Theorem ftc1anclem2 37695

Description: Lemma for ftc1anc 37702- restriction of an integrable function to the absolute value of its real or imaginary part. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Jun-2018.) (Revised by Brendan Leahy, 8-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ftc1anclem2	⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺 ∈ {ℜ, ℑ}) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐹   𝑡,𝐴   𝑡,𝐺

Proof of Theorem ftc1anclem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpri 4616	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ {ℜ, ℑ} → (𝐺 = ℜ ∨ 𝐺 = ℑ))
2		fveq1 6860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 = ℜ → (𝐺‘(𝐹‘𝑡)) = (ℜ‘(𝐹‘𝑡)))
3	2	fveq2d 6865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 = ℜ → (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))) = (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))))
4	3	ifeq1d 4511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 = ℜ → if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0) = if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))), 0))
5	4	mpteq2dv 5204	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 = ℜ → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))), 0)))
6	5	fveq2d 6865	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 = ℜ → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))), 0))))
7	6	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = ℜ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))), 0))))
8		ffvelcdm 7056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
9	8	recld 15167	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ)
10	9	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ)
11		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
12	11	feqmptd 6932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)))
13		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → 𝐹 ∈ 𝐿1)
14	12, 13	eqeltrrd 2830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
15	8	iblcn 25707	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1)))
16	15	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1) → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1))
17	14, 16	syldan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1))
18	17	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1)
19	9	recnd 11209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℂ)
20		eqidd 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))))
21		absf 15311	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → abs:ℂ⟶ℝ)
23	22	feqmptd 6932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
24		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (ℜ‘(𝐹‘𝑡)) → (abs‘𝑥) = (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))))
25	19, 20, 23, 24	fmptco 7104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (abs ∘ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡)))))
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (abs ∘ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡)))))
27	9	fmpttd 7090	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))):𝐴⟶ℝ)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))):𝐴⟶ℝ)
29		iblmbf 25675	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐿1 → 𝐹 ∈ MblFn)
30	29	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → 𝐹 ∈ MblFn)
31	12, 30	eqeltrrd 2830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ MblFn)
32	8	ismbfcn2 25546	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ MblFn ↔ ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn)))
33	32	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ MblFn) → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn))
34	31, 33	syldan 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn))
35	34	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn)
36		ftc1anclem1 37694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))):𝐴⟶ℝ ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn) → (abs ∘ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn)
37	28, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (abs ∘ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn)
38	26, 37	eqeltrrd 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn)
39	10, 18, 38	iblabsnc 37685	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ 𝐿1)
40	19	abscld 15412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ)
41	19	absge0d 15420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))))
42	40, 41	iblpos 25701	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)))
43	42	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)))
44	39, 43	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ))
45	44	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
46	45	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = ℜ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
47	7, 46	eqeltrd 2829	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = ℜ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
48		fveq1 6860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 = ℑ → (𝐺‘(𝐹‘𝑡)) = (ℑ‘(𝐹‘𝑡)))
49	48	fveq2d 6865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 = ℑ → (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))) = (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))))
50	49	ifeq1d 4511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 = ℑ → if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0) = if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))), 0))
51	50	mpteq2dv 5204	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 = ℑ → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))), 0)))
52	51	fveq2d 6865	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 = ℑ → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))), 0))))
53	52	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = ℑ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))), 0))))
54	8	imcld 15168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ)
55	54	recnd 11209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℂ)
56	55	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℂ)
57	17	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1)
58		eqidd 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))))
59		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (ℑ‘(𝐹‘𝑡)) → (abs‘𝑥) = (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))))
60	55, 58, 23, 59	fmptco 7104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (abs ∘ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡)))))
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (abs ∘ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡)))))
62	54	fmpttd 7090	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))):𝐴⟶ℝ)
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))):𝐴⟶ℝ)
64	34	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn)
65		ftc1anclem1 37694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))):𝐴⟶ℝ ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn) → (abs ∘ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn)
66	63, 64, 65	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (abs ∘ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn)
67	61, 66	eqeltrrd 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn)
68	56, 57, 67	iblabsnc 37685	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ 𝐿1)
69	55	abscld 15412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ)
70	55	absge0d 15420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))))
71	69, 70	iblpos 25701	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)))
72	71	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)))
73	68, 72	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ))
74	73	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
75	74	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = ℑ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
76	53, 75	eqeltrd 2829	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = ℑ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
77	47, 76	jaodan 959	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ (𝐺 = ℜ ∨ 𝐺 = ℑ)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
78	1, 77	sylan2 593	. 2 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 ∈ {ℜ, ℑ}) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
79	78	3impa 1109	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺 ∈ {ℜ, ℑ}) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4491  {cpr 4594   ↦ cmpt 5191   ∘ ccom 5645  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  ℜcre 15070  ℑcim 15071  abscabs 15207  MblFncmbf 25522  ∫₂citg2 25524  𝐿¹cibl 25525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-disj 5078  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-ofr 7657  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-sum 15660  df-rest 17392  df-topgen 17413  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-top 22788  df-topon 22805  df-bases 22840  df-cmp 23281  df-ovol 25372  df-vol 25373  df-mbf 25527  df-itg1 25528  df-itg2 25529  df-ibl 25530  df-0p 25578

This theorem is referenced by:  ftc1anclem8  37701