Theorem 3lexlogpow5ineq3 42456

Description: Combined inequality chain for a specific power of the binary logarithm, proposed by Mario Carneiro. (Contributed by metakunt, 22-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
3lexlogpow5ineq3.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
3lexlogpow5ineq3.2	⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
3lexlogpow5ineq3	⊢ (𝜑 → 7 < ((2 logb 𝑋)↑5))

Proof of Theorem 3lexlogpow5ineq3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7re 12252	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
3		9re 12258	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
5		2re 12233	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
7		2pos 12262	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
9		3lexlogpow5ineq3.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
10		0red 11149	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
11		3re 12239	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
13		3pos 12264	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
15		3lexlogpow5ineq3.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑋)
16	10, 12, 9, 14, 15	ltletrd 11307	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
17		1red 11147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
18		1lt2 12325	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
20	17, 19	ltned 11283	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
21	20	necomd 2988	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
22	6, 8, 9, 16, 21	relogbcld 42372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑋) ∈ ℝ)
23		5nn0 12435	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
25	22, 24	reexpcld 14100	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑋)↑5) ∈ ℝ)
26		7lt9 12354	. . 3 ⊢ 7 < 9
27	26	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 7 < 9)
28	9, 15	3lexlogpow5ineq4 42455	. 2 ⊢ (𝜑 → 9 < ((2 logb 𝑋)↑5))
29	2, 4, 25, 27, 28	lttrd 11308	1 ⊢ (𝜑 → 7 < ((2 logb 𝑋)↑5))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7370  ℝcr 11039  0cc0 11040  1c1 11041   < clt 11180   ≤ cle 11181  2c2 12214  3c3 12215  5c5 12217  7c7 12219  9c9 12221  ℕ₀cn0 12415  ↑cexp 13998   log_b clogb 26747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-inf2 9564  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118  ax-addf 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-supp 8115  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-er 8647  df-map 8779  df-pm 8780  df-ixp 8850  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-fsupp 9279  df-fi 9328  df-sup 9359  df-inf 9360  df-oi 9429  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-q 12876  df-rp 12920  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13279  df-ioc 13280  df-ico 13281  df-icc 13282  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-fl 13726  df-mod 13804  df-seq 13939  df-exp 13999  df-fac 14211  df-bc 14240  df-hash 14268  df-shft 15004  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173  df-limsup 15408  df-clim 15425  df-rlim 15426  df-sum 15624  df-ef 16004  df-sin 16006  df-cos 16007  df-pi 16009  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-starv 17206  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-ip 17209  df-tset 17210  df-ple 17211  df-ds 17213  df-unif 17214  df-hom 17215  df-cco 17216  df-rest 17356  df-topn 17357  df-0g 17375  df-gsum 17376  df-topgen 17377  df-pt 17378  df-prds 17381  df-xrs 17437  df-qtop 17442  df-imas 17443  df-xps 17445  df-mre 17519  df-mrc 17520  df-acs 17522  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-submnd 18723  df-mulg 19015  df-cntz 19263  df-cmn 19728  df-psmet 21318  df-xmet 21319  df-met 21320  df-bl 21321  df-mopn 21322  df-fbas 21323  df-fg 21324  df-cnfld 21327  df-top 22855  df-topon 22872  df-topsp 22894  df-bases 22907  df-cld 22980  df-ntr 22981  df-cls 22982  df-nei 23059  df-lp 23097  df-perf 23098  df-cn 23188  df-cnp 23189  df-haus 23276  df-tx 23523  df-hmeo 23716  df-fil 23807  df-fm 23899  df-flim 23900  df-flf 23901  df-xms 24281  df-ms 24282  df-tms 24283  df-cncf 24844  df-limc 25840  df-dv 25841  df-log 26538  df-cxp 26539  df-logb 26748

This theorem is referenced by:  aks4d1p1p3  42468  aks4d1p1p2  42469  aks4d1p1p4  42470  aks4d1p2  42476  aks4d1p3  42477