Theorem sgmmul 15242

Description: The divisor function for fixed parameter 𝐴 is a multiplicative function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sgmmul	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) → (𝐴 σ (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 σ 𝑀) · (𝐴 σ 𝑁)))

Proof of Theorem sgmmul

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1005	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) → 𝑀 ∈ ℕ)
2		simpr2 1006	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		simpr3 1007	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
4		eqid 2196	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑀} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑀}
5		eqid 2196	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}
6		eqid 2196	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑀 · 𝑁)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑀 · 𝑁)}
7		ssrab2 3269	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑀} ⊆ ℕ
8		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑀}) → 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑀})
9	7, 8	sselid 3182	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑀}) → 𝑗 ∈ ℕ)
10	9	nnrpd 9771	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑀}) → 𝑗 ∈ ℝ+)
11		simpll 527	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑀}) → 𝐴 ∈ ℂ)
12	10, 11	rpcncxpcld 15173	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑀}) → (𝑗↑𝑐𝐴) ∈ ℂ)
13		ssrab2 3269	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ⊆ ℕ
14		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
15	13, 14	sselid 3182	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑘 ∈ ℕ)
16	15	nnrpd 9771	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑘 ∈ ℝ+)
17		simpll 527	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝐴 ∈ ℂ)
18	16, 17	rpcncxpcld 15173	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑘↑𝑐𝐴) ∈ ℂ)
19	9	adantrr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑀} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})) → 𝑗 ∈ ℕ)
20	19	nnrpd 9771	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑀} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})) → 𝑗 ∈ ℝ+)
21	15	adantrl 478	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑀} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})) → 𝑘 ∈ ℕ)
22	21	nnrpd 9771	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑀} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})) → 𝑘 ∈ ℝ+)
23		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑀} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})) → 𝐴 ∈ ℂ)
24		rpmulcxp 15155	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑗 · 𝑘)↑𝑐𝐴) = ((𝑗↑𝑐𝐴) · (𝑘↑𝑐𝐴)))
25	20, 22, 23, 24	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑀} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})) → ((𝑗 · 𝑘)↑𝑐𝐴) = ((𝑗↑𝑐𝐴) · (𝑘↑𝑐𝐴)))
26	25	eqcomd 2202	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑀} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})) → ((𝑗↑𝑐𝐴) · (𝑘↑𝑐𝐴)) = ((𝑗 · 𝑘)↑𝑐𝐴))
27		oveq1 5930	. . 3 ⊢ (𝑖 = (𝑗 · 𝑘) → (𝑖↑𝑐𝐴) = ((𝑗 · 𝑘)↑𝑐𝐴))
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 18, 26, 27	fsumdvdsmul 15237	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) → (Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑀} (𝑗↑𝑐𝐴) · Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (𝑘↑𝑐𝐴)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑀 · 𝑁)} (𝑖↑𝑐𝐴))
29		sgmval 15229	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝑀) = Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑀} (𝑗↑𝑐𝐴))
30	1, 29	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) → (𝐴 σ 𝑀) = Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑀} (𝑗↑𝑐𝐴))
31		sgmval 15229	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝑁) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (𝑘↑𝑐𝐴))
32	2, 31	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) → (𝐴 σ 𝑁) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (𝑘↑𝑐𝐴))
33	30, 32	oveq12d 5941	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝐴 σ 𝑀) · (𝐴 σ 𝑁)) = (Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑀} (𝑗↑𝑐𝐴) · Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (𝑘↑𝑐𝐴)))
34	1, 2	nnmulcld 9041	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ)
35		sgmval 15229	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ) → (𝐴 σ (𝑀 · 𝑁)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑀 · 𝑁)} (𝑖↑𝑐𝐴))
36	34, 35	syldan 282	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) → (𝐴 σ (𝑀 · 𝑁)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑀 · 𝑁)} (𝑖↑𝑐𝐴))
37	28, 33, 36	3eqtr4rd 2240	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)) → (𝐴 σ (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 σ 𝑀) · (𝐴 σ 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {crab 2479   class class class wbr 4034  (class class class)co 5923  ℂcc 7879  1c1 7882   · cmul 7886  ℕcn 8992  ℝ⁺crp 9730  Σcsu 11520   ∥ cdvds 11954   gcd cgcd 12130  ↑_𝑐ccxp 15103   σ csgm 15227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-pre-mulext 7999  ax-arch 8000  ax-caucvg 8001  ax-pre-suploc 8002  ax-addf 8003  ax-mulf 8004

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-disj 4012  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-of 6136  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-irdg 6429  df-frec 6450  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-er 6593  df-map 6710  df-pm 6711  df-en 6801  df-dom 6802  df-fin 6803  df-sup 7051  df-inf 7052  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-div 8702  df-inn 8993  df-2 9051  df-3 9052  df-4 9053  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-q 9696  df-rp 9731  df-xneg 9849  df-xadd 9850  df-ioo 9969  df-ico 9971  df-icc 9972  df-fz 10086  df-fzo 10220  df-fl 10362  df-mod 10417  df-seqfrec 10542  df-exp 10633  df-fac 10820  df-bc 10842  df-ihash 10870  df-shft 10982  df-cj 11009  df-re 11010  df-im 11011  df-rsqrt 11165  df-abs 11166  df-clim 11446  df-sumdc 11521  df-ef 11815  df-e 11816  df-dvds 11955  df-gcd 12131  df-rest 12922  df-topgen 12941  df-psmet 14109  df-xmet 14110  df-met 14111  df-bl 14112  df-mopn 14113  df-top 14244  df-topon 14257  df-bases 14289  df-ntr 14342  df-cn 14434  df-cnp 14435  df-tx 14499  df-cncf 14817  df-limced 14902  df-dvap 14903  df-relog 15104  df-rpcxp 15105  df-sgm 15228

This theorem is referenced by:  perfect1  15244  perfectlem1  15245  perfectlem2  15246