Theorem esumf1o 33702

Description: Re-index an extended sum using a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumf1o.0	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
esumf1o.b	⊢ Ⅎ𝑛𝐵
esumf1o.d	⊢ Ⅎ𝑘𝐷
esumf1o.a	⊢ Ⅎ𝑛𝐴
esumf1o.c	⊢ Ⅎ𝑛𝐶
esumf1o.f	⊢ Ⅎ𝑛𝐹
esumf1o.1	⊢ (𝑘 = 𝐺 → 𝐵 = 𝐷)
esumf1o.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumf1o.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴)
esumf1o.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑛) = 𝐺)
esumf1o.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
esumf1o	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = Σ*𝑛 ∈ 𝐶𝐷)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑘,𝑛)   𝐺(𝑛)   𝑉(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem esumf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0base 32762	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
2		xrge0cmn 21348	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
4		xrge0tps 33576	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
6		esumf1o.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		esumf1o.5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
8	7	fmpttd 7130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
9		esumf1o.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴)
10	1, 3, 5, 6, 8, 9	tsmsf1o 24069	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝐹)))
11		esumf1o.b	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝐵
12		esumf1o.d	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐷
13		esumf1o.c	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝐶
14		esumf1o.a	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝐴
15		esumf1o.0	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
16		esumf1o.4	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑛) = 𝐺)
17		f1of 6844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴 → 𝐹:𝐶⟶𝐴)
18	9, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐴)
19	18	ffvelcdmda 7099	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝐴)
20	16, 19	eqeltrrd 2830	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → 𝐺 ∈ 𝐴)
21	20	ex 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐶 → 𝐺 ∈ 𝐴))
22	15, 21	ralrimi 3252	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐶 𝐺 ∈ 𝐴)
23		esumf1o.f	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛𝐹
24	13, 23, 18	feqmptdf 6974	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑛)))
25	15, 16	mpteq2da 5250	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑛)) = (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐺))
26	24, 25	eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐺))
27		eqidd 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
28		esumf1o.1	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐺 → 𝐵 = 𝐷)
29	11, 12, 13, 14, 15, 22, 26, 27, 28	fmptcof2 32464	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝐹) = (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷))
30	29	oveq2d 7442	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝐹)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)))
31	10, 30	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)))
32	31	unieqd 4925	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)))
33		df-esum 33680	. 2 ⊢ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
34		df-esum 33680	. 2 ⊢ Σ*𝑛 ∈ 𝐶𝐷 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷))
35	32, 33, 34	3eqtr4g 2793	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = Σ*𝑛 ∈ 𝐶𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2098  Ⅎwnfc 2879  ∪ cuni 4912   ↦ cmpt 5235   ∘ ccom 5686  ⟶wf 6549  –1-1-onto→wf1o 6552  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146  +∞cpnf 11283  [,]cicc 13367   ↾_s cress 17216  ℝ^*_𝑠cxrs 17489  CMndccmn 19742  TopSpctps 22854   tsums ctsu 24050  Σ^*cesum 33679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-xadd 13133  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-ordt 17490  df-xrs 17491  df-ps 18565  df-tsr 18566  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-ntr 22944  df-nei 23022  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-tsms 24051  df-esum 33680

This theorem is referenced by:  esumc  33703  esumiun  33746  volmeas  33883