Theorem dvdivf 45951

Description: The quotient rule for everywhere-differentiable functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdivf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvdivf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvdivf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶(ℂ ∖ {0}))
dvdivf.fdv	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
dvdivf.gdv	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dvdivf	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘f / 𝐺)) = ((((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∘f − ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹)) ∘f / (𝐺 ∘f · 𝐺)))

Proof of Theorem dvdivf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdivf.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		dvdivf.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
3	2	ffvelcdmda 7074	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
4		dvfg 25859	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
6		dvdivf.fdv	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
7	6	feq2d 6692	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
8	5, 7	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
9	8	ffvelcdmda 7074	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
10	2	feqmptd 6947	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
11	10	oveq2d 7421	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥))))
12	8	feqmptd 6947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
13	11, 12	eqtr3d 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
14		dvdivf.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶(ℂ ∖ {0}))
15	14	ffvelcdmda 7074	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
16		dvfg 25859	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
17	1, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
18		dvdivf.gdv	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
19	18	feq2d 6692	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ))
20	17, 19	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ)
21	20	ffvelcdmda 7074	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) ∈ ℂ)
22	14	feqmptd 6947	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
23	22	oveq2d 7421	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥))))
24	20	feqmptd 6947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
25	23, 24	eqtr3d 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
26	1, 3, 9, 13, 15, 21, 25	dvmptdiv 25930	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) − (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))) / ((𝐺‘𝑥)↑2))))
27		ovex 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 D 𝐹) ∈ V
28	27	dmex 7905	. . . . 5 ⊢ dom (𝑆 D 𝐹) ∈ V
29	6, 28	eqeltrrdi 2843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
30	29, 3, 15, 10, 22	offval2 7691	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f / 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))))
31	30	oveq2d 7421	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘f / 𝐺)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)))))
32		ovexd 7440	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) − (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))) ∈ V)
33	15	eldifad 3938	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
34	33	sqcld 14162	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐺‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
35	9, 33	mulcld 11255	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
36	21, 3	mulcld 11255	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
37	29, 9, 33, 12, 22	offval2 7691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
38	29, 21, 3, 24, 10	offval2 7691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))))
39	29, 35, 36, 37, 38	offval2 7691	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∘f − ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) − (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)))))
40	29, 15, 15, 22, 22	offval2 7691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
41	33	sqvald 14161	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐺‘𝑥)↑2) = ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))
42	41	mpteq2dva 5214	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐺‘𝑥)↑2)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
43	40, 42	eqtr4d 2773	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐺‘𝑥)↑2)))
44	29, 32, 34, 39, 43	offval2 7691	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∘f − ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹)) ∘f / (𝐺 ∘f · 𝐺)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) − (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))) / ((𝐺‘𝑥)↑2))))
45	26, 31, 44	3eqtr4d 2780	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘f / 𝐺)) = ((((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∘f − ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹)) ∘f / (𝐺 ∘f · 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ∖ cdif 3923  {csn 4601  {cpr 4603   ↦ cmpt 5201  dom cdm 5654  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ∘_f cof 7669  ℂcc 11127  ℝcr 11128  0cc0 11129   · cmul 11134   − cmin 11466   / cdiv 11894  2c2 12295  ↑cexp 14079   D cdv 25816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-rest 17436  df-topn 17437  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-topgen 17457  df-pt 17458  df-prds 17461  df-xrs 17516  df-qtop 17521  df-imas 17522  df-xps 17524  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-mulg 19051  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-fbas 21312  df-fg 21313  df-cnfld 21316  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-cld 22957  df-ntr 22958  df-cls 22959  df-nei 23036  df-lp 23074  df-perf 23075  df-cn 23165  df-cnp 23166  df-t1 23252  df-haus 23253  df-tx 23500  df-hmeo 23693  df-fil 23784  df-fm 23876  df-flim 23877  df-flf 23878  df-xms 24259  df-ms 24260  df-tms 24261  df-cncf 24822  df-limc 25819  df-dv 25820

This theorem is referenced by:  dvdivcncf  45956