Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumss 32711
Description: Change the index set to a subset by adding zeroes. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumss.p 𝑘𝜑
esumss.a 𝑘𝐴
esumss.b 𝑘𝐵
esumss.1 (𝜑𝐴𝐵)
esumss.2 (𝜑𝐵𝑉)
esumss.3 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esumss.4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
Assertion
Ref Expression
esumss (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐶 = Σ*𝑘𝐵𝐶)

Proof of Theorem esumss
StepHypRef Expression
1 esumss.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
2 esumss.b . . . . . . 7 𝑘𝐵
3 esumss.a . . . . . . 7 𝑘𝐴
42, 3resmptf 5998 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → ((𝑘𝐵𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑘𝐴𝐶))
51, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘𝐵𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑘𝐴𝐶))
65oveq2d 7378 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘𝐵𝐶) ↾ 𝐴)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐶)))
7 xrge0base 31918 . . . . 5 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
8 xrge00 31919 . . . . 5 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
9 xrge0cmn 20855 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
109a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
11 xrge0tps 32563 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
1211a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
13 esumss.2 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑉)
14 esumss.p . . . . . 6 𝑘𝜑
15 nfcv 2908 . . . . . 6 𝑘(0[,]+∞)
16 esumss.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
17 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑘𝐵𝐶) = (𝑘𝐵𝐶)
1814, 2, 15, 16, 17fmptdF 31614 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞))
19 esumss.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
2014, 2, 3, 19, 13suppss2f 31595 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘𝐵𝐶) supp 0) ⊆ 𝐴)
217, 8, 10, 12, 13, 18, 20tsmsres 23511 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘𝐵𝐶) ↾ 𝐴)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐵𝐶)))
226, 21eqtr3d 2779 . . 3 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐶)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐵𝐶)))
2322unieqd 4884 . 2 (𝜑 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐶)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐵𝐶)))
24 df-esum 32667 . 2 Σ*𝑘𝐴𝐶 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐶))
25 df-esum 32667 . 2 Σ*𝑘𝐵𝐶 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐵𝐶))
2623, 24, 253eqtr4g 2802 1 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐶 = Σ*𝑘𝐵𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  wnfc 2888  cdif 3912  wss 3915   cuni 4870  cmpt 5193  cres 5640  (class class class)co 7362  0cc0 11058  +∞cpnf 11193  [,]cicc 13274  s cress 17119  *𝑠cxrs 17389  CMndccmn 19569  TopSpctps 22297   tsums ctsu 23493  Σ*cesum 32666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-xadd 13041  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-ordt 17390  df-xrs 17391  df-ps 18462  df-tsr 18463  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-ntr 22387  df-nei 22465  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-tsms 23494  df-esum 32667
This theorem is referenced by:  esumpinfval  32712
  Copyright terms: Public domain W3C validator