Theorem scmatscmide 22230

Description: An entry of a scalar matrix expressed as a multiplication of a scalar with the identity matrix. (Contributed by AV, 30-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatscmide.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatscmide.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
scmatscmide.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
scmatscmide.1	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
scmatscmide.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
scmatscmide	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝐶 ∗ 1 )𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 𝐶, 0 ))

Proof of Theorem scmatscmide

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1191	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
2		simp3 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
3		scmatscmide.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4	3	matring 22166	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
5		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
6		scmatscmide.1	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
7	5, 6	ringidcl 20155	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐴))
8	4, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 ∈ (Base‘𝐴))
9	8	3adant3 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 1 ∈ (Base‘𝐴))
10	2, 9	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴)))
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴)))
12		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁))
13		scmatscmide.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
14		scmatscmide.m	. . . 4 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
15		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
16	3, 5, 13, 14, 15	matvscacell 22159	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝐶 ∗ 1 )𝐽) = (𝐶(.r‘𝑅)(𝐼 1 𝐽)))
17	1, 11, 12, 16	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝐶 ∗ 1 )𝐽) = (𝐶(.r‘𝑅)(𝐼 1 𝐽)))
18		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
19		scmatscmide.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
20		simpl1 1190	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
21		simprl 768	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝐼 ∈ 𝑁)
22		simprr 770	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝐽 ∈ 𝑁)
23	3, 18, 19, 20, 1, 21, 22, 6	mat1ov 22171	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼 1 𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, (1r‘𝑅), 0 ))
24	23	oveq2d 7428	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐶(.r‘𝑅)(𝐼 1 𝐽)) = (𝐶(.r‘𝑅)if(𝐼 = 𝐽, (1r‘𝑅), 0 )))
25		ovif2 7510	. . . 4 ⊢ (𝐶(.r‘𝑅)if(𝐼 = 𝐽, (1r‘𝑅), 0 )) = if(𝐼 = 𝐽, (𝐶(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)), (𝐶(.r‘𝑅) 0 ))
26	13, 15, 18	ringridm 20159	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐶(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝐶)
27	26	3adant1 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐶(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝐶)
28	13, 15, 19	ringrz 20183	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐶(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
29	28	3adant1 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐶(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
30	27, 29	ifeq12d 4550	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → if(𝐼 = 𝐽, (𝐶(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)), (𝐶(.r‘𝑅) 0 )) = if(𝐼 = 𝐽, 𝐶, 0 ))
31	25, 30	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐶(.r‘𝑅)if(𝐼 = 𝐽, (1r‘𝑅), 0 )) = if(𝐼 = 𝐽, 𝐶, 0 ))
32	31	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐶(.r‘𝑅)if(𝐼 = 𝐽, (1r‘𝑅), 0 )) = if(𝐼 = 𝐽, 𝐶, 0 ))
33	17, 24, 32	3eqtrd 2775	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝐶 ∗ 1 )𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 𝐶, 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ifcif 4529  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  Fincfn 8942  Basecbs 17149  ._rcmulr 17203   ·_𝑠 cvsca 17206  0_gc0g 17390  1_rcur 20076  Ringcrg 20128   Mat cmat 22128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-sup 9440  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-hash 14296  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-subrg 20460  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-dsmm 21507  df-frlm 21522  df-mamu 22107  df-mat 22129

This theorem is referenced by:  scmatscmiddistr  22231  scmate  22233  scmatmats  22234  scmatf1  22254  pmatcollpwscmatlem1  22512  pmatcollpwscmatlem2  22513