Theorem crosspdotsumlem 50703

Description: Lemma for crosspdotd 50704. Expand the group sum over (1...3) into an explicit three-term sum. (Contributed by Jiamin Zhao, 12-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
crosspdotd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
crosspdotd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
crosspdotd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))

Assertion

Ref	Expression
crosspdotsumlem	⊢ (𝜑 → (ℝfld Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem crosspdotsumlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crosspdotd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
2		crosspdotd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
3		crosspdotd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
4	1, 2, 3	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))))
5		df-refld 21805	. . . . 5 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
6	5	oveq1i 7429	. . . 4 ⊢ (ℝfld Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = ((ℂfld ↾s ℝ) Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘))))
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (ℝfld Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = ((ℂfld ↾s ℝ) Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))))
8		fzfid 14027	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (1...3) ∈ Fin)
9		simp1 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
10		elmapi 8852	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) → 𝐴:(1...3)⟶ℝ)
11	9, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → 𝐴:(1...3)⟶ℝ)
12	11	ffvelcdmda 7083	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
13		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
14		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
15	13, 14	crosspcld 50698	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (𝐵⊠𝐶) ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
16		elmapi 8852	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵⊠𝐶) ∈ (ℝ ↑m (1...3)) → (𝐵⊠𝐶):(1...3)⟶ℝ)
17	15, 16	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (𝐵⊠𝐶):(1...3)⟶ℝ)
18	17	ffvelcdmda 7083	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘) ∈ ℝ)
19	12, 18	remulcld 11254	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) ∈ ℝ)
20	8, 19	regsumfsum 21635	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((ℂfld ↾s ℝ) Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (1...3)((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))
21		1p2e3 12398	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 2) = 3
22	21	eqcomi 2774	. . . . . . . 8 ⊢ 3 = (1 + 2)
23	22	oveq2i 7430	. . . . . . 7 ⊢ (1...3) = (1...(1 + 2))
24		1z 12639	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
25		fztp 13625	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
27	23, 26	eqtri 2788	. . . . . 6 ⊢ (1...3) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
28	27	sumeq1i 15772	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...3)((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {1, (1 + 1), (1 + 2)} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘))
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → Σ𝑘 ∈ (1...3)((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {1, (1 + 1), (1 + 2)} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))
30		eqidd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 = 1)
31		1p1e2 12379	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 1) = 2
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 + 1) = 2)
33	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 + 2) = 3)
34	30, 32, 33	tpeq123d 4716	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3})
35	24, 34	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3}
36	35	sumeq1i 15772	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ {1, (1 + 1), (1 + 2)} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘))
37	36	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → Σ𝑘 ∈ {1, (1 + 1), (1 + 2)} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))
38		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘1))
39		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘) = ((𝐵⊠𝐶)‘1))
40	38, 39	oveq12d 7437	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = ((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)))
41		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘2))
42		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘) = ((𝐵⊠𝐶)‘2))
43	41, 42	oveq12d 7437	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = ((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)))
44		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘3))
45		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 3 → ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘) = ((𝐵⊠𝐶)‘3))
46	44, 45	oveq12d 7437	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 3 → ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))
47	9	rr3fv1cld 50686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (𝐴‘1) ∈ ℝ)
48	15	rr3fv1cld 50686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐵⊠𝐶)‘1) ∈ ℝ)
49	47, 48	remulcld 11254	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) ∈ ℝ)
50	49	recnd 11252	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) ∈ ℂ)
51	9	rr3fv2cld 50687	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (𝐴‘2) ∈ ℝ)
52	15	rr3fv2cld 50687	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐵⊠𝐶)‘2) ∈ ℝ)
53	51, 52	remulcld 11254	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) ∈ ℝ)
54	53	recnd 11252	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) ∈ ℂ)
55	9	rr3fv3cld 50688	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (𝐴‘3) ∈ ℝ)
56	15	rr3fv3cld 50688	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐵⊠𝐶)‘3) ∈ ℝ)
57	55, 56	remulcld 11254	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)) ∈ ℝ)
58	57	recnd 11252	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)) ∈ ℂ)
59	50, 54, 58	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)) ∈ ℂ))
60		2z 12641	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
61		3z 12642	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℤ
62	24, 60, 61	3pm3.2i 1358	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
63	62	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ))
64		1ne2 12466	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
65	64	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → 1 ≠ 2)
66		1ne3 50680	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 3
67	66	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → 1 ≠ 3)
68		2ne3 50681	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 3
69	68	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → 2 ≠ 3)
70	40, 43, 46, 59, 63, 65, 67, 69	sumtp 15823	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = ((((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + ((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2))) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3))))
71	50, 54, 58	addassd 11246	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + ((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2))) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3))) = (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))))
72	70, 71	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))))
73	29, 37, 72	3eqtrd 2804	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → Σ𝑘 ∈ (1...3)((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))))
74	7, 20, 73	3eqtrd 2804	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (ℝfld Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))))
75	4, 74	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (ℝfld Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  {ctp 4595   ↦ cmpt 5194  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ↑_m cmap 8830  ℂcc 11113  ℝcr 11114  1c1 11116   + caddc 11118   · cmul 11120  2c2 12310  3c3 12311  ℤcz 12606  ...cfz 13551  Σcsu 15761   ↾_s cress 17312   Σ_g cgsu 17515  ℂ_fldccnfld 21572  ℝ_fldcrefld 21804  ⊠ccrossp 50689

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193  ax-addf 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-rp 13033  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-seq 14056  df-exp 14116  df-hash 14385  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-clim 15563  df-sum 15762  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-starv 17347  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-unif 17355  df-0g 17516  df-gsum 17517  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-cntz 19431  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-ur 20308  df-ring 20361  df-cring 20362  df-cnfld 21573  df-refld 21805  df-crossp 50690

This theorem is used by:  crosspdotd  50704