Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iblempty Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblempty 45235
Description: The empty function is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
iblempty āˆ… ∈ šæ1

Proof of Theorem iblempty
Dummy variables š‘„ š‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbf0 25513 . 2 āˆ… ∈ MblFn
2 fconstmpt 5731 . . . . . . 7 (ā„ Ɨ {0}) = (š‘„ ∈ ā„ ↦ 0)
32eqcomi 2735 . . . . . 6 (š‘„ ∈ ā„ ↦ 0) = (ā„ Ɨ {0})
43fveq2i 6887 . . . . 5 (∫2ā€˜(š‘„ ∈ ā„ ↦ 0)) = (∫2ā€˜(ā„ Ɨ {0}))
5 itg20 25617 . . . . 5 (∫2ā€˜(ā„ Ɨ {0})) = 0
64, 5eqtri 2754 . . . 4 (∫2ā€˜(š‘„ ∈ ā„ ↦ 0)) = 0
7 0re 11217 . . . 4 0 ∈ ā„
86, 7eqeltri 2823 . . 3 (∫2ā€˜(š‘„ ∈ ā„ ↦ 0)) ∈ ā„
98rgenw 3059 . 2 āˆ€š‘˜ ∈ (0...3)(∫2ā€˜(š‘„ ∈ ā„ ↦ 0)) ∈ ā„
10 noel 4325 . . . . . . . . 9 ¬ š‘„ ∈ āˆ…
1110intnanr 487 . . . . . . . 8 ¬ (š‘„ ∈ āˆ… ∧ 0 ≤ (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))))
1211iffalsei 4533 . . . . . . 7 if((š‘„ ∈ āˆ… ∧ 0 ≤ (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜)))), (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))), 0) = 0
1312eqcomi 2735 . . . . . 6 0 = if((š‘„ ∈ āˆ… ∧ 0 ≤ (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜)))), (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))), 0)
1413a1i 11 . . . . 5 ((⊤ ∧ š‘„ ∈ ā„) → 0 = if((š‘„ ∈ āˆ… ∧ 0 ≤ (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜)))), (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))), 0))
1514mpteq2dva 5241 . . . 4 (⊤ → (š‘„ ∈ ā„ ↦ 0) = (š‘„ ∈ ā„ ↦ if((š‘„ ∈ āˆ… ∧ 0 ≤ (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜)))), (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))), 0)))
16 eqidd 2727 . . . 4 ((⊤ ∧ š‘„ ∈ āˆ…) → (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))) = (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))))
17 dm0 5913 . . . . 5 dom āˆ… = āˆ…
1817a1i 11 . . . 4 (⊤ → dom āˆ… = āˆ…)
1910intnan 486 . . . . 5 ¬ (⊤ ∧ š‘„ ∈ āˆ…)
2019pm2.21i 119 . . . 4 ((⊤ ∧ š‘„ ∈ āˆ…) → (āˆ…ā€˜š‘„) = 0)
2115, 16, 18, 20isibl 25645 . . 3 (⊤ → (āˆ… ∈ šæ1 ↔ (āˆ… ∈ MblFn ∧ āˆ€š‘˜ ∈ (0...3)(∫2ā€˜(š‘„ ∈ ā„ ↦ 0)) ∈ ā„)))
2221mptru 1540 . 2 (āˆ… ∈ šæ1 ↔ (āˆ… ∈ MblFn ∧ āˆ€š‘˜ ∈ (0...3)(∫2ā€˜(š‘„ ∈ ā„ ↦ 0)) ∈ ā„))
231, 9, 22mpbir2an 708 1 āˆ… ∈ šæ1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533  āФwtru 1534   ∈ wcel 2098  āˆ€wral 3055  āˆ…c0 4317  ifcif 4523  {csn 4623   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Ɨ cxp 5667  dom cdm 5669  ā€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  ā„cr 11108  0cc0 11109  ici 11111   ≤ cle 11250   / cdiv 11872  3c3 12269  ...cfz 13487  ā†‘cexp 14029  ā„œcre 15047  MblFncmbf 25493  āˆ«2citg2 25495  šæ1cibl 25496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xadd 13096  df-ioo 13331  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-sum 15636  df-xmet 21228  df-met 21229  df-ovol 25343  df-vol 25344  df-mbf 25498  df-itg1 25499  df-itg2 25500  df-ibl 25501  df-0p 25549
This theorem is referenced by:  itgvol0  45238
  Copyright terms: Public domain W3C validator