Theorem scmatscmide 22497

Description: An entry of a scalar matrix expressed as a multiplication of a scalar with the identity matrix. (Contributed by AV, 30-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatscmide.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatscmide.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
scmatscmide.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
scmatscmide.1	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
scmatscmide.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
scmatscmide	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝐶 ∗ 1 )𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 𝐶, 0 ))

Proof of Theorem scmatscmide

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1199	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
2		simp3 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
3		scmatscmide.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4	3	matring 22433	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
5		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
6		scmatscmide.1	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
7	5, 6	ringidcl 20244	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐴))
8	4, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 ∈ (Base‘𝐴))
9	8	3adant3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 1 ∈ (Base‘𝐴))
10	2, 9	jca 516	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴)))
11	10	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴)))
12		simpr 485	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁))
13		scmatscmide.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
14		scmatscmide.m	. . . 4 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
15		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
16	3, 5, 13, 14, 15	matvscacell 22426	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝐶 ∗ 1 )𝐽) = (𝐶(.r‘𝑅)(𝐼 1 𝐽)))
17	1, 11, 12, 16	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝐶 ∗ 1 )𝐽) = (𝐶(.r‘𝑅)(𝐼 1 𝐽)))
18		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
19		scmatscmide.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
20		simpl1 1198	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
21		simprl 776	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝐼 ∈ 𝑁)
22		simprr 778	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝐽 ∈ 𝑁)
23	3, 18, 19, 20, 1, 21, 22, 6	mat1ov 22438	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼 1 𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, (1r‘𝑅), 0 ))
24	23	oveq2d 7379	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐶(.r‘𝑅)(𝐼 1 𝐽)) = (𝐶(.r‘𝑅)if(𝐼 = 𝐽, (1r‘𝑅), 0 )))
25		ovif2 7462	. . . 4 ⊢ (𝐶(.r‘𝑅)if(𝐼 = 𝐽, (1r‘𝑅), 0 )) = if(𝐼 = 𝐽, (𝐶(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)), (𝐶(.r‘𝑅) 0 ))
26	13, 15, 18	ringridm 20249	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐶(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝐶)
27	26	3adant1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐶(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝐶)
28	13, 15, 19	ringrz 20273	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐶(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
29	28	3adant1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐶(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
30	27, 29	ifeq12d 4483	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → if(𝐼 = 𝐽, (𝐶(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)), (𝐶(.r‘𝑅) 0 )) = if(𝐼 = 𝐽, 𝐶, 0 ))
31	25, 30	eqtrid 2787	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐶(.r‘𝑅)if(𝐼 = 𝐽, (1r‘𝑅), 0 )) = if(𝐼 = 𝐽, 𝐶, 0 ))
32	31	adantr 481	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐶(.r‘𝑅)if(𝐼 = 𝐽, (1r‘𝑅), 0 )) = if(𝐼 = 𝐽, 𝐶, 0 ))
33	17, 24, 32	3eqtrd 2779	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝐶 ∗ 1 )𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 𝐶, 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ifcif 4461  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Fincfn 8890  Basecbs 17177  ._rcmulr 17219   ·_𝑠 cvsca 17222  0_gc0g 17400  1_rcur 20160  Ringcrg 20212   Mat cmat 22397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-ot 4571  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-sup 9352  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-hash 14291  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-prds 17408  df-pws 17410  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-mulg 19042  df-subg 19097  df-ghm 19186  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-subrg 20549  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-sra 21170  df-rgmod 21171  df-dsmm 21714  df-frlm 21729  df-mamu 22381  df-mat 22398

This theorem is referenced by:  scmatscmiddistr  22498  scmate  22500  scmatmats  22501  scmatf1  22521  pmatcollpwscmatlem1  22779  pmatcollpwscmatlem2  22780