Theorem ftc1anclem2 37701

Description: Lemma for ftc1anc 37708- restriction of an integrable function to the absolute value of its real or imaginary part. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Jun-2018.) (Revised by Brendan Leahy, 8-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ftc1anclem2	⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺 ∈ {ℜ, ℑ}) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐹   𝑡,𝐴   𝑡,𝐺

Proof of Theorem ftc1anclem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpri 4649	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ {ℜ, ℑ} → (𝐺 = ℜ ∨ 𝐺 = ℑ))
2		fveq1 6905	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 = ℜ → (𝐺‘(𝐹‘𝑡)) = (ℜ‘(𝐹‘𝑡)))
3	2	fveq2d 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 = ℜ → (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))) = (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))))
4	3	ifeq1d 4545	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 = ℜ → if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0) = if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))), 0))
5	4	mpteq2dv 5244	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 = ℜ → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))), 0)))
6	5	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 = ℜ → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))), 0))))
7	6	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = ℜ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))), 0))))
8		ffvelcdm 7101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
9	8	recld 15233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ)
10	9	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ)
11		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
12	11	feqmptd 6977	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)))
13		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → 𝐹 ∈ 𝐿1)
14	12, 13	eqeltrrd 2842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
15	8	iblcn 25834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1)))
16	15	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1) → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1))
17	14, 16	syldan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1))
18	17	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1)
19	9	recnd 11289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℂ)
20		eqidd 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))))
21		absf 15376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → abs:ℂ⟶ℝ)
23	22	feqmptd 6977	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
24		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (ℜ‘(𝐹‘𝑡)) → (abs‘𝑥) = (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))))
25	19, 20, 23, 24	fmptco 7149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (abs ∘ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡)))))
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (abs ∘ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡)))))
27	9	fmpttd 7135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))):𝐴⟶ℝ)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))):𝐴⟶ℝ)
29		iblmbf 25802	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐿1 → 𝐹 ∈ MblFn)
30	29	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → 𝐹 ∈ MblFn)
31	12, 30	eqeltrrd 2842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ MblFn)
32	8	ismbfcn2 25673	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ MblFn ↔ ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn)))
33	32	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ MblFn) → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn))
34	31, 33	syldan 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn))
35	34	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn)
36		ftc1anclem1 37700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))):𝐴⟶ℝ ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn) → (abs ∘ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn)
37	28, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (abs ∘ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn)
38	26, 37	eqeltrrd 2842	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn)
39	10, 18, 38	iblabsnc 37691	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ 𝐿1)
40	19	abscld 15475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ)
41	19	absge0d 15483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))))
42	40, 41	iblpos 25828	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)))
43	42	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)))
44	39, 43	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ))
45	44	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
46	45	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = ℜ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
47	7, 46	eqeltrd 2841	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = ℜ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
48		fveq1 6905	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 = ℑ → (𝐺‘(𝐹‘𝑡)) = (ℑ‘(𝐹‘𝑡)))
49	48	fveq2d 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 = ℑ → (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))) = (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))))
50	49	ifeq1d 4545	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 = ℑ → if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0) = if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))), 0))
51	50	mpteq2dv 5244	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 = ℑ → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))), 0)))
52	51	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 = ℑ → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))), 0))))
53	52	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = ℑ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))), 0))))
54	8	imcld 15234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ)
55	54	recnd 11289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℂ)
56	55	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℂ)
57	17	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1)
58		eqidd 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))))
59		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (ℑ‘(𝐹‘𝑡)) → (abs‘𝑥) = (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))))
60	55, 58, 23, 59	fmptco 7149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (abs ∘ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡)))))
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (abs ∘ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡)))))
62	54	fmpttd 7135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))):𝐴⟶ℝ)
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))):𝐴⟶ℝ)
64	34	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn)
65		ftc1anclem1 37700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))):𝐴⟶ℝ ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn) → (abs ∘ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn)
66	63, 64, 65	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (abs ∘ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn)
67	61, 66	eqeltrrd 2842	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn)
68	56, 57, 67	iblabsnc 37691	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ 𝐿1)
69	55	abscld 15475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ)
70	55	absge0d 15483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))))
71	69, 70	iblpos 25828	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)))
72	71	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)))
73	68, 72	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → ((𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ))
74	73	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
75	74	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = ℑ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
76	53, 75	eqeltrd 2841	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 = ℑ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
77	47, 76	jaodan 960	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ (𝐺 = ℜ ∨ 𝐺 = ℑ)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
78	1, 77	sylan2 593	. 2 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) ∧ 𝐺 ∈ {ℜ, ℑ}) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
79	78	3impa 1110	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺 ∈ {ℜ, ℑ}) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐺‘(𝐹‘𝑡))), 0))) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ifcif 4525  {cpr 4628   ↦ cmpt 5225   ∘ ccom 5689  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  ℜcre 15136  ℑcim 15137  abscabs 15273  MblFncmbf 25649  ∫₂citg2 25651  𝐿¹cibl 25652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cmp 23395  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-ibl 25657  df-0p 25705

This theorem is referenced by:  ftc1anclem8  37707