Theorem chpmat1dlem 22862

Description: Lemma for chpmat1d 22863. (Contributed by AV, 7-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chpmat1d.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpmat1d.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chpmat1d.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpmat1d.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
chpmat1d.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chpmat1d.z	⊢ − = (-g‘𝑃)
chpmat1d.s	⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpmat1dlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpmat1dlem.x	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
chpmat1dlem	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼((𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))(-g‘𝐺)(𝑇‘𝑀))𝐼) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))

Proof of Theorem chpmat1dlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpmat1d.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1ring 22270	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
3	2	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
4		snfi 9109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝐼} ∈ Fin
5		eleq1 2832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = {𝐼} → (𝑁 ∈ Fin ↔ {𝐼} ∈ Fin))
6	4, 5	mpbiri 258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = {𝐼} → 𝑁 ∈ Fin)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
8	2, 7	anim12i 612	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉)) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
9	8	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
10	9	ancomd 461	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring))
11		chpmat1dlem.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑁 Mat 𝑃)
12	11	matlmod 22456	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝐺 ∈ LMod)
13	10, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ LMod)
14		chpmat1d.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
15		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
16		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
17	14, 15, 16	vr1cl 22240	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
18	17	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
19	7	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
20		fvex 6933	. . . . . . . . 9 ⊢ (Poly1‘𝑅) ∈ V
21	1	oveq2i 7459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 Mat 𝑃) = (𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))
22	11, 21	eqtri 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))
23	22	matsca2 22447	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ (Poly1‘𝑅) ∈ V) → (Poly1‘𝑅) = (Scalar‘𝐺))
24	19, 20, 23	sylancl 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Poly1‘𝑅) = (Scalar‘𝐺))
25	24	eqcomd 2746	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Scalar‘𝐺) = (Poly1‘𝑅))
26	25	fveq2d 6924	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Poly1‘𝑅)))
27	18, 26	eleqtrrd 2847	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)))
28	11	matring 22470	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝐺 ∈ Ring)
29	10, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Ring)
30		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
31		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐺) = (1r‘𝐺)
32	30, 31	ringidcl 20289	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → (1r‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
33	29, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (1r‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
34	13, 27, 33	3jca 1128	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐺 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ (1r‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺)))
35		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝐺)
36		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝐺)
37		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Scalar‘𝐺))
38	30, 35, 36, 37	lmodvscl 20898	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ (1r‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺)) ∈ (Base‘𝐺))
39	34, 38	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺)) ∈ (Base‘𝐺))
40		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
41		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝐵)
42	19, 40, 41	3jca 1128	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵))
43		chpmat1dlem.x	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
44		chpmat1d.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
45		chpmat1d.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
46	43, 44, 45, 1, 11	mat2pmatbas 22753	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝐺))
47	42, 46	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝐺))
48		snidg 4682	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ {𝐼})
49	48	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ {𝐼})
50		eleq2 2833	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = {𝐼} → (𝐼 ∈ 𝑁 ↔ 𝐼 ∈ {𝐼}))
51	50	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 ∈ 𝑁 ↔ 𝐼 ∈ {𝐼}))
52	49, 51	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑁)
53		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑁 → 𝐼 ∈ 𝑁)
54	52, 53	jccir 521	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁))
55	54	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁))
56		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
57		chpmat1d.z	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑃)
58	11, 30, 56, 57	matsubgcell 22461	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁)) → (𝐼((𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))(-g‘𝐺)(𝑇‘𝑀))𝐼) = ((𝐼(𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))𝐼) − (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐼)))
59	3, 39, 47, 55, 58	syl121anc 1375	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼((𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))(-g‘𝐺)(𝑇‘𝑀))𝐼) = ((𝐼(𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))𝐼) − (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐼)))
60		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
61	14, 1, 60	vr1cl 22240	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
62	61	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
63		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
64	11, 30, 60, 36, 63	matvscacell 22463	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (1r‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))𝐼) = (𝑋(.r‘𝑃)(𝐼(1r‘𝐺)𝐼)))
65	3, 62, 33, 55, 64	syl121anc 1375	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼(𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))𝐼) = (𝑋(.r‘𝑃)(𝐼(1r‘𝐺)𝐼)))
66		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
67		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
68	52	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑁)
69	11, 66, 67, 19, 3, 68, 68, 31	mat1ov 22475	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼(1r‘𝐺)𝐼) = if(𝐼 = 𝐼, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)))
70		eqidd 2741	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐼 = 𝐼)
71	70	iftrued 4556	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → if(𝐼 = 𝐼, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)) = (1r‘𝑃))
72	69, 71	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼(1r‘𝐺)𝐼) = (1r‘𝑃))
73	72	oveq2d 7464	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑃)(𝐼(1r‘𝐺)𝐼)) = (𝑋(.r‘𝑃)(1r‘𝑃)))
74	60, 63, 66	ringridm 20293	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(.r‘𝑃)(1r‘𝑃)) = 𝑋)
75	3, 62, 74	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑃)(1r‘𝑃)) = 𝑋)
76	65, 73, 75	3eqtrd 2784	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼(𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))𝐼) = 𝑋)
77		chpmat1d.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
78	43, 44, 45, 1, 77	mat2pmatvalel 22752	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐼) = (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)))
79	42, 55, 78	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐼) = (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)))
80	76, 79	oveq12d 7466	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝐼(𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))𝐼) − (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐼)) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))
81	59, 80	eqtrd 2780	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼((𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))(-g‘𝐺)(𝑇‘𝑀))𝐼) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  ifcif 4548  {csn 4648  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  0_gc0g 17499  -_gcsg 18975  1_rcur 20208  Ringcrg 20260  LModclmod 20880  algSccascl 21895  var₁cv1 22198  Poly₁cpl1 22199   Mat cmat 22432   matToPolyMat cmat2pmat 22731   CharPlyMat cchpmat 22853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-dsmm 21775  df-frlm 21790  df-ascl 21898  df-psr 21952  df-mvr 21953  df-mpl 21954  df-opsr 21956  df-psr1 22202  df-vr1 22203  df-ply1 22204  df-mamu 22416  df-mat 22433  df-mat2pmat 22734

This theorem is referenced by:  chpmat1d  22863