MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpmat1dlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem chpmat1dlem 22750
Description: Lemma for chpmat1d 22751. (Contributed by AV, 7-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chpmat1d.c 𝐢 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpmat1d.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
chpmat1d.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpmat1d.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
chpmat1d.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
chpmat1d.z βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
chpmat1d.s 𝑆 = (algScβ€˜π‘ƒ)
chpmat1dlem.g 𝐺 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpmat1dlem.x 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
chpmat1dlem ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝐼((𝑋( ·𝑠 β€˜πΊ)(1rβ€˜πΊ))(-gβ€˜πΊ)(π‘‡β€˜π‘€))𝐼) = (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐼𝑀𝐼))))
Proof of Theorem chpmat1dlem
StepHypRef Expression
1 chpmat1d.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
21ply1ring 22170 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
323ad2ant1 1130 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
4 snfi 9062 . . . . . . . . . . 11 {𝐼} ∈ Fin
5 eleq1 2813 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = {𝐼} β†’ (𝑁 ∈ Fin ↔ {𝐼} ∈ Fin))
64, 5mpbiri 257 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = {𝐼} β†’ 𝑁 ∈ Fin)
76adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝑁 ∈ Fin)
82, 7anim12i 611 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
983adant3 1129 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
109ancomd 460 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring))
11 chpmat1dlem.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑁 Mat 𝑃)
1211matlmod 22344 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) β†’ 𝐺 ∈ LMod)
1310, 12syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ LMod)
14 chpmat1d.x . . . . . . . 8 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
15 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Poly1β€˜π‘…) = (Poly1β€˜π‘…)
16 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) = (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…))
1714, 15, 16vr1cl 22140 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…)))
18173ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…)))
1973ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑁 ∈ Fin)
20 fvex 6903 . . . . . . . . 9 (Poly1β€˜π‘…) ∈ V
211oveq2i 7424 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 Mat 𝑃) = (𝑁 Mat (Poly1β€˜π‘…))
2211, 21eqtri 2753 . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑁 Mat (Poly1β€˜π‘…))
2322matsca2 22335 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ (Poly1β€˜π‘…) ∈ V) β†’ (Poly1β€˜π‘…) = (Scalarβ€˜πΊ))
2419, 20, 23sylancl 584 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (Poly1β€˜π‘…) = (Scalarβ€˜πΊ))
2524eqcomd 2731 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (Scalarβ€˜πΊ) = (Poly1β€˜π‘…))
2625fveq2d 6894 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΊ)) = (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…)))
2718, 26eleqtrrd 2828 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΊ)))
2811matring 22358 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) β†’ 𝐺 ∈ Ring)
2910, 28syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ Ring)
30 eqid 2725 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
31 eqid 2725 . . . . . . 7 (1rβ€˜πΊ) = (1rβ€˜πΊ)
3230, 31ringidcl 20201 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
3329, 32syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (1rβ€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
3413, 27, 333jca 1125 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝐺 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΊ)) ∧ (1rβ€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΊ)))
35 eqid 2725 . . . . 5 (Scalarβ€˜πΊ) = (Scalarβ€˜πΊ)
36 eqid 2725 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜πΊ) = ( ·𝑠 β€˜πΊ)
37 eqid 2725 . . . . 5 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΊ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΊ))
3830, 35, 36, 37lmodvscl 20760 . . . 4 ((𝐺 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΊ)) ∧ (1rβ€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑋( ·𝑠 β€˜πΊ)(1rβ€˜πΊ)) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
3934, 38syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋( ·𝑠 β€˜πΊ)(1rβ€˜πΊ)) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
40 simp1 1133 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
41 simp3 1135 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
4219, 40, 413jca 1125 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))
43 chpmat1dlem.x . . . . 5 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
44 chpmat1d.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
45 chpmat1d.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
4643, 44, 45, 1, 11mat2pmatbas 22641 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (π‘‡β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
4742, 46syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (π‘‡β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
48 snidg 4659 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐼 ∈ {𝐼})
4948adantl 480 . . . . . 6 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝐼 ∈ {𝐼})
50 eleq2 2814 . . . . . . 7 (𝑁 = {𝐼} β†’ (𝐼 ∈ 𝑁 ↔ 𝐼 ∈ {𝐼}))
5150adantr 479 . . . . . 6 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (𝐼 ∈ 𝑁 ↔ 𝐼 ∈ {𝐼}))
5249, 51mpbird 256 . . . . 5 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝐼 ∈ 𝑁)
53 id 22 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑁 β†’ 𝐼 ∈ 𝑁)
5452, 53jccir 520 . . . 4 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁))
55543ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁))
56 eqid 2725 . . . 4 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
57 chpmat1d.z . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
5811, 30, 56, 57matsubgcell 22349 . . 3 ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝑋( ·𝑠 β€˜πΊ)(1rβ€˜πΊ)) ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ (π‘‡β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁)) β†’ (𝐼((𝑋( ·𝑠 β€˜πΊ)(1rβ€˜πΊ))(-gβ€˜πΊ)(π‘‡β€˜π‘€))𝐼) = ((𝐼(𝑋( ·𝑠 β€˜πΊ)(1rβ€˜πΊ))𝐼) βˆ’ (𝐼(π‘‡β€˜π‘€)𝐼)))
593, 39, 47, 55, 58syl121anc 1372 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝐼((𝑋( ·𝑠 β€˜πΊ)(1rβ€˜πΊ))(-gβ€˜πΊ)(π‘‡β€˜π‘€))𝐼) = ((𝐼(𝑋( ·𝑠 β€˜πΊ)(1rβ€˜πΊ))𝐼) βˆ’ (𝐼(π‘‡β€˜π‘€)𝐼)))
60 eqid 2725 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
6114, 1, 60vr1cl 22140 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
62613ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
63 eqid 2725 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
6411, 30, 60, 36, 63matvscacell 22351 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ (1rβ€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁)) β†’ (𝐼(𝑋( ·𝑠 β€˜πΊ)(1rβ€˜πΊ))𝐼) = (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(𝐼(1rβ€˜πΊ)𝐼)))
653, 62, 33, 55, 64syl121anc 1372 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝐼(𝑋( ·𝑠 β€˜πΊ)(1rβ€˜πΊ))𝐼) = (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(𝐼(1rβ€˜πΊ)𝐼)))
66 eqid 2725 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘ƒ) = (1rβ€˜π‘ƒ)
67 eqid 2725 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
68523ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝐼 ∈ 𝑁)
6911, 66, 67, 19, 3, 68, 68, 31mat1ov 22363 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝐼(1rβ€˜πΊ)𝐼) = if(𝐼 = 𝐼, (1rβ€˜π‘ƒ), (0gβ€˜π‘ƒ)))
70 eqidd 2726 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝐼 = 𝐼)
7170iftrued 4533 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ if(𝐼 = 𝐼, (1rβ€˜π‘ƒ), (0gβ€˜π‘ƒ)) = (1rβ€˜π‘ƒ))
7269, 71eqtrd 2765 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝐼(1rβ€˜πΊ)𝐼) = (1rβ€˜π‘ƒ))
7372oveq2d 7429 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(𝐼(1rβ€˜πΊ)𝐼)) = (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(1rβ€˜π‘ƒ)))
7460, 63, 66ringridm 20205 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(1rβ€˜π‘ƒ)) = 𝑋)
753, 62, 74syl2anc 582 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(1rβ€˜π‘ƒ)) = 𝑋)
7665, 73, 753eqtrd 2769 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝐼(𝑋( ·𝑠 β€˜πΊ)(1rβ€˜πΊ))𝐼) = 𝑋)
77 chpmat1d.s . . . . 5 𝑆 = (algScβ€˜π‘ƒ)
7843, 44, 45, 1, 77mat2pmatvalel 22640 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁)) β†’ (𝐼(π‘‡β€˜π‘€)𝐼) = (π‘†β€˜(𝐼𝑀𝐼)))
7942, 55, 78syl2anc 582 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝐼(π‘‡β€˜π‘€)𝐼) = (π‘†β€˜(𝐼𝑀𝐼)))
8076, 79oveq12d 7431 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((𝐼(𝑋( ·𝑠 β€˜πΊ)(1rβ€˜πΊ))𝐼) βˆ’ (𝐼(π‘‡β€˜π‘€)𝐼)) = (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐼𝑀𝐼))))
8159, 80eqtrd 2765 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝐼((𝑋( ·𝑠 β€˜πΊ)(1rβ€˜πΊ))(-gβ€˜πΊ)(π‘‡β€˜π‘€))𝐼) = (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐼𝑀𝐼))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463  ifcif 4525  {csn 4625  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  Fincfn 8957  Basecbs 17174  .rcmulr 17228  Scalarcsca 17230   ·𝑠 cvsca 17231  0gc0g 17415  -gcsg 18891  1rcur 20120  Ringcrg 20172  LModclmod 20742  algSccascl 21785  var1cv1 22098  Poly1cpl1 22099   Mat cmat 22320   matToPolyMat cmat2pmat 22619   CharPlyMat cchpmat 22741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-hash 14317  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-prds 17423  df-pws 17425  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-dsmm 21665  df-frlm 21680  df-ascl 21788  df-psr 21841  df-mvr 21842  df-mpl 21843  df-opsr 21845  df-psr1 22102  df-vr1 22103  df-ply1 22104  df-mamu 22304  df-mat 22321  df-mat2pmat 22622
This theorem is referenced by:  chpmat1d  22751
  Copyright terms: Public domain W3C validator