Theorem ftc1anclem2 35851

Description: Lemma for ftc1anc 35858- restriction of an integrable function to the absolute value of its real or imaginary part. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Jun-2018.) (Revised by Brendan Leahy, 8-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ftc1anclem2	⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺 ∈ {ℜ, ℑ}) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐹   𝑡,𝐴   𝑡,𝐺

Proof of Theorem ftc1anclem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpri 4583	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ {ℜ, ℑ} → (𝐺 = ℜ ∨ 𝐺 = ℑ))
2		fveq1 6773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 = ℜ → (𝐺‘(𝐹‘𝑡)) = (ℜ‘(𝐹‘𝑡)))
3	2	fveq2d 6778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 = ℜ → (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))) = (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))))
4	3	ifeq1d 4478	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 = ℜ → if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0) = if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))), 0))
5	4	mpteq2dv 5176	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 = ℜ → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))), 0)))
6	5	fveq2d 6778	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 = ℜ → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))), 0))))
7	6	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = ℜ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))), 0))))
8		ffvelrn 6959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
9	8	recld 14905	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ)
10	9	adantlr 712	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ)
11		simpl 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
12	11	feqmptd 6837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)))
13		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → 𝐹 ∈ 𝐿1)
14	12, 13	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
15	8	iblcn 24963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1)))
16	15	biimpa 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1) → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1))
17	14, 16	syldan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1))
18	17	simpld 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1)
19	9	recnd 11003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℂ)
20		eqidd 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))))
21		absf 15049	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → abs:ℂ⟶ℝ)
23	22	feqmptd 6837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
24		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (ℜ‘(𝐹‘𝑡)) → (abs‘𝑥) = (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))))
25	19, 20, 23, 24	fmptco 7001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (abs ∘ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡)))))
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (abs ∘ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡)))))
27	9	fmpttd 6989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))):𝐴⟶ℝ)
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))):𝐴⟶ℝ)
29		iblmbf 24932	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐿1 → 𝐹 ∈ MblFn)
30	29	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → 𝐹 ∈ MblFn)
31	12, 30	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ MblFn)
32	8	ismbfcn2 24802	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ MblFn ↔ ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn)))
33	32	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ MblFn) → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn))
34	31, 33	syldan 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn))
35	34	simpld 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn)
36		ftc1anclem1 35850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))):𝐴⟶ℝ ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn) → (abs ∘ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn)
37	28, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (abs ∘ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn)
38	26, 37	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn)
39	10, 18, 38	iblabsnc 35841	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ 𝐿1)
40	19	abscld 15148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ)
41	19	absge0d 15156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))))
42	40, 41	iblpos 24957	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)))
43	42	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)))
44	39, 43	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ))
45	44	simprd 496	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
46	45	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = ℜ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
47	7, 46	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = ℜ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
48		fveq1 6773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 = ℑ → (𝐺‘(𝐹‘𝑡)) = (ℑ‘(𝐹‘𝑡)))
49	48	fveq2d 6778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 = ℑ → (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))) = (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))))
50	49	ifeq1d 4478	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 = ℑ → if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0) = if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))), 0))
51	50	mpteq2dv 5176	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 = ℑ → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))), 0)))
52	51	fveq2d 6778	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 = ℑ → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))), 0))))
53	52	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = ℑ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))), 0))))
54	8	imcld 14906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ)
55	54	recnd 11003	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℂ)
56	55	adantlr 712	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℂ)
57	17	simprd 496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1)
58		eqidd 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))))
59		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (ℑ‘(𝐹‘𝑡)) → (abs‘𝑥) = (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))))
60	55, 58, 23, 59	fmptco 7001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (abs ∘ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡)))))
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (abs ∘ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡)))))
62	54	fmpttd 6989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))):𝐴⟶ℝ)
63	62	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))):𝐴⟶ℝ)
64	34	simprd 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn)
65		ftc1anclem1 35850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))):𝐴⟶ℝ ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn) → (abs ∘ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn)
66	63, 64, 65	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (abs ∘ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn)
67	61, 66	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn)
68	56, 57, 67	iblabsnc 35841	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ 𝐿1)
69	55	abscld 15148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ)
70	55	absge0d 15156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))))
71	69, 70	iblpos 24957	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)))
72	71	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)))
73	68, 72	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ))
74	73	simprd 496	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
75	74	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = ℑ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
76	53, 75	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = ℑ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
77	47, 76	jaodan 955	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ (𝐺 = ℜ ∨ 𝐺 = ℑ)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
78	1, 77	sylan2 593	. 2 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 ∈ {ℜ, ℑ}) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
79	78	3impa 1109	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺 ∈ {ℜ, ℑ}) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ifcif 4459  {cpr 4563   ↦ cmpt 5157   ∘ ccom 5593  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  ℜcre 14808  ℑcim 14809  abscabs 14945  MblFncmbf 24778  ∫₂citg2 24780  𝐿¹cibl 24781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-disj 5040  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-rest 17133  df-topgen 17154  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-top 22043  df-topon 22060  df-bases 22096  df-cmp 22538  df-ovol 24628  df-vol 24629  df-mbf 24783  df-itg1 24784  df-itg2 24785  df-ibl 24786  df-0p 24834

This theorem is referenced by:  ftc1anclem8  35857