MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpmat1dlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem chpmat1dlem 22328
Description: Lemma for chpmat1d 22329. (Contributed by AV, 7-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chpmat1d.c 𝐢 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpmat1d.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
chpmat1d.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpmat1d.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
chpmat1d.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
chpmat1d.z βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
chpmat1d.s 𝑆 = (algScβ€˜π‘ƒ)
chpmat1dlem.g 𝐺 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpmat1dlem.x 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
chpmat1dlem ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝐼((𝑋( ·𝑠 β€˜πΊ)(1rβ€˜πΊ))(-gβ€˜πΊ)(π‘‡β€˜π‘€))𝐼) = (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐼𝑀𝐼))))
Proof of Theorem chpmat1dlem
StepHypRef Expression
1 chpmat1d.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
21ply1ring 21761 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
323ad2ant1 1133 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
4 snfi 9040 . . . . . . . . . . 11 {𝐼} ∈ Fin
5 eleq1 2821 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = {𝐼} β†’ (𝑁 ∈ Fin ↔ {𝐼} ∈ Fin))
64, 5mpbiri 257 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = {𝐼} β†’ 𝑁 ∈ Fin)
76adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝑁 ∈ Fin)
82, 7anim12i 613 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
983adant3 1132 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
109ancomd 462 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring))
11 chpmat1dlem.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑁 Mat 𝑃)
1211matlmod 21922 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) β†’ 𝐺 ∈ LMod)
1310, 12syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ LMod)
14 chpmat1d.x . . . . . . . 8 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
15 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Poly1β€˜π‘…) = (Poly1β€˜π‘…)
16 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) = (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…))
1714, 15, 16vr1cl 21732 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…)))
18173ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…)))
1973ad2ant2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑁 ∈ Fin)
20 fvex 6901 . . . . . . . . 9 (Poly1β€˜π‘…) ∈ V
211oveq2i 7416 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 Mat 𝑃) = (𝑁 Mat (Poly1β€˜π‘…))
2211, 21eqtri 2760 . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑁 Mat (Poly1β€˜π‘…))
2322matsca2 21913 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ (Poly1β€˜π‘…) ∈ V) β†’ (Poly1β€˜π‘…) = (Scalarβ€˜πΊ))
2419, 20, 23sylancl 586 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (Poly1β€˜π‘…) = (Scalarβ€˜πΊ))
2524eqcomd 2738 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (Scalarβ€˜πΊ) = (Poly1β€˜π‘…))
2625fveq2d 6892 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΊ)) = (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…)))
2718, 26eleqtrrd 2836 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΊ)))
2811matring 21936 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) β†’ 𝐺 ∈ Ring)
2910, 28syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ Ring)
30 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
31 eqid 2732 . . . . . . 7 (1rβ€˜πΊ) = (1rβ€˜πΊ)
3230, 31ringidcl 20076 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
3329, 32syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (1rβ€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
3413, 27, 333jca 1128 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝐺 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΊ)) ∧ (1rβ€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΊ)))
35 eqid 2732 . . . . 5 (Scalarβ€˜πΊ) = (Scalarβ€˜πΊ)
36 eqid 2732 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜πΊ) = ( ·𝑠 β€˜πΊ)
37 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΊ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΊ))
3830, 35, 36, 37lmodvscl 20481 . . . 4 ((𝐺 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΊ)) ∧ (1rβ€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑋( ·𝑠 β€˜πΊ)(1rβ€˜πΊ)) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
3934, 38syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋( ·𝑠 β€˜πΊ)(1rβ€˜πΊ)) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
40 simp1 1136 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
41 simp3 1138 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
4219, 40, 413jca 1128 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))
43 chpmat1dlem.x . . . . 5 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
44 chpmat1d.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
45 chpmat1d.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
4643, 44, 45, 1, 11mat2pmatbas 22219 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (π‘‡β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
4742, 46syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (π‘‡β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
48 snidg 4661 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐼 ∈ {𝐼})
4948adantl 482 . . . . . 6 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝐼 ∈ {𝐼})
50 eleq2 2822 . . . . . . 7 (𝑁 = {𝐼} β†’ (𝐼 ∈ 𝑁 ↔ 𝐼 ∈ {𝐼}))
5150adantr 481 . . . . . 6 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (𝐼 ∈ 𝑁 ↔ 𝐼 ∈ {𝐼}))
5249, 51mpbird 256 . . . . 5 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝐼 ∈ 𝑁)
53 id 22 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑁 β†’ 𝐼 ∈ 𝑁)
5452, 53jccir 522 . . . 4 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁))
55543ad2ant2 1134 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁))
56 eqid 2732 . . . 4 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
57 chpmat1d.z . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
5811, 30, 56, 57matsubgcell 21927 . . 3 ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝑋( ·𝑠 β€˜πΊ)(1rβ€˜πΊ)) ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ (π‘‡β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁)) β†’ (𝐼((𝑋( ·𝑠 β€˜πΊ)(1rβ€˜πΊ))(-gβ€˜πΊ)(π‘‡β€˜π‘€))𝐼) = ((𝐼(𝑋( ·𝑠 β€˜πΊ)(1rβ€˜πΊ))𝐼) βˆ’ (𝐼(π‘‡β€˜π‘€)𝐼)))
593, 39, 47, 55, 58syl121anc 1375 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝐼((𝑋( ·𝑠 β€˜πΊ)(1rβ€˜πΊ))(-gβ€˜πΊ)(π‘‡β€˜π‘€))𝐼) = ((𝐼(𝑋( ·𝑠 β€˜πΊ)(1rβ€˜πΊ))𝐼) βˆ’ (𝐼(π‘‡β€˜π‘€)𝐼)))
60 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
6114, 1, 60vr1cl 21732 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
62613ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
63 eqid 2732 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
6411, 30, 60, 36, 63matvscacell 21929 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ (1rβ€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁)) β†’ (𝐼(𝑋( ·𝑠 β€˜πΊ)(1rβ€˜πΊ))𝐼) = (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(𝐼(1rβ€˜πΊ)𝐼)))
653, 62, 33, 55, 64syl121anc 1375 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝐼(𝑋( ·𝑠 β€˜πΊ)(1rβ€˜πΊ))𝐼) = (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(𝐼(1rβ€˜πΊ)𝐼)))
66 eqid 2732 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘ƒ) = (1rβ€˜π‘ƒ)
67 eqid 2732 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
68523ad2ant2 1134 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝐼 ∈ 𝑁)
6911, 66, 67, 19, 3, 68, 68, 31mat1ov 21941 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝐼(1rβ€˜πΊ)𝐼) = if(𝐼 = 𝐼, (1rβ€˜π‘ƒ), (0gβ€˜π‘ƒ)))
70 eqidd 2733 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝐼 = 𝐼)
7170iftrued 4535 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ if(𝐼 = 𝐼, (1rβ€˜π‘ƒ), (0gβ€˜π‘ƒ)) = (1rβ€˜π‘ƒ))
7269, 71eqtrd 2772 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝐼(1rβ€˜πΊ)𝐼) = (1rβ€˜π‘ƒ))
7372oveq2d 7421 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(𝐼(1rβ€˜πΊ)𝐼)) = (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(1rβ€˜π‘ƒ)))
7460, 63, 66ringridm 20080 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(1rβ€˜π‘ƒ)) = 𝑋)
753, 62, 74syl2anc 584 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(1rβ€˜π‘ƒ)) = 𝑋)
7665, 73, 753eqtrd 2776 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝐼(𝑋( ·𝑠 β€˜πΊ)(1rβ€˜πΊ))𝐼) = 𝑋)
77 chpmat1d.s . . . . 5 𝑆 = (algScβ€˜π‘ƒ)
7843, 44, 45, 1, 77mat2pmatvalel 22218 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁)) β†’ (𝐼(π‘‡β€˜π‘€)𝐼) = (π‘†β€˜(𝐼𝑀𝐼)))
7942, 55, 78syl2anc 584 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝐼(π‘‡β€˜π‘€)𝐼) = (π‘†β€˜(𝐼𝑀𝐼)))
8076, 79oveq12d 7423 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((𝐼(𝑋( ·𝑠 β€˜πΊ)(1rβ€˜πΊ))𝐼) βˆ’ (𝐼(π‘‡β€˜π‘€)𝐼)) = (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐼𝑀𝐼))))
8159, 80eqtrd 2772 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝐼((𝑋( ·𝑠 β€˜πΊ)(1rβ€˜πΊ))(-gβ€˜πΊ)(π‘‡β€˜π‘€))𝐼) = (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐼𝑀𝐼))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  ifcif 4527  {csn 4627  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  Basecbs 17140  .rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  0gc0g 17381  -gcsg 18817  1rcur 19998  Ringcrg 20049  LModclmod 20463  algSccascl 21398  var1cv1 21691  Poly1cpl1 21692   Mat cmat 21898   matToPolyMat cmat2pmat 22197   CharPlyMat cchpmat 22319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-dsmm 21278  df-frlm 21293  df-ascl 21401  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-psr1 21695  df-vr1 21696  df-ply1 21697  df-mamu 21877  df-mat 21899  df-mat2pmat 22200
This theorem is referenced by:  chpmat1d  22329
  Copyright terms: Public domain W3C validator