦ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2)) ∈ States ∧ ¬ (((𝑥C ↦ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐴) = 1 → ((𝑥C ↦ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐵) = 1)) → ∃𝑓 ∈ States ¬ ((𝑓𝐴) = 1 → (𝑓𝐵) = 1))
167, 8, 15syl2anc 587 . . . . 5 ((𝑢 ∈ (𝐴𝐵) ∧ (norm𝑢) = 1) → ∃𝑓 ∈ States ¬ ((𝑓𝐴) = 1 → (𝑓𝐵) = 1))
1716rexlimiva 3273 . . . 4 (∃𝑢 ∈ (𝐴𝐵)(norm𝑢) = 1 → ∃𝑓 ∈ States ¬ ((𝑓𝐴) = 1 → (𝑓𝐵) = 1))
184, 17syl 17 . . 3 𝐴𝐵 → ∃𝑓 ∈ States ¬ ((𝑓𝐴) = 1 → (𝑓𝐵) = 1))
1918con1i 149 . 2 (¬ ∃𝑓 ∈ States ¬ ((𝑓𝐴) = 1 → (𝑓𝐵) = 1) → 𝐴𝐵)
201, 19sylbi 220 1 (∀𝑓 ∈ States ((𝑓𝐴) = 1 → (𝑓𝐵) = 1) → 𝐴𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133  ∃wrex 3134   ∖ cdif 3916   ⊆ wss 3919   ↦ cmpt 5132  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  1c1 10536  2c2 11689  ↑cexp 13434  normℎcno 28709   Cℋ cch 28715  projℎcpjh 28723  Statescst 28748 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cc 9855  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615  ax-hilex 28785  ax-hfvadd 28786  ax-hvcom 28787  ax-hvass 28788  ax-hv0cl 28789  ax-hvaddid 28790  ax-hfvmul 28791  ax-hvmulid 28792  ax-hvmulass 28793  ax-hvdistr1 28794  ax-hvdistr2 28795  ax-hvmul0 28796  ax-hfi 28865  ax-his1 28868  ax-his2 28869  ax-his3 28870  ax-his4 28871  ax-hcompl 28988 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-acn 9368  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-ioo 12739  df-ico 12741  df-icc 12742  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-fbas 20542  df-fg 20543  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-lm 21837  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cfil 23862  df-cau 23863  df-cmet 23864  df-grpo 28279  df-gid 28280  df-ginv 28281  df-gdiv 28282  df-ablo 28331  df-vc 28345  df-nv 28378  df-va 28381  df-ba 28382  df-sm 28383  df-0v 28384  df-vs 28385  df-nmcv 28386  df-ims 28387  df-dip 28487  df-ssp 28508  df-ph 28599  df-cbn 28649  df-hnorm 28754  df-hba 28755  df-hvsub 28757  df-hlim 28758  df-hcau 28759  df-sh 28993  df-ch 29007  df-oc 29038  df-ch0 29039  df-shs 29094  df-chj 29096  df-pjh 29181  df-st 29997 This theorem is referenced by:  strb  30044  goeqi  30059
 Copyright terms: Public domain W3C validator