Theorem stri 32060

Description: Strong state theorem. The states on a Hilbert lattice define an ordering. Remark in [Mayet] p. 370. (Contributed by NM, 2-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
str.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
str.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
stri	⊢ (∀𝑓 ∈ States ((𝑓‘𝐴) = 1 → (𝑓‘𝐵) = 1) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem stri

Dummy variables 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfral2 3095	. 2 ⊢ (∀𝑓 ∈ States ((𝑓‘𝐴) = 1 → (𝑓‘𝐵) = 1) ↔ ¬ ∃𝑓 ∈ States ¬ ((𝑓‘𝐴) = 1 → (𝑓‘𝐵) = 1))
2		str.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
3		str.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	2, 3	strlem1 32053	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ⊆ 𝐵 → ∃𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)(normℎ‘𝑢) = 1)
5		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2)) = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))
6		biid 261	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ↔ (𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (normℎ‘𝑢) = 1))
7	5, 6, 2, 3	strlem3 32056	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2)) ∈ States)
8	5, 6, 2, 3	strlem6 32059	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → ¬ (((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐴) = 1 → ((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐵) = 1))
9		fveq1 6890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2)) → (𝑓‘𝐴) = ((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐴))
10	9	eqeq1d 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2)) → ((𝑓‘𝐴) = 1 ↔ ((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐴) = 1))
11		fveq1 6890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2)) → (𝑓‘𝐵) = ((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐵))
12	11	eqeq1d 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2)) → ((𝑓‘𝐵) = 1 ↔ ((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐵) = 1))
13	10, 12	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2)) → (((𝑓‘𝐴) = 1 → (𝑓‘𝐵) = 1) ↔ (((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐴) = 1 → ((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐵) = 1)))
14	13	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2)) → (¬ ((𝑓‘𝐴) = 1 → (𝑓‘𝐵) = 1) ↔ ¬ (((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐴) = 1 → ((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐵) = 1)))
15	14	rspcev 3608	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2)) ∈ States ∧ ¬ (((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐴) = 1 → ((𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((normℎ‘((projℎ‘𝑥)‘𝑢))↑2))‘𝐵) = 1)) → ∃𝑓 ∈ States ¬ ((𝑓‘𝐴) = 1 → (𝑓‘𝐵) = 1))
16	7, 8, 15	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → ∃𝑓 ∈ States ¬ ((𝑓‘𝐴) = 1 → (𝑓‘𝐵) = 1))
17	16	rexlimiva 3143	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)(normℎ‘𝑢) = 1 → ∃𝑓 ∈ States ¬ ((𝑓‘𝐴) = 1 → (𝑓‘𝐵) = 1))
18	4, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ⊆ 𝐵 → ∃𝑓 ∈ States ¬ ((𝑓‘𝐴) = 1 → (𝑓‘𝐵) = 1))
19	18	con1i 147	. 2 ⊢ (¬ ∃𝑓 ∈ States ¬ ((𝑓‘𝐴) = 1 → (𝑓‘𝐵) = 1) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
20	1, 19	sylbi 216	1 ⊢ (∀𝑓 ∈ States ((𝑓‘𝐴) = 1 → (𝑓‘𝐵) = 1) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3057  ∃wrex 3066   ∖ cdif 3942   ⊆ wss 3945   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  1c1 11133  2c2 12291  ↑cexp 14052  norm_ℎcno 30726   C_ℋ cch 30732  proj_ℎcpjh 30740  Statescst 30765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cc 10452  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210  ax-addf 11211  ax-mulf 11212  ax-hilex 30802  ax-hfvadd 30803  ax-hvcom 30804  ax-hvass 30805  ax-hv0cl 30806  ax-hvaddid 30807  ax-hfvmul 30808  ax-hvmulid 30809  ax-hvmulass 30810  ax-hvdistr1 30811  ax-hvdistr2 30812  ax-hvmul0 30813  ax-hfi 30882  ax-his1 30885  ax-his2 30886  ax-his3 30887  ax-his4 30888  ax-hcompl 31005

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9527  df-card 9956  df-acn 9959  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13118  df-xadd 13119  df-xmul 13120  df-ioo 13354  df-ico 13356  df-icc 13357  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-fl 13783  df-seq 13993  df-exp 14053  df-hash 14316  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15458  df-rlim 15459  df-sum 15659  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-rest 17397  df-topn 17398  df-0g 17416  df-gsum 17417  df-topgen 17418  df-pt 17419  df-prds 17422  df-xrs 17477  df-qtop 17482  df-imas 17483  df-xps 17485  df-mre 17559  df-mrc 17560  df-acs 17562  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-submnd 18734  df-mulg 19017  df-cntz 19261  df-cmn 19730  df-psmet 21264  df-xmet 21265  df-met 21266  df-bl 21267  df-mopn 21268  df-fbas 21269  df-fg 21270  df-cnfld 21273  df-top 22789  df-topon 22806  df-topsp 22828  df-bases 22842  df-cld 22916  df-ntr 22917  df-cls 22918  df-nei 22995  df-cn 23124  df-cnp 23125  df-lm 23126  df-haus 23212  df-tx 23459  df-hmeo 23652  df-fil 23743  df-fm 23835  df-flim 23836  df-flf 23837  df-xms 24219  df-ms 24220  df-tms 24221  df-cfil 25176  df-cau 25177  df-cmet 25178  df-grpo 30296  df-gid 30297  df-ginv 30298  df-gdiv 30299  df-ablo 30348  df-vc 30362  df-nv 30395  df-va 30398  df-ba 30399  df-sm 30400  df-0v 30401  df-vs 30402  df-nmcv 30403  df-ims 30404  df-dip 30504  df-ssp 30525  df-ph 30616  df-cbn 30666  df-hnorm 30771  df-hba 30772  df-hvsub 30774  df-hlim 30775  df-hcau 30776  df-sh 31010  df-ch 31024  df-oc 31055  df-ch0 31056  df-shs 31111  df-chj 31113  df-pjh 31198  df-st 32014

This theorem is referenced by:  strb  32061  goeqi  32076