Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumss 30467
Description: Change the index set to a subset by adding zeroes. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumss.p 𝑘𝜑
esumss.a 𝑘𝐴
esumss.b 𝑘𝐵
esumss.1 (𝜑𝐴𝐵)
esumss.2 (𝜑𝐵𝑉)
esumss.3 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esumss.4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
Assertion
Ref Expression
esumss (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐶 = Σ*𝑘𝐵𝐶)

Proof of Theorem esumss
StepHypRef Expression
1 esumss.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
2 esumss.b . . . . . . 7 𝑘𝐵
3 esumss.a . . . . . . 7 𝑘𝐴
42, 3resmptf 5590 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → ((𝑘𝐵𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑘𝐴𝐶))
51, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘𝐵𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑘𝐴𝐶))
65oveq2d 6807 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘𝐵𝐶) ↾ 𝐴)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐶)))
7 xrge0base 30018 . . . . 5 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
8 xrge00 30019 . . . . 5 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
9 xrge0cmn 19996 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
109a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
11 xrge0tps 30321 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
1211a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
13 esumss.2 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑉)
14 esumss.p . . . . . 6 𝑘𝜑
15 nfcv 2913 . . . . . 6 𝑘(0[,]+∞)
16 esumss.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
17 eqid 2771 . . . . . 6 (𝑘𝐵𝐶) = (𝑘𝐵𝐶)
1814, 2, 15, 16, 17fmptdF 29789 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞))
19 esumss.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
2014, 2, 3, 19, 13suppss2f 29772 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘𝐵𝐶) supp 0) ⊆ 𝐴)
217, 8, 10, 12, 13, 18, 20tsmsres 22160 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘𝐵𝐶) ↾ 𝐴)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐵𝐶)))
226, 21eqtr3d 2807 . . 3 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐶)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐵𝐶)))
2322unieqd 4584 . 2 (𝜑 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐶)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐵𝐶)))
24 df-esum 30423 . 2 Σ*𝑘𝐴𝐶 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐶))
25 df-esum 30423 . 2 Σ*𝑘𝐵𝐶 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐵𝐶))
2623, 24, 253eqtr4g 2830 1 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐶 = Σ*𝑘𝐵𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wnf 1856  wcel 2145  wnfc 2900  cdif 3720  wss 3723   cuni 4574  cmpt 4863  cres 5251  (class class class)co 6791  0cc0 10136  +∞cpnf 10271  [,]cicc 12376  s cress 16058  *𝑠cxrs 16361  CMndccmn 18393  TopSpctps 20950   tsums ctsu 22142  Σ*cesum 30422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-supp 7445  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fsupp 8430  df-fi 8471  df-oi 8569  df-card 8963  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11887  df-xadd 12145  df-icc 12380  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-seq 13002  df-hash 13315  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16155  df-mulr 16156  df-tset 16161  df-ple 16162  df-ds 16165  df-rest 16284  df-topn 16285  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-topgen 16305  df-ordt 16362  df-xrs 16363  df-ps 17401  df-tsr 17402  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-fbas 19951  df-fg 19952  df-top 20912  df-topon 20929  df-topsp 20951  df-bases 20964  df-ntr 21038  df-nei 21116  df-fil 21863  df-fm 21955  df-flim 21956  df-flf 21957  df-tsms 22143  df-esum 30423
This theorem is referenced by:  esumpinfval  30468
  Copyright terms: Public domain W3C validator