Theorem crosspdotsumlem 50797

Description: Lemma for crosspdotd 50798. Expand the group sum over (1...3) into an explicit three-term sum. (Contributed by Jiamin Zhao, 12-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
crosspdotd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
crosspdotd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
crosspdotd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))

Assertion

Ref	Expression
crosspdotsumlem	⊢ (𝜑 → (ℝfld Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem crosspdotsumlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crosspdotd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
2		crosspdotd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
3		crosspdotd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
4	1, 2, 3	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))))
5		df-refld 21818	. . . . 5 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
6	5	oveq1i 7423	. . . 4 ⊢ (ℝfld Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = ((ℂfld ↾s ℝ) Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘))))
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (ℝfld Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = ((ℂfld ↾s ℝ) Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))))
8		fzfid 14037	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (1...3) ∈ Fin)
9		simp1 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
10		elmapi 8848	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) → 𝐴:(1...3)⟶ℝ)
11	9, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → 𝐴:(1...3)⟶ℝ)
12	11	ffvelcdmda 7077	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
13		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
14		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
15	13, 14	crosspcld 50792	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (𝐵⊠𝐶) ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
16		elmapi 8848	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵⊠𝐶) ∈ (ℝ ↑m (1...3)) → (𝐵⊠𝐶):(1...3)⟶ℝ)
17	15, 16	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (𝐵⊠𝐶):(1...3)⟶ℝ)
18	17	ffvelcdmda 7077	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘) ∈ ℝ)
19	12, 18	remulcld 11263	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) ∈ ℝ)
20	8, 19	regsumfsum 21648	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((ℂfld ↾s ℝ) Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (1...3)((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))
21		1p2e3 12407	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 2) = 3
22	21	eqcomi 2769	. . . . . . . 8 ⊢ 3 = (1 + 2)
23	22	oveq2i 7424	. . . . . . 7 ⊢ (1...3) = (1...(1 + 2))
24		1z 12648	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
25		fztp 13635	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
27	23, 26	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ (1...3) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
28	27	sumeq1i 15784	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...3)((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {1, (1 + 1), (1 + 2)} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘))
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → Σ𝑘 ∈ (1...3)((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {1, (1 + 1), (1 + 2)} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))
30		eqidd 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 = 1)
31		1p1e2 12388	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 1) = 2
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 + 1) = 2)
33	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 + 2) = 3)
34	30, 32, 33	tpeq123d 4709	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3})
35	24, 34	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3}
36	35	sumeq1i 15784	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ {1, (1 + 1), (1 + 2)} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘))
37	36	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → Σ𝑘 ∈ {1, (1 + 1), (1 + 2)} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))
38		fveq2 6878	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘1))
39		fveq2 6878	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘) = ((𝐵⊠𝐶)‘1))
40	38, 39	oveq12d 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = ((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)))
41		fveq2 6878	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘2))
42		fveq2 6878	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘) = ((𝐵⊠𝐶)‘2))
43	41, 42	oveq12d 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = ((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)))
44		fveq2 6878	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘3))
45		fveq2 6878	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 3 → ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘) = ((𝐵⊠𝐶)‘3))
46	44, 45	oveq12d 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 3 → ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))
47	9	rr3fv1cld 50780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (𝐴‘1) ∈ ℝ)
48	15	rr3fv1cld 50780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐵⊠𝐶)‘1) ∈ ℝ)
49	47, 48	remulcld 11263	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) ∈ ℝ)
50	49	recnd 11261	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) ∈ ℂ)
51	9	rr3fv2cld 50781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (𝐴‘2) ∈ ℝ)
52	15	rr3fv2cld 50781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐵⊠𝐶)‘2) ∈ ℝ)
53	51, 52	remulcld 11263	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) ∈ ℝ)
54	53	recnd 11261	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) ∈ ℂ)
55	9	rr3fv3cld 50782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (𝐴‘3) ∈ ℝ)
56	15	rr3fv3cld 50782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐵⊠𝐶)‘3) ∈ ℝ)
57	55, 56	remulcld 11263	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)) ∈ ℝ)
58	57	recnd 11261	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)) ∈ ℂ)
59	50, 54, 58	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)) ∈ ℂ))
60		2z 12650	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
61		3z 12651	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℤ
62	24, 60, 61	3pm3.2i 1358	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
63	62	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ))
64		1ne2 12475	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
65	64	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → 1 ≠ 2)
66		1ne3 50774	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 3
67	66	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → 1 ≠ 3)
68		2ne3 50775	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 3
69	68	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → 2 ≠ 3)
70	40, 43, 46, 59, 63, 65, 67, 69	sumtp 15835	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = ((((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + ((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2))) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3))))
71	50, 54, 58	addassd 11255	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + ((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2))) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3))) = (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))))
72	70, 71	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))))
73	29, 37, 72	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → Σ𝑘 ∈ (1...3)((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))))
74	7, 20, 73	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (ℝfld Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))))
75	4, 74	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (ℝfld Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  {ctp 4588   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ↑_m cmap 8826  ℂcc 11122  ℝcr 11123  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129  2c2 12319  3c3 12320  ℤcz 12615  ...cfz 13561  Σcsu 15773   ↾_s cress 17322   Σ_g cgsu 17525  ℂ_fldccnfld 21585  ℝ_fldcrefld 21817  ⊠ccrossp 50783

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-rp 13043  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-clim 15575  df-sum 15774  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-cntz 19444  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-ur 20321  df-ring 20374  df-cring 20375  df-cnfld 21586  df-refld 21818  df-crossp 50784

This theorem is used by:  crosspdotd  50798