Theorem 3lexlogpow5ineq4 42909

Description: Sharper logarithm inequality chain. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
3lexlogpow5ineq4.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
3lexlogpow5ineq4.2	⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
3lexlogpow5ineq4	⊢ (𝜑 → 9 < ((2 logb 𝑋)↑5))

Proof of Theorem 3lexlogpow5ineq4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9re 12367	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
3		11nn 12764	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℕ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ;11 ∈ ℕ)
5	4	nnred 12275	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ;11 ∈ ℝ)
6		7re 12361	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
8		0red 11238	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
9		7pos 12382	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 7
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 7)
11	8, 10	ltned 11373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 7)
12	11	necomd 3012	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 7 ≠ 0)
13	5, 7, 12	redivcld 12070	. . 3 ⊢ (𝜑 → (;11 / 7) ∈ ℝ)
14		5nn0 12551	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
16	13, 15	reexpcld 14229	. 2 ⊢ (𝜑 → ((;11 / 7)↑5) ∈ ℝ)
17		2re 12342	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
19		2pos 12372	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
21		3lexlogpow5ineq4.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
22		3re 12348	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
24		3pos 12376	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
26		3lexlogpow5ineq4.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑋)
27	8, 23, 21, 25, 26	ltletrd 11397	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
28		1red 11236	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
29		1lt2 12440	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
31	28, 30	ltned 11373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
32	31	necomd 3012	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
33	18, 20, 21, 27, 32	relogbcld 42827	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑋) ∈ ℝ)
34	33, 15	reexpcld 14229	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑋)↑5) ∈ ℝ)
35		3lexlogpow5ineq1 42907	. . 3 ⊢ 9 < ((;11 / 7)↑5)
36	35	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 9 < ((;11 / 7)↑5))
37	21, 26	3lexlogpow5ineq2 42908	. 2 ⊢ (𝜑 → ((;11 / 7)↑5) ≤ ((2 logb 𝑋)↑5))
38	2, 16, 34, 36, 37	ltletrd 11397	1 ⊢ (𝜑 → 9 < ((2 logb 𝑋)↑5))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  (class class class)co 7416  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   < clt 11270   ≤ cle 11271   / cdiv 11898  ℕcn 12260  2c2 12322  3c3 12323  5c5 12325  7c7 12327  9c9 12329  ℕ₀cn0 12531  ;cdc 12739  ↑cexp 14127   log_b clogb 26999

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-ioo 13404  df-ioc 13405  df-ico 13406  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-mod 13933  df-seq 14068  df-exp 14128  df-fac 14340  df-bc 14369  df-hash 14397  df-shft 15142  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-limsup 15560  df-clim 15577  df-rlim 15578  df-sum 15776  df-ef 16157  df-sin 16159  df-cos 16160  df-pi 16162  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-rest 17511  df-topn 17512  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-topgen 17532  df-pt 17533  df-prds 17536  df-xrs 17592  df-qtop 17597  df-imas 17598  df-xps 17600  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-submnd 18893  df-mulg 19192  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-fbas 21583  df-fg 21584  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cld 23245  df-ntr 23246  df-cls 23247  df-nei 23324  df-lp 23362  df-perf 23363  df-cn 23453  df-cnp 23454  df-haus 23541  df-tx 23789  df-hmeo 23982  df-fil 24073  df-fm 24165  df-flim 24166  df-flf 24167  df-xms 24547  df-ms 24548  df-tms 24549  df-cncf 25107  df-limc 26095  df-dv 26096  df-log 26791  df-cxp 26792  df-logb 27000

This theorem is used by:  3lexlogpow5ineq3  42910  aks4d1lem1  42915  aks4d1p1  42929  aks4d1p6  42934  aks4d1p7d1  42935  aks4d1p7  42936  aks4d1p8  42940