Theorem pzriprngALT 21523

Description: The non-unital ring (ℤ_ring ×_s ℤ_ring) is unital because it has the two-sided ideal (ℤ × {0}), which is unital, and the quotient of the ring and the ideal is also unital (using ring2idlqusb 21337). (Contributed by AV, 23-Mar-2025.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pzriprngALT	⊢ (ℤring ×s ℤring) ∈ Ring

Proof of Theorem pzriprngALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (ℤ × {0}) → ((ℤring ×s ℤring) ↾s 𝑖) = ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))
2	1	eleq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (ℤ × {0}) → (((ℤring ×s ℤring) ↾s 𝑖) ∈ Ring ↔ ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring))
3		oveq2 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (ℤ × {0}) → ((ℤring ×s ℤring) ~QG 𝑖) = ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0})))
4	3	oveq2d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (ℤ × {0}) → ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG 𝑖)) = ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))))
5	4	eleq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (ℤ × {0}) → (((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG 𝑖)) ∈ Ring ↔ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring))
6	2, 5	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑖 = (ℤ × {0}) → ((((ℤring ×s ℤring) ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG 𝑖)) ∈ Ring) ↔ (((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring)))
7		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (ℤring ×s ℤring) = (ℤring ×s ℤring)
8		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (ℤ × {0}) = (ℤ × {0})
9		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) = ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0}))
10	7, 8, 9	pzriprnglem8 21516	. . . . 5 ⊢ (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring)))
12	7, 8, 9	pzriprnglem7 21515	. . . . . 6 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring)
14		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0}))) = (1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))
15		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0})) = ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))
16		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) = ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0})))
17	7, 8, 9, 14, 15, 16	pzriprnglem13 21521	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring
18	13, 17	jctir 520	. . . 4 ⊢ (⊤ → (((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring))
19	6, 11, 18	rspcedvdw 3624	. . 3 ⊢ (⊤ → ∃𝑖 ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring))(((ℤring ×s ℤring) ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG 𝑖)) ∈ Ring))
20	19	mptru 1543	. 2 ⊢ ∃𝑖 ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring))(((ℤring ×s ℤring) ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG 𝑖)) ∈ Ring)
21	7	pzriprnglem1 21509	. . 3 ⊢ (ℤring ×s ℤring) ∈ Rng
22		ring2idlqusb 21337	. . 3 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ∈ Rng → ((ℤring ×s ℤring) ∈ Ring ↔ ∃𝑖 ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring))(((ℤring ×s ℤring) ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG 𝑖)) ∈ Ring)))
23	21, 22	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ∈ Ring ↔ ∃𝑖 ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring))(((ℤring ×s ℤring) ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG 𝑖)) ∈ Ring))
24	20, 23	mpbir 231	1 ⊢ (ℤring ×s ℤring) ∈ Ring

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1536  ⊤wtru 1537   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3067  {csn 4630   × cxp 5686  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  ℤcz 12610   ↾_s cress 17273   /_s cqus 17551   ×_s cxps 17552   ~_QG cqg 19152  Rngcrng 20169  1_rcur 20198  Ringcrg 20250  2Idealc2idl 21276  ℤ_ringczring 21474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-addf 11231  ax-mulf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-ec 8745  df-qs 8749  df-map 8866  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-prds 17493  df-imas 17554  df-qus 17555  df-xps 17556  df-mgm 18665  df-mgmhm 18717  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-subg 19153  df-nsg 19154  df-eqg 19155  df-ghm 19243  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-rnghm 20452  df-rngim 20453  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-lidl 21235  df-2idl 21277  df-cnfld 21382  df-zring 21475

This theorem is referenced by: (None)