Theorem dvdivf 45937

Description: The quotient rule for everywhere-differentiable functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdivf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvdivf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvdivf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶(ℂ ∖ {0}))
dvdivf.fdv	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
dvdivf.gdv	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dvdivf	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘f / 𝐺)) = ((((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∘f − ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹)) ∘f / (𝐺 ∘f · 𝐺)))

Proof of Theorem dvdivf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdivf.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		dvdivf.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
3	2	ffvelcdmda 7104	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
4		dvfg 25941	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
6		dvdivf.fdv	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
7	6	feq2d 6722	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
8	5, 7	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
9	8	ffvelcdmda 7104	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
10	2	feqmptd 6977	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
11	10	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥))))
12	8	feqmptd 6977	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
13	11, 12	eqtr3d 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
14		dvdivf.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶(ℂ ∖ {0}))
15	14	ffvelcdmda 7104	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
16		dvfg 25941	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
17	1, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
18		dvdivf.gdv	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
19	18	feq2d 6722	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ))
20	17, 19	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ)
21	20	ffvelcdmda 7104	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) ∈ ℂ)
22	14	feqmptd 6977	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
23	22	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥))))
24	20	feqmptd 6977	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
25	23, 24	eqtr3d 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
26	1, 3, 9, 13, 15, 21, 25	dvmptdiv 26012	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) − (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))) / ((𝐺‘𝑥)↑2))))
27		ovex 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 D 𝐹) ∈ V
28	27	dmex 7931	. . . . 5 ⊢ dom (𝑆 D 𝐹) ∈ V
29	6, 28	eqeltrrdi 2850	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
30	29, 3, 15, 10, 22	offval2 7717	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f / 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))))
31	30	oveq2d 7447	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘f / 𝐺)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)))))
32		ovexd 7466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) − (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))) ∈ V)
33	15	eldifad 3963	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
34	33	sqcld 14184	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐺‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
35	9, 33	mulcld 11281	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
36	21, 3	mulcld 11281	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
37	29, 9, 33, 12, 22	offval2 7717	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
38	29, 21, 3, 24, 10	offval2 7717	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))))
39	29, 35, 36, 37, 38	offval2 7717	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∘f − ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) − (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)))))
40	29, 15, 15, 22, 22	offval2 7717	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
41	33	sqvald 14183	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐺‘𝑥)↑2) = ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))
42	41	mpteq2dva 5242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐺‘𝑥)↑2)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
43	40, 42	eqtr4d 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐺‘𝑥)↑2)))
44	29, 32, 34, 39, 43	offval2 7717	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∘f − ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹)) ∘f / (𝐺 ∘f · 𝐺)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) − (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))) / ((𝐺‘𝑥)↑2))))
45	26, 31, 44	3eqtr4d 2787	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘f / 𝐺)) = ((((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∘f − ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹)) ∘f / (𝐺 ∘f · 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ∖ cdif 3948  {csn 4626  {cpr 4628   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5685  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155   · cmul 11160   − cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  ↑cexp 14102   D cdv 25898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-t1 23322  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902

This theorem is referenced by:  dvdivcncf  45942