Theorem chpdmatlem3 22095

Description: Lemma 3 for chpdmat 22096. (Contributed by AV, 18-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chpdmat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpdmat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chpdmat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpdmat.s	⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpdmat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
chpdmat.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chpdmat.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
chpdmat.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chpdmat.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
chpdmatlem.q	⊢ 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpdmatlem.1	⊢ 1 = (1r‘𝑄)
chpdmatlem.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑄)
chpdmatlem.z	⊢ 𝑍 = (-g‘𝑄)
chpdmatlem.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
chpdmatlem3	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀))𝐾) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐾𝑀𝐾))))

Proof of Theorem chpdmatlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpdmat.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1ring 21525	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
3	2	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
4	3	adantr 482	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ Ring)
5		chpdmat.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
6		chpdmat.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7		chpdmat.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
8		chpdmat.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
9		chpdmat.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
10		chpdmat.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
11		chpdmat.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
12		chpdmat.m	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝑃)
13		chpdmatlem.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
14		chpdmatlem.1	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑄)
15		chpdmatlem.m	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑄)
16	5, 1, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	chpdmatlem0 22092	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
17	16	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
18		chpdmatlem.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
19	18, 6, 8, 1, 13	mat2pmatbas 21981	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑄))
20	17, 19	jca 513	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄) ∧ (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑄)))
21	20	adantr 482	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄) ∧ (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑄)))
22		simpr 486	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ 𝑁)
23		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
24		chpdmatlem.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (-g‘𝑄)
25	13, 23, 24, 12	matsubgcell 21689	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄) ∧ (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑄)) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (𝐾((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀))𝐾) = ((𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) − (𝐾(𝑇‘𝑀)𝐾)))
26	4, 21, 22, 22, 25	syl112anc 1374	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀))𝐾) = ((𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) − (𝐾(𝑇‘𝑀)𝐾)))
27		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
28	9, 1, 27	vr1cl 21494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
29	28	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
30	1, 13	pmatring 21947	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Ring)
31	23, 14	ringidcl 19902	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑄))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 ∈ (Base‘𝑄))
33	29, 32	jca 513	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)))
34	33	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)))
35	34	adantr 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)))
36		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
37	13, 23, 27, 15, 36	matvscacell 21691	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) = (𝑋(.r‘𝑃)(𝐾 1 𝐾)))
38	4, 35, 22, 22, 37	syl112anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) = (𝑋(.r‘𝑃)(𝐾 1 𝐾)))
39		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
40		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
41		simpl1 1191	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
42	13, 39, 40, 41, 4, 22, 22, 14	mat1ov 21703	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾 1 𝐾) = if(𝐾 = 𝐾, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)))
43		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = 𝐾
44	43	iftruei 4485	. . . . . 6 ⊢ if(𝐾 = 𝐾, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)) = (1r‘𝑃)
45	42, 44	eqtrdi 2793	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾 1 𝐾) = (1r‘𝑃))
46	45	oveq2d 7358	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑋(.r‘𝑃)(𝐾 1 𝐾)) = (𝑋(.r‘𝑃)(1r‘𝑃)))
47	2, 28	jca 513	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
48	47	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
49	27, 36, 39	ringridm 19906	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(.r‘𝑃)(1r‘𝑃)) = 𝑋)
50	48, 49	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑃)(1r‘𝑃)) = 𝑋)
51	50	adantr 482	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑋(.r‘𝑃)(1r‘𝑃)) = 𝑋)
52	38, 46, 51	3eqtrd 2781	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) = 𝑋)
53	18, 6, 8, 1, 7	mat2pmatvalel 21980	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (𝐾(𝑇‘𝑀)𝐾) = (𝑆‘(𝐾𝑀𝐾)))
54	53	anabsan2 672	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾(𝑇‘𝑀)𝐾) = (𝑆‘(𝐾𝑀𝐾)))
55	52, 54	oveq12d 7360	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) − (𝐾(𝑇‘𝑀)𝐾)) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐾𝑀𝐾))))
56	26, 55	eqtrd 2777	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀))𝐾) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐾𝑀𝐾))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ifcif 4478  ‘cfv 6484  (class class class)co 7342  Fincfn 8809  Basecbs 17010  ._rcmulr 17061   ·_𝑠 cvsca 17064  0_gc0g 17248  -_gcsg 18676  mulGrpcmgp 19815  1_rcur 19832  Ringcrg 19878  algSccascl 21165  var₁cv1 21453  Poly₁cpl1 21454   Mat cmat 21660   matToPolyMat cmat2pmat 21959   CharPlyMat cchpmat 22081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-ot 4587  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-se 5581  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-isom 6493  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-of 7600  df-ofr 7601  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-supp 8053  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-er 8574  df-map 8693  df-pm 8694  df-ixp 8762  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-fsupp 9232  df-sup 9304  df-oi 9372  df-card 9801  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-4 12144  df-5 12145  df-6 12146  df-7 12147  df-8 12148  df-9 12149  df-n0 12340  df-z 12426  df-dec 12544  df-uz 12689  df-fz 13346  df-fzo 13489  df-seq 13828  df-hash 14151  df-struct 16946  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-ress 17040  df-plusg 17073  df-mulr 17074  df-sca 17076  df-vsca 17077  df-ip 17078  df-tset 17079  df-ple 17080  df-ds 17082  df-hom 17084  df-cco 17085  df-0g 17250  df-gsum 17251  df-prds 17256  df-pws 17258  df-mre 17393  df-mrc 17394  df-acs 17396  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-mhm 18528  df-submnd 18529  df-grp 18677  df-minusg 18678  df-sbg 18679  df-mulg 18798  df-subg 18849  df-ghm 18929  df-cntz 19020  df-cmn 19484  df-abl 19485  df-mgp 19816  df-ur 19833  df-ring 19880  df-subrg 20127  df-lmod 20231  df-lss 20300  df-sra 20540  df-rgmod 20541  df-dsmm 21045  df-frlm 21060  df-ascl 21168  df-psr 21218  df-mvr 21219  df-mpl 21220  df-opsr 21222  df-psr1 21457  df-vr1 21458  df-ply1 21459  df-mamu 21639  df-mat 21661  df-mat2pmat 21962

This theorem is referenced by:  chpdmat  22096