Theorem chpmat1dlem 23159

Description: Lemma for chpmat1d 23160. (Contributed by AV, 7-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chpmat1d.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpmat1d.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chpmat1d.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpmat1d.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
chpmat1d.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chpmat1d.z	⊢ − = (-g‘𝑃)
chpmat1d.s	⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpmat1dlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpmat1dlem.x	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
chpmat1dlem	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼((𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))(-g‘𝐺)(𝑇‘𝑀))𝐼) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))

Proof of Theorem chpmat1dlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpmat1d.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1ring 22571	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
3	2	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
4		snfi 9075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝐼} ∈ Fin
5		eleq1 2848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = {𝐼} → (𝑁 ∈ Fin ↔ {𝐼} ∈ Fin))
6	4, 5	mpbiri 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = {𝐼} → 𝑁 ∈ Fin)
7	6	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
8	2, 7	anim12i 625	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉)) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
9	8	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
10	9	ancomd 467	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring))
11		chpmat1dlem.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑁 Mat 𝑃)
12	11	matlmod 22750	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝐺 ∈ LMod)
13	10, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ LMod)
14		chpmat1d.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
15		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
16		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
17	14, 15, 16	vr1cl 22541	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
18	17	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
19	7	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
20		fvex 6899	. . . . . . . . 9 ⊢ (Poly1‘𝑅) ∈ V
21	1	oveq2i 7432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 Mat 𝑃) = (𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))
22	11, 21	eqtri 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))
23	22	matsca2 22741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ (Poly1‘𝑅) ∈ V) → (Poly1‘𝑅) = (Scalar‘𝐺))
24	19, 20, 23	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Poly1‘𝑅) = (Scalar‘𝐺))
25	24	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Scalar‘𝐺) = (Poly1‘𝑅))
26	25	fveq2d 6890	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Poly1‘𝑅)))
27	18, 26	eleqtrrd 2863	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)))
28	11	matring 22764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝐺 ∈ Ring)
29	10, 28	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Ring)
30		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
31		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐺) = (1r‘𝐺)
32	30, 31	ringidcl 20500	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → (1r‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
33	29, 32	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (1r‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
34	13, 27, 33	3jca 1146	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐺 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ (1r‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺)))
35		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝐺)
36		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝐺)
37		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Scalar‘𝐺))
38	30, 35, 36, 37	lmodvscl 21159	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ (1r‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺)) ∈ (Base‘𝐺))
39	34, 38	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺)) ∈ (Base‘𝐺))
40		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
41		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝐵)
42	19, 40, 41	3jca 1146	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵))
43		chpmat1dlem.x	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
44		chpmat1d.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
45		chpmat1d.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
46	43, 44, 45, 1, 11	mat2pmatbas 23050	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝐺))
47	42, 46	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝐺))
48		snidg 4617	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ {𝐼})
49	48	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ {𝐼})
50		eleq2 2849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = {𝐼} → (𝐼 ∈ 𝑁 ↔ 𝐼 ∈ {𝐼}))
51	50	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 ∈ 𝑁 ↔ 𝐼 ∈ {𝐼}))
52	49, 51	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑁)
53		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑁 → 𝐼 ∈ 𝑁)
54	52, 53	jccir 531	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁))
55	54	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁))
56		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
57		chpmat1d.z	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑃)
58	11, 30, 56, 57	matsubgcell 22755	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁)) → (𝐼((𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))(-g‘𝐺)(𝑇‘𝑀))𝐼) = ((𝐼(𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))𝐼) − (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐼)))
59	3, 39, 47, 55, 58	syl121anc 1402	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼((𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))(-g‘𝐺)(𝑇‘𝑀))𝐼) = ((𝐼(𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))𝐼) − (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐼)))
60		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
61	14, 1, 60	vr1cl 22541	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
62	61	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
63		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
64	11, 30, 60, 36, 63	matvscacell 22757	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (1r‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))𝐼) = (𝑋(.r‘𝑃)(𝐼(1r‘𝐺)𝐼)))
65	3, 62, 33, 55, 64	syl121anc 1402	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼(𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))𝐼) = (𝑋(.r‘𝑃)(𝐼(1r‘𝐺)𝐼)))
66		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
67		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
68	52	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑁)
69	11, 66, 67, 19, 3, 68, 68, 31	mat1ov 22769	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼(1r‘𝐺)𝐼) = if(𝐼 = 𝐼, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)))
70		eqidd 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐼 = 𝐼)
71	70	iftrued 4489	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → if(𝐼 = 𝐼, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)) = (1r‘𝑃))
72	69, 71	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼(1r‘𝐺)𝐼) = (1r‘𝑃))
73	72	oveq2d 7437	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑃)(𝐼(1r‘𝐺)𝐼)) = (𝑋(.r‘𝑃)(1r‘𝑃)))
74	60, 63, 66	ringridm 20505	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(.r‘𝑃)(1r‘𝑃)) = 𝑋)
75	3, 62, 74	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑃)(1r‘𝑃)) = 𝑋)
76	65, 73, 75	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼(𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))𝐼) = 𝑋)
77		chpmat1d.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
78	43, 44, 45, 1, 77	mat2pmatvalel 23049	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐼) = (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)))
79	42, 55, 78	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐼) = (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)))
80	76, 79	oveq12d 7439	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝐼(𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))𝐼) − (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐼)) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))
81	59, 80	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼((𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))(-g‘𝐺)(𝑇‘𝑀))𝐼) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ifcif 4481  {csn 4584  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Fincfn 8977  Basecbs 17393  ._rcmulr 17435  Scalarcsca 17437   ·_𝑠 cvsca 17438  0_gc0g 17616  -_gcsg 19152  1_rcur 20413  Ringcrg 20465  LModclmod 21141  algSccascl 22166  var₁cv1 22500  Poly₁cpl1 22501   Mat cmat 22728   matToPolyMat cmat2pmat 23028   CharPlyMat cchpmat 23150

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-ot 4858  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-ofr 7695  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-sup 9438  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-seq 14149  df-hash 14479  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-hom 17458  df-cco 17459  df-0g 17618  df-gsum 17619  df-prds 17624  df-pws 17626  df-mre 17762  df-mrc 17763  df-acs 17765  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-mhm 18984  df-submnd 18985  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-sbg 19155  df-mulg 19284  df-subg 19339  df-ghm 19434  df-cntz 19537  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-ring 20467  df-subrng 20804  df-subrg 20828  df-lmod 21143  df-lss 21213  df-sra 21454  df-rgmod 21455  df-dsmm 22044  df-frlm 22059  df-ascl 22169  df-psr 22223  df-mvr 22224  df-mpl 22225  df-opsr 22227  df-psr1 22504  df-vr1 22505  df-ply1 22506  df-mamu 22712  df-mat 22729  df-mat2pmat 23031

This theorem is used by:  chpmat1d  23160