Theorem crosspdotsumlem 51007

Description: Lemma for crosspdotd 51008. Expand the group sum over (1...3) into an explicit three-term sum. (Contributed by Jiamin Zhao, 12-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
crosspdotd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
crosspdotd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
crosspdotd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))

Assertion

Ref	Expression
crosspdotsumlem	⊢ (𝜑 → (ℝfld Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem crosspdotsumlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crosspdotd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
2		crosspdotd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
3		crosspdotd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
4	1, 2, 3	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))))
5		df-refld 21911	. . . . 5 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
6	5	oveq1i 7430	. . . 4 ⊢ (ℝfld Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = ((ℂfld ↾s ℝ) Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘))))
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (ℝfld Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = ((ℂfld ↾s ℝ) Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))))
8		fzfid 14116	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (1...3) ∈ Fin)
9		simp1 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
10		elmapi 8869	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) → 𝐴:(1...3)⟶ℝ)
11	9, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → 𝐴:(1...3)⟶ℝ)
12	11	ffvelcdmda 7084	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
13		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
14		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
15	13, 14	crosspcld 51002	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (𝐵⊠𝐶) ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
16		elmapi 8869	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵⊠𝐶) ∈ (ℝ ↑m (1...3)) → (𝐵⊠𝐶):(1...3)⟶ℝ)
17	15, 16	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (𝐵⊠𝐶):(1...3)⟶ℝ)
18	17	ffvelcdmda 7084	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘) ∈ ℝ)
19	12, 18	remulcld 11339	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) ∈ ℝ)
20	8, 19	regsumfsum 21741	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((ℂfld ↾s ℝ) Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (1...3)((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))
21		1p2e3 12485	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 2) = 3
22	21	eqcomi 2769	. . . . . . . 8 ⊢ 3 = (1 + 2)
23	22	oveq2i 7431	. . . . . . 7 ⊢ (1...3) = (1...(1 + 2))
24		1z 12726	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
25		fztp 13714	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
27	23, 26	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ (1...3) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
28	27	sumeq1i 15864	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...3)((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {1, (1 + 1), (1 + 2)} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘))
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → Σ𝑘 ∈ (1...3)((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {1, (1 + 1), (1 + 2)} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))
30		eqidd 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 = 1)
31		1p1e2 12466	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 1) = 2
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 + 1) = 2)
33	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 + 2) = 3)
34	30, 32, 33	tpeq123d 4708	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3})
35	24, 34	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3}
36	35	sumeq1i 15864	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ {1, (1 + 1), (1 + 2)} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘))
37	36	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → Σ𝑘 ∈ {1, (1 + 1), (1 + 2)} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))
38		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘1))
39		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘) = ((𝐵⊠𝐶)‘1))
40	38, 39	oveq12d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = ((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)))
41		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘2))
42		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘) = ((𝐵⊠𝐶)‘2))
43	41, 42	oveq12d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = ((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)))
44		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘3))
45		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 3 → ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘) = ((𝐵⊠𝐶)‘3))
46	44, 45	oveq12d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 3 → ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))
47	9	rr3fv1cld 50990	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (𝐴‘1) ∈ ℝ)
48	15	rr3fv1cld 50990	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐵⊠𝐶)‘1) ∈ ℝ)
49	47, 48	remulcld 11339	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) ∈ ℝ)
50	49	recnd 11337	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) ∈ ℂ)
51	9	rr3fv2cld 50991	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (𝐴‘2) ∈ ℝ)
52	15	rr3fv2cld 50991	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐵⊠𝐶)‘2) ∈ ℝ)
53	51, 52	remulcld 11339	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) ∈ ℝ)
54	53	recnd 11337	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) ∈ ℂ)
55	9	rr3fv3cld 50992	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (𝐴‘3) ∈ ℝ)
56	15	rr3fv3cld 50992	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐵⊠𝐶)‘3) ∈ ℝ)
57	55, 56	remulcld 11339	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)) ∈ ℝ)
58	57	recnd 11337	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)) ∈ ℂ)
59	50, 54, 58	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)) ∈ ℂ))
60		2z 12728	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
61		3z 12729	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℤ
62	24, 60, 61	3pm3.2i 1358	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
63	62	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ))
64		1ne2 12553	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
65	64	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → 1 ≠ 2)
66		1ne3 50984	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 3
67	66	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → 1 ≠ 3)
68		2ne3 50985	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 3
69	68	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → 2 ≠ 3)
70	40, 43, 46, 59, 63, 65, 67, 69	sumtp 15915	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = ((((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + ((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2))) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3))))
71	50, 54, 58	addassd 11331	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + ((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2))) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3))) = (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))))
72	70, 71	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))))
73	29, 37, 72	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → Σ𝑘 ∈ (1...3)((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))))
74	7, 20, 73	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (ℝfld Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))))
75	4, 74	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (ℝfld Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  {ctp 4587   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8847  ℂcc 11198  ℝcr 11199  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205  2c2 12397  3c3 12398  ℤcz 12693  ...cfz 13639  Σcsu 15853   ↾_s cress 17408   Σ_g cgsu 17611  ℂ_fldccnfld 21678  ℝ_fldcrefld 21910  ⊠ccrossp 50993

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-sum 15854  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-cnfld 21679  df-refld 21911  df-crossp 50994

This theorem is used by:  crosspdotd  51008