Theorem 3lexlogpow5ineq3 41597

Description: Combined inequality chain for a specific power of the binary logarithm, proposed by Mario Carneiro. (Contributed by metakunt, 22-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
3lexlogpow5ineq3.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
3lexlogpow5ineq3.2	⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
3lexlogpow5ineq3	⊢ (𝜑 → 7 < ((2 logb 𝑋)↑5))

Proof of Theorem 3lexlogpow5ineq3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7re 12335	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
3		9re 12341	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
5		2re 12316	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
7		2pos 12345	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
9		3lexlogpow5ineq3.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
10		0red 11247	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
11		3re 12322	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
13		3pos 12347	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
15		3lexlogpow5ineq3.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑋)
16	10, 12, 9, 14, 15	ltletrd 11404	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
17		1red 11245	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
18		1lt2 12413	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
20	17, 19	ltned 11380	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
21	20	necomd 2986	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
22	6, 8, 9, 16, 21	relogbcld 41512	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑋) ∈ ℝ)
23		5nn0 12522	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
25	22, 24	reexpcld 14159	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑋)↑5) ∈ ℝ)
26		7lt9 12442	. . 3 ⊢ 7 < 9
27	26	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 7 < 9)
28	9, 15	3lexlogpow5ineq4 41596	. 2 ⊢ (𝜑 → 9 < ((2 logb 𝑋)↑5))
29	2, 4, 25, 27, 28	lttrd 11405	1 ⊢ (𝜑 → 7 < ((2 logb 𝑋)↑5))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5148  (class class class)co 7417  ℝcr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   < clt 11278   ≤ cle 11279  2c2 12297  3c3 12298  5c5 12300  7c7 12302  9c9 12304  ℕ₀cn0 12502  ↑cexp 14058   log_b clogb 26726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7683  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-sin 16045  df-cos 16046  df-pi 16048  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-top 22826  df-topon 22843  df-topsp 22865  df-bases 22879  df-cld 22953  df-ntr 22954  df-cls 22955  df-nei 23032  df-lp 23070  df-perf 23071  df-cn 23161  df-cnp 23162  df-haus 23249  df-tx 23496  df-hmeo 23689  df-fil 23780  df-fm 23872  df-flim 23873  df-flf 23874  df-xms 24256  df-ms 24257  df-tms 24258  df-cncf 24828  df-limc 25825  df-dv 25826  df-log 26520  df-cxp 26521  df-logb 26727

This theorem is referenced by:  aks4d1p1p3  41609  aks4d1p1p2  41610  aks4d1p1p4  41611  aks4d1p2  41617  aks4d1p3  41618