Theorem stri 29818

Description: Strong state theorem. The states on a Hilbert lattice define an ordering. Remark in [Mayet] p. 370. (Contributed by NM, 2-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
str.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
str.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
stri	⊢ (∀𝑓 ∈ States ((𝑓‘𝐴) = 1 → (𝑓‘𝐵) = 1) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem stri

Dummy variables 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfral2 3184	. 2 ⊢ (∀𝑓 ∈ States ((𝑓‘𝐴) = 1 → (𝑓‘𝐵) = 1) ↔ ¬ ∃𝑓 ∈ States ¬ ((𝑓‘𝐴) = 1 → (𝑓‘𝐵) = 1))
2		str.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
3		str.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	2, 3	strlem1 29811	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ⊆ 𝐵 → ∃𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)(normℎ‘𝑢) = 1)
5		eqid 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2)) = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))
6		biid 253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ↔ (𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (normℎ‘𝑢) = 1))
7	5, 6, 2, 3	strlem3 29814	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2)) ∈ States)
8	5, 6, 2, 3	strlem6 29817	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → ¬ (((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐴) = 1 → ((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐵) = 1))
9		fveq1 6500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2)) → (𝑓‘𝐴) = ((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐴))
10	9	eqeq1d 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2)) → ((𝑓‘𝐴) = 1 ↔ ((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐴) = 1))
11		fveq1 6500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2)) → (𝑓‘𝐵) = ((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐵))
12	11	eqeq1d 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2)) → ((𝑓‘𝐵) = 1 ↔ ((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐵) = 1))
13	10, 12	imbi12d 337	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2)) → (((𝑓‘𝐴) = 1 → (𝑓‘𝐵) = 1) ↔ (((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐴) = 1 → ((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐵) = 1)))
14	13	notbid 310	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2)) → (¬ ((𝑓‘𝐴) = 1 → (𝑓‘𝐵) = 1) ↔ ¬ (((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐴) = 1 → ((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐵) = 1)))
15	14	rspcev 3535	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2)) ∈ States ∧ ¬ (((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐴) = 1 → ((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐵) = 1)) → ∃𝑓 ∈ States ¬ ((𝑓‘𝐴) = 1 → (𝑓‘𝐵) = 1))
16	7, 8, 15	syl2anc 576	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → ∃𝑓 ∈ States ¬ ((𝑓‘𝐴) = 1 → (𝑓‘𝐵) = 1))
17	16	rexlimiva 3226	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)(normℎ‘𝑢) = 1 → ∃𝑓 ∈ States ¬ ((𝑓‘𝐴) = 1 → (𝑓‘𝐵) = 1))
18	4, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ⊆ 𝐵 → ∃𝑓 ∈ States ¬ ((𝑓‘𝐴) = 1 → (𝑓‘𝐵) = 1))
19	18	con1i 147	. 2 ⊢ (¬ ∃𝑓 ∈ States ¬ ((𝑓‘𝐴) = 1 → (𝑓‘𝐵) = 1) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
20	1, 19	sylbi 209	1 ⊢ (∀𝑓 ∈ States ((𝑓‘𝐴) = 1 → (𝑓‘𝐵) = 1) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  ∀wral 3088  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3828   ⊆ wss 3831   ↦ cmpt 5009  ‘cfv 6190  (class class class)co 6978  1c1 10338  2c2 11498  ↑cexp 13247  norm_ℎcno 28482   C_ℋ cch 28488  proj_ℎcpjh 28496  Statescst 28521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-inf2 8900  ax-cc 9657  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415  ax-addf 10416  ax-mulf 10417  ax-hilex 28558  ax-hfvadd 28559  ax-hvcom 28560  ax-hvass 28561  ax-hv0cl 28562  ax-hvaddid 28563  ax-hfvmul 28564  ax-hvmulid 28565  ax-hvmulass 28566  ax-hvdistr1 28567  ax-hvdistr2 28568  ax-hvmul0 28569  ax-hfi 28638  ax-his1 28641  ax-his2 28642  ax-his3 28643  ax-his4 28644  ax-hcompl 28761

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-iin 4796  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-se 5368  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-isom 6199  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-of 7229  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-supp 7636  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-2o 7908  df-oadd 7911  df-omul 7912  df-er 8091  df-map 8210  df-pm 8211  df-ixp 8262  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-fsupp 8631  df-fi 8672  df-sup 8703  df-inf 8704  df-oi 8771  df-card 9164  df-acn 9167  df-cda 9390  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-4 11508  df-5 11509  df-6 11510  df-7 11511  df-8 11512  df-9 11513  df-n0 11711  df-z 11797  df-dec 11915  df-uz 12062  df-q 12166  df-rp 12208  df-xneg 12327  df-xadd 12328  df-xmul 12329  df-ioo 12561  df-ico 12563  df-icc 12564  df-fz 12712  df-fzo 12853  df-fl 12980  df-seq 13188  df-exp 13248  df-hash 13509  df-cj 14322  df-re 14323  df-im 14324  df-sqrt 14458  df-abs 14459  df-clim 14709  df-rlim 14710  df-sum 14907  df-struct 16344  df-ndx 16345  df-slot 16346  df-base 16348  df-sets 16349  df-ress 16350  df-plusg 16437  df-mulr 16438  df-starv 16439  df-sca 16440  df-vsca 16441  df-ip 16442  df-tset 16443  df-ple 16444  df-ds 16446  df-unif 16447  df-hom 16448  df-cco 16449  df-rest 16555  df-topn 16556  df-0g 16574  df-gsum 16575  df-topgen 16576  df-pt 16577  df-prds 16580  df-xrs 16634  df-qtop 16639  df-imas 16640  df-xps 16642  df-mre 16718  df-mrc 16719  df-acs 16721  df-mgm 17713  df-sgrp 17755  df-mnd 17766  df-submnd 17807  df-mulg 18015  df-cntz 18221  df-cmn 18671  df-psmet 20242  df-xmet 20243  df-met 20244  df-bl 20245  df-mopn 20246  df-fbas 20247  df-fg 20248  df-cnfld 20251  df-top 21209  df-topon 21226  df-topsp 21248  df-bases 21261  df-cld 21334  df-ntr 21335  df-cls 21336  df-nei 21413  df-cn 21542  df-cnp 21543  df-lm 21544  df-haus 21630  df-tx 21877  df-hmeo 22070  df-fil 22161  df-fm 22253  df-flim 22254  df-flf 22255  df-xms 22636  df-ms 22637  df-tms 22638  df-cfil 23564  df-cau 23565  df-cmet 23566  df-grpo 28050  df-gid 28051  df-ginv 28052  df-gdiv 28053  df-ablo 28102  df-vc 28116  df-nv 28149  df-va 28152  df-ba 28153  df-sm 28154  df-0v 28155  df-vs 28156  df-nmcv 28157  df-ims 28158  df-dip 28258  df-ssp 28279  df-ph 28370  df-cbn 28421  df-hnorm 28527  df-hba 28528  df-hvsub 28530  df-hlim 28531  df-hcau 28532  df-sh 28766  df-ch 28780  df-oc 28811  df-ch0 28812  df-shs 28869  df-chj 28871  df-pjh 28956  df-st 29772

This theorem is referenced by:  strb  29819  goeqi  29834