Theorem chpmat1dlem 23066

Description: Lemma for chpmat1d 23067. (Contributed by AV, 7-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chpmat1d.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpmat1d.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chpmat1d.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpmat1d.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
chpmat1d.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chpmat1d.z	⊢ − = (-g‘𝑃)
chpmat1d.s	⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpmat1dlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpmat1dlem.x	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
chpmat1dlem	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼((𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))(-g‘𝐺)(𝑇‘𝑀))𝐼) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))

Proof of Theorem chpmat1dlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpmat1d.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1ring 22478	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
3	2	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
4		snfi 9054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝐼} ∈ Fin
5		eleq1 2850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = {𝐼} → (𝑁 ∈ Fin ↔ {𝐼} ∈ Fin))
6	4, 5	mpbiri 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = {𝐼} → 𝑁 ∈ Fin)
7	6	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
8	2, 7	anim12i 625	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉)) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
9	8	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
10	9	ancomd 467	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring))
11		chpmat1dlem.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑁 Mat 𝑃)
12	11	matlmod 22657	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝐺 ∈ LMod)
13	10, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ LMod)
14		chpmat1d.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
15		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
16		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
17	14, 15, 16	vr1cl 22448	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
18	17	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
19	7	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
20		fvex 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ (Poly1‘𝑅) ∈ V
21	1	oveq2i 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 Mat 𝑃) = (𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))
22	11, 21	eqtri 2785	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))
23	22	matsca2 22648	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ (Poly1‘𝑅) ∈ V) → (Poly1‘𝑅) = (Scalar‘𝐺))
24	19, 20, 23	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Poly1‘𝑅) = (Scalar‘𝐺))
25	24	eqcomd 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Scalar‘𝐺) = (Poly1‘𝑅))
26	25	fveq2d 6886	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Poly1‘𝑅)))
27	18, 26	eleqtrrd 2865	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)))
28	11	matring 22671	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝐺 ∈ Ring)
29	10, 28	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Ring)
30		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
31		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐺) = (1r‘𝐺)
32	30, 31	ringidcl 20412	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → (1r‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
33	29, 32	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (1r‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
34	13, 27, 33	3jca 1146	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐺 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ (1r‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺)))
35		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝐺)
36		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝐺)
37		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Scalar‘𝐺))
38	30, 35, 36, 37	lmodvscl 21068	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ (1r‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺)) ∈ (Base‘𝐺))
39	34, 38	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺)) ∈ (Base‘𝐺))
40		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
41		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝐵)
42	19, 40, 41	3jca 1146	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵))
43		chpmat1dlem.x	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
44		chpmat1d.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
45		chpmat1d.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
46	43, 44, 45, 1, 11	mat2pmatbas 22957	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝐺))
47	42, 46	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝐺))
48		snidg 4624	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ {𝐼})
49	48	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ {𝐼})
50		eleq2 2851	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = {𝐼} → (𝐼 ∈ 𝑁 ↔ 𝐼 ∈ {𝐼}))
51	50	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 ∈ 𝑁 ↔ 𝐼 ∈ {𝐼}))
52	49, 51	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑁)
53		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑁 → 𝐼 ∈ 𝑁)
54	52, 53	jccir 531	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁))
55	54	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁))
56		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
57		chpmat1d.z	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑃)
58	11, 30, 56, 57	matsubgcell 22662	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁)) → (𝐼((𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))(-g‘𝐺)(𝑇‘𝑀))𝐼) = ((𝐼(𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))𝐼) − (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐼)))
59	3, 39, 47, 55, 58	syl121anc 1402	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼((𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))(-g‘𝐺)(𝑇‘𝑀))𝐼) = ((𝐼(𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))𝐼) − (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐼)))
60		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
61	14, 1, 60	vr1cl 22448	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
62	61	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
63		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
64	11, 30, 60, 36, 63	matvscacell 22664	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (1r‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))𝐼) = (𝑋(.r‘𝑃)(𝐼(1r‘𝐺)𝐼)))
65	3, 62, 33, 55, 64	syl121anc 1402	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼(𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))𝐼) = (𝑋(.r‘𝑃)(𝐼(1r‘𝐺)𝐼)))
66		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
67		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
68	52	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑁)
69	11, 66, 67, 19, 3, 68, 68, 31	mat1ov 22676	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼(1r‘𝐺)𝐼) = if(𝐼 = 𝐼, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)))
70		eqidd 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐼 = 𝐼)
71	70	iftrued 4493	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → if(𝐼 = 𝐼, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)) = (1r‘𝑃))
72	69, 71	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼(1r‘𝐺)𝐼) = (1r‘𝑃))
73	72	oveq2d 7433	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑃)(𝐼(1r‘𝐺)𝐼)) = (𝑋(.r‘𝑃)(1r‘𝑃)))
74	60, 63, 66	ringridm 20417	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(.r‘𝑃)(1r‘𝑃)) = 𝑋)
75	3, 62, 74	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑃)(1r‘𝑃)) = 𝑋)
76	65, 73, 75	3eqtrd 2801	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼(𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))𝐼) = 𝑋)
77		chpmat1d.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
78	43, 44, 45, 1, 77	mat2pmatvalel 22956	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐼) = (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)))
79	42, 55, 78	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐼) = (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)))
80	76, 79	oveq12d 7435	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝐼(𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))𝐼) − (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐼)) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))
81	59, 80	eqtrd 2797	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼((𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))(-g‘𝐺)(𝑇‘𝑀))𝐼) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  ifcif 4485  {csn 4587  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Fincfn 8956  Basecbs 17307  ._rcmulr 17349  Scalarcsca 17351   ·_𝑠 cvsca 17352  0_gc0g 17530  -_gcsg 19065  1_rcur 20326  Ringcrg 20378  LModclmod 21050  algSccascl 22073  var₁cv1 22407  Poly₁cpl1 22408   Mat cmat 22635   matToPolyMat cmat2pmat 22935   CharPlyMat cchpmat 23057

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-sup 9416  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-hash 14399  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-hom 17372  df-cco 17373  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-prds 17538  df-pws 17540  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-mhm 18897  df-submnd 18898  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-mulg 19197  df-subg 19252  df-ghm 19347  df-cntz 19450  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-subrng 20714  df-subrg 20738  df-lmod 21052  df-lss 21122  df-sra 21363  df-rgmod 21364  df-dsmm 21951  df-frlm 21966  df-ascl 22076  df-psr 22130  df-mvr 22131  df-mpl 22132  df-opsr 22134  df-psr1 22411  df-vr1 22412  df-ply1 22413  df-mamu 22619  df-mat 22636  df-mat2pmat 22938

This theorem is used by:  chpmat1d  23067