Theorem dvdivf 43463

Description: The quotient rule for everywhere-differentiable functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdivf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvdivf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvdivf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶(ℂ ∖ {0}))
dvdivf.fdv	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
dvdivf.gdv	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dvdivf	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘f / 𝐺)) = ((((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∘f − ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹)) ∘f / (𝐺 ∘f · 𝐺)))

Proof of Theorem dvdivf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdivf.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		dvdivf.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
3	2	ffvelrnda 6961	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
4		dvfg 25070	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
6		dvdivf.fdv	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
7	6	feq2d 6586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
8	5, 7	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
9	8	ffvelrnda 6961	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
10	2	feqmptd 6837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
11	10	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥))))
12	8	feqmptd 6837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
13	11, 12	eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
14		dvdivf.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶(ℂ ∖ {0}))
15	14	ffvelrnda 6961	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
16		dvfg 25070	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
17	1, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
18		dvdivf.gdv	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
19	18	feq2d 6586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ))
20	17, 19	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ)
21	20	ffvelrnda 6961	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) ∈ ℂ)
22	14	feqmptd 6837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
23	22	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥))))
24	20	feqmptd 6837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
25	23, 24	eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
26	1, 3, 9, 13, 15, 21, 25	dvmptdiv 25138	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) − (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))) / ((𝐺‘𝑥)↑2))))
27		ovex 7308	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 D 𝐹) ∈ V
28	27	dmex 7758	. . . . 5 ⊢ dom (𝑆 D 𝐹) ∈ V
29	6, 28	eqeltrrdi 2848	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
30	29, 3, 15, 10, 22	offval2 7553	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f / 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))))
31	30	oveq2d 7291	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘f / 𝐺)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)))))
32		ovexd 7310	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) − (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))) ∈ V)
33	15	eldifad 3899	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
34	33	sqcld 13862	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐺‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
35	9, 33	mulcld 10995	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
36	21, 3	mulcld 10995	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
37	29, 9, 33, 12, 22	offval2 7553	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
38	29, 21, 3, 24, 10	offval2 7553	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))))
39	29, 35, 36, 37, 38	offval2 7553	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∘f − ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) − (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)))))
40	29, 15, 15, 22, 22	offval2 7553	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
41	33	sqvald 13861	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐺‘𝑥)↑2) = ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))
42	41	mpteq2dva 5174	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐺‘𝑥)↑2)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
43	40, 42	eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐺‘𝑥)↑2)))
44	29, 32, 34, 39, 43	offval2 7553	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∘f − ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹)) ∘f / (𝐺 ∘f · 𝐺)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) − (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))) / ((𝐺‘𝑥)↑2))))
45	26, 31, 44	3eqtr4d 2788	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘f / 𝐺)) = ((((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∘f − ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹)) ∘f / (𝐺 ∘f · 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884  {csn 4561  {cpr 4563   ↦ cmpt 5157  dom cdm 5589  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∘_f cof 7531  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871   · cmul 10876   − cmin 11205   / cdiv 11632  2c2 12028  ↑cexp 13782   D cdv 25027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-t1 22465  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031

This theorem is referenced by:  dvdivcncf  43468