Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpmat1dlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpmat1dlem 21550
 Description: Lemma for chpmat1d 21551. (Contributed by AV, 7-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chpmat1d.c 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpmat1d.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
chpmat1d.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpmat1d.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
chpmat1d.x 𝑋 = (var1𝑅)
chpmat1d.z = (-g𝑃)
chpmat1d.s 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpmat1dlem.g 𝐺 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpmat1dlem.x 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
chpmat1dlem ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼((𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))(-g𝐺)(𝑇𝑀))𝐼) = (𝑋 (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))

Proof of Theorem chpmat1dlem
StepHypRef Expression
1 chpmat1d.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
21ply1ring 20987 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
323ad2ant1 1131 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
4 snfi 8628 . . . . . . . . . . 11 {𝐼} ∈ Fin
5 eleq1 2840 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = {𝐼} → (𝑁 ∈ Fin ↔ {𝐼} ∈ Fin))
64, 5mpbiri 261 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = {𝐼} → 𝑁 ∈ Fin)
76adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
82, 7anim12i 615 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉)) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
983adant3 1130 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
109ancomd 465 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring))
11 chpmat1dlem.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑁 Mat 𝑃)
1211matlmod 21144 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝐺 ∈ LMod)
1310, 12syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝐺 ∈ LMod)
14 chpmat1d.x . . . . . . . 8 𝑋 = (var1𝑅)
15 eqid 2759 . . . . . . . 8 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
16 eqid 2759 . . . . . . . 8 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1𝑅))
1714, 15, 16vr1cl 20956 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
18173ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
1973ad2ant2 1132 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
20 fvex 6677 . . . . . . . . 9 (Poly1𝑅) ∈ V
211oveq2i 7168 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 Mat 𝑃) = (𝑁 Mat (Poly1𝑅))
2211, 21eqtri 2782 . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑁 Mat (Poly1𝑅))
2322matsca2 21135 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ (Poly1𝑅) ∈ V) → (Poly1𝑅) = (Scalar‘𝐺))
2419, 20, 23sylancl 589 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (Poly1𝑅) = (Scalar‘𝐺))
2524eqcomd 2765 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (Scalar‘𝐺) = (Poly1𝑅))
2625fveq2d 6668 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Poly1𝑅)))
2718, 26eleqtrrd 2856 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)))
2811matring 21158 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝐺 ∈ Ring)
2910, 28syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝐺 ∈ Ring)
30 eqid 2759 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
31 eqid 2759 . . . . . . 7 (1r𝐺) = (1r𝐺)
3230, 31ringidcl 19404 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Ring → (1r𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
3329, 32syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (1r𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
3413, 27, 333jca 1126 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐺 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ (1r𝐺) ∈ (Base‘𝐺)))
35 eqid 2759 . . . . 5 (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝐺)
36 eqid 2759 . . . . 5 ( ·𝑠𝐺) = ( ·𝑠𝐺)
37 eqid 2759 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Scalar‘𝐺))
3830, 35, 36, 37lmodvscl 19734 . . . 4 ((𝐺 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ (1r𝐺) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺)) ∈ (Base‘𝐺))
3934, 38syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺)) ∈ (Base‘𝐺))
40 simp1 1134 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
41 simp3 1136 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀𝐵)
4219, 40, 413jca 1126 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵))
43 chpmat1dlem.x . . . . 5 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
44 chpmat1d.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
45 chpmat1d.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
4643, 44, 45, 1, 11mat2pmatbas 21441 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝐺))
4742, 46syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝐺))
48 snidg 4560 . . . . . . 7 (𝐼𝑉𝐼 ∈ {𝐼})
4948adantl 485 . . . . . 6 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → 𝐼 ∈ {𝐼})
50 eleq2 2841 . . . . . . 7 (𝑁 = {𝐼} → (𝐼𝑁𝐼 ∈ {𝐼}))
5150adantr 484 . . . . . 6 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼𝑁𝐼 ∈ {𝐼}))
5249, 51mpbird 260 . . . . 5 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → 𝐼𝑁)
53 id 22 . . . . 5 (𝐼𝑁𝐼𝑁)
5452, 53jccir 525 . . . 4 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼𝑁𝐼𝑁))
55543ad2ant2 1132 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼𝑁𝐼𝑁))
56 eqid 2759 . . . 4 (-g𝐺) = (-g𝐺)
57 chpmat1d.z . . . 4 = (-g𝑃)
5811, 30, 56, 57matsubgcell 21149 . . 3 ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝐼𝑁𝐼𝑁)) → (𝐼((𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))(-g𝐺)(𝑇𝑀))𝐼) = ((𝐼(𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))𝐼) (𝐼(𝑇𝑀)𝐼)))
593, 39, 47, 55, 58syl121anc 1373 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼((𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))(-g𝐺)(𝑇𝑀))𝐼) = ((𝐼(𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))𝐼) (𝐼(𝑇𝑀)𝐼)))
60 eqid 2759 . . . . . . 7 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
6114, 1, 60vr1cl 20956 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
62613ad2ant1 1131 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
63 eqid 2759 . . . . . 6 (.r𝑃) = (.r𝑃)
6411, 30, 60, 36, 63matvscacell 21151 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (1r𝐺) ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝐼𝑁𝐼𝑁)) → (𝐼(𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))𝐼) = (𝑋(.r𝑃)(𝐼(1r𝐺)𝐼)))
653, 62, 33, 55, 64syl121anc 1373 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼(𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))𝐼) = (𝑋(.r𝑃)(𝐼(1r𝐺)𝐼)))
66 eqid 2759 . . . . . . 7 (1r𝑃) = (1r𝑃)
67 eqid 2759 . . . . . . 7 (0g𝑃) = (0g𝑃)
68523ad2ant2 1132 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝐼𝑁)
6911, 66, 67, 19, 3, 68, 68, 31mat1ov 21163 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼(1r𝐺)𝐼) = if(𝐼 = 𝐼, (1r𝑃), (0g𝑃)))
70 eqidd 2760 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝐼 = 𝐼)
7170iftrued 4432 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → if(𝐼 = 𝐼, (1r𝑃), (0g𝑃)) = (1r𝑃))
7269, 71eqtrd 2794 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼(1r𝐺)𝐼) = (1r𝑃))
7372oveq2d 7173 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑋(.r𝑃)(𝐼(1r𝐺)𝐼)) = (𝑋(.r𝑃)(1r𝑃)))
7460, 63, 66ringridm 19408 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(.r𝑃)(1r𝑃)) = 𝑋)
753, 62, 74syl2anc 587 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑋(.r𝑃)(1r𝑃)) = 𝑋)
7665, 73, 753eqtrd 2798 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼(𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))𝐼) = 𝑋)
77 chpmat1d.s . . . . 5 𝑆 = (algSc‘𝑃)
7843, 44, 45, 1, 77mat2pmatvalel 21440 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐼𝑁)) → (𝐼(𝑇𝑀)𝐼) = (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)))
7942, 55, 78syl2anc 587 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼(𝑇𝑀)𝐼) = (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)))
8076, 79oveq12d 7175 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((𝐼(𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))𝐼) (𝐼(𝑇𝑀)𝐼)) = (𝑋 (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))
8159, 80eqtrd 2794 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼((𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))(-g𝐺)(𝑇𝑀))𝐼) = (𝑋 (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  Vcvv 3410  ifcif 4424  {csn 4526  ‘cfv 6341  (class class class)co 7157  Fincfn 8541  Basecbs 16556  .rcmulr 16639  Scalarcsca 16641   ·𝑠 cvsca 16642  0gc0g 16786  -gcsg 18186  1rcur 19334  Ringcrg 19380  LModclmod 19717  algSccascl 20632  var1cv1 20915  Poly1cpl1 20916   Mat cmat 21122   matToPolyMat cmat2pmat 21419   CharPlyMat cchpmat 21541 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5161  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-ot 4535  df-uni 4803  df-int 4843  df-iun 4889  df-iin 4890  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-se 5489  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-isom 6350  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-of 7412  df-ofr 7413  df-om 7587  df-1st 7700  df-2nd 7701  df-supp 7843  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-1o 8119  df-er 8306  df-map 8425  df-pm 8426  df-ixp 8494  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-fin 8545  df-fsupp 8881  df-sup 8953  df-oi 9021  df-card 9415  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-nn 11689  df-2 11751  df-3 11752  df-4 11753  df-5 11754  df-6 11755  df-7 11756  df-8 11757  df-9 11758  df-n0 11949  df-z 12035  df-dec 12152  df-uz 12297  df-fz 12954  df-fzo 13097  df-seq 13433  df-hash 13755  df-struct 16558  df-ndx 16559  df-slot 16560  df-base 16562  df-sets 16563  df-ress 16564  df-plusg 16651  df-mulr 16652  df-sca 16654  df-vsca 16655  df-ip 16656  df-tset 16657  df-ple 16658  df-ds 16660  df-hom 16662  df-cco 16663  df-0g 16788  df-gsum 16789  df-prds 16794  df-pws 16796  df-mre 16930  df-mrc 16931  df-acs 16933  df-mgm 17933  df-sgrp 17982  df-mnd 17993  df-mhm 18037  df-submnd 18038  df-grp 18187  df-minusg 18188  df-sbg 18189  df-mulg 18307  df-subg 18358  df-ghm 18438  df-cntz 18529  df-cmn 18990  df-abl 18991  df-mgp 19323  df-ur 19335  df-ring 19382  df-subrg 19616  df-lmod 19719  df-lss 19787  df-sra 20027  df-rgmod 20028  df-dsmm 20512  df-frlm 20527  df-ascl 20635  df-psr 20686  df-mvr 20687  df-mpl 20688  df-opsr 20690  df-psr1 20919  df-vr1 20920  df-ply1 20921  df-mamu 21101  df-mat 21123  df-mat2pmat 21422 This theorem is referenced by:  chpmat1d  21551
 Copyright terms: Public domain W3C validator