Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iblempty Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblempty 44196
Description: The empty function is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
iblempty ∅ ∈ 𝐿1

Proof of Theorem iblempty
Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbf0 24998 . 2 ∅ ∈ MblFn
2 fconstmpt 5694 . . . . . . 7 (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
32eqcomi 2745 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0) = (ℝ × {0})
43fveq2i 6845 . . . . 5 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)) = (∫2‘(ℝ × {0}))
5 itg20 25102 . . . . 5 (∫2‘(ℝ × {0})) = 0
64, 5eqtri 2764 . . . 4 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)) = 0
7 0re 11157 . . . 4 0 ∈ ℝ
86, 7eqeltri 2834 . . 3 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)) ∈ ℝ
98rgenw 3068 . 2 𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)) ∈ ℝ
10 noel 4290 . . . . . . . . 9 ¬ 𝑥 ∈ ∅
1110intnanr 488 . . . . . . . 8 ¬ (𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))))
1211iffalsei 4496 . . . . . . 7 if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0) = 0
1312eqcomi 2745 . . . . . 6 0 = if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)
1413a1i 11 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 = if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))
1514mpteq2dva 5205 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)))
16 eqidd 2737 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ∅) → (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))))
17 dm0 5876 . . . . 5 dom ∅ = ∅
1817a1i 11 . . . 4 (⊤ → dom ∅ = ∅)
1910intnan 487 . . . . 5 ¬ (⊤ ∧ 𝑥 ∈ ∅)
2019pm2.21i 119 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ∅) → (∅‘𝑥) = 0)
2115, 16, 18, 20isibl 25130 . . 3 (⊤ → (∅ ∈ 𝐿1 ↔ (∅ ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)) ∈ ℝ)))
2221mptru 1548 . 2 (∅ ∈ 𝐿1 ↔ (∅ ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)) ∈ ℝ))
231, 9, 22mpbir2an 709 1 ∅ ∈ 𝐿1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wtru 1542  wcel 2106  wral 3064  c0 4282  ifcif 4486  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  dom cdm 5633  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  ici 11053  cle 11190   / cdiv 11812  3c3 12209  ...cfz 13424  cexp 13967  cre 14982  MblFncmbf 24978  2citg2 24980  𝐿1cibl 24981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xadd 13034  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-xmet 20789  df-met 20790  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-0p 25034
This theorem is referenced by:  itgvol0  44199
  Copyright terms: Public domain W3C validator