Theorem chpmat1dlem 22857

Description: Lemma for chpmat1d 22858. (Contributed by AV, 7-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chpmat1d.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpmat1d.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chpmat1d.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpmat1d.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
chpmat1d.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chpmat1d.z	⊢ − = (-g‘𝑃)
chpmat1d.s	⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpmat1dlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpmat1dlem.x	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
chpmat1dlem	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼((𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))(-g‘𝐺)(𝑇‘𝑀))𝐼) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))

Proof of Theorem chpmat1dlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpmat1d.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1ring 22265	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
3	2	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
4		snfi 9082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝐼} ∈ Fin
5		eleq1 2827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = {𝐼} → (𝑁 ∈ Fin ↔ {𝐼} ∈ Fin))
6	4, 5	mpbiri 258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = {𝐼} → 𝑁 ∈ Fin)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
8	2, 7	anim12i 613	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉)) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
9	8	3adant3 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
10	9	ancomd 461	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring))
11		chpmat1dlem.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑁 Mat 𝑃)
12	11	matlmod 22451	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝐺 ∈ LMod)
13	10, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ LMod)
14		chpmat1d.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
15		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
16		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
17	14, 15, 16	vr1cl 22235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
18	17	3ad2ant1 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
19	7	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
20		fvex 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ (Poly1‘𝑅) ∈ V
21	1	oveq2i 7442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 Mat 𝑃) = (𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))
22	11, 21	eqtri 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))
23	22	matsca2 22442	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ (Poly1‘𝑅) ∈ V) → (Poly1‘𝑅) = (Scalar‘𝐺))
24	19, 20, 23	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Poly1‘𝑅) = (Scalar‘𝐺))
25	24	eqcomd 2741	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Scalar‘𝐺) = (Poly1‘𝑅))
26	25	fveq2d 6911	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Poly1‘𝑅)))
27	18, 26	eleqtrrd 2842	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)))
28	11	matring 22465	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝐺 ∈ Ring)
29	10, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Ring)
30		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
31		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐺) = (1r‘𝐺)
32	30, 31	ringidcl 20280	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → (1r‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
33	29, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (1r‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
34	13, 27, 33	3jca 1127	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐺 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ (1r‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺)))
35		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝐺)
36		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝐺)
37		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Scalar‘𝐺))
38	30, 35, 36, 37	lmodvscl 20893	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ (1r‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺)) ∈ (Base‘𝐺))
39	34, 38	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺)) ∈ (Base‘𝐺))
40		simp1 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
41		simp3 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝐵)
42	19, 40, 41	3jca 1127	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵))
43		chpmat1dlem.x	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
44		chpmat1d.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
45		chpmat1d.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
46	43, 44, 45, 1, 11	mat2pmatbas 22748	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝐺))
47	42, 46	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝐺))
48		snidg 4665	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ {𝐼})
49	48	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ {𝐼})
50		eleq2 2828	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = {𝐼} → (𝐼 ∈ 𝑁 ↔ 𝐼 ∈ {𝐼}))
51	50	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 ∈ 𝑁 ↔ 𝐼 ∈ {𝐼}))
52	49, 51	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑁)
53		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑁 → 𝐼 ∈ 𝑁)
54	52, 53	jccir 521	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁))
55	54	3ad2ant2 1133	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁))
56		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
57		chpmat1d.z	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑃)
58	11, 30, 56, 57	matsubgcell 22456	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁)) → (𝐼((𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))(-g‘𝐺)(𝑇‘𝑀))𝐼) = ((𝐼(𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))𝐼) − (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐼)))
59	3, 39, 47, 55, 58	syl121anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼((𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))(-g‘𝐺)(𝑇‘𝑀))𝐼) = ((𝐼(𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))𝐼) − (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐼)))
60		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
61	14, 1, 60	vr1cl 22235	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
62	61	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
63		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
64	11, 30, 60, 36, 63	matvscacell 22458	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (1r‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))𝐼) = (𝑋(.r‘𝑃)(𝐼(1r‘𝐺)𝐼)))
65	3, 62, 33, 55, 64	syl121anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼(𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))𝐼) = (𝑋(.r‘𝑃)(𝐼(1r‘𝐺)𝐼)))
66		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
67		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
68	52	3ad2ant2 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑁)
69	11, 66, 67, 19, 3, 68, 68, 31	mat1ov 22470	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼(1r‘𝐺)𝐼) = if(𝐼 = 𝐼, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)))
70		eqidd 2736	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐼 = 𝐼)
71	70	iftrued 4539	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → if(𝐼 = 𝐼, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)) = (1r‘𝑃))
72	69, 71	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼(1r‘𝐺)𝐼) = (1r‘𝑃))
73	72	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑃)(𝐼(1r‘𝐺)𝐼)) = (𝑋(.r‘𝑃)(1r‘𝑃)))
74	60, 63, 66	ringridm 20284	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(.r‘𝑃)(1r‘𝑃)) = 𝑋)
75	3, 62, 74	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑃)(1r‘𝑃)) = 𝑋)
76	65, 73, 75	3eqtrd 2779	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼(𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))𝐼) = 𝑋)
77		chpmat1d.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
78	43, 44, 45, 1, 77	mat2pmatvalel 22747	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐼) = (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)))
79	42, 55, 78	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐼) = (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)))
80	76, 79	oveq12d 7449	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝐼(𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))𝐼) − (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐼)) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))
81	59, 80	eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼((𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))(-g‘𝐺)(𝑇‘𝑀))𝐼) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  ifcif 4531  {csn 4631  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  Basecbs 17245  ._rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  0_gc0g 17486  -_gcsg 18966  1_rcur 20199  Ringcrg 20251  LModclmod 20875  algSccascl 21890  var₁cv1 22193  Poly₁cpl1 22194   Mat cmat 22427   matToPolyMat cmat2pmat 22726   CharPlyMat cchpmat 22848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-psr1 22197  df-vr1 22198  df-ply1 22199  df-mamu 22411  df-mat 22428  df-mat2pmat 22729

This theorem is referenced by:  chpmat1d  22858