HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hstri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hstri 29449
Description: Hilbert space admits a strong set of Hilbert-space-valued states (CH-states). Theorem in [Mayet3] p. 10. (Contributed by NM, 30-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hstr.1 𝐴C
hstr.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
hstri (∀𝑓 ∈ CHStates ((norm‘(𝑓𝐴)) = 1 → (norm‘(𝑓𝐵)) = 1) → 𝐴𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem hstri
Dummy variables 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfral2 3180 . 2 (∀𝑓 ∈ CHStates ((norm‘(𝑓𝐴)) = 1 → (norm‘(𝑓𝐵)) = 1) ↔ ¬ ∃𝑓 ∈ CHStates ¬ ((norm‘(𝑓𝐴)) = 1 → (norm‘(𝑓𝐵)) = 1))
2 hstr.1 . . . . 5 𝐴C
3 hstr.2 . . . . 5 𝐵C
42, 3strlem1 29434 . . . 4 𝐴𝐵 → ∃𝑢 ∈ (𝐴𝐵)(norm𝑢) = 1)
5 eqid 2805 . . . . . . 7 (𝑥C ↦ ((proj𝑥)‘𝑢)) = (𝑥C ↦ ((proj𝑥)‘𝑢))
6 biid 252 . . . . . . 7 ((𝑢 ∈ (𝐴𝐵) ∧ (norm𝑢) = 1) ↔ (𝑢 ∈ (𝐴𝐵) ∧ (norm𝑢) = 1))
75, 6, 2, 3hstrlem3 29445 . . . . . 6 ((𝑢 ∈ (𝐴𝐵) ∧ (norm𝑢) = 1) → (𝑥C ↦ ((proj𝑥)‘𝑢)) ∈ CHStates)
85, 6, 2, 3hstrlem6 29448 . . . . . 6 ((𝑢 ∈ (𝐴𝐵) ∧ (norm𝑢) = 1) → ¬ ((norm‘((𝑥C ↦ ((proj𝑥)‘𝑢))‘𝐴)) = 1 → (norm‘((𝑥C ↦ ((proj𝑥)‘𝑢))‘𝐵)) = 1))
9 fveq1 6404 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑥C ↦ ((proj𝑥)‘𝑢)) → (𝑓𝐴) = ((𝑥C ↦ ((proj𝑥)‘𝑢))‘𝐴))
109fveqeq2d 6413 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑥C ↦ ((proj𝑥)‘𝑢)) → ((norm‘(𝑓𝐴)) = 1 ↔ (norm‘((𝑥C ↦ ((proj𝑥)‘𝑢))‘𝐴)) = 1))
11 fveq1 6404 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑥C ↦ ((proj𝑥)‘𝑢)) → (𝑓𝐵) = ((𝑥C ↦ ((proj𝑥)‘𝑢))‘𝐵))
1211fveqeq2d 6413 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑥C ↦ ((proj𝑥)‘𝑢)) → ((norm‘(𝑓𝐵)) = 1 ↔ (norm‘((𝑥C ↦ ((proj𝑥)‘𝑢))‘𝐵)) = 1))
1310, 12imbi12d 335 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑥C ↦ ((proj𝑥)‘𝑢)) → (((norm‘(𝑓𝐴)) = 1 → (norm‘(𝑓𝐵)) = 1) ↔ ((norm‘((𝑥C ↦ ((proj𝑥)‘𝑢))‘𝐴)) = 1 → (norm‘((𝑥C ↦ ((proj𝑥)‘𝑢))‘𝐵)) = 1)))
1413notbid 309 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑥C ↦ ((proj𝑥)‘𝑢)) → (¬ ((norm‘(𝑓𝐴)) = 1 → (norm‘(𝑓𝐵)) = 1) ↔ ¬ ((norm‘((𝑥C ↦ ((proj𝑥)‘𝑢))‘𝐴)) = 1 → (norm‘((𝑥C ↦ ((proj𝑥)‘𝑢))‘𝐵)) = 1)))
1514rspcev 3501 . . . . . 6 (((𝑥C ↦ ((proj𝑥)‘𝑢)) ∈ CHStates ∧ ¬ ((norm‘((𝑥C ↦ ((proj𝑥)‘𝑢))‘𝐴)) = 1 → (norm‘((𝑥C ↦ ((proj𝑥)‘𝑢))‘𝐵)) = 1)) → ∃𝑓 ∈ CHStates ¬ ((norm‘(𝑓𝐴)) = 1 → (norm‘(𝑓𝐵)) = 1))
167, 8, 15syl2anc 575 . . . . 5 ((𝑢 ∈ (𝐴𝐵) ∧ (norm𝑢) = 1) → ∃𝑓 ∈ CHStates ¬ ((norm‘(𝑓𝐴)) = 1 → (norm‘(𝑓𝐵)) = 1))
1716rexlimiva 3215 . . . 4 (∃𝑢 ∈ (𝐴𝐵)(norm𝑢) = 1 → ∃𝑓 ∈ CHStates ¬ ((norm‘(𝑓𝐴)) = 1 → (norm‘(𝑓𝐵)) = 1))
184, 17syl 17 . . 3 𝐴𝐵 → ∃𝑓 ∈ CHStates ¬ ((norm‘(𝑓𝐴)) = 1 → (norm‘(𝑓𝐵)) = 1))
1918con1i 146 . 2 (¬ ∃𝑓 ∈ CHStates ¬ ((norm‘(𝑓𝐴)) = 1 → (norm‘(𝑓𝐵)) = 1) → 𝐴𝐵)
201, 19sylbi 208 1 (∀𝑓 ∈ CHStates ((norm‘(𝑓𝐴)) = 1 → (norm‘(𝑓𝐵)) = 1) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2158  wral 3095  wrex 3096  cdif 3763  wss 3766  cmpt 4919  cfv 6098  1c1 10219  normcno 28105   C cch 28111  projcpjh 28119  CHStateschst 28145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1880  ax-4 1897  ax-5 2004  ax-6 2070  ax-7 2106  ax-8 2160  ax-9 2167  ax-10 2187  ax-11 2203  ax-12 2216  ax-13 2422  ax-ext 2784  ax-rep 4960  ax-sep 4971  ax-nul 4980  ax-pow 5032  ax-pr 5093  ax-un 7176  ax-inf2 8782  ax-cc 9539  ax-cnex 10274  ax-resscn 10275  ax-1cn 10276  ax-icn 10277  ax-addcl 10278  ax-addrcl 10279  ax-mulcl 10280  ax-mulrcl 10281  ax-mulcom 10282  ax-addass 10283  ax-mulass 10284  ax-distr 10285  ax-i2m1 10286  ax-1ne0 10287  ax-1rid 10288  ax-rnegex 10289  ax-rrecex 10290  ax-cnre 10291  ax-pre-lttri 10292  ax-pre-lttrn 10293  ax-pre-ltadd 10294  ax-pre-mulgt0 10295  ax-pre-sup 10296  ax-addf 10297  ax-mulf 10298  ax-hilex 28181  ax-hfvadd 28182  ax-hvcom 28183  ax-hvass 28184  ax-hv0cl 28185  ax-hvaddid 28186  ax-hfvmul 28187  ax-hvmulid 28188  ax-hvmulass 28189  ax-hvdistr1 28190  ax-hvdistr2 28191  ax-hvmul0 28192  ax-hfi 28261  ax-his1 28264  ax-his2 28265  ax-his3 28266  ax-his4 28267  ax-hcompl 28384
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1865  df-sb 2063  df-eu 2636  df-mo 2637  df-clab 2792  df-cleq 2798  df-clel 2801  df-nfc 2936  df-ne 2978  df-nel 3081  df-ral 3100  df-rex 3101  df-reu 3102  df-rmo 3103  df-rab 3104  df-v 3392  df-sbc 3631  df-csb 3726  df-dif 3769  df-un 3771  df-in 3773  df-ss 3780  df-pss 3782  df-nul 4114  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-iin 4711  df-br 4841  df-opab 4903  df-mpt 4920  df-tr 4943  df-id 5216  df-eprel 5221  df-po 5229  df-so 5230  df-fr 5267  df-se 5268  df-we 5269  df-xp 5314  df-rel 5315  df-cnv 5316  df-co 5317  df-dm 5318  df-rn 5319  df-res 5320  df-ima 5321  df-pred 5890  df-ord 5936  df-on 5937  df-lim 5938  df-suc 5939  df-iota 6061  df-fun 6100  df-fn 6101  df-f 6102  df-f1 6103  df-fo 6104  df-f1o 6105  df-fv 6106  df-isom 6107  df-riota 6832  df-ov 6874  df-oprab 6875  df-mpt2 6876  df-of 7124  df-om 7293  df-1st 7395  df-2nd 7396  df-supp 7527  df-wrecs 7639  df-recs 7701  df-rdg 7739  df-1o 7793  df-2o 7794  df-oadd 7797  df-omul 7798  df-er 7976  df-map 8091  df-pm 8092  df-ixp 8143  df-en 8190  df-dom 8191  df-sdom 8192  df-fin 8193  df-fsupp 8512  df-fi 8553  df-sup 8584  df-inf 8585  df-oi 8651  df-card 9045  df-acn 9048  df-cda 9272  df-pnf 10358  df-mnf 10359  df-xr 10360  df-ltxr 10361  df-le 10362  df-sub 10550  df-neg 10551  df-div 10967  df-nn 11303  df-2 11360  df-3 11361  df-4 11362  df-5 11363  df-6 11364  df-7 11365  df-8 11366  df-9 11367  df-n0 11556  df-z 11640  df-dec 11756  df-uz 11901  df-q 12004  df-rp 12043  df-xneg 12158  df-xadd 12159  df-xmul 12160  df-ioo 12393  df-ico 12395  df-icc 12396  df-fz 12546  df-fzo 12686  df-fl 12813  df-seq 13021  df-exp 13080  df-hash 13334  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16284  df-topn 16285  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-topgen 16305  df-pt 16306  df-prds 16309  df-xrs 16363  df-qtop 16368  df-imas 16369  df-xps 16371  df-mre 16447  df-mrc 16448  df-acs 16450  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17947  df-cmn 18392  df-psmet 19942  df-xmet 19943  df-met 19944  df-bl 19945  df-mopn 19946  df-fbas 19947  df-fg 19948  df-cnfld 19951  df-top 20908  df-topon 20925  df-topsp 20947  df-bases 20960  df-cld 21033  df-ntr 21034  df-cls 21035  df-nei 21112  df-cn 21241  df-cnp 21242  df-lm 21243  df-haus 21329  df-tx 21575  df-hmeo 21768  df-fil 21859  df-fm 21951  df-flim 21952  df-flf 21953  df-xms 22334  df-ms 22335  df-tms 22336  df-cfil 23261  df-cau 23262  df-cmet 23263  df-grpo 27672  df-gid 27673  df-ginv 27674  df-gdiv 27675  df-ablo 27724  df-vc 27739  df-nv 27772  df-va 27775  df-ba 27776  df-sm 27777  df-0v 27778  df-vs 27779  df-nmcv 27780  df-ims 27781  df-dip 27881  df-ssp 27902  df-ph 27993  df-cbn 28044  df-hnorm 28150  df-hba 28151  df-hvsub 28153  df-hlim 28154  df-hcau 28155  df-sh 28389  df-ch 28403  df-oc 28434  df-ch0 28435  df-shs 28492  df-chj 28494  df-pjh 28579  df-hst 29396
This theorem is referenced by:  hstrbi  29450
  Copyright terms: Public domain W3C validator