Theorem xmetdcn 25213

Description: The metric function of an extended metric space is always continuous in the topology generated by it. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xmetdcn2.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
xmetdcn.2	⊢ 𝐾 = (ordTop‘ ≤ )

Assertion

Ref	Expression
xmetdcn	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))

Proof of Theorem xmetdcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetdcn.2	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (ordTop‘ ≤ )
2		letopon 23578	. . . 4 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
3	1, 2	eqeltri 2860	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ*)
4		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (dist‘ℝ*𝑠) = (dist‘ℝ*𝑠)
5		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) = (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))
6	4, 5	xrsmopn 25187	. . . 4 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ⊆ (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))
7	1, 6	eqsstri 3959	. . 3 ⊢ 𝐾 ⊆ (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))
8	4	xrsxmet 25184	. . . . 5 ⊢ (dist‘ℝ*𝑠) ∈ (∞Met‘ℝ*)
9	5	mopnuni 24815	. . . . 5 ⊢ ((dist‘ℝ*𝑠) ∈ (∞Met‘ℝ*) → ℝ* = ∪ (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℝ* = ∪ (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))
11	10	cnss2 23650	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ 𝐾 ⊆ (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))) → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))) ⊆ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
12	3, 7, 11	mp2an 705	. 2 ⊢ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))) ⊆ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾)
13		xmetdcn2.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
14	13, 4, 5	xmetdcn2 25212	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))))
15	12, 14	sselid 3911	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ∪ cuni 4872  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℝ^*cxr 11381   ≤ cle 11383  distcds 17481  ordTopcordt 17721  ℝ^*_𝑠cxrs 17722  ∞Metcxmet 21714  MetOpencmopn 21719  TopOnctopon 23283   Cn ccn 23597   ×_t ctx 23934

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-ec 8757  df-map 8887  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ioo 13520  df-ioc 13521  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-hom 17497  df-cco 17498  df-rest 17643  df-topn 17644  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-topgen 17664  df-pt 17665  df-prds 17668  df-ordt 17723  df-xrs 17724  df-qtop 17729  df-imas 17730  df-xps 17732  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-ps 18790  df-tsr 18791  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-mulg 19328  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-cn 23600  df-cnp 23601  df-tx 23936  df-hmeo 24129  df-xms 24694  df-tms 24696

This theorem is used by:  metdcn2  25214