Theorem dimcl 31005

Description: Closure of the vector space dimension. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
dimcl	⊢ (𝑉 ∈ LVec → (dim‘𝑉) ∈ ℕ0*)

Proof of Theorem dimcl

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (LBasis‘𝑉) = (LBasis‘𝑉)
2	1	lbsex 19939	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → (LBasis‘𝑉) ≠ ∅)
3		n0 4312	. . 3 ⊢ ((LBasis‘𝑉) ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
4	2, 3	sylib 220	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
5	1	dimval 31003	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (dim‘𝑉) = (♯‘𝑏))
6		hashxnn0 13702	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉) → (♯‘𝑏) ∈ ℕ0*)
7	6	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (♯‘𝑏) ∈ ℕ0*)
8	5, 7	eqeltrd 2915	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (dim‘𝑉) ∈ ℕ0*)
9	4, 8	exlimddv 1936	1 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → (dim‘𝑉) ∈ ℕ0*)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398  ∃wex 1780   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∅c0 4293  ‘cfv 6357  ℕ₀^*cxnn0 11970  ♯chash 13693  LBasisclbs 19848  LVecclvec 19876  dimcldim 31001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-reg 9058  ax-inf2 9106  ax-ac2 9887  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-rpss 7451  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-tpos 7894  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-oi 8976  df-r1 9195  df-rank 9196  df-dju 9332  df-card 9370  df-acn 9373  df-ac 9544  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-xnn0 11971  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-fz 12896  df-hash 13694  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ocomp 16588  df-0g 16717  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-mri 16861  df-acs 16862  df-proset 17540  df-drs 17541  df-poset 17558  df-ipo 17764  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-subg 18278  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-oppr 19375  df-dvdsr 19393  df-unit 19394  df-invr 19424  df-drng 19506  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-lsp 19746  df-lbs 19849  df-lvec 19877  df-dim 31002

This theorem is referenced by:  drngdimgt0  31018  extdgcl  31048