Theorem dimcl 34143

Description: Closure of the vector space dimension. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
dimcl	⊢ (𝑉 ∈ LVec → (dim‘𝑉) ∈ ℕ0*)

Proof of Theorem dimcl

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (LBasis‘𝑉) = (LBasis‘𝑉)
2	1	lbsex 21379	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → (LBasis‘𝑉) ≠ ∅)
3		n0 4300	. . 3 ⊢ ((LBasis‘𝑉) ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
4	2, 3	sylib 221	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
5	1	dimval 34141	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (dim‘𝑉) = (♯‘𝑏))
6		hashxnn0 14425	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉) → (♯‘𝑏) ∈ ℕ0*)
7	6	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (♯‘𝑏) ∈ ℕ0*)
8	5, 7	eqeltrd 2860	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (dim‘𝑉) ∈ ℕ0*)
9	4, 8	exlimddv 1968	1 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → (dim‘𝑉) ∈ ℕ0*)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∅c0 4279  ‘cfv 6534  ℕ₀^*cxnn0 12623  ♯chash 14416  LBasisclbs 21285  LVecclvec 21313  dimcldim 34139

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7738  ax-reg 9568  ax-inf2 9624  ax-ac2 10487  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7372  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-rpss 7726  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8226  df-frecs 8282  df-wrecs 8313  df-recs 8362  df-rdg 8401  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-oi 9486  df-r1 9750  df-rank 9751  df-scott 9890  df-dju 9928  df-card 9966  df-acn 9969  df-ac 10141  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11489  df-neg 11490  df-nn 12280  df-2 12349  df-3 12350  df-4 12351  df-5 12352  df-6 12353  df-7 12354  df-8 12355  df-9 12356  df-n0 12551  df-xnn0 12624  df-z 12638  df-dec 12759  df-uz 12910  df-fz 13584  df-hash 14417  df-struct 17261  df-sets 17278  df-slot 17296  df-ndx 17308  df-base 17324  df-ress 17345  df-plusg 17377  df-mulr 17378  df-tset 17383  df-ple 17384  df-ocomp 17385  df-0g 17548  df-mre 17692  df-mrc 17693  df-mri 17694  df-acs 17695  df-proset 18404  df-drs 18405  df-poset 18423  df-ipo 18638  df-mgm 18752  df-sgrp 18844  df-mnd 18860  df-submnd 18915  df-grp 19083  df-minusg 19084  df-sbg 19085  df-subg 19269  df-cmn 19932  df-abl 19933  df-mgp 20297  df-rng 20311  df-ur 20344  df-ring 20397  df-oppr 20503  df-dvdsr 20523  df-unit 20524  df-invr 20554  df-drng 20918  df-lmod 21073  df-lss 21143  df-lsp 21183  df-lbs 21286  df-lvec 21314  df-dim 34140

This theorem is used by:  drngdimgt0  34158  lvecendof1f1o  34173  extdgcl  34196  fldextrspunfld  34216