Theorem chpmat1dlem 22779

Description: Lemma for chpmat1d 22780. (Contributed by AV, 7-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chpmat1d.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpmat1d.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chpmat1d.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpmat1d.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
chpmat1d.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chpmat1d.z	⊢ − = (-g‘𝑃)
chpmat1d.s	⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpmat1dlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpmat1dlem.x	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
chpmat1dlem	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼((𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))(-g‘𝐺)(𝑇‘𝑀))𝐼) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))

Proof of Theorem chpmat1dlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpmat1d.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1ring 22188	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
3	2	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
4		snfi 8980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝐼} ∈ Fin
5		eleq1 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = {𝐼} → (𝑁 ∈ Fin ↔ {𝐼} ∈ Fin))
6	4, 5	mpbiri 258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = {𝐼} → 𝑁 ∈ Fin)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
8	2, 7	anim12i 613	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉)) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
9	8	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
10	9	ancomd 461	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring))
11		chpmat1dlem.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑁 Mat 𝑃)
12	11	matlmod 22373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝐺 ∈ LMod)
13	10, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ LMod)
14		chpmat1d.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
15		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
16		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
17	14, 15, 16	vr1cl 22158	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
18	17	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
19	7	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
20		fvex 6847	. . . . . . . . 9 ⊢ (Poly1‘𝑅) ∈ V
21	1	oveq2i 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 Mat 𝑃) = (𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))
22	11, 21	eqtri 2759	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))
23	22	matsca2 22364	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ (Poly1‘𝑅) ∈ V) → (Poly1‘𝑅) = (Scalar‘𝐺))
24	19, 20, 23	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Poly1‘𝑅) = (Scalar‘𝐺))
25	24	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Scalar‘𝐺) = (Poly1‘𝑅))
26	25	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Poly1‘𝑅)))
27	18, 26	eleqtrrd 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)))
28	11	matring 22387	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝐺 ∈ Ring)
29	10, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Ring)
30		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
31		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐺) = (1r‘𝐺)
32	30, 31	ringidcl 20200	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → (1r‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
33	29, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (1r‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
34	13, 27, 33	3jca 1128	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐺 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ (1r‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺)))
35		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝐺)
36		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝐺)
37		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Scalar‘𝐺))
38	30, 35, 36, 37	lmodvscl 20829	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ (1r‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺)) ∈ (Base‘𝐺))
39	34, 38	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺)) ∈ (Base‘𝐺))
40		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
41		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝐵)
42	19, 40, 41	3jca 1128	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵))
43		chpmat1dlem.x	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
44		chpmat1d.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
45		chpmat1d.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
46	43, 44, 45, 1, 11	mat2pmatbas 22670	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝐺))
47	42, 46	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝐺))
48		snidg 4617	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ {𝐼})
49	48	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ {𝐼})
50		eleq2 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = {𝐼} → (𝐼 ∈ 𝑁 ↔ 𝐼 ∈ {𝐼}))
51	50	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 ∈ 𝑁 ↔ 𝐼 ∈ {𝐼}))
52	49, 51	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑁)
53		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑁 → 𝐼 ∈ 𝑁)
54	52, 53	jccir 521	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁))
55	54	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁))
56		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
57		chpmat1d.z	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑃)
58	11, 30, 56, 57	matsubgcell 22378	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁)) → (𝐼((𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))(-g‘𝐺)(𝑇‘𝑀))𝐼) = ((𝐼(𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))𝐼) − (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐼)))
59	3, 39, 47, 55, 58	syl121anc 1377	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼((𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))(-g‘𝐺)(𝑇‘𝑀))𝐼) = ((𝐼(𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))𝐼) − (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐼)))
60		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
61	14, 1, 60	vr1cl 22158	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
62	61	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
63		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
64	11, 30, 60, 36, 63	matvscacell 22380	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (1r‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))𝐼) = (𝑋(.r‘𝑃)(𝐼(1r‘𝐺)𝐼)))
65	3, 62, 33, 55, 64	syl121anc 1377	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼(𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))𝐼) = (𝑋(.r‘𝑃)(𝐼(1r‘𝐺)𝐼)))
66		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
67		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
68	52	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑁)
69	11, 66, 67, 19, 3, 68, 68, 31	mat1ov 22392	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼(1r‘𝐺)𝐼) = if(𝐼 = 𝐼, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)))
70		eqidd 2737	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐼 = 𝐼)
71	70	iftrued 4487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → if(𝐼 = 𝐼, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)) = (1r‘𝑃))
72	69, 71	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼(1r‘𝐺)𝐼) = (1r‘𝑃))
73	72	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑃)(𝐼(1r‘𝐺)𝐼)) = (𝑋(.r‘𝑃)(1r‘𝑃)))
74	60, 63, 66	ringridm 20205	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(.r‘𝑃)(1r‘𝑃)) = 𝑋)
75	3, 62, 74	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑃)(1r‘𝑃)) = 𝑋)
76	65, 73, 75	3eqtrd 2775	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼(𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))𝐼) = 𝑋)
77		chpmat1d.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
78	43, 44, 45, 1, 77	mat2pmatvalel 22669	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐼) = (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)))
79	42, 55, 78	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐼) = (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)))
80	76, 79	oveq12d 7376	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝐼(𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))𝐼) − (𝐼(𝑇‘𝑀)𝐼)) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))
81	59, 80	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼((𝑋( ·𝑠 ‘𝐺)(1r‘𝐺))(-g‘𝐺)(𝑇‘𝑀))𝐼) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  ifcif 4479  {csn 4580  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Fincfn 8883  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178  Scalarcsca 17180   ·_𝑠 cvsca 17181  0_gc0g 17359  -_gcsg 18865  1_rcur 20116  Ringcrg 20168  LModclmod 20811  algSccascl 21807  var₁cv1 22116  Poly₁cpl1 22117   Mat cmat 22351   matToPolyMat cmat2pmat 22648   CharPlyMat cchpmat 22770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-ot 4589  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-prds 17367  df-pws 17369  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-ghm 19142  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-subrng 20479  df-subrg 20503  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-dsmm 21687  df-frlm 21702  df-ascl 21810  df-psr 21865  df-mvr 21866  df-mpl 21867  df-opsr 21869  df-psr1 22120  df-vr1 22121  df-ply1 22122  df-mamu 22335  df-mat 22352  df-mat2pmat 22651

This theorem is referenced by:  chpmat1d  22780