Theorem 83prm 13266

Description: 83 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
83prm	⊢ ;83 ∈ ℙ

Proof of Theorem 83prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn0 9597	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
2		3nn 9478	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 9811	. 2 ⊢ ;83 ∈ ℕ
4		4nn0 9593	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	1, 4	deccl 9802	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 9592	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 9590	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 9929	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 9483	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		8lt10 9924	. . . 4 ⊢ 8 < ;10
11	9, 4, 1, 10	declti 9830	. . 3 ⊢ 8 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 9821	. 2 ⊢ ;83 < ;;841
13		1lt10 9931	. . 3 ⊢ 1 < ;10
14	9, 6, 7, 13	declti 9830	. 2 ⊢ 1 < ;83
15		2cn 9384	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
16	15	mullidi 8335	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
17		df-3 9373	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
18	1, 7, 16, 17	dec2dvds 13219	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;83
19		2nn0 9591	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
20		7nn0 9596	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
21	19, 20	deccl 9802	. . 3 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
22		2nn 9477	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
23		0nn0 9589	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
24		eqid 2238	. . . 4 ⊢ ;27 = ;27
25	19	dec0h 9814	. . . 4 ⊢ 2 = ;02
26		3t2e6 9470	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
27	15	addlidi 8476	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
28	26, 27	oveq12i 6100	. . . . 5 ⊢ ((3 · 2) + (0 + 2)) = (6 + 2)
29		6p2e8 9463	. . . . 5 ⊢ (6 + 2) = 8
30	28, 29	eqtri 2259	. . . 4 ⊢ ((3 · 2) + (0 + 2)) = 8
31		7cn 9397	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℂ
32		3cn 9388	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
33		7t3e21 9902	. . . . . 6 ⊢ (7 · 3) = ;21
34	31, 32, 33	mulcomli 8339	. . . . 5 ⊢ (3 · 7) = ;21
35		1p2e3 9448	. . . . 5 ⊢ (1 + 2) = 3
36	19, 7, 19, 34, 35	decaddi 9852	. . . 4 ⊢ ((3 · 7) + 2) = ;23
37	19, 20, 23, 19, 24, 25, 6, 6, 19, 30, 36	decma2c 9845	. . 3 ⊢ ((3 · ;27) + 2) = ;83
38		2lt3 9486	. . 3 ⊢ 2 < 3
39	2, 21, 22, 37, 38	ndvdsi 12725	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;83
40		3lt5 9492	. . 3 ⊢ 3 < 5
41	1, 2, 40	dec5dvds 13220	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;83
42		7nn 9482	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
43	7, 7	deccl 9802	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
44		6nn 9481	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
45		6nn0 9595	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
46		eqid 2238	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
47	45	dec0h 9814	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
48	31	mulridi 8334	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
49		ax-1cn 8278	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
50	49	addlidi 8476	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
51	48, 50	oveq12i 6100	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 1)) = (7 + 1)
52		7p1e8 9453	. . . . 5 ⊢ (7 + 1) = 8
53	51, 52	eqtri 2259	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 1)) = 8
54	48	oveq1i 6098	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + 6) = (7 + 6)
55		7p6e13 9870	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
56	54, 55	eqtri 2259	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + 6) = ;13
57	7, 7, 23, 45, 46, 47, 20, 6, 7, 53, 56	decma2c 9845	. . 3 ⊢ ((7 · ;11) + 6) = ;83
58		6lt7 9500	. . 3 ⊢ 6 < 7
59	42, 43, 44, 57, 58	ndvdsi 12725	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;83
60		11nn 9812	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
61		1nn 9324	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
62	7, 61	decnncl 9811	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℕ
63	62	nncni 9323	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℂ
64	63, 31	mulcomi 8338	. . . . 5 ⊢ (;11 · 7) = (7 · ;11)
65	64	oveq1i 6098	. . . 4 ⊢ ((;11 · 7) + 6) = ((7 · ;11) + 6)
66	65, 57	eqtri 2259	. . 3 ⊢ ((;11 · 7) + 6) = ;83
67		6lt10 9926	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
68	61, 7, 45, 67	declti 9830	. . 3 ⊢ 6 < ;11
69	60, 20, 44, 66, 68	ndvdsi 12725	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;83
70	7, 2	decnncl 9811	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
71		5nn 9480	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
72		5nn0 9594	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
73		eqid 2238	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
74	72	dec0h 9814	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
75		6cn 9395	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
76	75	mullidi 8335	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
77	76, 27	oveq12i 6100	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + (0 + 2)) = (6 + 2)
78	77, 29	eqtri 2259	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + (0 + 2)) = 8
79		6t3e18 9897	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
80	75, 32, 79	mulcomli 8339	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
81		1p1e2 9430	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
82		8p5e13 9875	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
83	7, 1, 72, 80, 81, 6, 82	decaddci 9853	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 5) = ;23
84	7, 6, 23, 72, 73, 74, 45, 6, 19, 78, 83	decmac 9844	. . 3 ⊢ ((;13 · 6) + 5) = ;83
85		5lt10 9927	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
86	61, 6, 72, 85	declti 9830	. . 3 ⊢ 5 < ;13
87	70, 45, 71, 84, 86	ndvdsi 12725	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;83
88	7, 42	decnncl 9811	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
89	7, 71	decnncl 9811	. . 3 ⊢ ;15 ∈ ℕ
90		eqid 2238	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
91		eqid 2238	. . . 4 ⊢ ;15 = ;15
92		4cn 9391	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
93	92	mullidi 8335	. . . . . 6 ⊢ (1 · 4) = 4
94		3p1e4 9449	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
95	32, 49, 94	addcomli 8478	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
96	93, 95	oveq12i 6100	. . . . 5 ⊢ ((1 · 4) + (1 + 3)) = (4 + 4)
97		4p4e8 9459	. . . . 5 ⊢ (4 + 4) = 8
98	96, 97	eqtri 2259	. . . 4 ⊢ ((1 · 4) + (1 + 3)) = 8
99		7t4e28 9903	. . . . 5 ⊢ (7 · 4) = ;28
100		2p1e3 9447	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
101	19, 1, 72, 99, 100, 6, 82	decaddci 9853	. . . 4 ⊢ ((7 · 4) + 5) = ;33
102	7, 20, 7, 72, 90, 91, 4, 6, 6, 98, 101	decmac 9844	. . 3 ⊢ ((;17 · 4) + ;15) = ;83
103		5lt7 9501	. . . 4 ⊢ 5 < 7
104	7, 72, 42, 103	declt 9820	. . 3 ⊢ ;15 < ;17
105	88, 4, 89, 102, 104	ndvdsi 12725	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;83
106		9nn 9484	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
107	7, 106	decnncl 9811	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
108		9nn0 9598	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
109		eqid 2238	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
110	20	dec0h 9814	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
111	92	addlidi 8476	. . . . . 6 ⊢ (0 + 4) = 4
112	93, 111	oveq12i 6100	. . . . 5 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 4)) = (4 + 4)
113	112, 97	eqtri 2259	. . . 4 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 4)) = 8
114		9t4e36 9916	. . . . 5 ⊢ (9 · 4) = ;36
115	31, 75, 55	addcomli 8478	. . . . 5 ⊢ (6 + 7) = ;13
116	6, 45, 20, 114, 94, 6, 115	decaddci 9853	. . . 4 ⊢ ((9 · 4) + 7) = ;43
117	7, 108, 23, 20, 109, 110, 4, 6, 4, 113, 116	decmac 9844	. . 3 ⊢ ((;19 · 4) + 7) = ;83
118		7lt10 9925	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
119	61, 108, 20, 118	declti 9830	. . 3 ⊢ 7 < ;19
120	107, 4, 42, 117, 119	ndvdsi 12725	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;83
121	19, 2	decnncl 9811	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
122		4nn 9479	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
123	7, 122	decnncl 9811	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ
124		eqid 2238	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
125		eqid 2238	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
126		2t3e6 9471	. . . . . 6 ⊢ (2 · 3) = 6
127	126, 81	oveq12i 6100	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + (1 + 1)) = (6 + 2)
128	127, 29	eqtri 2259	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + (1 + 1)) = 8
129		3t3e9 9472	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
130	129	oveq1i 6098	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
131		9p4e13 9881	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
132	130, 131	eqtri 2259	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
133	19, 6, 7, 4, 124, 125, 6, 6, 7, 128, 132	decmac 9844	. . 3 ⊢ ((;23 · 3) + ;14) = ;83
134		4lt10 9928	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
135		1lt2 9485	. . . 4 ⊢ 1 < 2
136	7, 19, 4, 6, 134, 135	decltc 9821	. . 3 ⊢ ;14 < ;23
137	121, 6, 123, 133, 136	ndvdsi 12725	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;83
138	3, 12, 14, 18, 39, 41, 59, 69, 87, 105, 120, 137	prmlem2 13263	1 ⊢ ;83 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088  0cc0 8185  1c1 8186   + caddc 8188   · cmul 8190  2c2 9364  3c3 9365  4c4 9366  5c5 9367  6c6 9368  7c7 9369  8c8 9370  9c9 9371  ;cdc 9788  ℙcprime 12910

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-en 7027  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-dec 9789  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-fl 10722  df-mod 10781  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-dvds 12580  df-prm 12911

This theorem is used by:  bpos1  16310