Theorem stri 32232

Description: Strong state theorem. The states on a Hilbert lattice define an ordering. Remark in [Mayet] p. 370. (Contributed by NM, 2-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
str.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
str.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
stri	⊢ (∀𝑓 ∈ States ((𝑓‘𝐴) = 1 → (𝑓‘𝐵) = 1) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem stri

Dummy variables 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfral2 3083	. 2 ⊢ (∀𝑓 ∈ States ((𝑓‘𝐴) = 1 → (𝑓‘𝐵) = 1) ↔ ¬ ∃𝑓 ∈ States ¬ ((𝑓‘𝐴) = 1 → (𝑓‘𝐵) = 1))
2		str.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
3		str.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	2, 3	strlem1 32225	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ⊆ 𝐵 → ∃𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)(normℎ‘𝑢) = 1)
5		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2)) = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))
6		biid 261	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ↔ (𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (normℎ‘𝑢) = 1))
7	5, 6, 2, 3	strlem3 32228	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2)) ∈ States)
8	5, 6, 2, 3	strlem6 32231	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → ¬ (((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐴) = 1 → ((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐵) = 1))
9		fveq1 6821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2)) → (𝑓‘𝐴) = ((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐴))
10	9	eqeq1d 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2)) → ((𝑓‘𝐴) = 1 ↔ ((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐴) = 1))
11		fveq1 6821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2)) → (𝑓‘𝐵) = ((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐵))
12	11	eqeq1d 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2)) → ((𝑓‘𝐵) = 1 ↔ ((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐵) = 1))
13	10, 12	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2)) → (((𝑓‘𝐴) = 1 → (𝑓‘𝐵) = 1) ↔ (((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐴) = 1 → ((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐵) = 1)))
14	13	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2)) → (¬ ((𝑓‘𝐴) = 1 → (𝑓‘𝐵) = 1) ↔ ¬ (((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐴) = 1 → ((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐵) = 1)))
15	14	rspcev 3577	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2)) ∈ States ∧ ¬ (((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐴) = 1 → ((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐵) = 1)) → ∃𝑓 ∈ States ¬ ((𝑓‘𝐴) = 1 → (𝑓‘𝐵) = 1))
16	7, 8, 15	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → ∃𝑓 ∈ States ¬ ((𝑓‘𝐴) = 1 → (𝑓‘𝐵) = 1))
17	16	rexlimiva 3125	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)(normℎ‘𝑢) = 1 → ∃𝑓 ∈ States ¬ ((𝑓‘𝐴) = 1 → (𝑓‘𝐵) = 1))
18	4, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ⊆ 𝐵 → ∃𝑓 ∈ States ¬ ((𝑓‘𝐴) = 1 → (𝑓‘𝐵) = 1))
19	18	con1i 147	. 2 ⊢ (¬ ∃𝑓 ∈ States ¬ ((𝑓‘𝐴) = 1 → (𝑓‘𝐵) = 1) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
20	1, 19	sylbi 217	1 ⊢ (∀𝑓 ∈ States ((𝑓‘𝐴) = 1 → (𝑓‘𝐵) = 1) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902   ↦ cmpt 5172  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  1c1 11004  2c2 12177  ↑cexp 13965  norm_ℎcno 30898   C_ℋ cch 30904  proj_ℎcpjh 30912  Statescst 30937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cc 10323  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081  ax-addf 11082  ax-mulf 11083  ax-hilex 30974  ax-hfvadd 30975  ax-hvcom 30976  ax-hvass 30977  ax-hv0cl 30978  ax-hvaddid 30979  ax-hfvmul 30980  ax-hvmulid 30981  ax-hvmulass 30982  ax-hvdistr1 30983  ax-hvdistr2 30984  ax-hvmul0 30985  ax-hfi 31054  ax-his1 31057  ax-his2 31058  ax-his3 31059  ax-his4 31060  ax-hcompl 31177

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-omul 8390  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9829  df-acn 9832  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-q 12844  df-rp 12888  df-xneg 13008  df-xadd 13009  df-xmul 13010  df-ioo 13246  df-ico 13248  df-icc 13249  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-fl 13693  df-seq 13906  df-exp 13966  df-hash 14235  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-clim 15392  df-rlim 15393  df-sum 15591  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-starv 17173  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-unif 17181  df-hom 17182  df-cco 17183  df-rest 17323  df-topn 17324  df-0g 17342  df-gsum 17343  df-topgen 17344  df-pt 17345  df-prds 17348  df-xrs 17403  df-qtop 17408  df-imas 17409  df-xps 17411  df-mre 17485  df-mrc 17486  df-acs 17488  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-submnd 18689  df-mulg 18978  df-cntz 19227  df-cmn 19692  df-psmet 21281  df-xmet 21282  df-met 21283  df-bl 21284  df-mopn 21285  df-fbas 21286  df-fg 21287  df-cnfld 21290  df-top 22807  df-topon 22824  df-topsp 22846  df-bases 22859  df-cld 22932  df-ntr 22933  df-cls 22934  df-nei 23011  df-cn 23140  df-cnp 23141  df-lm 23142  df-haus 23228  df-tx 23475  df-hmeo 23668  df-fil 23759  df-fm 23851  df-flim 23852  df-flf 23853  df-xms 24233  df-ms 24234  df-tms 24235  df-cfil 25180  df-cau 25181  df-cmet 25182  df-grpo 30468  df-gid 30469  df-ginv 30470  df-gdiv 30471  df-ablo 30520  df-vc 30534  df-nv 30567  df-va 30570  df-ba 30571  df-sm 30572  df-0v 30573  df-vs 30574  df-nmcv 30575  df-ims 30576  df-dip 30676  df-ssp 30697  df-ph 30788  df-cbn 30838  df-hnorm 30943  df-hba 30944  df-hvsub 30946  df-hlim 30947  df-hcau 30948  df-sh 31182  df-ch 31196  df-oc 31227  df-ch0 31228  df-shs 31283  df-chj 31285  df-pjh 31370  df-st 32186

This theorem is referenced by:  strb  32233  goeqi  32248