Theorem esumf1o 34234

Description: Re-index an extended sum using a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumf1o.0	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
esumf1o.b	⊢ Ⅎ𝑛𝐵
esumf1o.d	⊢ Ⅎ𝑘𝐷
esumf1o.a	⊢ Ⅎ𝑛𝐴
esumf1o.c	⊢ Ⅎ𝑛𝐶
esumf1o.f	⊢ Ⅎ𝑛𝐹
esumf1o.1	⊢ (𝑘 = 𝐺 → 𝐵 = 𝐷)
esumf1o.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumf1o.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴)
esumf1o.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑛) = 𝐺)
esumf1o.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
esumf1o	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = Σ*𝑛 ∈ 𝐶𝐷)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑘,𝑛)   𝐺(𝑛)   𝑉(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem esumf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0base 17562	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
2		xrge0cmn 21419	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
4		xrge0tps 34126	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
6		esumf1o.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		esumf1o.5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
8	7	fmpttd 7056	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
9		esumf1o.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴)
10	1, 3, 5, 6, 8, 9	tsmsf1o 24128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝐹)))
11		esumf1o.b	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝐵
12		esumf1o.d	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐷
13		esumf1o.c	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝐶
14		esumf1o.a	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝐴
15		esumf1o.0	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
16		esumf1o.4	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑛) = 𝐺)
17		f1of 6767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴 → 𝐹:𝐶⟶𝐴)
18	9, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐴)
19	18	ffvelcdmda 7025	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝐴)
20	16, 19	eqeltrrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → 𝐺 ∈ 𝐴)
21	20	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐶 → 𝐺 ∈ 𝐴))
22	15, 21	ralrimi 3237	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐶 𝐺 ∈ 𝐴)
23		esumf1o.f	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛𝐹
24	13, 23, 18	feqmptdf 6897	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑛)))
25	15, 16	mpteq2da 5164	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑛)) = (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐺))
26	24, 25	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐺))
27		eqidd 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
28		esumf1o.1	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐺 → 𝐵 = 𝐷)
29	11, 12, 13, 14, 15, 22, 26, 27, 28	fmptcof2 32749	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝐹) = (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷))
30	29	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝐹)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)))
31	10, 30	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)))
32	31	unieqd 4851	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)))
33		df-esum 34212	. 2 ⊢ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
34		df-esum 34212	. 2 ⊢ Σ*𝑛 ∈ 𝐶𝐷 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷))
35	32, 33, 34	3eqtr4g 2799	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = Σ*𝑛 ∈ 𝐶𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547  Ⅎwnf 1790   ∈ wcel 2119  Ⅎwnfc 2886  ∪ cuni 4838   ↦ cmpt 5153   ∘ ccom 5622  ⟶wf 6481  –1-1-onto→wf1o 6484  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  0cc0 11029  +∞cpnf 11167  [,]cicc 13292   ↾_s cress 17191  ℝ^*_𝑠cxrs 17455  CMndccmn 19746  TopSpctps 22915   tsums ctsu 24109  Σ^*cesum 34211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-xadd 13055  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-ordt 17456  df-xrs 17457  df-ps 18523  df-tsr 18524  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-top 22877  df-topon 22894  df-topsp 22916  df-bases 22929  df-ntr 23003  df-nei 23081  df-fil 23829  df-fm 23921  df-flim 23922  df-flf 23923  df-tsms 24110  df-esum 34212

This theorem is referenced by:  esumc  34235  esumiun  34278  volmeas  34415