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Theorem ftc1anclem2 36550
Description: Lemma for ftc1anc 36557- restriction of an integrable function to the absolute value of its real or imaginary part. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Jun-2018.) (Revised by Brendan Leahy, 8-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem2 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺 ∈ {β„œ, β„‘}) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑑,𝐹   𝑑,𝐴   𝑑,𝐺

Proof of Theorem ftc1anclem2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpri 4649 . . 3 (𝐺 ∈ {β„œ, β„‘} β†’ (𝐺 = β„œ ∨ 𝐺 = β„‘))
2 fveq1 6887 . . . . . . . . . 10 (𝐺 = β„œ β†’ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) = (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))
32fveq2d 6892 . . . . . . . . 9 (𝐺 = β„œ β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) = (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
43ifeq1d 4546 . . . . . . . 8 (𝐺 = β„œ β†’ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) = if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))
54mpteq2dv 5249 . . . . . . 7 (𝐺 = β„œ β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)))
65fveq2d 6892 . . . . . 6 (𝐺 = β„œ β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) = (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))))
76adantl 482 . . . . 5 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = β„œ) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) = (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))))
8 ffvelcdm 7080 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
98recld 15137 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
109adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
11 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
1211feqmptd 6957 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)))
13 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
1412, 13eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ 𝐿1)
158iblcn 25307 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐿1)))
1615biimpa 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ 𝐿1) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐿1))
1714, 16syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐿1))
1817simpld 495 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐿1)
199recnd 11238 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
20 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
21 absf 15280 . . . . . . . . . . . . . 14 abs:β„‚βŸΆβ„
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ abs:β„‚βŸΆβ„)
2322feqmptd 6957 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ abs = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (absβ€˜π‘₯)))
24 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) β†’ (absβ€˜π‘₯) = (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
2519, 20, 23, 24fmptco 7123 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (abs ∘ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))))
2625adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (abs ∘ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))))
279fmpttd 7111 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))):π΄βŸΆβ„)
2827adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))):π΄βŸΆβ„)
29 iblmbf 25276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ 𝐿1 β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
3029adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
3112, 30eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ MblFn)
328ismbfcn2 25146 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ MblFn ↔ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn)))
3332biimpa 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ MblFn) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn))
3431, 33syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn))
3534simpld 495 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn)
36 ftc1anclem1 36549 . . . . . . . . . . 11 (((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))):π΄βŸΆβ„ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn) β†’ (abs ∘ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ MblFn)
3728, 35, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (abs ∘ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ MblFn)
3826, 37eqeltrrd 2834 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ MblFn)
3910, 18, 38iblabsnc 36540 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ 𝐿1)
4019abscld 15379 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ)
4119absge0d 15387 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
4240, 41iblpos 25301 . . . . . . . . 9 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)))
4342adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)))
4439, 43mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ))
4544simprd 496 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)
4645adantr 481 . . . . 5 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = β„œ) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)
477, 46eqeltrd 2833 . . . 4 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = β„œ) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)
48 fveq1 6887 . . . . . . . . . 10 (𝐺 = β„‘ β†’ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) = (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))
4948fveq2d 6892 . . . . . . . . 9 (𝐺 = β„‘ β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) = (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
5049ifeq1d 4546 . . . . . . . 8 (𝐺 = β„‘ β†’ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) = if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))
5150mpteq2dv 5249 . . . . . . 7 (𝐺 = β„‘ β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)))
5251fveq2d 6892 . . . . . 6 (𝐺 = β„‘ β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) = (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))))
5352adantl 482 . . . . 5 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = β„‘) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) = (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))))
548imcld 15138 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
5554recnd 11238 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
5655adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
5717simprd 496 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐿1)
58 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
59 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)) β†’ (absβ€˜π‘₯) = (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
6055, 58, 23, 59fmptco 7123 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (abs ∘ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))))
6160adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (abs ∘ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) = (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))))
6254fmpttd 7111 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))):π΄βŸΆβ„)
6362adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))):π΄βŸΆβ„)
6434simprd 496 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn)
65 ftc1anclem1 36549 . . . . . . . . . . 11 (((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))):π΄βŸΆβ„ ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn) β†’ (abs ∘ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ MblFn)
6663, 64, 65syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (abs ∘ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ MblFn)
6761, 66eqeltrrd 2834 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ MblFn)
6856, 57, 67iblabsnc 36540 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ 𝐿1)
6955abscld 15379 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ)
7055absge0d 15387 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
7169, 70iblpos 25301 . . . . . . . . 9 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)))
7271adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)))
7368, 72mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ))
7473simprd 496 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)
7574adantr 481 . . . . 5 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = β„‘) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)
7653, 75eqeltrd 2833 . . . 4 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = β„‘) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)
7747, 76jaodan 956 . . 3 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ (𝐺 = β„œ ∨ 𝐺 = β„‘)) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)
781, 77sylan2 593 . 2 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 ∈ {β„œ, β„‘}) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)
79783impa 1110 1 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺 ∈ {β„œ, β„‘}) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐴, (absβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ifcif 4527  {cpr 4629   ↦ cmpt 5230   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  β„œcre 15040  β„‘cim 15041  abscabs 15177  MblFncmbf 25122  βˆ«2citg2 25124  πΏ1cibl 25125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-cmp 22882  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-mbf 25127  df-itg1 25128  df-itg2 25129  df-ibl 25130  df-0p 25178
This theorem is referenced by:  ftc1anclem8  36556
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