Theorem 43prm 13256

Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
43prm	⊢ ;43 ∈ ℙ

Proof of Theorem 43prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 9586	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		3nn 9471	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 9804	. 2 ⊢ ;43 ∈ ℕ
4		8nn0 9590	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	4, 1	deccl 9795	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 9585	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 9583	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 9922	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 9476	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		4lt10 9921	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
11	9, 1, 1, 10	declti 9823	. . 3 ⊢ 4 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 9814	. 2 ⊢ ;43 < ;;841
13		4nn 9472	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
14		1lt10 9924	. . 3 ⊢ 1 < ;10
15	13, 6, 7, 14	declti 9823	. 2 ⊢ 1 < ;43
16		2cn 9377	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
17	16	mullidi 8329	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
18		df-3 9366	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	1, 7, 17, 18	dec2dvds 13210	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;43
20	7, 1	deccl 9795	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
21		1nn 9317	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
22		0nn0 9582	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23		eqid 2238	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
24	7	dec0h 9807	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
25		3cn 9381	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
26	25	mulridi 8328	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
27		ax-1cn 8272	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	27	addlidi 8470	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
29	26, 28	oveq12i 6097	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = (3 + 1)
30		3p1e4 9442	. . . . 5 ⊢ (3 + 1) = 4
31	29, 30	eqtri 2259	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = 4
32		2nn0 9584	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33		2p1e3 9440	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
34		4cn 9384	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
35		4t3e12 9883	. . . . . 6 ⊢ (4 · 3) = ;12
36	34, 25, 35	mulcomli 8333	. . . . 5 ⊢ (3 · 4) = ;12
37	7, 32, 33, 36	decsuc 9816	. . . 4 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
38	7, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37	decma2c 9838	. . 3 ⊢ ((3 · ;14) + 1) = ;43
39		1lt3 9480	. . 3 ⊢ 1 < 3
40	2, 20, 21, 38, 39	ndvdsi 12716	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;43
41		3lt5 9485	. . 3 ⊢ 3 < 5
42	1, 2, 41	dec5dvds 13211	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;43
43		7nn 9475	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44		6nn0 9588	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
45		7t6e42 9898	. . . 4 ⊢ (7 · 6) = ;42
46	1, 32, 33, 45	decsuc 9816	. . 3 ⊢ ((7 · 6) + 1) = ;43
47		1lt7 9498	. . 3 ⊢ 1 < 7
48	43, 44, 21, 46, 47	ndvdsi 12716	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;43
49	7, 21	decnncl 9804	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
50	21	decnncl2 9809	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
51		eqid 2238	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
52		eqid 2238	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
53	25	mullidi 8329	. . . . . 6 ⊢ (1 · 3) = 3
54	27	addridi 8469	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
55	53, 54	oveq12i 6097	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = (3 + 1)
56	55, 30	eqtri 2259	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = 4
57	53	oveq1i 6095	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 0) = (3 + 0)
58	25	addridi 8469	. . . . 5 ⊢ (3 + 0) = 3
59	6	dec0h 9807	. . . . 5 ⊢ 3 = ;03
60	57, 58, 59	3eqtri 2263	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 0) = ;03
61	7, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60	decmac 9837	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + ;10) = ;43
62		0lt1 8454	. . . 4 ⊢ 0 < 1
63	7, 22, 21, 62	declt 9813	. . 3 ⊢ ;10 < ;11
64	49, 6, 50, 61, 63	ndvdsi 12716	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;43
65	7, 2	decnncl 9804	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
66		eqid 2238	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
67	1	dec0h 9807	. . . 4 ⊢ 4 = ;04
68	53, 28	oveq12i 6097	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
69	68, 30	eqtri 2259	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
70		3t3e9 9465	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
71	70	oveq1i 6095	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
72		9p4e13 9874	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
73	71, 72	eqtri 2259	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
74	7, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73	decmac 9837	. . 3 ⊢ ((;13 · 3) + 4) = ;43
75	21, 6, 1, 10	declti 9823	. . 3 ⊢ 4 < ;13
76	65, 6, 13, 74, 75	ndvdsi 12716	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;43
77	7, 43	decnncl 9804	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
78		9nn 9477	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
79	43	nnnn0i 9575	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
80	78	nnnn0i 9575	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
81		eqid 2238	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
82	80	dec0h 9807	. . . 4 ⊢ 9 = ;09
83	16	addlidi 8470	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
84	17, 83	oveq12i 6097	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = (2 + 2)
85		2p2e4 9433	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
86	84, 85	eqtri 2259	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = 4
87		7t2e14 9894	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
88		1p1e2 9423	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
89	78	nncni 9316	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
90	89, 34, 72	addcomli 8472	. . . . 5 ⊢ (4 + 9) = ;13
91	7, 1, 80, 87, 88, 6, 90	decaddci 9846	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 9) = ;23
92	7, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91	decmac 9837	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 9) = ;43
93		9lt10 9916	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
94	21, 79, 80, 93	declti 9823	. . 3 ⊢ 9 < ;17
95	77, 32, 78, 92, 94	ndvdsi 12716	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;43
96	7, 78	decnncl 9804	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
97		5nn 9473	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
98	97	nnnn0i 9575	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
99		eqid 2238	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
100	98	dec0h 9807	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
101		9t2e18 9907	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
102		8p5e13 9868	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
103	7, 4, 98, 101, 88, 6, 102	decaddci 9846	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 5) = ;23
104	7, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103	decmac 9837	. . 3 ⊢ ((;19 · 2) + 5) = ;43
105		5lt10 9920	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
106	21, 80, 98, 105	declti 9823	. . 3 ⊢ 5 < ;19
107	96, 32, 97, 104, 106	ndvdsi 12716	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;43
108	32, 2	decnncl 9804	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
109		2nn 9470	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
110	109	decnncl2 9809	. . 3 ⊢ ;20 ∈ ℕ
111	108	nncni 9316	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
112	111	mulridi 8328	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
113		eqid 2238	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
114	32, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58	decadd 9839	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;20) = ;43
115		3pos 9400	. . . 4 ⊢ 0 < 3
116	32, 22, 2, 115	declt 9813	. . 3 ⊢ ;20 < ;23
117	108, 7, 110, 114, 116	ndvdsi 12716	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;43
118	3, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117	prmlem2 13254	1 ⊢ ;43 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182   · cmul 8184  2c2 9357  3c3 9358  4c4 9359  5c5 9360  6c6 9361  7c7 9362  8c8 9363  9c9 9364  ;cdc 9781  ℙcprime 12901

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-reap 8905  df-ap 8912  df-div 9005  df-inn 9307  df-2 9365  df-3 9366  df-4 9367  df-5 9368  df-6 9369  df-7 9370  df-8 9371  df-9 9372  df-n0 9568  df-z 9649  df-dec 9782  df-uz 9931  df-q 10029  df-rp 10065  df-fz 10422  df-fzo 10560  df-fl 10715  df-mod 10773  df-seqfrec 10898  df-exp 10989  df-cj 11621  df-re 11622  df-im 11623  df-rsqrt 11778  df-abs 11779  df-dvds 12571  df-prm 12902

This theorem is used by:  bpos1  16208