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Theorem ftc1anclem2 36181
Description: Lemma for ftc1anc 36188- restriction of an integrable function to the absolute value of its real or imaginary part. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Jun-2018.) (Revised by Brendan Leahy, 8-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem2 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺 ∈ {β„œ, β„‘}) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑑,𝐹   𝑑,𝐴   𝑑,𝐺

Proof of Theorem ftc1anclem2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpri 4613 . . 3 (𝐺 ∈ {β„œ, β„‘} β†’ (𝐺 = β„œ ∨ 𝐺 = β„‘))
2 fveq1 6846 . . . . . . . . . 10 (𝐺 = β„œ β†’ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) = (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))
32fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 (𝐺 = β„œ β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) = (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
43ifeq1d 4510 . . . . . . . 8 (𝐺 = β„œ β†’ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) = if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))
54mpteq2dv 5212 . . . . . . 7 (𝐺 = β„œ β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)))
65fveq2d 6851 . . . . . 6 (𝐺 = β„œ β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) = (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))))
76adantl 483 . . . . 5 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = β„œ) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) = (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))))
8 ffvelcdm 7037 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
98recld 15086 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
109adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
11 simpl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
1211feqmptd 6915 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)))
13 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
1412, 13eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ 𝐿1)
158iblcn 25179 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐿1)))
1615biimpa 478 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ 𝐿1) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐿1))
1714, 16syldan 592 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐿1))
1817simpld 496 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐿1)
199recnd 11190 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
20 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
21 absf 15229 . . . . . . . . . . . . . 14 abs:β„‚βŸΆβ„
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ abs:β„‚βŸΆβ„)
2322feqmptd 6915 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ abs = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (absβ€˜π‘₯)))
24 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) β†’ (absβ€˜π‘₯) = (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
2519, 20, 23, 24fmptco 7080 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (abs ∘ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))))
2625adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (abs ∘ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))))
279fmpttd 7068 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))):π΄βŸΆβ„)
2827adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))):π΄βŸΆβ„)
29 iblmbf 25148 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ 𝐿1 β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
3029adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
3112, 30eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ MblFn)
328ismbfcn2 25018 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ MblFn ↔ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn)))
3332biimpa 478 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ MblFn) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn))
3431, 33syldan 592 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn))
3534simpld 496 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn)
36 ftc1anclem1 36180 . . . . . . . . . . 11 (((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))):π΄βŸΆβ„ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn) β†’ (abs ∘ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ MblFn)
3728, 35, 36syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (abs ∘ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ MblFn)
3826, 37eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ MblFn)
3910, 18, 38iblabsnc 36171 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ 𝐿1)
4019abscld 15328 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ)
4119absge0d 15336 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
4240, 41iblpos 25173 . . . . . . . . 9 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)))
4342adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)))
4439, 43mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ))
4544simprd 497 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)
4645adantr 482 . . . . 5 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = β„œ) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)
477, 46eqeltrd 2838 . . . 4 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = β„œ) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)
48 fveq1 6846 . . . . . . . . . 10 (𝐺 = β„‘ β†’ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) = (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))
4948fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 (𝐺 = β„‘ β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) = (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
5049ifeq1d 4510 . . . . . . . 8 (𝐺 = β„‘ β†’ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) = if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))
5150mpteq2dv 5212 . . . . . . 7 (𝐺 = β„‘ β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)))
5251fveq2d 6851 . . . . . 6 (𝐺 = β„‘ β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) = (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))))
5352adantl 483 . . . . 5 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = β„‘) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) = (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))))
548imcld 15087 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
5554recnd 11190 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
5655adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
5717simprd 497 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐿1)
58 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
59 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)) β†’ (absβ€˜π‘₯) = (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
6055, 58, 23, 59fmptco 7080 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (abs ∘ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))))
6160adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (abs ∘ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))))
6254fmpttd 7068 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))):π΄βŸΆβ„)
6362adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))):π΄βŸΆβ„)
6434simprd 497 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn)
65 ftc1anclem1 36180 . . . . . . . . . . 11 (((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))):π΄βŸΆβ„ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn) β†’ (abs ∘ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ MblFn)
6663, 64, 65syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (abs ∘ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ MblFn)
6761, 66eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ MblFn)
6856, 57, 67iblabsnc 36171 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ 𝐿1)
6955abscld 15328 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ)
7055absge0d 15336 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
7169, 70iblpos 25173 . . . . . . . . 9 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)))
7271adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)))
7368, 72mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ))
7473simprd 497 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)
7574adantr 482 . . . . 5 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = β„‘) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)
7653, 75eqeltrd 2838 . . . 4 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = β„‘) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)
7747, 76jaodan 957 . . 3 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ (𝐺 = β„œ ∨ 𝐺 = β„‘)) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)
781, 77sylan2 594 . 2 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 ∈ {β„œ, β„‘}) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)
79783impa 1111 1 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺 ∈ {β„œ, β„‘}) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ifcif 4491  {cpr 4593   ↦ cmpt 5193   ∘ ccom 5642  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  β„œcre 14989  β„‘cim 14990  abscabs 15126  MblFncmbf 24994  βˆ«2citg2 24996  πΏ1cibl 24997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-rest 17311  df-topgen 17332  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cmp 22754  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002  df-0p 25050
This theorem is referenced by:  ftc1anclem8  36187
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