Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumf1o 30985
Description: Re-index an extended sum using a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumf1o.0 𝑛𝜑
esumf1o.b 𝑛𝐵
esumf1o.d 𝑘𝐷
esumf1o.a 𝑛𝐴
esumf1o.c 𝑛𝐶
esumf1o.f 𝑛𝐹
esumf1o.1 (𝑘 = 𝐺𝐵 = 𝐷)
esumf1o.2 (𝜑𝐴𝑉)
esumf1o.3 (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
esumf1o.4 ((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) = 𝐺)
esumf1o.5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
esumf1o (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = Σ*𝑛𝐶𝐷)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑘,𝑛)   𝐺(𝑛)   𝑉(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem esumf1o
StepHypRef Expression
1 xrge0base 30430 . . . . 5 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
2 xrge0cmn 20304 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
32a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
4 xrge0tps 30861 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
54a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
6 esumf1o.2 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
7 esumf1o.5 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
87fmpttd 6700 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
9 esumf1o.3 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
101, 3, 5, 6, 8, 9tsmsf1o 22471 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝐹)))
11 esumf1o.b . . . . . 6 𝑛𝐵
12 esumf1o.d . . . . . 6 𝑘𝐷
13 esumf1o.c . . . . . 6 𝑛𝐶
14 esumf1o.a . . . . . 6 𝑛𝐴
15 esumf1o.0 . . . . . 6 𝑛𝜑
16 esumf1o.4 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) = 𝐺)
17 f1of 6441 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐶1-1-onto𝐴𝐹:𝐶𝐴)
189, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐶𝐴)
1918ffvelrnda 6674 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) ∈ 𝐴)
2016, 19eqeltrrd 2860 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐶) → 𝐺𝐴)
2120ex 405 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛𝐶𝐺𝐴))
2215, 21ralrimi 3159 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛𝐶 𝐺𝐴)
23 esumf1o.f . . . . . . . 8 𝑛𝐹
2413, 23, 18feqmptdf 6562 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 = (𝑛𝐶 ↦ (𝐹𝑛)))
2515, 16mpteq2da 5017 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛𝐶 ↦ (𝐹𝑛)) = (𝑛𝐶𝐺))
2624, 25eqtrd 2807 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑛𝐶𝐺))
27 eqidd 2772 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵))
28 esumf1o.1 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐺𝐵 = 𝐷)
2911, 12, 13, 14, 15, 22, 26, 27, 28fmptcof2 30181 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝐹) = (𝑛𝐶𝐷))
3029oveq2d 6990 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝐹)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑛𝐶𝐷)))
3110, 30eqtrd 2807 . . 3 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑛𝐶𝐷)))
3231unieqd 4718 . 2 (𝜑 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑛𝐶𝐷)))
33 df-esum 30963 . 2 Σ*𝑘𝐴𝐵 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵))
34 df-esum 30963 . 2 Σ*𝑛𝐶𝐷 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑛𝐶𝐷))
3532, 33, 343eqtr4g 2832 1 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = Σ*𝑛𝐶𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1508  wnf 1747  wcel 2051  wnfc 2909   cuni 4708  cmpt 5004  ccom 5407  wf 6181  1-1-ontowf1o 6184  cfv 6185  (class class class)co 6974  0cc0 10333  +∞cpnf 10469  [,]cicc 12555  s cress 16338  *𝑠cxrs 16627  CMndccmn 18678  TopSpctps 21259   tsums ctsu 22452  Σ*cesum 30962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-se 5363  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-isom 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-supp 7632  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-fsupp 8627  df-fi 8668  df-oi 8767  df-card 9160  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-7 11506  df-8 11507  df-9 11508  df-n0 11706  df-z 11792  df-dec 11910  df-uz 12057  df-xadd 12323  df-icc 12559  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-seq 13183  df-hash 13504  df-struct 16339  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ress 16345  df-plusg 16432  df-mulr 16433  df-tset 16438  df-ple 16439  df-ds 16441  df-rest 16550  df-topn 16551  df-0g 16569  df-gsum 16570  df-topgen 16571  df-ordt 16628  df-xrs 16629  df-ps 17680  df-tsr 17681  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-submnd 17816  df-cntz 18230  df-cmn 18680  df-fbas 20259  df-fg 20260  df-top 21221  df-topon 21238  df-topsp 21260  df-bases 21273  df-ntr 21347  df-nei 21425  df-fil 22173  df-fm 22265  df-flim 22266  df-flf 22267  df-tsms 22453  df-esum 30963
This theorem is referenced by:  esumc  30986  esumiun  31029  volmeas  31167
  Copyright terms: Public domain W3C validator