Theorem esumss 31940

Description: Change the index set to a subset by adding zeroes. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumss.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
esumss.a	⊢ Ⅎ𝑘𝐴
esumss.b	⊢ Ⅎ𝑘𝐵
esumss.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
esumss.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
esumss.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esumss.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)

Assertion

Ref	Expression
esumss	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶)

Proof of Theorem esumss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumss.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		esumss.b	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
3		esumss.a	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
4	2, 3	resmptf 5936	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
6	5	oveq2d 7271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))
7		xrge0base 31196	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
8		xrge00 31197	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
9		xrge0cmn 20552	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
11		xrge0tps 31794	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
13		esumss.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
14		esumss.p	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
15		nfcv 2906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(0[,]+∞)
16		esumss.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
17		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
18	14, 2, 15, 16, 17	fmptdF 30895	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(0[,]+∞))
19		esumss.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)
20	14, 2, 3, 19, 13	suppss2f 30875	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) supp 0) ⊆ 𝐴)
21	7, 8, 10, 12, 13, 18, 20	tsmsres 23203	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
22	6, 21	eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
23	22	unieqd 4850	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
24		df-esum 31896	. 2 ⊢ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
25		df-esum 31896	. 2 ⊢ Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶 = ∪ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
26	23, 24, 25	3eqtr4g 2804	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐵𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  Ⅎwnf 1787   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2886   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ∪ cuni 4836   ↦ cmpt 5153   ↾ cres 5582  (class class class)co 7255  0cc0 10802  +∞cpnf 10937  [,]cicc 13011   ↾_s cress 16867  ℝ^*_𝑠cxrs 17128  CMndccmn 19301  TopSpctps 21989   tsums ctsu 23185  Σ^*cesum 31895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-xadd 12778  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-ordt 17129  df-xrs 17130  df-ps 18199  df-tsr 18200  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-ntr 22079  df-nei 22157  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-tsms 23186  df-esum 31896

This theorem is referenced by:  esumpinfval  31941