Theorem esumss 34074

Description: Change the index set to a subset by adding zeroes. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumss.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
esumss.a	⊢ Ⅎ𝑘𝐴
esumss.b	⊢ Ⅎ𝑘𝐵
esumss.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
esumss.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
esumss.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esumss.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)

Assertion

Ref	Expression
esumss	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶)

Proof of Theorem esumss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumss.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		esumss.b	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
3		esumss.a	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
4	2, 3	resmptf 6056	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
6	5	oveq2d 7448	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))
7		xrge0base 33017	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
8		xrge00 33018	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
9		xrge0cmn 21427	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
11		xrge0tps 33942	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
13		esumss.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
14		esumss.p	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
15		nfcv 2904	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(0[,]+∞)
16		esumss.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
17		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
18	14, 2, 15, 16, 17	fmptdF 32667	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞))
19		esumss.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)
20	14, 2, 3, 19, 13	suppss2f 32649	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) supp 0) ⊆ 𝐴)
21	7, 8, 10, 12, 13, 18, 20	tsmsres 24153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
22	6, 21	eqtr3d 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
23	22	unieqd 4919	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
24		df-esum 34030	. 2 ⊢ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
25		df-esum 34030	. 2 ⊢ Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
26	23, 24, 25	3eqtr4g 2801	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  Ⅎwnf 1782   ∈ wcel 2107  Ⅎwnfc 2889   ∖ cdif 3947   ⊆ wss 3950  ∪ cuni 4906   ↦ cmpt 5224   ↾ cres 5686  (class class class)co 7432  0cc0 11156  +∞cpnf 11293  [,]cicc 13391   ↾_s cress 17275  ℝ^*_𝑠cxrs 17546  CMndccmn 19799  TopSpctps 22939   tsums ctsu 24135  Σ^*cesum 34029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-xadd 13156  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-ordt 17547  df-xrs 17548  df-ps 18612  df-tsr 18613  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-ntr 23029  df-nei 23107  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-tsms 24136  df-esum 34030

This theorem is referenced by:  esumpinfval  34075