Theorem iblempty 41710

Description: The empty function is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
iblempty	⊢ ∅ ∈ 𝐿1

Proof of Theorem iblempty

Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbf0 23954	. 2 ⊢ ∅ ∈ MblFn
2		fconstmpt 5461	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
3	2	eqcomi 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0) = (ℝ × {0})
4	3	fveq2i 6500	. . . . 5 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)) = (∫2‘(ℝ × {0}))
5		itg20 24057	. . . . 5 ⊢ (∫2‘(ℝ × {0})) = 0
6	4, 5	eqtri 2797	. . . 4 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)) = 0
7		0re 10440	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
8	6, 7	eqeltri 2857	. . 3 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)) ∈ ℝ
9	8	rgenw 3095	. 2 ⊢ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)) ∈ ℝ
10		noel 4178	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
11	10	intnanr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))))
12	11	iffalsei 4355	. . . . . . 7 ⊢ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0) = 0
13	12	eqcomi 2782	. . . . . 6 ⊢ 0 = if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 = if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))
15	14	mpteq2dva 5019	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)))
16		eqidd 2774	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ∅) → (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))))
17		dm0 5635	. . . . 5 ⊢ dom ∅ = ∅
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → dom ∅ = ∅)
19	10	intnan 479	. . . . 5 ⊢ ¬ (⊤ ∧ 𝑥 ∈ ∅)
20	19	pm2.21i 117	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ∅) → (∅‘𝑥) = 0)
21	15, 16, 18, 20	isibl 24085	. . 3 ⊢ (⊤ → (∅ ∈ 𝐿1 ↔ (∅ ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)) ∈ ℝ)))
22	21	mptru 1515	. 2 ⊢ (∅ ∈ 𝐿1 ↔ (∅ ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)) ∈ ℝ))
23	1, 9, 22	mpbir2an 699	1 ⊢ ∅ ∈ 𝐿1

Syntax hints:   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1508  ⊤wtru 1509   ∈ wcel 2051  ∀wral 3083  ∅c0 4173  ifcif 4345  {csn 4436   class class class wbr 4926   ↦ cmpt 5005   × cxp 5402  dom cdm 5404  ‘cfv 6186  (class class class)co 6975  ℝcr 10333  0cc0 10334  ici 10336   ≤ cle 10474   / cdiv 11097  3c3 11495  ...cfz 12707  ↑cexp 13243  ℜcre 14316  MblFncmbf 23934  ∫₂citg2 23936  𝐿¹cibl 23937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-rep 5046  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-inf2 8897  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411  ax-pre-sup 10412  ax-addf 10413

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-int 4747  df-iun 4791  df-disj 4895  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-se 5364  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-isom 6195  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-of 7226  df-ofr 7227  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-1o 7904  df-2o 7905  df-oadd 7908  df-er 8088  df-map 8207  df-pm 8208  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-fin 8309  df-sup 8700  df-inf 8701  df-oi 8768  df-dju 9123  df-card 9161  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-div 11098  df-nn 11439  df-2 11502  df-3 11503  df-n0 11707  df-z 11793  df-uz 12058  df-q 12162  df-rp 12204  df-xadd 12324  df-ioo 12557  df-ico 12559  df-icc 12560  df-fz 12708  df-fzo 12849  df-fl 12976  df-seq 13184  df-exp 13244  df-hash 13505  df-cj 14318  df-re 14319  df-im 14320  df-sqrt 14454  df-abs 14455  df-clim 14705  df-sum 14903  df-xmet 20256  df-met 20257  df-ovol 23784  df-vol 23785  df-mbf 23939  df-itg1 23940  df-itg2 23941  df-ibl 23942  df-0p 23990

This theorem is referenced by:  itgvol0  41713