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Theorem ftc1anclem2 36562
Description: Lemma for ftc1anc 36569- restriction of an integrable function to the absolute value of its real or imaginary part. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Jun-2018.) (Revised by Brendan Leahy, 8-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem2 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺 ∈ {β„œ, β„‘}) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑑,𝐹   𝑑,𝐴   𝑑,𝐺

Proof of Theorem ftc1anclem2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpri 4651 . . 3 (𝐺 ∈ {β„œ, β„‘} β†’ (𝐺 = β„œ ∨ 𝐺 = β„‘))
2 fveq1 6891 . . . . . . . . . 10 (𝐺 = β„œ β†’ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) = (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))
32fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (𝐺 = β„œ β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) = (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
43ifeq1d 4548 . . . . . . . 8 (𝐺 = β„œ β†’ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) = if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))
54mpteq2dv 5251 . . . . . . 7 (𝐺 = β„œ β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)))
65fveq2d 6896 . . . . . 6 (𝐺 = β„œ β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) = (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))))
76adantl 483 . . . . 5 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = β„œ) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) = (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))))
8 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
98recld 15141 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
109adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
11 simpl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
1211feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)))
13 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
1412, 13eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ 𝐿1)
158iblcn 25316 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐿1)))
1615biimpa 478 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ 𝐿1) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐿1))
1714, 16syldan 592 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐿1))
1817simpld 496 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐿1)
199recnd 11242 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
20 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
21 absf 15284 . . . . . . . . . . . . . 14 abs:β„‚βŸΆβ„
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ abs:β„‚βŸΆβ„)
2322feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ abs = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (absβ€˜π‘₯)))
24 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) β†’ (absβ€˜π‘₯) = (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
2519, 20, 23, 24fmptco 7127 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (abs ∘ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))))
2625adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (abs ∘ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))))
279fmpttd 7115 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))):π΄βŸΆβ„)
2827adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))):π΄βŸΆβ„)
29 iblmbf 25285 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ 𝐿1 β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
3029adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
3112, 30eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ MblFn)
328ismbfcn2 25155 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ MblFn ↔ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn)))
3332biimpa 478 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ MblFn) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn))
3431, 33syldan 592 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn))
3534simpld 496 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn)
36 ftc1anclem1 36561 . . . . . . . . . . 11 (((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))):π΄βŸΆβ„ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn) β†’ (abs ∘ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ MblFn)
3728, 35, 36syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (abs ∘ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ MblFn)
3826, 37eqeltrrd 2835 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ MblFn)
3910, 18, 38iblabsnc 36552 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ 𝐿1)
4019abscld 15383 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ)
4119absge0d 15391 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
4240, 41iblpos 25310 . . . . . . . . 9 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)))
4342adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)))
4439, 43mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ))
4544simprd 497 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)
4645adantr 482 . . . . 5 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = β„œ) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)
477, 46eqeltrd 2834 . . . 4 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = β„œ) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)
48 fveq1 6891 . . . . . . . . . 10 (𝐺 = β„‘ β†’ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) = (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))
4948fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (𝐺 = β„‘ β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) = (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
5049ifeq1d 4548 . . . . . . . 8 (𝐺 = β„‘ β†’ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) = if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))
5150mpteq2dv 5251 . . . . . . 7 (𝐺 = β„‘ β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)))
5251fveq2d 6896 . . . . . 6 (𝐺 = β„‘ β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) = (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))))
5352adantl 483 . . . . 5 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = β„‘) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) = (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))))
548imcld 15142 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
5554recnd 11242 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
5655adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
5717simprd 497 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐿1)
58 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
59 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)) β†’ (absβ€˜π‘₯) = (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
6055, 58, 23, 59fmptco 7127 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (abs ∘ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))))
6160adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (abs ∘ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))))
6254fmpttd 7115 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))):π΄βŸΆβ„)
6362adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))):π΄βŸΆβ„)
6434simprd 497 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn)
65 ftc1anclem1 36561 . . . . . . . . . . 11 (((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))):π΄βŸΆβ„ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn) β†’ (abs ∘ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ MblFn)
6663, 64, 65syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (abs ∘ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ MblFn)
6761, 66eqeltrrd 2835 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ MblFn)
6856, 57, 67iblabsnc 36552 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ 𝐿1)
6955abscld 15383 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ)
7055absge0d 15391 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
7169, 70iblpos 25310 . . . . . . . . 9 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)))
7271adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)))
7368, 72mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ))
7473simprd 497 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)
7574adantr 482 . . . . 5 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = β„‘) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)
7653, 75eqeltrd 2834 . . . 4 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = β„‘) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)
7747, 76jaodan 957 . . 3 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ (𝐺 = β„œ ∨ 𝐺 = β„‘)) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)
781, 77sylan2 594 . 2 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 ∈ {β„œ, β„‘}) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)
79783impa 1111 1 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺 ∈ {β„œ, β„‘}) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ifcif 4529  {cpr 4631   ↦ cmpt 5232   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  β„œcre 15044  β„‘cim 15045  abscabs 15181  MblFncmbf 25131  βˆ«2citg2 25133  πΏ1cibl 25134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cmp 22891  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136  df-itg1 25137  df-itg2 25138  df-ibl 25139  df-0p 25187
This theorem is referenced by:  ftc1anclem8  36568
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