Theorem chpdmatlem3 21709

Description: Lemma 3 for chpdmat 21710. (Contributed by AV, 18-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chpdmat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpdmat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chpdmat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpdmat.s	⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpdmat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
chpdmat.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chpdmat.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
chpdmat.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chpdmat.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
chpdmatlem.q	⊢ 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpdmatlem.1	⊢ 1 = (1r‘𝑄)
chpdmatlem.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑄)
chpdmatlem.z	⊢ 𝑍 = (-g‘𝑄)
chpdmatlem.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
chpdmatlem3	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀))𝐾) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐾𝑀𝐾))))

Proof of Theorem chpdmatlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpdmat.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1ring 21141	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
3	2	3ad2ant2 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
4	3	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ Ring)
5		chpdmat.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
6		chpdmat.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7		chpdmat.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
8		chpdmat.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
9		chpdmat.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
10		chpdmat.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
11		chpdmat.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
12		chpdmat.m	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝑃)
13		chpdmatlem.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
14		chpdmatlem.1	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑄)
15		chpdmatlem.m	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑄)
16	5, 1, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	chpdmatlem0 21706	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
17	16	3adant3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
18		chpdmatlem.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
19	18, 6, 8, 1, 13	mat2pmatbas 21595	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑄))
20	17, 19	jca 515	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄) ∧ (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑄)))
21	20	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄) ∧ (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑄)))
22		simpr 488	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ 𝑁)
23		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
24		chpdmatlem.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (-g‘𝑄)
25	13, 23, 24, 12	matsubgcell 21303	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄) ∧ (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑄)) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (𝐾((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀))𝐾) = ((𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) − (𝐾(𝑇‘𝑀)𝐾)))
26	4, 21, 22, 22, 25	syl112anc 1376	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀))𝐾) = ((𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) − (𝐾(𝑇‘𝑀)𝐾)))
27		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
28	9, 1, 27	vr1cl 21110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
29	28	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
30	1, 13	pmatring 21561	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Ring)
31	23, 14	ringidcl 19558	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑄))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 ∈ (Base‘𝑄))
33	29, 32	jca 515	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)))
34	33	3adant3 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)))
35	34	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)))
36		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
37	13, 23, 27, 15, 36	matvscacell 21305	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) = (𝑋(.r‘𝑃)(𝐾 1 𝐾)))
38	4, 35, 22, 22, 37	syl112anc 1376	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) = (𝑋(.r‘𝑃)(𝐾 1 𝐾)))
39		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
40		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
41		simpl1 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
42	13, 39, 40, 41, 4, 22, 22, 14	mat1ov 21317	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾 1 𝐾) = if(𝐾 = 𝐾, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)))
43		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = 𝐾
44	43	iftruei 4436	. . . . . 6 ⊢ if(𝐾 = 𝐾, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)) = (1r‘𝑃)
45	42, 44	eqtrdi 2790	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾 1 𝐾) = (1r‘𝑃))
46	45	oveq2d 7218	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑋(.r‘𝑃)(𝐾 1 𝐾)) = (𝑋(.r‘𝑃)(1r‘𝑃)))
47	2, 28	jca 515	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
48	47	3ad2ant2 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
49	27, 36, 39	ringridm 19562	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(.r‘𝑃)(1r‘𝑃)) = 𝑋)
50	48, 49	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑃)(1r‘𝑃)) = 𝑋)
51	50	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑋(.r‘𝑃)(1r‘𝑃)) = 𝑋)
52	38, 46, 51	3eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) = 𝑋)
53	18, 6, 8, 1, 7	mat2pmatvalel 21594	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (𝐾(𝑇‘𝑀)𝐾) = (𝑆‘(𝐾𝑀𝐾)))
54	53	anabsan2 674	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾(𝑇‘𝑀)𝐾) = (𝑆‘(𝐾𝑀𝐾)))
55	52, 54	oveq12d 7220	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) − (𝐾(𝑇‘𝑀)𝐾)) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐾𝑀𝐾))))
56	26, 55	eqtrd 2774	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀))𝐾) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐾𝑀𝐾))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ifcif 4429  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202  Fincfn 8615  Basecbs 16684  ._rcmulr 16768   ·_𝑠 cvsca 16771  0_gc0g 16916  -_gcsg 18339  mulGrpcmgp 19476  1_rcur 19488  Ringcrg 19534  algSccascl 20786  var₁cv1 21069  Poly₁cpl1 21070   Mat cmat 21276   matToPolyMat cmat2pmat 21573   CharPlyMat cchpmat 21695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-ot 4540  df-uni 4810  df-int 4850  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-se 5499  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-isom 6378  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-of 7458  df-ofr 7459  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-supp 7893  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-1o 8191  df-er 8380  df-map 8499  df-pm 8500  df-ixp 8568  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-fin 8619  df-fsupp 8975  df-sup 9047  df-oi 9115  df-card 9538  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-nn 11814  df-2 11876  df-3 11877  df-4 11878  df-5 11879  df-6 11880  df-7 11881  df-8 11882  df-9 11883  df-n0 12074  df-z 12160  df-dec 12277  df-uz 12422  df-fz 13079  df-fzo 13222  df-seq 13558  df-hash 13880  df-struct 16686  df-ndx 16687  df-slot 16688  df-base 16690  df-sets 16691  df-ress 16692  df-plusg 16780  df-mulr 16781  df-sca 16783  df-vsca 16784  df-ip 16785  df-tset 16786  df-ple 16787  df-ds 16789  df-hom 16791  df-cco 16792  df-0g 16918  df-gsum 16919  df-prds 16924  df-pws 16926  df-mre 17061  df-mrc 17062  df-acs 17064  df-mgm 18086  df-sgrp 18135  df-mnd 18146  df-mhm 18190  df-submnd 18191  df-grp 18340  df-minusg 18341  df-sbg 18342  df-mulg 18461  df-subg 18512  df-ghm 18592  df-cntz 18683  df-cmn 19144  df-abl 19145  df-mgp 19477  df-ur 19489  df-ring 19536  df-subrg 19770  df-lmod 19873  df-lss 19941  df-sra 20181  df-rgmod 20182  df-dsmm 20666  df-frlm 20681  df-ascl 20789  df-psr 20840  df-mvr 20841  df-mpl 20842  df-opsr 20844  df-psr1 21073  df-vr1 21074  df-ply1 21075  df-mamu 21255  df-mat 21277  df-mat2pmat 21576

This theorem is referenced by:  chpdmat  21710