Theorem sgmppw 15789

Description: The value of the divisor function at a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sgmppw	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 σ (𝑃↑𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑃↑𝑐𝐴)↑𝑘))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘

Proof of Theorem sgmppw

Dummy variables 𝑖 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1024	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simp2 1025	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℙ)
3		prmnn 12745	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℕ)
5		simp3 1026	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	4, 5	nnexpcld 11003	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑁) ∈ ℕ)
7		sgmval 15780	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃↑𝑁) ∈ ℕ) → (𝐴 σ (𝑃↑𝑁)) = Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃↑𝑁)} (𝑛↑𝑐𝐴))
8	1, 6, 7	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 σ (𝑃↑𝑁)) = Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃↑𝑁)} (𝑛↑𝑐𝐴))
9		oveq1 6035	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑃↑𝑘) → (𝑛↑𝑐𝐴) = ((𝑃↑𝑘)↑𝑐𝐴))
10		0zd 9535	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
11	5	nn0zd 9644	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
12	10, 11	fzfigd 10739	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...𝑁) ∈ Fin)
13		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃↑𝑖)) = (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃↑𝑖))
14	13	dvdsppwf1o 15786	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃↑𝑖)):(0...𝑁)–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃↑𝑁)})
15	2, 5, 14	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃↑𝑖)):(0...𝑁)–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃↑𝑁)})
16		oveq2 6036	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑃↑𝑖) = (𝑃↑𝑘))
17		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
18	4	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑃 ∈ ℕ)
19		elfznn0 10394	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
20	19	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
21	18, 20	nnexpcld 11003	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℕ)
22	13, 16, 17, 21	fvmptd3 5749	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃↑𝑖))‘𝑘) = (𝑃↑𝑘))
23		elrabi 2960	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃↑𝑁)} → 𝑛 ∈ ℕ)
24	23	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃↑𝑁)}) → 𝑛 ∈ ℕ)
25	24	nnrpd 9973	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃↑𝑁)}) → 𝑛 ∈ ℝ+)
26	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃↑𝑁)}) → 𝐴 ∈ ℂ)
27	25, 26	rpcncxpcld 15721	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃↑𝑁)}) → (𝑛↑𝑐𝐴) ∈ ℂ)
28	9, 12, 15, 22, 27	fsumf1o 12014	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃↑𝑁)} (𝑛↑𝑐𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑃↑𝑘)↑𝑐𝐴))
29	20	nn0cnd 9501	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
30	1	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
31	29, 30	mulcomd 8243	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑘 · 𝐴) = (𝐴 · 𝑘))
32	31	oveq2d 6044	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑃↑𝑐(𝑘 · 𝐴)) = (𝑃↑𝑐(𝐴 · 𝑘)))
33	18	nnrpd 9973	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
34	20	nn0red 9500	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
35	33, 34, 30	cxpmuld 15731	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑃↑𝑐(𝑘 · 𝐴)) = ((𝑃↑𝑐𝑘)↑𝑐𝐴))
36	20	nn0zd 9644	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
37		cxpexpnn 15690	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃↑𝑐𝑘) = (𝑃↑𝑘))
38	18, 36, 37	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑃↑𝑐𝑘) = (𝑃↑𝑘))
39	38	oveq1d 6043	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑃↑𝑐𝑘)↑𝑐𝐴) = ((𝑃↑𝑘)↑𝑐𝐴))
40	35, 39	eqtrd 2264	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑃↑𝑐(𝑘 · 𝐴)) = ((𝑃↑𝑘)↑𝑐𝐴))
41	33, 30, 20	rpcxpmul2d 15726	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑃↑𝑐(𝐴 · 𝑘)) = ((𝑃↑𝑐𝐴)↑𝑘))
42	32, 40, 41	3eqtr3d 2272	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑃↑𝑘)↑𝑐𝐴) = ((𝑃↑𝑐𝐴)↑𝑘))
43	42	sumeq2dv 11991	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑃↑𝑘)↑𝑐𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑃↑𝑐𝐴)↑𝑘))
44	8, 28, 43	3eqtrd 2268	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 σ (𝑃↑𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑃↑𝑐𝐴)↑𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  {crab 2515   class class class wbr 4093   ↦ cmpt 4155  –1-1-onto→wf1o 5332  (class class class)co 6028  ℂcc 8073  0cc0 8075   · cmul 8080  ℕcn 9185  ℕ₀cn0 9444  ℤcz 9523  ...cfz 10288  ↑cexp 10846  Σcsu 11976   ∥ cdvds 12411  ℙcprime 12742  ↑_𝑐ccxp 15651   σ csgm 15778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195  ax-pre-suploc 8196  ax-addf 8197  ax-mulf 8198

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-disj 4070  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-of 6244  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-oadd 6629  df-er 6745  df-map 6862  df-pm 6863  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-sup 7226  df-inf 7227  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-n0 9445  df-xnn0 9510  df-z 9524  df-uz 9800  df-q 9898  df-rp 9933  df-xneg 10051  df-xadd 10052  df-ioo 10171  df-ico 10173  df-icc 10174  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-fl 10576  df-mod 10631  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-fac 11034  df-bc 11056  df-ihash 11084  df-shft 11438  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-rsqrt 11621  df-abs 11622  df-clim 11902  df-sumdc 11977  df-ef 12272  df-e 12273  df-dvds 12412  df-gcd 12588  df-prm 12743  df-pc 12921  df-rest 13387  df-topgen 13406  df-psmet 14622  df-xmet 14623  df-met 14624  df-bl 14625  df-mopn 14626  df-top 14792  df-topon 14805  df-bases 14837  df-ntr 14890  df-cn 14982  df-cnp 14983  df-tx 15047  df-cncf 15365  df-limced 15450  df-dvap 15451  df-relog 15652  df-rpcxp 15653  df-sgm 15779

This theorem is referenced by:  1sgmprm  15791  1sgm2ppw  15792