Theorem esumss 34053

Description: Change the index set to a subset by adding zeroes. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumss.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
esumss.a	⊢ Ⅎ𝑘𝐴
esumss.b	⊢ Ⅎ𝑘𝐵
esumss.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
esumss.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
esumss.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esumss.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)

Assertion

Ref	Expression
esumss	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶)

Proof of Theorem esumss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumss.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		esumss.b	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
3		esumss.a	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
4	2, 3	resmptf 6059	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
6	5	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))
7		xrge0base 32999	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
8		xrge00 33000	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
9		xrge0cmn 21444	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
11		xrge0tps 33903	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
13		esumss.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
14		esumss.p	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
15		nfcv 2903	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(0[,]+∞)
16		esumss.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
17		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
18	14, 2, 15, 16, 17	fmptdF 32673	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞))
19		esumss.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)
20	14, 2, 3, 19, 13	suppss2f 32655	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) supp 0) ⊆ 𝐴)
21	7, 8, 10, 12, 13, 18, 20	tsmsres 24168	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
22	6, 21	eqtr3d 2777	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
23	22	unieqd 4925	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
24		df-esum 34009	. 2 ⊢ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
25		df-esum 34009	. 2 ⊢ Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
26	23, 24, 25	3eqtr4g 2800	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  Ⅎwnf 1780   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2888   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963  ∪ cuni 4912   ↦ cmpt 5231   ↾ cres 5691  (class class class)co 7431  0cc0 11153  +∞cpnf 11290  [,]cicc 13387   ↾_s cress 17274  ℝ^*_𝑠cxrs 17547  CMndccmn 19813  TopSpctps 22954   tsums ctsu 24150  Σ^*cesum 34008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-xadd 13153  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-ordt 17548  df-xrs 17549  df-ps 18624  df-tsr 18625  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-ntr 23044  df-nei 23122  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-tsms 24151  df-esum 34009

This theorem is referenced by:  esumpinfval  34054