Theorem dvresioo 46367

Description: Restriction of a derivative to an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dvresioo	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐵(,)𝐶)))

Proof of Theorem dvresioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11086	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → ℝ ⊆ ℂ)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
4		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5		ioossre 13351	. . . 4 ⊢ (𝐵(,)𝐶) ⊆ ℝ
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐵(,)𝐶) ⊆ ℝ)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
8		tgioo4 24780	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
9	7, 8	dvres 25888	. . 3 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝐵(,)𝐶) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵(,)𝐶))))
10	2, 3, 4, 6, 9	syl22anc 839	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵(,)𝐶))))
11		ioontr 45959	. . 3 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵(,)𝐶)) = (𝐵(,)𝐶)
12	11	reseq2i 5935	. 2 ⊢ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐵(,)𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐵(,)𝐶))
13	10, 12	eqtrdi 2788	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐵(,)𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ⊆ wss 3890  ran crn 5625   ↾ cres 5626  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  (,)cioo 13289  TopOpenctopn 17375  topGenctg 17391  ℂ_fldccnfld 21344  intcnt 22992   D cdv 25840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-fz 13453  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-rest 17376  df-topn 17377  df-topgen 17397  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-cnp 23203  df-xms 24295  df-ms 24296  df-limc 25843  df-dv 25844

This theorem is referenced by:  fouriersw  46677