Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvdivf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdivf 44253
Description: The quotient rule for everywhere-differentiable functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdivf.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dvdivf.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
dvdivf.g (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆ(β„‚ βˆ– {0}))
dvdivf.fdv (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
dvdivf.gdv (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
Assertion
Ref Expression
dvdivf (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝐹 ∘f / 𝐺)) = ((((𝑆 D 𝐹) ∘f Β· 𝐺) ∘f βˆ’ ((𝑆 D 𝐺) ∘f Β· 𝐹)) ∘f / (𝐺 ∘f Β· 𝐺)))

Proof of Theorem dvdivf
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdivf.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 dvdivf.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
32ffvelcdmda 7039 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4 dvfg 25293 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚)
51, 4syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚)
6 dvdivf.fdv . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
76feq2d 6658 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚ ↔ (𝑆 D 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚))
85, 7mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚)
98ffvelcdmda 7039 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
102feqmptd 6914 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
1110oveq2d 7377 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐹) = (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜π‘₯))))
128feqmptd 6914 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐹) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯)))
1311, 12eqtr3d 2775 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯)))
14 dvdivf.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆ(β„‚ βˆ– {0}))
1514ffvelcdmda 7039 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
16 dvfg 25293 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)βŸΆβ„‚)
171, 16syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)βŸΆβ„‚)
18 dvdivf.gdv . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
1918feq2d 6658 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)βŸΆβ„‚ ↔ (𝑆 D 𝐺):π‘‹βŸΆβ„‚))
2017, 19mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐺):π‘‹βŸΆβ„‚)
2120ffvelcdmda 7039 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2214feqmptd 6914 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
2322oveq2d 7377 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐺) = (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))
2420feqmptd 6914 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐺) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯)))
2523, 24eqtr3d 2775 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯)))
261, 3, 9, 13, 15, 21, 25dvmptdiv 25361 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) / (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) βˆ’ (((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) / ((πΊβ€˜π‘₯)↑2))))
27 ovex 7394 . . . . . 6 (𝑆 D 𝐹) ∈ V
2827dmex 7852 . . . . 5 dom (𝑆 D 𝐹) ∈ V
296, 28eqeltrrdi 2843 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
3029, 3, 15, 10, 22offval2 7641 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f / 𝐺) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) / (πΊβ€˜π‘₯))))
3130oveq2d 7377 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝐹 ∘f / 𝐺)) = (𝑆 D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) / (πΊβ€˜π‘₯)))))
32 ovexd 7396 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) βˆ’ (((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ V)
3315eldifad 3926 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3433sqcld 14058 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)↑2) ∈ β„‚)
359, 33mulcld 11183 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
3621, 3mulcld 11183 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
3729, 9, 33, 12, 22offval2 7641 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D 𝐹) ∘f Β· 𝐺) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))))
3829, 21, 3, 24, 10offval2 7641 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D 𝐺) ∘f Β· 𝐹) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))))
3929, 35, 36, 37, 38offval2 7641 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝑆 D 𝐹) ∘f Β· 𝐺) ∘f βˆ’ ((𝑆 D 𝐺) ∘f Β· 𝐹)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) βˆ’ (((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)))))
4029, 15, 15, 22, 22offval2 7641 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· 𝐺) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))))
4133sqvald 14057 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)↑2) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)))
4241mpteq2dva 5209 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑2)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))))
4340, 42eqtr4d 2776 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· 𝐺) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)↑2)))
4429, 32, 34, 39, 43offval2 7641 . 2 (πœ‘ β†’ ((((𝑆 D 𝐹) ∘f Β· 𝐺) ∘f βˆ’ ((𝑆 D 𝐺) ∘f Β· 𝐹)) ∘f / (𝐺 ∘f Β· 𝐺)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) βˆ’ (((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) / ((πΊβ€˜π‘₯)↑2))))
4526, 31, 443eqtr4d 2783 1 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝐹 ∘f / 𝐺)) = ((((𝑆 D 𝐹) ∘f Β· 𝐺) ∘f βˆ’ ((𝑆 D 𝐺) ∘f Β· 𝐹)) ∘f / (𝐺 ∘f Β· 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447   βˆ– cdif 3911  {csn 4590  {cpr 4592   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5637  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∘f cof 7619  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059   Β· cmul 11064   βˆ’ cmin 11393   / cdiv 11820  2c2 12216  β†‘cexp 13976   D cdv 25250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-lp 22510  df-perf 22511  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-t1 22688  df-haus 22689  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cncf 24264  df-limc 25253  df-dv 25254
This theorem is referenced by:  dvdivcncf  44258
  Copyright terms: Public domain W3C validator