Theorem iblempty 45586

Description: The empty function is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
iblempty	⊢ ∅ ∈ 𝐿1

Proof of Theorem iblempty

Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbf0 25654	. 2 ⊢ ∅ ∈ MblFn
2		fconstmpt 5744	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
3	2	eqcomi 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0) = (ℝ × {0})
4	3	fveq2i 6904	. . . . 5 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)) = (∫2‘(ℝ × {0}))
5		itg20 25758	. . . . 5 ⊢ (∫2‘(ℝ × {0})) = 0
6	4, 5	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)) = 0
7		0re 11266	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
8	6, 7	eqeltri 2822	. . 3 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)) ∈ ℝ
9	8	rgenw 3055	. 2 ⊢ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)) ∈ ℝ
10		noel 4333	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
11	10	intnanr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))))
12	11	iffalsei 4543	. . . . . . 7 ⊢ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0) = 0
13	12	eqcomi 2735	. . . . . 6 ⊢ 0 = if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 = if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))
15	14	mpteq2dva 5253	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)))
16		eqidd 2727	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ∅) → (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))))
17		dm0 5927	. . . . 5 ⊢ dom ∅ = ∅
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → dom ∅ = ∅)
19	10	intnan 485	. . . . 5 ⊢ ¬ (⊤ ∧ 𝑥 ∈ ∅)
20	19	pm2.21i 119	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ∅) → (∅‘𝑥) = 0)
21	15, 16, 18, 20	isibl 25786	. . 3 ⊢ (⊤ → (∅ ∈ 𝐿1 ↔ (∅ ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)) ∈ ℝ)))
22	21	mptru 1541	. 2 ⊢ (∅ ∈ 𝐿1 ↔ (∅ ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)) ∈ ℝ))
23	1, 9, 22	mpbir2an 709	1 ⊢ ∅ ∈ 𝐿1

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534  ⊤wtru 1535   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  ∅c0 4325  ifcif 4533  {csn 4633   class class class wbr 5153   ↦ cmpt 5236   × cxp 5680  dom cdm 5682  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  ℝcr 11157  0cc0 11158  ici 11160   ≤ cle 11299   / cdiv 11921  3c3 12320  ...cfz 13538  ↑cexp 14081  ℜcre 15102  MblFncmbf 25634  ∫₂citg2 25636  𝐿¹cibl 25637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-disj 5119  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-ofr 7691  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-dju 9944  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xadd 13147  df-ioo 13382  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-clim 15490  df-sum 15691  df-xmet 21336  df-met 21337  df-ovol 25484  df-vol 25485  df-mbf 25639  df-itg1 25640  df-itg2 25641  df-ibl 25642  df-0p 25690

This theorem is referenced by:  itgvol0  45589