Theorem scmatscmide 22852

Description: An entry of a scalar matrix expressed as a multiplication of a scalar with the identity matrix. (Contributed by AV, 30-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatscmide.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatscmide.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
scmatscmide.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
scmatscmide.1	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
scmatscmide.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
scmatscmide	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝐶 ∗ 1 )𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 𝐶, 0 ))

Proof of Theorem scmatscmide

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1211	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
2		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
3		scmatscmide.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4	3	matring 22788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
5		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
6		scmatscmide.1	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
7	5, 6	ringidcl 20524	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐴))
8	4, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 ∈ (Base‘𝐴))
9	8	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 1 ∈ (Base‘𝐴))
10	2, 9	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴)))
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴)))
12		simpr 490	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁))
13		scmatscmide.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
14		scmatscmide.m	. . . 4 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
15		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
16	3, 5, 13, 14, 15	matvscacell 22781	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝐶 ∗ 1 )𝐽) = (𝐶(.r‘𝑅)(𝐼 1 𝐽)))
17	1, 11, 12, 16	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝐶 ∗ 1 )𝐽) = (𝐶(.r‘𝑅)(𝐼 1 𝐽)))
18		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
19		scmatscmide.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
20		simpl1 1210	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
21		simprl 783	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝐼 ∈ 𝑁)
22		simprr 785	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝐽 ∈ 𝑁)
23	3, 18, 19, 20, 1, 21, 22, 6	mat1ov 22793	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼 1 𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, (1r‘𝑅), 0 ))
24	23	oveq2d 7459	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐶(.r‘𝑅)(𝐼 1 𝐽)) = (𝐶(.r‘𝑅)if(𝐼 = 𝐽, (1r‘𝑅), 0 )))
25		ovif2 7542	. . . 4 ⊢ (𝐶(.r‘𝑅)if(𝐼 = 𝐽, (1r‘𝑅), 0 )) = if(𝐼 = 𝐽, (𝐶(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)), (𝐶(.r‘𝑅) 0 ))
26	13, 15, 18	ringridm 20529	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐶(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝐶)
27	26	3adant1 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐶(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝐶)
28	13, 15, 19	ringrz 20555	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐶(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
29	28	3adant1 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐶(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
30	27, 29	ifeq12d 4507	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → if(𝐼 = 𝐽, (𝐶(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)), (𝐶(.r‘𝑅) 0 )) = if(𝐼 = 𝐽, 𝐶, 0 ))
31	25, 30	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐶(.r‘𝑅)if(𝐼 = 𝐽, (1r‘𝑅), 0 )) = if(𝐼 = 𝐽, 𝐶, 0 ))
32	31	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐶(.r‘𝑅)if(𝐼 = 𝐽, (1r‘𝑅), 0 )) = if(𝐼 = 𝐽, 𝐶, 0 ))
33	17, 24, 32	3eqtrd 2802	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝐶 ∗ 1 )𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 𝐶, 0 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ifcif 4485  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Fincfn 9001  Basecbs 17416  ._rcmulr 17458   ·_𝑠 cvsca 17461  0_gc0g 17639  1_rcur 20437  Ringcrg 20489   Mat cmat 22752

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-map 8877  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-sup 9461  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-seq 14172  df-hash 14502  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-hom 17481  df-cco 17482  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-prds 17647  df-pws 17649  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-acs 17788  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-mhm 19007  df-submnd 19008  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-mulg 19307  df-subg 19362  df-ghm 19457  df-cntz 19561  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-subrg 20852  df-lmod 21167  df-lss 21237  df-sra 21478  df-rgmod 21479  df-dsmm 22068  df-frlm 22083  df-mamu 22736  df-mat 22753

This theorem is used by:  scmatscmiddistr  22853  scmate  22855  scmatmats  22856  scmatf1  22876  pmatcollpwscmatlem1  23137  pmatcollpwscmatlem2  23138