Theorem 3lexlogpow5ineq4 42773

Description: Sharper logarithm inequality chain. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
3lexlogpow5ineq4.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
3lexlogpow5ineq4.2	⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
3lexlogpow5ineq4	⊢ (𝜑 → 9 < ((2 logb 𝑋)↑5))

Proof of Theorem 3lexlogpow5ineq4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9re 12343	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
3		11nn 12739	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℕ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ;11 ∈ ℕ)
5	4	nnred 12251	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ;11 ∈ ℝ)
6		7re 12337	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
8		0red 11214	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
9		7pos 12358	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 7
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 7)
11	8, 10	ltned 11349	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 7)
12	11	necomd 3020	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 7 ≠ 0)
13	5, 7, 12	redivcld 12046	. . 3 ⊢ (𝜑 → (;11 / 7) ∈ ℝ)
14		5nn0 12527	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
16	13, 15	reexpcld 14202	. 2 ⊢ (𝜑 → ((;11 / 7)↑5) ∈ ℝ)
17		2re 12318	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
19		2pos 12348	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
21		3lexlogpow5ineq4.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
22		3re 12324	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
24		3pos 12352	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
26		3lexlogpow5ineq4.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑋)
27	8, 23, 21, 25, 26	ltletrd 11373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
28		1red 11212	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
29		1lt2 12416	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
31	28, 30	ltned 11349	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
32	31	necomd 3020	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
33	18, 20, 21, 27, 32	relogbcld 42691	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑋) ∈ ℝ)
34	33, 15	reexpcld 14202	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑋)↑5) ∈ ℝ)
35		3lexlogpow5ineq1 42771	. . 3 ⊢ 9 < ((;11 / 7)↑5)
36	35	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 9 < ((;11 / 7)↑5))
37	21, 26	3lexlogpow5ineq2 42772	. 2 ⊢ (𝜑 → ((;11 / 7)↑5) ≤ ((2 logb 𝑋)↑5))
38	2, 16, 34, 36, 37	ltletrd 11373	1 ⊢ (𝜑 → 9 < ((2 logb 𝑋)↑5))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2150   class class class wbr 5114  (class class class)co 7414  ℝcr 11102  0cc0 11103  1c1 11104   < clt 11246   ≤ cle 11247   / cdiv 11874  ℕcn 12236  2c2 12298  3c3 12299  5c5 12301  7c7 12303  9c9 12305  ℕ₀cn0 12507  ;cdc 12714  ↑cexp 14100   log_b clogb 26909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-inf2 9613  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180  ax-pre-sup 11181  ax-addf 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-se 5619  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7678  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-ixp 8899  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-fin 8950  df-fsupp 9325  df-fi 9374  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-card 9928  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11875  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12508  df-z 12595  df-dec 12715  df-uz 12866  df-q 12976  df-rp 13020  df-xneg 13140  df-xadd 13141  df-xmul 13142  df-ioo 13379  df-ioc 13380  df-ico 13381  df-icc 13382  df-fz 13539  df-fzo 13686  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14041  df-exp 14101  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15107  df-cj 15153  df-re 15154  df-im 15155  df-sqrt 15289  df-abs 15290  df-limsup 15525  df-clim 15542  df-rlim 15543  df-sum 15741  df-ef 16124  df-sin 16126  df-cos 16127  df-pi 16129  df-struct 17210  df-sets 17227  df-slot 17245  df-ndx 17257  df-base 17273  df-ress 17294  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-starv 17328  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-ip 17331  df-tset 17332  df-ple 17333  df-ds 17335  df-unif 17336  df-hom 17337  df-cco 17338  df-rest 17478  df-topn 17479  df-0g 17497  df-gsum 17498  df-topgen 17499  df-pt 17500  df-prds 17503  df-xrs 17559  df-qtop 17564  df-imas 17565  df-xps 17567  df-mre 17641  df-mrc 17642  df-acs 17644  df-mgm 18701  df-sgrp 18780  df-mnd 18796  df-submnd 18845  df-mulg 19137  df-cntz 19390  df-cmn 19855  df-psmet 21497  df-xmet 21498  df-met 21499  df-bl 21500  df-mopn 21501  df-fbas 21502  df-fg 21503  df-cnfld 21506  df-top 23034  df-topon 23051  df-topsp 23073  df-bases 23086  df-cld 23159  df-ntr 23160  df-cls 23161  df-nei 23238  df-lp 23276  df-perf 23277  df-cn 23367  df-cnp 23368  df-haus 23455  df-tx 23702  df-hmeo 23895  df-fil 23986  df-fm 24078  df-flim 24079  df-flf 24080  df-xms 24460  df-ms 24461  df-tms 24462  df-cncf 25020  df-limc 26008  df-dv 26009  df-log 26701  df-cxp 26702  df-logb 26910

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq3  42774  aks4d1lem1  42779  aks4d1p1  42793  aks4d1p6  42798  aks4d1p7d1  42799  aks4d1p7  42800  aks4d1p8  42804