Theorem chpdmatlem3 22805

Description: Lemma 3 for chpdmat 22806. (Contributed by AV, 18-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chpdmat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpdmat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chpdmat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpdmat.s	⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpdmat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
chpdmat.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chpdmat.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
chpdmat.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chpdmat.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
chpdmatlem.q	⊢ 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpdmatlem.1	⊢ 1 = (1r‘𝑄)
chpdmatlem.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑄)
chpdmatlem.z	⊢ 𝑍 = (-g‘𝑄)
chpdmatlem.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
chpdmatlem3	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀))𝐾) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐾𝑀𝐾))))

Proof of Theorem chpdmatlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpdmat.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1ring 22211	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
3	2	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ Ring)
5		chpdmat.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
6		chpdmat.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7		chpdmat.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
8		chpdmat.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
9		chpdmat.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
10		chpdmat.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
11		chpdmat.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
12		chpdmat.m	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝑃)
13		chpdmatlem.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
14		chpdmatlem.1	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑄)
15		chpdmatlem.m	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑄)
16	5, 1, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	chpdmatlem0 22802	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
17	16	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
18		chpdmatlem.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
19	18, 6, 8, 1, 13	mat2pmatbas 22691	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑄))
20	17, 19	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄) ∧ (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑄)))
21	20	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄) ∧ (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑄)))
22		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ 𝑁)
23		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
24		chpdmatlem.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (-g‘𝑄)
25	13, 23, 24, 12	matsubgcell 22399	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄) ∧ (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑄)) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (𝐾((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀))𝐾) = ((𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) − (𝐾(𝑇‘𝑀)𝐾)))
26	4, 21, 22, 22, 25	syl112anc 1377	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀))𝐾) = ((𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) − (𝐾(𝑇‘𝑀)𝐾)))
27		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
28	9, 1, 27	vr1cl 22181	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
29	28	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
30	1, 13	pmatring 22657	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Ring)
31	23, 14	ringidcl 20246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑄))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 ∈ (Base‘𝑄))
33	29, 32	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)))
34	33	3adant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)))
35	34	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)))
36		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
37	13, 23, 27, 15, 36	matvscacell 22401	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) = (𝑋(.r‘𝑃)(𝐾 1 𝐾)))
38	4, 35, 22, 22, 37	syl112anc 1377	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) = (𝑋(.r‘𝑃)(𝐾 1 𝐾)))
39		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
40		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
41		simpl1 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
42	13, 39, 40, 41, 4, 22, 22, 14	mat1ov 22413	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾 1 𝐾) = if(𝐾 = 𝐾, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)))
43		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = 𝐾
44	43	iftruei 4473	. . . . . 6 ⊢ if(𝐾 = 𝐾, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)) = (1r‘𝑃)
45	42, 44	eqtrdi 2787	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾 1 𝐾) = (1r‘𝑃))
46	45	oveq2d 7383	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑋(.r‘𝑃)(𝐾 1 𝐾)) = (𝑋(.r‘𝑃)(1r‘𝑃)))
47	2, 28	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
48	47	3ad2ant2 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
49	27, 36, 39	ringridm 20251	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(.r‘𝑃)(1r‘𝑃)) = 𝑋)
50	48, 49	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑃)(1r‘𝑃)) = 𝑋)
51	50	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑋(.r‘𝑃)(1r‘𝑃)) = 𝑋)
52	38, 46, 51	3eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) = 𝑋)
53	18, 6, 8, 1, 7	mat2pmatvalel 22690	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (𝐾(𝑇‘𝑀)𝐾) = (𝑆‘(𝐾𝑀𝐾)))
54	53	anabsan2 675	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾(𝑇‘𝑀)𝐾) = (𝑆‘(𝐾𝑀𝐾)))
55	52, 54	oveq12d 7385	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) − (𝐾(𝑇‘𝑀)𝐾)) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐾𝑀𝐾))))
56	26, 55	eqtrd 2771	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀))𝐾) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐾𝑀𝐾))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4466  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221   ·_𝑠 cvsca 17224  0_gc0g 17402  -_gcsg 18911  mulGrpcmgp 20121  1_rcur 20162  Ringcrg 20214  algSccascl 21832  var₁cv1 22139  Poly₁cpl1 22140   Mat cmat 22372   matToPolyMat cmat2pmat 22669   CharPlyMat cchpmat 22791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-ofr 7632  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-dsmm 21712  df-frlm 21727  df-ascl 21835  df-psr 21889  df-mvr 21890  df-mpl 21891  df-opsr 21893  df-psr1 22143  df-vr1 22144  df-ply1 22145  df-mamu 22356  df-mat 22373  df-mat2pmat 22672

This theorem is referenced by:  chpdmat  22806