Theorem perfect1 15883

Description: Euclid's contribution to the Euclid-Euler theorem. A number of the form 2↑(𝑝 − 1) · (2↑𝑝 − 1) is a perfect number. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
perfect1	⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 σ ((2↑(𝑃 − 1)) · ((2↑𝑃) − 1))) = ((2↑𝑃) · ((2↑𝑃) − 1)))

Proof of Theorem perfect1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mersenne 15882	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		prmnn 12811	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
4		1sgm2ppw 15880	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (1 σ (2↑(𝑃 − 1))) = ((2↑𝑃) − 1))
5	3, 4	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 σ (2↑(𝑃 − 1))) = ((2↑𝑃) − 1))
6		1sgmprm 15879	. . . . 5 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ → (1 σ ((2↑𝑃) − 1)) = (((2↑𝑃) − 1) + 1))
7	6	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 σ ((2↑𝑃) − 1)) = (((2↑𝑃) − 1) + 1))
8		2nn 9401	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
9	3	nnnn0d 9555	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ0)
10		nnexpcl 10918	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (2↑𝑃) ∈ ℕ)
11	8, 9, 10	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑𝑃) ∈ ℕ)
12	11	nncnd 9253	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑𝑃) ∈ ℂ)
13		ax-1cn 8222	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
14		npcan 8484	. . . . 5 ⊢ (((2↑𝑃) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2↑𝑃) − 1) + 1) = (2↑𝑃))
15	12, 13, 14	sylancl 413	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (((2↑𝑃) − 1) + 1) = (2↑𝑃))
16	7, 15	eqtrd 2267	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 σ ((2↑𝑃) − 1)) = (2↑𝑃))
17	5, 16	oveq12d 6070	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((1 σ (2↑(𝑃 − 1))) · (1 σ ((2↑𝑃) − 1))) = (((2↑𝑃) − 1) · (2↑𝑃)))
18	13	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 ∈ ℂ)
19		nnm1nn0 9539	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
20	3, 19	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
21		nnexpcl 10918	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
22	8, 20, 21	sylancr 414	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
23		prmnn 12811	. . . 4 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ)
24	23	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ)
25	22	nnzd 9702	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
26		prmz 12812	. . . . . 6 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℤ)
27	26	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℤ)
28	25, 27	gcdcomd 12674	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑(𝑃 − 1)) gcd ((2↑𝑃) − 1)) = (((2↑𝑃) − 1) gcd (2↑(𝑃 − 1))))
29		iddvds 12494	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℤ → ((2↑𝑃) − 1) ∥ ((2↑𝑃) − 1))
30	27, 29	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑃) − 1) ∥ ((2↑𝑃) − 1))
31		prmuz2 12832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ → ((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ≥‘2))
32	31	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ≥‘2))
33		eluz2gt1 9937	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < ((2↑𝑃) − 1))
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 < ((2↑𝑃) − 1))
35		ndvdsp1 12622	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2↑𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 1 < ((2↑𝑃) − 1)) → (((2↑𝑃) − 1) ∥ ((2↑𝑃) − 1) → ¬ ((2↑𝑃) − 1) ∥ (((2↑𝑃) − 1) + 1)))
36	27, 24, 34, 35	syl3anc 1274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (((2↑𝑃) − 1) ∥ ((2↑𝑃) − 1) → ¬ ((2↑𝑃) − 1) ∥ (((2↑𝑃) − 1) + 1)))
37	30, 36	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ¬ ((2↑𝑃) − 1) ∥ (((2↑𝑃) − 1) + 1))
38		2z 9607	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
39	38	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 2 ∈ ℤ)
40		dvdsmultr1 12521	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2↑𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ (2↑(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (((2↑𝑃) − 1) ∥ (2↑(𝑃 − 1)) → ((2↑𝑃) − 1) ∥ ((2↑(𝑃 − 1)) · 2)))
41	27, 25, 39, 40	syl3anc 1274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (((2↑𝑃) − 1) ∥ (2↑(𝑃 − 1)) → ((2↑𝑃) − 1) ∥ ((2↑(𝑃 − 1)) · 2)))
42		2cn 9310	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
43		expm1t 10933	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (2↑𝑃) = ((2↑(𝑃 − 1)) · 2))
44	42, 3, 43	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑𝑃) = ((2↑(𝑃 − 1)) · 2))
45	15, 44	eqtr2d 2268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑(𝑃 − 1)) · 2) = (((2↑𝑃) − 1) + 1))
46	45	breq2d 4123	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (((2↑𝑃) − 1) ∥ ((2↑(𝑃 − 1)) · 2) ↔ ((2↑𝑃) − 1) ∥ (((2↑𝑃) − 1) + 1)))
47	41, 46	sylibd 149	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (((2↑𝑃) − 1) ∥ (2↑(𝑃 − 1)) → ((2↑𝑃) − 1) ∥ (((2↑𝑃) − 1) + 1)))
48	37, 47	mtod 669	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ¬ ((2↑𝑃) − 1) ∥ (2↑(𝑃 − 1)))
49		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ)
50		coprm 12845	. . . . . 6 ⊢ ((((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ ∧ (2↑(𝑃 − 1)) ∈ ℤ) → (¬ ((2↑𝑃) − 1) ∥ (2↑(𝑃 − 1)) ↔ (((2↑𝑃) − 1) gcd (2↑(𝑃 − 1))) = 1))
51	49, 25, 50	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (¬ ((2↑𝑃) − 1) ∥ (2↑(𝑃 − 1)) ↔ (((2↑𝑃) − 1) gcd (2↑(𝑃 − 1))) = 1))
52	48, 51	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (((2↑𝑃) − 1) gcd (2↑(𝑃 − 1))) = 1)
53	28, 52	eqtrd 2267	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑(𝑃 − 1)) gcd ((2↑𝑃) − 1)) = 1)
54		sgmmul 15881	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((2↑(𝑃 − 1)) ∈ ℕ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((2↑(𝑃 − 1)) gcd ((2↑𝑃) − 1)) = 1)) → (1 σ ((2↑(𝑃 − 1)) · ((2↑𝑃) − 1))) = ((1 σ (2↑(𝑃 − 1))) · (1 σ ((2↑𝑃) − 1))))
55	18, 22, 24, 53, 54	syl13anc 1276	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 σ ((2↑(𝑃 − 1)) · ((2↑𝑃) − 1))) = ((1 σ (2↑(𝑃 − 1))) · (1 σ ((2↑𝑃) − 1))))
56		subcl 8474	. . . 4 ⊢ (((2↑𝑃) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℂ)
57	12, 13, 56	sylancl 413	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℂ)
58	12, 57	mulcomd 8297	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑃) · ((2↑𝑃) − 1)) = (((2↑𝑃) − 1) · (2↑𝑃)))
59	17, 55, 58	3eqtr4d 2277	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 σ ((2↑(𝑃 − 1)) · ((2↑𝑃) − 1))) = ((2↑𝑃) · ((2↑𝑃) − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4111  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  ℂcc 8127  1c1 8130   + caddc 8132   · cmul 8134   < clt 8310   − cmin 8446  ℕcn 9239  2c2 9290  ℕ₀cn0 9498  ℤcz 9579  ℤ_≥cuz 9856  ↑cexp 10904   ∥ cdvds 12477   gcd cgcd 12653  ℙcprime 12808   σ csgm 15866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247  ax-arch 8248  ax-caucvg 8249  ax-pre-suploc 8250  ax-addf 8251  ax-mulf 8252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-disj 4088  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-isom 5363  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-of 6268  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-frec 6624  df-1o 6649  df-2o 6650  df-oadd 6653  df-er 6769  df-map 6886  df-pm 6887  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-sup 7277  df-inf 7278  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-div 8949  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-n0 9499  df-xnn0 9566  df-z 9580  df-uz 9857  df-q 9955  df-rp 9990  df-xneg 10108  df-xadd 10109  df-ioo 10228  df-ico 10230  df-icc 10231  df-fz 10346  df-fzo 10481  df-fl 10634  df-mod 10689  df-seqfrec 10814  df-exp 10905  df-fac 11092  df-bc 11114  df-ihash 11143  df-shft 11504  df-cj 11531  df-re 11532  df-im 11533  df-rsqrt 11687  df-abs 11688  df-clim 11968  df-sumdc 12043  df-ef 12338  df-e 12339  df-dvds 12478  df-gcd 12654  df-prm 12809  df-pc 12987  df-rest 13471  df-topgen 13490  df-psmet 14708  df-xmet 14709  df-met 14710  df-bl 14711  df-mopn 14712  df-top 14880  df-topon 14893  df-bases 14925  df-ntr 14978  df-cn 15070  df-cnp 15071  df-tx 15135  df-cncf 15453  df-limced 15538  df-dvap 15539  df-relog 15740  df-rpcxp 15741  df-sgm 15867

This theorem is referenced by:  perfect  15886