Theorem iblempty 45980

Description: The empty function is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
iblempty	⊢ ∅ ∈ 𝐿1

Proof of Theorem iblempty

Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbf0 25669	. 2 ⊢ ∅ ∈ MblFn
2		fconstmpt 5747	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
3	2	eqcomi 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0) = (ℝ × {0})
4	3	fveq2i 6909	. . . . 5 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)) = (∫2‘(ℝ × {0}))
5		itg20 25772	. . . . 5 ⊢ (∫2‘(ℝ × {0})) = 0
6	4, 5	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)) = 0
7		0re 11263	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
8	6, 7	eqeltri 2837	. . 3 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)) ∈ ℝ
9	8	rgenw 3065	. 2 ⊢ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)) ∈ ℝ
10		noel 4338	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
11	10	intnanr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))))
12	11	iffalsei 4535	. . . . . . 7 ⊢ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0) = 0
13	12	eqcomi 2746	. . . . . 6 ⊢ 0 = if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 = if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))
15	14	mpteq2dva 5242	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)))
16		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ∅) → (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))))
17		dm0 5931	. . . . 5 ⊢ dom ∅ = ∅
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → dom ∅ = ∅)
19	10	intnan 486	. . . . 5 ⊢ ¬ (⊤ ∧ 𝑥 ∈ ∅)
20	19	pm2.21i 119	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ∅) → (∅‘𝑥) = 0)
21	15, 16, 18, 20	isibl 25800	. . 3 ⊢ (⊤ → (∅ ∈ 𝐿1 ↔ (∅ ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)) ∈ ℝ)))
22	21	mptru 1547	. 2 ⊢ (∅ ∈ 𝐿1 ↔ (∅ ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)) ∈ ℝ))
23	1, 9, 22	mpbir2an 711	1 ⊢ ∅ ∈ 𝐿1

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∅c0 4333  ifcif 4525  {csn 4626   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225   × cxp 5683  dom cdm 5685  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  ici 11157   ≤ cle 11296   / cdiv 11920  3c3 12322  ...cfz 13547  ↑cexp 14102  ℜcre 15136  MblFncmbf 25649  ∫₂citg2 25651  𝐿¹cibl 25652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-xmet 21357  df-met 21358  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-ibl 25657  df-0p 25705

This theorem is referenced by:  itgvol0  45983