Theorem dvdivf 43353

Description: The quotient rule for everywhere-differentiable functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdivf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvdivf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvdivf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶(ℂ ∖ {0}))
dvdivf.fdv	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
dvdivf.gdv	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dvdivf	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘f / 𝐺)) = ((((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∘f − ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹)) ∘f / (𝐺 ∘f · 𝐺)))

Proof of Theorem dvdivf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdivf.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		dvdivf.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
3	2	ffvelrnda 6943	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
4		dvfg 24975	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
6		dvdivf.fdv	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
7	6	feq2d 6570	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
8	5, 7	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
9	8	ffvelrnda 6943	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
10	2	feqmptd 6819	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
11	10	oveq2d 7271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥))))
12	8	feqmptd 6819	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
13	11, 12	eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
14		dvdivf.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶(ℂ ∖ {0}))
15	14	ffvelrnda 6943	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
16		dvfg 24975	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
17	1, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
18		dvdivf.gdv	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
19	18	feq2d 6570	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ))
20	17, 19	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ)
21	20	ffvelrnda 6943	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) ∈ ℂ)
22	14	feqmptd 6819	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
23	22	oveq2d 7271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥))))
24	20	feqmptd 6819	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
25	23, 24	eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
26	1, 3, 9, 13, 15, 21, 25	dvmptdiv 25043	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) − (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))) / ((𝐺‘𝑥)↑2))))
27		ovex 7288	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 D 𝐹) ∈ V
28	27	dmex 7732	. . . . 5 ⊢ dom (𝑆 D 𝐹) ∈ V
29	6, 28	eqeltrrdi 2848	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
30	29, 3, 15, 10, 22	offval2 7531	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f / 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))))
31	30	oveq2d 7271	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘f / 𝐺)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)))))
32		ovexd 7290	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) − (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))) ∈ V)
33	15	eldifad 3895	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
34	33	sqcld 13790	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐺‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
35	9, 33	mulcld 10926	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
36	21, 3	mulcld 10926	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
37	29, 9, 33, 12, 22	offval2 7531	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
38	29, 21, 3, 24, 10	offval2 7531	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))))
39	29, 35, 36, 37, 38	offval2 7531	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∘f − ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) − (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)))))
40	29, 15, 15, 22, 22	offval2 7531	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
41	33	sqvald 13789	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐺‘𝑥)↑2) = ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))
42	41	mpteq2dva 5170	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐺‘𝑥)↑2)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
43	40, 42	eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐺‘𝑥)↑2)))
44	29, 32, 34, 39, 43	offval2 7531	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∘f − ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹)) ∘f / (𝐺 ∘f · 𝐺)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) − (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))) / ((𝐺‘𝑥)↑2))))
45	26, 31, 44	3eqtr4d 2788	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘f / 𝐺)) = ((((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∘f − ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹)) ∘f / (𝐺 ∘f · 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880  {csn 4558  {cpr 4560   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5580  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_f cof 7509  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802   · cmul 10807   − cmin 11135   / cdiv 11562  2c2 11958  ↑cexp 13710   D cdv 24932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-t1 22373  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936

This theorem is referenced by:  dvdivcncf  43358