Theorem esumss 34073

Description: Change the index set to a subset by adding zeroes. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumss.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
esumss.a	⊢ Ⅎ𝑘𝐴
esumss.b	⊢ Ⅎ𝑘𝐵
esumss.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
esumss.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
esumss.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esumss.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)

Assertion

Ref	Expression
esumss	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶)

Proof of Theorem esumss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumss.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		esumss.b	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
3		esumss.a	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
4	2, 3	resmptf 6057	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
6	5	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))
7		xrge0base 33016	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
8		xrge00 33017	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
9		xrge0cmn 21426	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
11		xrge0tps 33941	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
13		esumss.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
14		esumss.p	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
15		nfcv 2905	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(0[,]+∞)
16		esumss.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
17		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
18	14, 2, 15, 16, 17	fmptdF 32666	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞))
19		esumss.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)
20	14, 2, 3, 19, 13	suppss2f 32648	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) supp 0) ⊆ 𝐴)
21	7, 8, 10, 12, 13, 18, 20	tsmsres 24152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
22	6, 21	eqtr3d 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
23	22	unieqd 4920	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
24		df-esum 34029	. 2 ⊢ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
25		df-esum 34029	. 2 ⊢ Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
26	23, 24, 25	3eqtr4g 2802	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2890   ∖ cdif 3948   ⊆ wss 3951  ∪ cuni 4907   ↦ cmpt 5225   ↾ cres 5687  (class class class)co 7431  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  [,]cicc 13390   ↾_s cress 17274  ℝ^*_𝑠cxrs 17545  CMndccmn 19798  TopSpctps 22938   tsums ctsu 24134  Σ^*cesum 34028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-xadd 13155  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-ordt 17546  df-xrs 17547  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-ntr 23028  df-nei 23106  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-tsms 24135  df-esum 34029

This theorem is referenced by:  esumpinfval  34074