Theorem crosspdotsumlem 50933

Description: Lemma for crosspdotd 50934. Expand the group sum over (1...3) into an explicit three-term sum. (Contributed by Jiamin Zhao, 12-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
crosspdotd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
crosspdotd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
crosspdotd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))

Assertion

Ref	Expression
crosspdotsumlem	⊢ (𝜑 → (ℝfld Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem crosspdotsumlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crosspdotd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
2		crosspdotd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
3		crosspdotd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
4	1, 2, 3	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))))
5		df-refld 21904	. . . . 5 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
6	5	oveq1i 7428	. . . 4 ⊢ (ℝfld Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = ((ℂfld ↾s ℝ) Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘))))
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (ℝfld Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = ((ℂfld ↾s ℝ) Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))))
8		fzfid 14109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (1...3) ∈ Fin)
9		simp1 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
10		elmapi 8862	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) → 𝐴:(1...3)⟶ℝ)
11	9, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → 𝐴:(1...3)⟶ℝ)
12	11	ffvelcdmda 7082	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
13		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
14		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
15	13, 14	crosspcld 50928	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (𝐵⊠𝐶) ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
16		elmapi 8862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵⊠𝐶) ∈ (ℝ ↑m (1...3)) → (𝐵⊠𝐶):(1...3)⟶ℝ)
17	15, 16	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (𝐵⊠𝐶):(1...3)⟶ℝ)
18	17	ffvelcdmda 7082	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘) ∈ ℝ)
19	12, 18	remulcld 11332	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) ∈ ℝ)
20	8, 19	regsumfsum 21734	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((ℂfld ↾s ℝ) Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (1...3)((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))
21		1p2e3 12478	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 2) = 3
22	21	eqcomi 2770	. . . . . . . 8 ⊢ 3 = (1 + 2)
23	22	oveq2i 7429	. . . . . . 7 ⊢ (1...3) = (1...(1 + 2))
24		1z 12719	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
25		fztp 13707	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
27	23, 26	eqtri 2784	. . . . . 6 ⊢ (1...3) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
28	27	sumeq1i 15857	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...3)((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {1, (1 + 1), (1 + 2)} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘))
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → Σ𝑘 ∈ (1...3)((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {1, (1 + 1), (1 + 2)} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))
30		eqidd 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 = 1)
31		1p1e2 12459	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 1) = 2
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 + 1) = 2)
33	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 + 2) = 3)
34	30, 32, 33	tpeq123d 4709	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3})
35	24, 34	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3}
36	35	sumeq1i 15857	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ {1, (1 + 1), (1 + 2)} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘))
37	36	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → Σ𝑘 ∈ {1, (1 + 1), (1 + 2)} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))
38		fveq2 6883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘1))
39		fveq2 6883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘) = ((𝐵⊠𝐶)‘1))
40	38, 39	oveq12d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = ((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)))
41		fveq2 6883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘2))
42		fveq2 6883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘) = ((𝐵⊠𝐶)‘2))
43	41, 42	oveq12d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = ((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)))
44		fveq2 6883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘3))
45		fveq2 6883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 3 → ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘) = ((𝐵⊠𝐶)‘3))
46	44, 45	oveq12d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 3 → ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))
47	9	rr3fv1cld 50916	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (𝐴‘1) ∈ ℝ)
48	15	rr3fv1cld 50916	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐵⊠𝐶)‘1) ∈ ℝ)
49	47, 48	remulcld 11332	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) ∈ ℝ)
50	49	recnd 11330	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) ∈ ℂ)
51	9	rr3fv2cld 50917	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (𝐴‘2) ∈ ℝ)
52	15	rr3fv2cld 50917	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐵⊠𝐶)‘2) ∈ ℝ)
53	51, 52	remulcld 11332	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) ∈ ℝ)
54	53	recnd 11330	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) ∈ ℂ)
55	9	rr3fv3cld 50918	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (𝐴‘3) ∈ ℝ)
56	15	rr3fv3cld 50918	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐵⊠𝐶)‘3) ∈ ℝ)
57	55, 56	remulcld 11332	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)) ∈ ℝ)
58	57	recnd 11330	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)) ∈ ℂ)
59	50, 54, 58	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)) ∈ ℂ))
60		2z 12721	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
61		3z 12722	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℤ
62	24, 60, 61	3pm3.2i 1358	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
63	62	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ))
64		1ne2 12546	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
65	64	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → 1 ≠ 2)
66		1ne3 50910	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 3
67	66	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → 1 ≠ 3)
68		2ne3 50911	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 3
69	68	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → 2 ≠ 3)
70	40, 43, 46, 59, 63, 65, 67, 69	sumtp 15908	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = ((((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + ((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2))) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3))))
71	50, 54, 58	addassd 11324	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → ((((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + ((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2))) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3))) = (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))))
72	70, 71	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))))
73	29, 37, 72	3eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → Σ𝑘 ∈ (1...3)((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)) = (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))))
74	7, 20, 73	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐵 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐶 ∈ (ℝ ↑m (1...3))) → (ℝfld Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))))
75	4, 74	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (ℝfld Σg (𝑘 ∈ (1...3) ↦ ((𝐴‘𝑘) · ((𝐵⊠𝐶)‘𝑘)))) = (((𝐴‘1) · ((𝐵⊠𝐶)‘1)) + (((𝐴‘2) · ((𝐵⊠𝐶)‘2)) + ((𝐴‘3) · ((𝐵⊠𝐶)‘3)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  {ctp 4588   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   ↑_m cmap 8840  ℂcc 11191  ℝcr 11192  1c1 11194   + caddc 11196   · cmul 11198  2c2 12390  3c3 12391  ℤcz 12686  ...cfz 13632  Σcsu 15846   ↾_s cress 17401   Σ_g cgsu 17604  ℂ_fldccnfld 21671  ℝ_fldcrefld 21903  ⊠ccrossp 50919

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271  ax-addf 11272

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-rp 13114  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-exp 14198  df-hash 14468  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-clim 15648  df-sum 15847  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-ur 20401  df-ring 20454  df-cring 20455  df-cnfld 21672  df-refld 21904  df-crossp 50920

This theorem is used by:  crosspdotd  50934