Theorem esumf1o 34207

Description: Re-index an extended sum using a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumf1o.0	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
esumf1o.b	⊢ Ⅎ𝑛𝐵
esumf1o.d	⊢ Ⅎ𝑘𝐷
esumf1o.a	⊢ Ⅎ𝑛𝐴
esumf1o.c	⊢ Ⅎ𝑛𝐶
esumf1o.f	⊢ Ⅎ𝑛𝐹
esumf1o.1	⊢ (𝑘 = 𝐺 → 𝐵 = 𝐷)
esumf1o.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumf1o.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴)
esumf1o.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑛) = 𝐺)
esumf1o.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
esumf1o	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = Σ*𝑛 ∈ 𝐶𝐷)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑘,𝑛)   𝐺(𝑛)   𝑉(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem esumf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0base 17528	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
2		xrge0cmn 21399	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
4		xrge0tps 34099	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
6		esumf1o.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		esumf1o.5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
8	7	fmpttd 7060	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
9		esumf1o.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴)
10	1, 3, 5, 6, 8, 9	tsmsf1o 24089	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝐹)))
11		esumf1o.b	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝐵
12		esumf1o.d	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐷
13		esumf1o.c	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝐶
14		esumf1o.a	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝐴
15		esumf1o.0	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
16		esumf1o.4	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑛) = 𝐺)
17		f1of 6774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴 → 𝐹:𝐶⟶𝐴)
18	9, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐴)
19	18	ffvelcdmda 7029	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝐴)
20	16, 19	eqeltrrd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → 𝐺 ∈ 𝐴)
21	20	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐶 → 𝐺 ∈ 𝐴))
22	15, 21	ralrimi 3234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐶 𝐺 ∈ 𝐴)
23		esumf1o.f	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛𝐹
24	13, 23, 18	feqmptdf 6904	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑛)))
25	15, 16	mpteq2da 5190	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑛)) = (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐺))
26	24, 25	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐺))
27		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
28		esumf1o.1	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐺 → 𝐵 = 𝐷)
29	11, 12, 13, 14, 15, 22, 26, 27, 28	fmptcof2 32735	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝐹) = (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷))
30	29	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝐹)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)))
31	10, 30	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)))
32	31	unieqd 4876	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)))
33		df-esum 34185	. 2 ⊢ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
34		df-esum 34185	. 2 ⊢ Σ*𝑛 ∈ 𝐶𝐷 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷))
35	32, 33, 34	3eqtr4g 2796	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = Σ*𝑛 ∈ 𝐶𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2113  Ⅎwnfc 2883  ∪ cuni 4863   ↦ cmpt 5179   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11026  +∞cpnf 11163  [,]cicc 13264   ↾_s cress 17157  ℝ^*_𝑠cxrs 17421  CMndccmn 19709  TopSpctps 22876   tsums ctsu 24070  Σ^*cesum 34184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-xadd 13027  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-rest 17342  df-topn 17343  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-topgen 17363  df-ordt 17422  df-xrs 17423  df-ps 18489  df-tsr 18490  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-fbas 21306  df-fg 21307  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-ntr 22964  df-nei 23042  df-fil 23790  df-fm 23882  df-flim 23883  df-flf 23884  df-tsms 24071  df-esum 34185

This theorem is referenced by:  esumc  34208  esumiun  34251  volmeas  34388