Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumf1o 33577
Description: Re-index an extended sum using a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumf1o.0 𝑛𝜑
esumf1o.b 𝑛𝐵
esumf1o.d 𝑘𝐷
esumf1o.a 𝑛𝐴
esumf1o.c 𝑛𝐶
esumf1o.f 𝑛𝐹
esumf1o.1 (𝑘 = 𝐺𝐵 = 𝐷)
esumf1o.2 (𝜑𝐴𝑉)
esumf1o.3 (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
esumf1o.4 ((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) = 𝐺)
esumf1o.5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
esumf1o (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = Σ*𝑛𝐶𝐷)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑘,𝑛)   𝐺(𝑛)   𝑉(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem esumf1o
StepHypRef Expression
1 xrge0base 32686 . . . . 5 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
2 xrge0cmn 21297 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
32a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
4 xrge0tps 33451 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
54a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
6 esumf1o.2 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
7 esumf1o.5 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
87fmpttd 7109 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
9 esumf1o.3 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
101, 3, 5, 6, 8, 9tsmsf1o 23999 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝐹)))
11 esumf1o.b . . . . . 6 𝑛𝐵
12 esumf1o.d . . . . . 6 𝑘𝐷
13 esumf1o.c . . . . . 6 𝑛𝐶
14 esumf1o.a . . . . . 6 𝑛𝐴
15 esumf1o.0 . . . . . 6 𝑛𝜑
16 esumf1o.4 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) = 𝐺)
17 f1of 6826 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐶1-1-onto𝐴𝐹:𝐶𝐴)
189, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐶𝐴)
1918ffvelcdmda 7079 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) ∈ 𝐴)
2016, 19eqeltrrd 2828 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐶) → 𝐺𝐴)
2120ex 412 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛𝐶𝐺𝐴))
2215, 21ralrimi 3248 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛𝐶 𝐺𝐴)
23 esumf1o.f . . . . . . . 8 𝑛𝐹
2413, 23, 18feqmptdf 6955 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 = (𝑛𝐶 ↦ (𝐹𝑛)))
2515, 16mpteq2da 5239 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛𝐶 ↦ (𝐹𝑛)) = (𝑛𝐶𝐺))
2624, 25eqtrd 2766 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑛𝐶𝐺))
27 eqidd 2727 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵))
28 esumf1o.1 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐺𝐵 = 𝐷)
2911, 12, 13, 14, 15, 22, 26, 27, 28fmptcof2 32386 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝐹) = (𝑛𝐶𝐷))
3029oveq2d 7420 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝐹)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑛𝐶𝐷)))
3110, 30eqtrd 2766 . . 3 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑛𝐶𝐷)))
3231unieqd 4915 . 2 (𝜑 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑛𝐶𝐷)))
33 df-esum 33555 . 2 Σ*𝑘𝐴𝐵 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵))
34 df-esum 33555 . 2 Σ*𝑛𝐶𝐷 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑛𝐶𝐷))
3532, 33, 343eqtr4g 2791 1 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = Σ*𝑛𝐶𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wnf 1777  wcel 2098  wnfc 2877   cuni 4902  cmpt 5224  ccom 5673  wf 6532  1-1-ontowf1o 6535  cfv 6536  (class class class)co 7404  0cc0 11109  +∞cpnf 11246  [,]cicc 13330  s cress 17179  *𝑠cxrs 17452  CMndccmn 19697  TopSpctps 22784   tsums ctsu 23980  Σ*cesum 33554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-xadd 13096  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14293  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-ordt 17453  df-xrs 17454  df-ps 18528  df-tsr 18529  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-fbas 21232  df-fg 21233  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-ntr 22874  df-nei 22952  df-fil 23700  df-fm 23792  df-flim 23793  df-flf 23794  df-tsms 23981  df-esum 33555
This theorem is referenced by:  esumc  33578  esumiun  33621  volmeas  33758
  Copyright terms: Public domain W3C validator