MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpdmatlem3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem chpdmatlem3 22341
Description: Lemma 3 for chpdmat 22342. (Contributed by AV, 18-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chpdmat.c 𝐢 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpdmat.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
chpdmat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpdmat.s 𝑆 = (algScβ€˜π‘ƒ)
chpdmat.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
chpdmat.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
chpdmat.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
chpdmat.g 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
chpdmat.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
chpdmatlem.q 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpdmatlem.1 1 = (1rβ€˜π‘„)
chpdmatlem.m Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘„)
chpdmatlem.z 𝑍 = (-gβ€˜π‘„)
chpdmatlem.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
chpdmatlem3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝐾((𝑋 Β· 1 )𝑍(π‘‡β€˜π‘€))𝐾) = (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐾𝑀𝐾))))
Proof of Theorem chpdmatlem3
StepHypRef Expression
1 chpdmat.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
21ply1ring 21769 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
323ad2ant2 1134 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
43adantr 481 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
5 chpdmat.c . . . . . . 7 𝐢 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
6 chpdmat.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7 chpdmat.s . . . . . . 7 𝑆 = (algScβ€˜π‘ƒ)
8 chpdmat.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
9 chpdmat.x . . . . . . 7 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
10 chpdmat.0 . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘…)
11 chpdmat.g . . . . . . 7 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
12 chpdmat.m . . . . . . 7 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
13 chpdmatlem.q . . . . . . 7 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
14 chpdmatlem.1 . . . . . . 7 1 = (1rβ€˜π‘„)
15 chpdmatlem.m . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘„)
165, 1, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15chpdmatlem0 22338 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝑋 Β· 1 ) ∈ (Baseβ€˜π‘„))
17163adant3 1132 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 Β· 1 ) ∈ (Baseβ€˜π‘„))
18 chpdmatlem.t . . . . . 6 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
1918, 6, 8, 1, 13mat2pmatbas 22227 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (π‘‡β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘„))
2017, 19jca 512 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· 1 ) ∈ (Baseβ€˜π‘„) ∧ (π‘‡β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘„)))
2120adantr 481 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ ((𝑋 Β· 1 ) ∈ (Baseβ€˜π‘„) ∧ (π‘‡β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘„)))
22 simpr 485 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ 𝐾 ∈ 𝑁)
23 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜π‘„) = (Baseβ€˜π‘„)
24 chpdmatlem.z . . . 4 𝑍 = (-gβ€˜π‘„)
2513, 23, 24, 12matsubgcell 21935 . . 3 ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝑋 Β· 1 ) ∈ (Baseβ€˜π‘„) ∧ (π‘‡β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) β†’ (𝐾((𝑋 Β· 1 )𝑍(π‘‡β€˜π‘€))𝐾) = ((𝐾(𝑋 Β· 1 )𝐾) βˆ’ (𝐾(π‘‡β€˜π‘€)𝐾)))
264, 21, 22, 22, 25syl112anc 1374 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝐾((𝑋 Β· 1 )𝑍(π‘‡β€˜π‘€))𝐾) = ((𝐾(𝑋 Β· 1 )𝐾) βˆ’ (𝐾(π‘‡β€˜π‘€)𝐾)))
27 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
289, 1, 27vr1cl 21740 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
2928adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
301, 13pmatring 22193 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑄 ∈ Ring)
3123, 14ringidcl 20082 . . . . . . . . 9 (𝑄 ∈ Ring β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘„))
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘„))
3329, 32jca 512 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘„)))
34333adant3 1132 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘„)))
3534adantr 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘„)))
36 eqid 2732 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
3713, 23, 27, 15, 36matvscacell 21937 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) β†’ (𝐾(𝑋 Β· 1 )𝐾) = (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(𝐾 1 𝐾)))
384, 35, 22, 22, 37syl112anc 1374 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝐾(𝑋 Β· 1 )𝐾) = (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(𝐾 1 𝐾)))
39 eqid 2732 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘ƒ) = (1rβ€˜π‘ƒ)
40 eqid 2732 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
41 simpl1 1191 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ Fin)
4213, 39, 40, 41, 4, 22, 22, 14mat1ov 21949 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝐾 1 𝐾) = if(𝐾 = 𝐾, (1rβ€˜π‘ƒ), (0gβ€˜π‘ƒ)))
43 eqid 2732 . . . . . . 7 𝐾 = 𝐾
4443iftruei 4535 . . . . . 6 if(𝐾 = 𝐾, (1rβ€˜π‘ƒ), (0gβ€˜π‘ƒ)) = (1rβ€˜π‘ƒ)
4542, 44eqtrdi 2788 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝐾 1 𝐾) = (1rβ€˜π‘ƒ))
4645oveq2d 7424 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(𝐾 1 𝐾)) = (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(1rβ€˜π‘ƒ)))
472, 28jca 512 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)))
48473ad2ant2 1134 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)))
4927, 36, 39ringridm 20086 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(1rβ€˜π‘ƒ)) = 𝑋)
5048, 49syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(1rβ€˜π‘ƒ)) = 𝑋)
5150adantr 481 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(1rβ€˜π‘ƒ)) = 𝑋)
5238, 46, 513eqtrd 2776 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝐾(𝑋 Β· 1 )𝐾) = 𝑋)
5318, 6, 8, 1, 7mat2pmatvalel 22226 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) β†’ (𝐾(π‘‡β€˜π‘€)𝐾) = (π‘†β€˜(𝐾𝑀𝐾)))
5453anabsan2 672 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝐾(π‘‡β€˜π‘€)𝐾) = (π‘†β€˜(𝐾𝑀𝐾)))
5552, 54oveq12d 7426 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ ((𝐾(𝑋 Β· 1 )𝐾) βˆ’ (𝐾(π‘‡β€˜π‘€)𝐾)) = (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐾𝑀𝐾))))
5626, 55eqtrd 2772 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) β†’ (𝐾((𝑋 Β· 1 )𝑍(π‘‡β€˜π‘€))𝐾) = (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐾𝑀𝐾))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ifcif 4528  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  Basecbs 17143  .rcmulr 17197   ·𝑠 cvsca 17200  0gc0g 17384  -gcsg 18820  mulGrpcmgp 19986  1rcur 20003  Ringcrg 20055  algSccascl 21406  var1cv1 21699  Poly1cpl1 21700   Mat cmat 21906   matToPolyMat cmat2pmat 22205   CharPlyMat cchpmat 22327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-subrg 20316  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-dsmm 21286  df-frlm 21301  df-ascl 21409  df-psr 21461  df-mvr 21462  df-mpl 21463  df-opsr 21465  df-psr1 21703  df-vr1 21704  df-ply1 21705  df-mamu 21885  df-mat 21907  df-mat2pmat 22208
This theorem is referenced by:  chpdmat  22342
  Copyright terms: Public domain W3C validator