MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpdmatlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpdmatlem3 22212
Description: Lemma 3 for chpdmat 22213. (Contributed by AV, 18-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chpdmat.c 𝐢 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpdmat.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
chpdmat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpdmat.s 𝑆 = (algScβ€˜π‘ƒ)
chpdmat.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
chpdmat.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
chpdmat.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
chpdmat.g 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
chpdmat.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
chpdmatlem.q 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpdmatlem.1 1 = (1rβ€˜π‘„)
chpdmatlem.m Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘„)
chpdmatlem.z 𝑍 = (-gβ€˜π‘„)
chpdmatlem.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
chpdmatlem3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝐾((𝑋 Β· 1 )𝑍(π‘‡β€˜π‘€))𝐾) = (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐾𝑀𝐾))))

Proof of Theorem chpdmatlem3
StepHypRef Expression
1 chpdmat.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
21ply1ring 21642 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
323ad2ant2 1135 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
43adantr 482 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
5 chpdmat.c . . . . . . 7 𝐢 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
6 chpdmat.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7 chpdmat.s . . . . . . 7 𝑆 = (algScβ€˜π‘ƒ)
8 chpdmat.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
9 chpdmat.x . . . . . . 7 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
10 chpdmat.0 . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘…)
11 chpdmat.g . . . . . . 7 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
12 chpdmat.m . . . . . . 7 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
13 chpdmatlem.q . . . . . . 7 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
14 chpdmatlem.1 . . . . . . 7 1 = (1rβ€˜π‘„)
15 chpdmatlem.m . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘„)
165, 1, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15chpdmatlem0 22209 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝑋 Β· 1 ) ∈ (Baseβ€˜π‘„))
17163adant3 1133 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 Β· 1 ) ∈ (Baseβ€˜π‘„))
18 chpdmatlem.t . . . . . 6 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
1918, 6, 8, 1, 13mat2pmatbas 22098 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (π‘‡β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘„))
2017, 19jca 513 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· 1 ) ∈ (Baseβ€˜π‘„) ∧ (π‘‡β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘„)))
2120adantr 482 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ ((𝑋 Β· 1 ) ∈ (Baseβ€˜π‘„) ∧ (π‘‡β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘„)))
22 simpr 486 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ 𝐾 ∈ 𝑁)
23 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘„) = (Baseβ€˜π‘„)
24 chpdmatlem.z . . . 4 𝑍 = (-gβ€˜π‘„)
2513, 23, 24, 12matsubgcell 21806 . . 3 ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝑋 Β· 1 ) ∈ (Baseβ€˜π‘„) ∧ (π‘‡β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) β†’ (𝐾((𝑋 Β· 1 )𝑍(π‘‡β€˜π‘€))𝐾) = ((𝐾(𝑋 Β· 1 )𝐾) βˆ’ (𝐾(π‘‡β€˜π‘€)𝐾)))
264, 21, 22, 22, 25syl112anc 1375 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝐾((𝑋 Β· 1 )𝑍(π‘‡β€˜π‘€))𝐾) = ((𝐾(𝑋 Β· 1 )𝐾) βˆ’ (𝐾(π‘‡β€˜π‘€)𝐾)))
27 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
289, 1, 27vr1cl 21611 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
2928adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
301, 13pmatring 22064 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑄 ∈ Ring)
3123, 14ringidcl 19997 . . . . . . . . 9 (𝑄 ∈ Ring β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘„))
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘„))
3329, 32jca 513 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘„)))
34333adant3 1133 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘„)))
3534adantr 482 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘„)))
36 eqid 2733 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
3713, 23, 27, 15, 36matvscacell 21808 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) β†’ (𝐾(𝑋 Β· 1 )𝐾) = (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(𝐾 1 𝐾)))
384, 35, 22, 22, 37syl112anc 1375 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝐾(𝑋 Β· 1 )𝐾) = (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(𝐾 1 𝐾)))
39 eqid 2733 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘ƒ) = (1rβ€˜π‘ƒ)
40 eqid 2733 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
41 simpl1 1192 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ Fin)
4213, 39, 40, 41, 4, 22, 22, 14mat1ov 21820 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝐾 1 𝐾) = if(𝐾 = 𝐾, (1rβ€˜π‘ƒ), (0gβ€˜π‘ƒ)))
43 eqid 2733 . . . . . . 7 𝐾 = 𝐾
4443iftruei 4497 . . . . . 6 if(𝐾 = 𝐾, (1rβ€˜π‘ƒ), (0gβ€˜π‘ƒ)) = (1rβ€˜π‘ƒ)
4542, 44eqtrdi 2789 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝐾 1 𝐾) = (1rβ€˜π‘ƒ))
4645oveq2d 7377 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(𝐾 1 𝐾)) = (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(1rβ€˜π‘ƒ)))
472, 28jca 513 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)))
48473ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)))
4927, 36, 39ringridm 20001 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(1rβ€˜π‘ƒ)) = 𝑋)
5048, 49syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(1rβ€˜π‘ƒ)) = 𝑋)
5150adantr 482 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(1rβ€˜π‘ƒ)) = 𝑋)
5238, 46, 513eqtrd 2777 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝐾(𝑋 Β· 1 )𝐾) = 𝑋)
5318, 6, 8, 1, 7mat2pmatvalel 22097 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) β†’ (𝐾(π‘‡β€˜π‘€)𝐾) = (π‘†β€˜(𝐾𝑀𝐾)))
5453anabsan2 673 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝐾(π‘‡β€˜π‘€)𝐾) = (π‘†β€˜(𝐾𝑀𝐾)))
5552, 54oveq12d 7379 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ ((𝐾(𝑋 Β· 1 )𝐾) βˆ’ (𝐾(π‘‡β€˜π‘€)𝐾)) = (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐾𝑀𝐾))))
5626, 55eqtrd 2773 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝐾((𝑋 Β· 1 )𝑍(π‘‡β€˜π‘€))𝐾) = (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐾𝑀𝐾))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ifcif 4490  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Fincfn 8889  Basecbs 17091  .rcmulr 17142   ·𝑠 cvsca 17145  0gc0g 17329  -gcsg 18758  mulGrpcmgp 19904  1rcur 19921  Ringcrg 19972  algSccascl 21281  var1cv1 21570  Poly1cpl1 21571   Mat cmat 21777   matToPolyMat cmat2pmat 22076   CharPlyMat cchpmat 22198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-subrg 20262  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-dsmm 21161  df-frlm 21176  df-ascl 21284  df-psr 21334  df-mvr 21335  df-mpl 21336  df-opsr 21338  df-psr1 21574  df-vr1 21575  df-ply1 21576  df-mamu 21756  df-mat 21778  df-mat2pmat 22079
This theorem is referenced by:  chpdmat  22213
  Copyright terms: Public domain W3C validator