Theorem iblempty 45886

Description: The empty function is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
iblempty	⊢ ∅ ∈ 𝐿1

Proof of Theorem iblempty

Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbf0 25688	. 2 ⊢ ∅ ∈ MblFn
2		fconstmpt 5762	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
3	2	eqcomi 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0) = (ℝ × {0})
4	3	fveq2i 6923	. . . . 5 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)) = (∫2‘(ℝ × {0}))
5		itg20 25792	. . . . 5 ⊢ (∫2‘(ℝ × {0})) = 0
6	4, 5	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)) = 0
7		0re 11292	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
8	6, 7	eqeltri 2840	. . 3 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)) ∈ ℝ
9	8	rgenw 3071	. 2 ⊢ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)) ∈ ℝ
10		noel 4360	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
11	10	intnanr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))))
12	11	iffalsei 4558	. . . . . . 7 ⊢ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0) = 0
13	12	eqcomi 2749	. . . . . 6 ⊢ 0 = if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 = if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))
15	14	mpteq2dva 5266	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)))
16		eqidd 2741	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ∅) → (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))))
17		dm0 5945	. . . . 5 ⊢ dom ∅ = ∅
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → dom ∅ = ∅)
19	10	intnan 486	. . . . 5 ⊢ ¬ (⊤ ∧ 𝑥 ∈ ∅)
20	19	pm2.21i 119	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ∅) → (∅‘𝑥) = 0)
21	15, 16, 18, 20	isibl 25820	. . 3 ⊢ (⊤ → (∅ ∈ 𝐿1 ↔ (∅ ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)) ∈ ℝ)))
22	21	mptru 1544	. 2 ⊢ (∅ ∈ 𝐿1 ↔ (∅ ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)) ∈ ℝ))
23	1, 9, 22	mpbir2an 710	1 ⊢ ∅ ∈ 𝐿1

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∅c0 4352  ifcif 4548  {csn 4648   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698  dom cdm 5700  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184  ici 11186   ≤ cle 11325   / cdiv 11947  3c3 12349  ...cfz 13567  ↑cexp 14112  ℜcre 15146  MblFncmbf 25668  ∫₂citg2 25670  𝐿¹cibl 25671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xadd 13176  df-ioo 13411  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735  df-xmet 21380  df-met 21381  df-ovol 25518  df-vol 25519  df-mbf 25673  df-itg1 25674  df-itg2 25675  df-ibl 25676  df-0p 25724

This theorem is referenced by:  itgvol0  45889