Theorem dimcl 33901

Description: Closure of the vector space dimension. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
dimcl	⊢ (𝑉 ∈ LVec → (dim‘𝑉) ∈ ℕ0*)

Proof of Theorem dimcl

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (LBasis‘𝑉) = (LBasis‘𝑉)
2	1	lbsex 21236	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → (LBasis‘𝑉) ≠ ∅)
3		n0 4306	. . 3 ⊢ ((LBasis‘𝑉) ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
4	2, 3	sylib 220	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
5	1	dimval 33899	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (dim‘𝑉) = (♯‘𝑏))
6		hashxnn0 14353	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉) → (♯‘𝑏) ∈ ℕ0*)
7	6	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (♯‘𝑏) ∈ ℕ0*)
8	5, 7	eqeltrd 2863	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (dim‘𝑉) ∈ ℕ0*)
9	4, 8	exlimddv 1956	1 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → (dim‘𝑉) ∈ ℕ0*)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399  ∃wex 1800   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∅c0 4286  ‘cfv 6522  ℕ₀^*cxnn0 12555  ♯chash 14344  LBasisclbs 21142  LVecclvec 21170  dimcldim 33897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-reg 9541  ax-inf2 9597  ax-ac2 10421  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-isom 6531  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-rpss 7707  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-2o 8439  df-oadd 8442  df-er 8679  df-map 8811  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-oi 9459  df-r1 9723  df-rank 9724  df-dju 9860  df-card 9898  df-acn 9901  df-ac 10073  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12483  df-xnn0 12556  df-z 12570  df-dec 12690  df-uz 12841  df-fz 13514  df-hash 14345  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-ress 17268  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-tset 17306  df-ple 17307  df-ocomp 17308  df-0g 17471  df-mre 17615  df-mrc 17616  df-mri 17617  df-acs 17618  df-proset 18327  df-drs 18328  df-poset 18346  df-ipo 18561  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-submnd 18819  df-grp 18979  df-minusg 18980  df-sbg 18981  df-subg 19166  df-cmn 19823  df-abl 19824  df-mgp 20188  df-rng 20200  df-ur 20233  df-ring 20286  df-oppr 20387  df-dvdsr 20407  df-unit 20408  df-invr 20438  df-drng 20782  df-lmod 20930  df-lss 21000  df-lsp 21040  df-lbs 21143  df-lvec 21171  df-dim 33898

This theorem is referenced by:  drngdimgt0  33916  lvecendof1f1o  33931  extdgcl  33954  fldextrspunfld  33974