Theorem dvresioo 43691

Description: Restriction of a derivative to an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dvresioo	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐵(,)𝐶)))

Proof of Theorem dvresioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 10978	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → ℝ ⊆ ℂ)
3		simpr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
4		simpl 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5		ioossre 13190	. . . 4 ⊢ (𝐵(,)𝐶) ⊆ ℝ
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐵(,)𝐶) ⊆ ℝ)
7		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
8	7	tgioo2 24015	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
9	7, 8	dvres 25124	. . 3 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝐵(,)𝐶) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵(,)𝐶))))
10	2, 3, 4, 6, 9	syl22anc 837	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵(,)𝐶))))
11		ioontr 43278	. . 3 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵(,)𝐶)) = (𝐵(,)𝐶)
12	11	reseq2i 5900	. 2 ⊢ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵(,)𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐵(,)𝐶))
13	10, 12	eqtrdi 2792	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐵(,)𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ⊆ wss 3892  ran crn 5601   ↾ cres 5602  ⟶wf 6454  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  ℂcc 10919  ℝcr 10920  (,)cioo 13129  TopOpenctopn 17181  topGenctg 17197  ℂ_fldccnfld 20646  intcnt 22217   D cdv 25076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998  ax-pre-sup 10999

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3331  df-reu 3332  df-rab 3333  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-map 8648  df-pm 8649  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-fi 9218  df-sup 9249  df-inf 9250  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-div 11683  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-4 12088  df-5 12089  df-6 12090  df-7 12091  df-8 12092  df-9 12093  df-n0 12284  df-z 12370  df-dec 12488  df-uz 12633  df-q 12739  df-rp 12781  df-xneg 12898  df-xadd 12899  df-xmul 12900  df-ioo 13133  df-fz 13290  df-seq 13772  df-exp 13833  df-cj 14859  df-re 14860  df-im 14861  df-sqrt 14995  df-abs 14996  df-struct 16897  df-slot 16932  df-ndx 16944  df-base 16962  df-plusg 17024  df-mulr 17025  df-starv 17026  df-tset 17030  df-ple 17031  df-ds 17033  df-unif 17034  df-rest 17182  df-topn 17183  df-topgen 17203  df-psmet 20638  df-xmet 20639  df-met 20640  df-bl 20641  df-mopn 20642  df-cnfld 20647  df-top 22092  df-topon 22109  df-topsp 22131  df-bases 22145  df-cld 22219  df-ntr 22220  df-cls 22221  df-cnp 22428  df-xms 23522  df-ms 23523  df-limc 25079  df-dv 25080

This theorem is referenced by:  fouriersw  44001