Theorem scmatscmide 21258

Description: An entry of a scalar matrix expressed as a multiplication of a scalar with the identity matrix. (Contributed by AV, 30-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatscmide.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatscmide.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
scmatscmide.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
scmatscmide.1	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
scmatscmide.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
scmatscmide	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝐶 ∗ 1 )𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 𝐶, 0 ))

Proof of Theorem scmatscmide

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1193	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
2		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
3		scmatscmide.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4	3	matring 21194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
5		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
6		scmatscmide.1	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
7	5, 6	ringidcl 19440	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐴))
8	4, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 ∈ (Base‘𝐴))
9	8	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 1 ∈ (Base‘𝐴))
10	2, 9	jca 515	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴)))
11	10	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴)))
12		simpr 488	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁))
13		scmatscmide.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
14		scmatscmide.m	. . . 4 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
15		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
16	3, 5, 13, 14, 15	matvscacell 21187	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝐶 ∗ 1 )𝐽) = (𝐶(.r‘𝑅)(𝐼 1 𝐽)))
17	1, 11, 12, 16	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝐶 ∗ 1 )𝐽) = (𝐶(.r‘𝑅)(𝐼 1 𝐽)))
18		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
19		scmatscmide.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
20		simpl1 1192	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
21		simprl 771	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝐼 ∈ 𝑁)
22		simprr 773	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝐽 ∈ 𝑁)
23	3, 18, 19, 20, 1, 21, 22, 6	mat1ov 21199	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼 1 𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, (1r‘𝑅), 0 ))
24	23	oveq2d 7186	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐶(.r‘𝑅)(𝐼 1 𝐽)) = (𝐶(.r‘𝑅)if(𝐼 = 𝐽, (1r‘𝑅), 0 )))
25		ovif2 7266	. . . 4 ⊢ (𝐶(.r‘𝑅)if(𝐼 = 𝐽, (1r‘𝑅), 0 )) = if(𝐼 = 𝐽, (𝐶(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)), (𝐶(.r‘𝑅) 0 ))
26	13, 15, 18	ringridm 19444	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐶(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝐶)
27	26	3adant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐶(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝐶)
28	13, 15, 19	ringrz 19460	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐶(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
29	28	3adant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐶(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
30	27, 29	ifeq12d 4435	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → if(𝐼 = 𝐽, (𝐶(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)), (𝐶(.r‘𝑅) 0 )) = if(𝐼 = 𝐽, 𝐶, 0 ))
31	25, 30	syl5eq 2785	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐶(.r‘𝑅)if(𝐼 = 𝐽, (1r‘𝑅), 0 )) = if(𝐼 = 𝐽, 𝐶, 0 ))
32	31	adantr 484	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐶(.r‘𝑅)if(𝐼 = 𝐽, (1r‘𝑅), 0 )) = if(𝐼 = 𝐽, 𝐶, 0 ))
33	17, 24, 32	3eqtrd 2777	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝐶 ∗ 1 )𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 𝐶, 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4414  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170  Fincfn 8555  Basecbs 16586  ._rcmulr 16669   ·_𝑠 cvsca 16672  0_gc0g 16816  1_rcur 19370  Ringcrg 19416   Mat cmat 21158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-ot 4525  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-sup 8979  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-seq 13461  df-hash 13783  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-hom 16692  df-cco 16693  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-prds 16824  df-pws 16826  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-mhm 18072  df-submnd 18073  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-mulg 18343  df-subg 18394  df-ghm 18474  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-abl 19027  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-subrg 19652  df-lmod 19755  df-lss 19823  df-sra 20063  df-rgmod 20064  df-dsmm 20548  df-frlm 20563  df-mamu 21137  df-mat 21159

This theorem is referenced by:  scmatscmiddistr  21259  scmate  21261  scmatmats  21262  scmatf1  21282  pmatcollpwscmatlem1  21540  pmatcollpwscmatlem2  21541