Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iblempty Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblempty 45382
Description: The empty function is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
iblempty āˆ… ∈ šæ1

Proof of Theorem iblempty
Dummy variables š‘„ š‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbf0 25583 . 2 āˆ… ∈ MblFn
2 fconstmpt 5744 . . . . . . 7 (ā„ Ɨ {0}) = (š‘„ ∈ ā„ ↦ 0)
32eqcomi 2737 . . . . . 6 (š‘„ ∈ ā„ ↦ 0) = (ā„ Ɨ {0})
43fveq2i 6905 . . . . 5 (∫2ā€˜(š‘„ ∈ ā„ ↦ 0)) = (∫2ā€˜(ā„ Ɨ {0}))
5 itg20 25687 . . . . 5 (∫2ā€˜(ā„ Ɨ {0})) = 0
64, 5eqtri 2756 . . . 4 (∫2ā€˜(š‘„ ∈ ā„ ↦ 0)) = 0
7 0re 11254 . . . 4 0 ∈ ā„
86, 7eqeltri 2825 . . 3 (∫2ā€˜(š‘„ ∈ ā„ ↦ 0)) ∈ ā„
98rgenw 3062 . 2 āˆ€š‘˜ ∈ (0...3)(∫2ā€˜(š‘„ ∈ ā„ ↦ 0)) ∈ ā„
10 noel 4334 . . . . . . . . 9 ¬ š‘„ ∈ āˆ…
1110intnanr 486 . . . . . . . 8 ¬ (š‘„ ∈ āˆ… ∧ 0 ≤ (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))))
1211iffalsei 4542 . . . . . . 7 if((š‘„ ∈ āˆ… ∧ 0 ≤ (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜)))), (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))), 0) = 0
1312eqcomi 2737 . . . . . 6 0 = if((š‘„ ∈ āˆ… ∧ 0 ≤ (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜)))), (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))), 0)
1413a1i 11 . . . . 5 ((⊤ ∧ š‘„ ∈ ā„) → 0 = if((š‘„ ∈ āˆ… ∧ 0 ≤ (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜)))), (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))), 0))
1514mpteq2dva 5252 . . . 4 (⊤ → (š‘„ ∈ ā„ ↦ 0) = (š‘„ ∈ ā„ ↦ if((š‘„ ∈ āˆ… ∧ 0 ≤ (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜)))), (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))), 0)))
16 eqidd 2729 . . . 4 ((⊤ ∧ š‘„ ∈ āˆ…) → (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))) = (ā„œā€˜(0 / (iā†‘š‘˜))))
17 dm0 5927 . . . . 5 dom āˆ… = āˆ…
1817a1i 11 . . . 4 (⊤ → dom āˆ… = āˆ…)
1910intnan 485 . . . . 5 ¬ (⊤ ∧ š‘„ ∈ āˆ…)
2019pm2.21i 119 . . . 4 ((⊤ ∧ š‘„ ∈ āˆ…) → (āˆ…ā€˜š‘„) = 0)
2115, 16, 18, 20isibl 25715 . . 3 (⊤ → (āˆ… ∈ šæ1 ↔ (āˆ… ∈ MblFn ∧ āˆ€š‘˜ ∈ (0...3)(∫2ā€˜(š‘„ ∈ ā„ ↦ 0)) ∈ ā„)))
2221mptru 1540 . 2 (āˆ… ∈ šæ1 ↔ (āˆ… ∈ MblFn ∧ āˆ€š‘˜ ∈ (0...3)(∫2ā€˜(š‘„ ∈ ā„ ↦ 0)) ∈ ā„))
231, 9, 22mpbir2an 709 1 āˆ… ∈ šæ1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533  āФwtru 1534   ∈ wcel 2098  āˆ€wral 3058  āˆ…c0 4326  ifcif 4532  {csn 4632   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235   Ɨ cxp 5680  dom cdm 5682  ā€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  ā„cr 11145  0cc0 11146  ici 11148   ≤ cle 11287   / cdiv 11909  3c3 12306  ...cfz 13524  ā†‘cexp 14066  ā„œcre 15084  MblFncmbf 25563  āˆ«2citg2 25565  šæ1cibl 25566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xadd 13133  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673  df-xmet 21279  df-met 21280  df-ovol 25413  df-vol 25414  df-mbf 25568  df-itg1 25569  df-itg2 25570  df-ibl 25571  df-0p 25619
This theorem is referenced by:  itgvol0  45385
  Copyright terms: Public domain W3C validator