Theorem pzriprngALT 21614

Description: The non-unital ring (ℤ_ring ×_s ℤ_ring) is unital because it has the two-sided ideal (ℤ × {0}), which is unital, and the quotient of the ring and the ideal is also unital (using ring2idlqusb 21421). (Contributed by AV, 23-Mar-2025.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pzriprngALT	⊢ (ℤring ×s ℤring) ∈ Ring

Proof of Theorem pzriprngALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (ℤ × {0}) → ((ℤring ×s ℤring) ↾s 𝑖) = ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))
2	1	eleq1d 2854	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (ℤ × {0}) → (((ℤring ×s ℤring) ↾s 𝑖) ∈ Ring ↔ ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring))
3		oveq2 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (ℤ × {0}) → ((ℤring ×s ℤring) ~QG 𝑖) = ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0})))
4	3	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (ℤ × {0}) → ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG 𝑖)) = ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))))
5	4	eleq1d 2854	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (ℤ × {0}) → (((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG 𝑖)) ∈ Ring ↔ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring))
6	2, 5	anbi12d 643	. . . 4 ⊢ (𝑖 = (ℤ × {0}) → ((((ℤring ×s ℤring) ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG 𝑖)) ∈ Ring) ↔ (((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring)))
7		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (ℤring ×s ℤring) = (ℤring ×s ℤring)
8		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (ℤ × {0}) = (ℤ × {0})
9		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) = ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0}))
10	7, 8, 9	pzriprnglem8 21607	. . . . 5 ⊢ (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring)))
12	7, 8, 9	pzriprnglem7 21606	. . . . . 6 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring)
14		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0}))) = (1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))
15		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0})) = ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))
16		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) = ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0})))
17	7, 8, 9, 14, 15, 16	pzriprnglem13 21612	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring
18	13, 17	jctir 529	. . . 4 ⊢ (⊤ → (((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring))
19	6, 11, 18	rspcedvdw 3593	. . 3 ⊢ (⊤ → ∃𝑖 ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring))(((ℤring ×s ℤring) ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG 𝑖)) ∈ Ring))
20	19	mptru 1574	. 2 ⊢ ∃𝑖 ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring))(((ℤring ×s ℤring) ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG 𝑖)) ∈ Ring)
21	7	pzriprnglem1 21600	. . 3 ⊢ (ℤring ×s ℤring) ∈ Rng
22		ring2idlqusb 21421	. . 3 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ∈ Rng → ((ℤring ×s ℤring) ∈ Ring ↔ ∃𝑖 ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring))(((ℤring ×s ℤring) ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG 𝑖)) ∈ Ring)))
23	21, 22	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ∈ Ring ↔ ∃𝑖 ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring))(((ℤring ×s ℤring) ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG 𝑖)) ∈ Ring))
24	20, 23	mpbir 234	1 ⊢ (ℤring ×s ℤring) ∈ Ring

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567  ⊤wtru 1568   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095  {csn 4594   × cxp 5660  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  0cc0 11100  ℤcz 12591   ↾_s cress 17290   /_s cqus 17559   ×_s cxps 17560   ~_QG cqg 19188  Rngcrng 20230  1_rcur 20263  Ringcrg 20315  2Idealc2idl 21359  ℤ_ringczring 21565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-addf 11179  ax-mulf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-ec 8696  df-qs 8700  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-0g 17494  df-prds 17500  df-imas 17562  df-qus 17563  df-xps 17564  df-mgm 18698  df-mgmhm 18750  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-subg 19189  df-nsg 19190  df-eqg 19191  df-ghm 19284  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-cring 20318  df-oppr 20419  df-dvdsr 20439  df-unit 20440  df-invr 20470  df-rnghm 20518  df-rngim 20519  df-subrng 20631  df-subrg 20655  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-sra 21272  df-rgmod 21273  df-lidl 21310  df-2idl 21360  df-cnfld 21492  df-zring 21566

This theorem is referenced by: (None)