MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpdmatlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpdmatlem3 22846
Description: Lemma 3 for chpdmat 22847. (Contributed by AV, 18-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chpdmat.c 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpdmat.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
chpdmat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpdmat.s 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpdmat.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
chpdmat.x 𝑋 = (var1𝑅)
chpdmat.0 0 = (0g𝑅)
chpdmat.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chpdmat.m = (-g𝑃)
chpdmatlem.q 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpdmatlem.1 1 = (1r𝑄)
chpdmatlem.m · = ( ·𝑠𝑄)
chpdmatlem.z 𝑍 = (-g𝑄)
chpdmatlem.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
chpdmatlem3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇𝑀))𝐾) = (𝑋 (𝑆‘(𝐾𝑀𝐾))))

Proof of Theorem chpdmatlem3
StepHypRef Expression
1 chpdmat.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
21ply1ring 22249 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
323ad2ant2 1135 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
43adantr 480 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑃 ∈ Ring)
5 chpdmat.c . . . . . . 7 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
6 chpdmat.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7 chpdmat.s . . . . . . 7 𝑆 = (algSc‘𝑃)
8 chpdmat.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
9 chpdmat.x . . . . . . 7 𝑋 = (var1𝑅)
10 chpdmat.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
11 chpdmat.g . . . . . . 7 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
12 chpdmat.m . . . . . . 7 = (-g𝑃)
13 chpdmatlem.q . . . . . . 7 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
14 chpdmatlem.1 . . . . . . 7 1 = (1r𝑄)
15 chpdmatlem.m . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑄)
165, 1, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15chpdmatlem0 22843 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
17163adant3 1133 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
18 chpdmatlem.t . . . . . 6 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
1918, 6, 8, 1, 13mat2pmatbas 22732 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑄))
2017, 19jca 511 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄) ∧ (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑄)))
2120adantr 480 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → ((𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄) ∧ (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑄)))
22 simpr 484 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾𝑁)
23 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
24 chpdmatlem.z . . . 4 𝑍 = (-g𝑄)
2513, 23, 24, 12matsubgcell 22440 . . 3 ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄) ∧ (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑄)) ∧ (𝐾𝑁𝐾𝑁)) → (𝐾((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇𝑀))𝐾) = ((𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) (𝐾(𝑇𝑀)𝐾)))
264, 21, 22, 22, 25syl112anc 1376 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇𝑀))𝐾) = ((𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) (𝐾(𝑇𝑀)𝐾)))
27 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
289, 1, 27vr1cl 22219 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
2928adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
301, 13pmatring 22698 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Ring)
3123, 14ringidcl 20262 . . . . . . . . 9 (𝑄 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑄))
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 ∈ (Base‘𝑄))
3329, 32jca 511 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)))
34333adant3 1133 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)))
3534adantr 480 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)))
36 eqid 2737 . . . . . 6 (.r𝑃) = (.r𝑃)
3713, 23, 27, 15, 36matvscacell 22442 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ (𝐾𝑁𝐾𝑁)) → (𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) = (𝑋(.r𝑃)(𝐾 1 𝐾)))
384, 35, 22, 22, 37syl112anc 1376 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) = (𝑋(.r𝑃)(𝐾 1 𝐾)))
39 eqid 2737 . . . . . . 7 (1r𝑃) = (1r𝑃)
40 eqid 2737 . . . . . . 7 (0g𝑃) = (0g𝑃)
41 simpl1 1192 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
4213, 39, 40, 41, 4, 22, 22, 14mat1ov 22454 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾 1 𝐾) = if(𝐾 = 𝐾, (1r𝑃), (0g𝑃)))
43 eqid 2737 . . . . . . 7 𝐾 = 𝐾
4443iftruei 4532 . . . . . 6 if(𝐾 = 𝐾, (1r𝑃), (0g𝑃)) = (1r𝑃)
4542, 44eqtrdi 2793 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾 1 𝐾) = (1r𝑃))
4645oveq2d 7447 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → (𝑋(.r𝑃)(𝐾 1 𝐾)) = (𝑋(.r𝑃)(1r𝑃)))
472, 28jca 511 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
48473ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
4927, 36, 39ringridm 20267 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(.r𝑃)(1r𝑃)) = 𝑋)
5048, 49syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑋(.r𝑃)(1r𝑃)) = 𝑋)
5150adantr 480 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → (𝑋(.r𝑃)(1r𝑃)) = 𝑋)
5238, 46, 513eqtrd 2781 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) = 𝑋)
5318, 6, 8, 1, 7mat2pmatvalel 22731 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝐾𝑁𝐾𝑁)) → (𝐾(𝑇𝑀)𝐾) = (𝑆‘(𝐾𝑀𝐾)))
5453anabsan2 674 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾(𝑇𝑀)𝐾) = (𝑆‘(𝐾𝑀𝐾)))
5552, 54oveq12d 7449 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → ((𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) (𝐾(𝑇𝑀)𝐾)) = (𝑋 (𝑆‘(𝐾𝑀𝐾))))
5626, 55eqtrd 2777 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇𝑀))𝐾) = (𝑋 (𝑆‘(𝐾𝑀𝐾))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  ifcif 4525  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  Basecbs 17247  .rcmulr 17298   ·𝑠 cvsca 17301  0gc0g 17484  -gcsg 18953  mulGrpcmgp 20137  1rcur 20178  Ringcrg 20230  algSccascl 21872  var1cv1 22177  Poly1cpl1 22178   Mat cmat 22411   matToPolyMat cmat2pmat 22710   CharPlyMat cchpmat 22832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-ascl 21875  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-psr1 22181  df-vr1 22182  df-ply1 22183  df-mamu 22395  df-mat 22412  df-mat2pmat 22713
This theorem is referenced by:  chpdmat  22847
  Copyright terms: Public domain W3C validator