Theorem esumf1o 34014

Description: Re-index an extended sum using a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumf1o.0	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
esumf1o.b	⊢ Ⅎ𝑛𝐵
esumf1o.d	⊢ Ⅎ𝑘𝐷
esumf1o.a	⊢ Ⅎ𝑛𝐴
esumf1o.c	⊢ Ⅎ𝑛𝐶
esumf1o.f	⊢ Ⅎ𝑛𝐹
esumf1o.1	⊢ (𝑘 = 𝐺 → 𝐵 = 𝐷)
esumf1o.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumf1o.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴)
esumf1o.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑛) = 𝐺)
esumf1o.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
esumf1o	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = Σ*𝑛 ∈ 𝐶𝐷)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑘,𝑛)   𝐺(𝑛)   𝑉(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem esumf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0base 32997	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
2		xrge0cmn 21449	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
4		xrge0tps 33888	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
6		esumf1o.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		esumf1o.5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
8	7	fmpttd 7149	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
9		esumf1o.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴)
10	1, 3, 5, 6, 8, 9	tsmsf1o 24174	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝐹)))
11		esumf1o.b	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝐵
12		esumf1o.d	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐷
13		esumf1o.c	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝐶
14		esumf1o.a	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝐴
15		esumf1o.0	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
16		esumf1o.4	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑛) = 𝐺)
17		f1of 6862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴 → 𝐹:𝐶⟶𝐴)
18	9, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐴)
19	18	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝐴)
20	16, 19	eqeltrrd 2845	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → 𝐺 ∈ 𝐴)
21	20	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐶 → 𝐺 ∈ 𝐴))
22	15, 21	ralrimi 3263	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐶 𝐺 ∈ 𝐴)
23		esumf1o.f	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛𝐹
24	13, 23, 18	feqmptdf 6992	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑛)))
25	15, 16	mpteq2da 5264	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑛)) = (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐺))
26	24, 25	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐺))
27		eqidd 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
28		esumf1o.1	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐺 → 𝐵 = 𝐷)
29	11, 12, 13, 14, 15, 22, 26, 27, 28	fmptcof2 32675	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝐹) = (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷))
30	29	oveq2d 7464	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝐹)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)))
31	10, 30	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)))
32	31	unieqd 4944	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)))
33		df-esum 33992	. 2 ⊢ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
34		df-esum 33992	. 2 ⊢ Σ*𝑛 ∈ 𝐶𝐷 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷))
35	32, 33, 34	3eqtr4g 2805	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = Σ*𝑛 ∈ 𝐶𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  Ⅎwnf 1781   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2893  ∪ cuni 4931   ↦ cmpt 5249   ∘ ccom 5704  ⟶wf 6569  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  +∞cpnf 11321  [,]cicc 13410   ↾_s cress 17287  ℝ^*_𝑠cxrs 17560  CMndccmn 19822  TopSpctps 22959   tsums ctsu 24155  Σ^*cesum 33991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-xadd 13176  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-ordt 17561  df-xrs 17562  df-ps 18636  df-tsr 18637  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-ntr 23049  df-nei 23127  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-tsms 24156  df-esum 33992

This theorem is referenced by:  esumc  34015  esumiun  34058  volmeas  34195