Theorem pzriprngALT 21412

Description: The non-unital ring (ℤ_ring ×_s ℤ_ring) is unital because it has the two-sided ideal (ℤ × {0}), which is unital, and the quotient of the ring and the ideal is also unital (using ring2idlqusb 21227). (Contributed by AV, 23-Mar-2025.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pzriprngALT	⊢ (ℤring ×s ℤring) ∈ Ring

Proof of Theorem pzriprngALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (ℤ × {0}) → ((ℤring ×s ℤring) ↾s 𝑖) = ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))
2	1	eleq1d 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (ℤ × {0}) → (((ℤring ×s ℤring) ↾s 𝑖) ∈ Ring ↔ ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring))
3		oveq2 7398	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (ℤ × {0}) → ((ℤring ×s ℤring) ~QG 𝑖) = ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0})))
4	3	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (ℤ × {0}) → ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG 𝑖)) = ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))))
5	4	eleq1d 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (ℤ × {0}) → (((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG 𝑖)) ∈ Ring ↔ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring))
6	2, 5	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑖 = (ℤ × {0}) → ((((ℤring ×s ℤring) ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG 𝑖)) ∈ Ring) ↔ (((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring)))
7		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (ℤring ×s ℤring) = (ℤring ×s ℤring)
8		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (ℤ × {0}) = (ℤ × {0})
9		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) = ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0}))
10	7, 8, 9	pzriprnglem8 21405	. . . . 5 ⊢ (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring)))
12	7, 8, 9	pzriprnglem7 21404	. . . . . 6 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring)
14		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0}))) = (1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))
15		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0})) = ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))
16		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) = ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0})))
17	7, 8, 9, 14, 15, 16	pzriprnglem13 21410	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring
18	13, 17	jctir 520	. . . 4 ⊢ (⊤ → (((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring))
19	6, 11, 18	rspcedvdw 3594	. . 3 ⊢ (⊤ → ∃𝑖 ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring))(((ℤring ×s ℤring) ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG 𝑖)) ∈ Ring))
20	19	mptru 1547	. 2 ⊢ ∃𝑖 ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring))(((ℤring ×s ℤring) ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG 𝑖)) ∈ Ring)
21	7	pzriprnglem1 21398	. . 3 ⊢ (ℤring ×s ℤring) ∈ Rng
22		ring2idlqusb 21227	. . 3 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ∈ Rng → ((ℤring ×s ℤring) ∈ Ring ↔ ∃𝑖 ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring))(((ℤring ×s ℤring) ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG 𝑖)) ∈ Ring)))
23	21, 22	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ∈ Ring ↔ ∃𝑖 ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring))(((ℤring ×s ℤring) ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG 𝑖)) ∈ Ring))
24	20, 23	mpbir 231	1 ⊢ (ℤring ×s ℤring) ∈ Ring

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054  {csn 4592   × cxp 5639  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  ℤcz 12536   ↾_s cress 17207   /_s cqus 17475   ×_s cxps 17476   ~_QG cqg 19061  Rngcrng 20068  1_rcur 20097  Ringcrg 20149  2Idealc2idl 21166  ℤ_ringczring 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-ec 8676  df-qs 8680  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-prds 17417  df-imas 17478  df-qus 17479  df-xps 17480  df-mgm 18574  df-mgmhm 18626  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-subg 19062  df-nsg 19063  df-eqg 19064  df-ghm 19152  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-rnghm 20352  df-rngim 20353  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-lidl 21125  df-2idl 21167  df-cnfld 21272  df-zring 21364

This theorem is referenced by: (None)