Theorem esumss 32040

Description: Change the index set to a subset by adding zeroes. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumss.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
esumss.a	⊢ Ⅎ𝑘𝐴
esumss.b	⊢ Ⅎ𝑘𝐵
esumss.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
esumss.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
esumss.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esumss.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)

Assertion

Ref	Expression
esumss	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶)

Proof of Theorem esumss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumss.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		esumss.b	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
3		esumss.a	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
4	2, 3	resmptf 5947	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
6	5	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))
7		xrge0base 31294	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
8		xrge00 31295	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
9		xrge0cmn 20640	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
11		xrge0tps 31892	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
13		esumss.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
14		esumss.p	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
15		nfcv 2907	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(0[,]+∞)
16		esumss.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
17		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
18	14, 2, 15, 16, 17	fmptdF 30993	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞))
19		esumss.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)
20	14, 2, 3, 19, 13	suppss2f 30974	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) supp 0) ⊆ 𝐴)
21	7, 8, 10, 12, 13, 18, 20	tsmsres 23295	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
22	6, 21	eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
23	22	unieqd 4853	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
24		df-esum 31996	. 2 ⊢ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
25		df-esum 31996	. 2 ⊢ Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
26	23, 24, 25	3eqtr4g 2803	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2887   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887  ∪ cuni 4839   ↦ cmpt 5157   ↾ cres 5591  (class class class)co 7275  0cc0 10871  +∞cpnf 11006  [,]cicc 13082   ↾_s cress 16941  ℝ^*_𝑠cxrs 17211  CMndccmn 19386  TopSpctps 22081   tsums ctsu 23277  Σ^*cesum 31995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-xadd 12849  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-ordt 17212  df-xrs 17213  df-ps 18284  df-tsr 18285  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-ntr 22171  df-nei 22249  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-tsms 23278  df-esum 31996

This theorem is referenced by:  esumpinfval  32041