Theorem crosspdotsumlem 51392

Description: Lemma for crosspdotd 51393. Expand the group sum over (1...3) into an explicit three-term sum. (Contributed by Jiamin Zhao, 12-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
crosspdotd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
crosspdotd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
crosspdotd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))

Assertion

Ref	Expression
crosspdotsumlem	⊢ (𝜑 → (ℝfld Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem crosspdotsumlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crosspdotd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
2		crosspdotd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
3		crosspdotd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
4	1, 2, 3	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))))
5		df-refld 21966	. . . . 5 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
6	5	oveq1i 7461	. . . 4 ⊢ (ℝfld Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = ((ℂfld ↾s ℝ) Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘))))
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (ℝfld Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = ((ℂfld ↾s ℝ) Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))))
8		fzfid 14156	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (1...3) ∈ Fin)
9		simp1 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
10		elmapi 8907	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) → 𝐴:(1...3)⟶ℝ)
11	9, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → 𝐴:(1...3)⟶ℝ)
12	11	ffvelcdmda 7116	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
13		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
14		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
15	13, 14	crosspcld 51387	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (𝐵⊠𝐶) ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
16		elmapi 8907	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵⊠𝐶) ∈ (ℝ ↑m (1...3)) → (𝐵⊠𝐶):(1...3)⟶ℝ)
17	15, 16	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (𝐵⊠𝐶):(1...3)⟶ℝ)
18	17	ffvelcdmda 7116	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘) ∈ ℝ)
19	12, 18	remulcld 11378	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) ∈ ℝ)
20	8, 19	regsumfsum 21795	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((ℂfld ↾s ℝ) Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (1...3)((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))
21		1p2e3 12525	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 2) = 3
22	21	eqcomi 2772	. . . . . . . 8 ⊢ 3 = (1 + 2)
23	22	oveq2i 7462	. . . . . . 7 ⊢ (1...3) = (1...(1 + 2))
24		1z 12766	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
25		fztp 13754	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
27	23, 26	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ (1...3) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
28	27	sumeq1i 15908	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...3)((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {1, (1 + 1), (1 + 2)} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘))
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → Σ𝑘 ∈ (1...3)((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {1, (1 + 1), (1 + 2)} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))
30		eqidd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 = 1)
31		1p1e2 12506	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 1) = 2
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 + 1) = 2)
33	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 + 2) = 3)
34	30, 32, 33	tpeq123d 4711	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3})
35	24, 34	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3}
36	35	sumeq1i 15908	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ {1, (1 + 1), (1 + 2)} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘))
37	36	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → Σ𝑘 ∈ {1, (1 + 1), (1 + 2)} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))
38		fveq2 6916	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘1))
39		fveq2 6916	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘) = ((𝐵⊠𝐶)‘1))
40	38, 39	oveq12d 7469	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = ((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)))
41		fveq2 6916	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘2))
42		fveq2 6916	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘) = ((𝐵⊠𝐶)‘2))
43	41, 42	oveq12d 7469	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = ((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)))
44		fveq2 6916	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘3))
45		fveq2 6916	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 3 → ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘) = ((𝐵⊠𝐶)‘3))
46	44, 45	oveq12d 7469	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 3 → ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))
47	9	rr3fv1cld 51375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (𝐴‘1) ∈ ℝ)
48	15	rr3fv1cld 51375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐵⊠𝐶)‘1) ∈ ℝ)
49	47, 48	remulcld 11378	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) ∈ ℝ)
50	49	recnd 11376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) ∈ ℂ)
51	9	rr3fv2cld 51376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (𝐴‘2) ∈ ℝ)
52	15	rr3fv2cld 51376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐵⊠𝐶)‘2) ∈ ℝ)
53	51, 52	remulcld 11378	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) ∈ ℝ)
54	53	recnd 11376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) ∈ ℂ)
55	9	rr3fv3cld 51377	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (𝐴‘3) ∈ ℝ)
56	15	rr3fv3cld 51377	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐵⊠𝐶)‘3) ∈ ℝ)
57	55, 56	remulcld 11378	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)) ∈ ℝ)
58	57	recnd 11376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)) ∈ ℂ)
59	50, 54, 58	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)) ∈ ℂ))
60		2z 12768	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
61		3z 12769	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℤ
62	24, 60, 61	3pm3.2i 1358	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
63	62	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ))
64		1ne2 12593	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
65	64	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → 1 ≠ 2)
66		1ne3 51369	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 3
67	66	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → 1 ≠ 3)
68		2ne3 51370	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 3
69	68	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → 2 ≠ 3)
70	40, 43, 46, 59, 63, 65, 67, 69	sumtp 15959	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = ((((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + ((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2))) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3))))
71	50, 54, 58	addassd 11370	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + ((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2))) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3))) = (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))))
72	70, 71	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))))
73	29, 37, 72	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → Σ𝑘 ∈ (1...3)((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))))
74	7, 20, 73	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (ℝfld Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))))
75	4, 74	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (ℝfld Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  {ctp 4592   ↦ cmpt 5192  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ↑_m cmap 8885  ℂcc 11237  ℝcr 11238  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244  2c2 12437  3c3 12438  ℤcz 12733  ...cfz 13679  Σcsu 15897   ↾_s cress 17452   Σ_g cgsu 17661  ℂ_fldccnfld 21729  ℝ_fldcrefld 21965  ⊠ccrossp 51378

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-clim 15699  df-sum 15898  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-euf 17499  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-ur 20459  df-ring 20512  df-cring 20513  df-cnfld 21730  df-refld 21966  df-crossp 51379

This theorem is used by:  crosspdotd  51393