Theorem tanrpcl 25672

Description: Positive real closure of the tangent function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
tanrpcl	⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (tan‘𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem tanrpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 13120	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11014	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1	recoscld 15864	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
4		sincosq1sgn 25666	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘𝐴) ∧ 0 < (cos‘𝐴)))
5	4	simprd 496	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝐴))
6	3, 5	elrpd 12780	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ+)
7	6	rpne0d 12788	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
8		tanval 15848	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
9	2, 7, 8	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
10	1	resincld 15863	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
11	4	simpld 495	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → 0 < (sin‘𝐴))
12	10, 11	elrpd 12780	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ+)
13	12, 6	rpdivcld 12800	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)) ∈ ℝ+)
14	9, 13	eqeltrd 2841	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (tan‘𝐴) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945   class class class wbr 5079  ‘cfv 6432  (class class class)co 7272  ℂcc 10880  0cc0 10882   < clt 11020   / cdiv 11643  2c2 12039  ℝ⁺crp 12741  (,)cioo 13090  sincsin 15784  cosccos 15785  tanctan 15786  πcpi 15787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-inf2 9387  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959  ax-pre-sup 10960  ax-addf 10961  ax-mulf 10962

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-of 7528  df-om 7708  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-supp 7970  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-1o 8289  df-2o 8290  df-er 8490  df-map 8609  df-pm 8610  df-ixp 8678  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-fin 8729  df-fsupp 9117  df-fi 9158  df-sup 9189  df-inf 9190  df-oi 9257  df-card 9708  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-div 11644  df-nn 11985  df-2 12047  df-3 12048  df-4 12049  df-5 12050  df-6 12051  df-7 12052  df-8 12053  df-9 12054  df-n0 12245  df-z 12331  df-dec 12449  df-uz 12594  df-q 12700  df-rp 12742  df-xneg 12859  df-xadd 12860  df-xmul 12861  df-ioo 13094  df-ioc 13095  df-ico 13096  df-icc 13097  df-fz 13251  df-fzo 13394  df-fl 13523  df-seq 13733  df-exp 13794  df-fac 13999  df-bc 14028  df-hash 14056  df-shft 14789  df-cj 14821  df-re 14822  df-im 14823  df-sqrt 14957  df-abs 14958  df-limsup 15191  df-clim 15208  df-rlim 15209  df-sum 15409  df-ef 15788  df-sin 15790  df-cos 15791  df-tan 15792  df-pi 15793  df-struct 16859  df-sets 16876  df-slot 16894  df-ndx 16906  df-base 16924  df-ress 16953  df-plusg 16986  df-mulr 16987  df-starv 16988  df-sca 16989  df-vsca 16990  df-ip 16991  df-tset 16992  df-ple 16993  df-ds 16995  df-unif 16996  df-hom 16997  df-cco 16998  df-rest 17144  df-topn 17145  df-0g 17163  df-gsum 17164  df-topgen 17165  df-pt 17166  df-prds 17169  df-xrs 17224  df-qtop 17229  df-imas 17230  df-xps 17232  df-mre 17306  df-mrc 17307  df-acs 17309  df-mgm 18337  df-sgrp 18386  df-mnd 18397  df-submnd 18442  df-mulg 18712  df-cntz 18934  df-cmn 19399  df-psmet 20600  df-xmet 20601  df-met 20602  df-bl 20603  df-mopn 20604  df-fbas 20605  df-fg 20606  df-cnfld 20609  df-top 22054  df-topon 22071  df-topsp 22093  df-bases 22107  df-cld 22181  df-ntr 22182  df-cls 22183  df-nei 22260  df-lp 22298  df-perf 22299  df-cn 22389  df-cnp 22390  df-haus 22477  df-tx 22724  df-hmeo 22917  df-fil 23008  df-fm 23100  df-flim 23101  df-flf 23102  df-xms 23484  df-ms 23485  df-tms 23486  df-cncf 24052  df-limc 25041  df-dv 25042

This theorem is referenced by:  tanord  25705  tanregt0  25706  basellem3  26243  basellem4  26244  basellem8  26248