Theorem 43prm 13265

Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
43prm	⊢ ;43 ∈ ℙ

Proof of Theorem 43prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 9593	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		3nn 9478	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 9811	. 2 ⊢ ;43 ∈ ℕ
4		8nn0 9597	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	4, 1	deccl 9802	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 9592	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 9590	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 9929	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 9483	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		4lt10 9928	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
11	9, 1, 1, 10	declti 9830	. . 3 ⊢ 4 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 9821	. 2 ⊢ ;43 < ;;841
13		4nn 9479	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
14		1lt10 9931	. . 3 ⊢ 1 < ;10
15	13, 6, 7, 14	declti 9830	. 2 ⊢ 1 < ;43
16		2cn 9384	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
17	16	mullidi 8335	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
18		df-3 9373	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	1, 7, 17, 18	dec2dvds 13219	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;43
20	7, 1	deccl 9802	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
21		1nn 9324	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
22		0nn0 9589	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23		eqid 2238	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
24	7	dec0h 9814	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
25		3cn 9388	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
26	25	mulridi 8334	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
27		ax-1cn 8278	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	27	addlidi 8476	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
29	26, 28	oveq12i 6100	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = (3 + 1)
30		3p1e4 9449	. . . . 5 ⊢ (3 + 1) = 4
31	29, 30	eqtri 2259	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = 4
32		2nn0 9591	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33		2p1e3 9447	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
34		4cn 9391	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
35		4t3e12 9890	. . . . . 6 ⊢ (4 · 3) = ;12
36	34, 25, 35	mulcomli 8339	. . . . 5 ⊢ (3 · 4) = ;12
37	7, 32, 33, 36	decsuc 9823	. . . 4 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
38	7, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37	decma2c 9845	. . 3 ⊢ ((3 · ;14) + 1) = ;43
39		1lt3 9487	. . 3 ⊢ 1 < 3
40	2, 20, 21, 38, 39	ndvdsi 12725	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;43
41		3lt5 9492	. . 3 ⊢ 3 < 5
42	1, 2, 41	dec5dvds 13220	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;43
43		7nn 9482	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44		6nn0 9595	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
45		7t6e42 9905	. . . 4 ⊢ (7 · 6) = ;42
46	1, 32, 33, 45	decsuc 9823	. . 3 ⊢ ((7 · 6) + 1) = ;43
47		1lt7 9505	. . 3 ⊢ 1 < 7
48	43, 44, 21, 46, 47	ndvdsi 12725	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;43
49	7, 21	decnncl 9811	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
50	21	decnncl2 9816	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
51		eqid 2238	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
52		eqid 2238	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
53	25	mullidi 8335	. . . . . 6 ⊢ (1 · 3) = 3
54	27	addridi 8475	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
55	53, 54	oveq12i 6100	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = (3 + 1)
56	55, 30	eqtri 2259	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = 4
57	53	oveq1i 6098	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 0) = (3 + 0)
58	25	addridi 8475	. . . . 5 ⊢ (3 + 0) = 3
59	6	dec0h 9814	. . . . 5 ⊢ 3 = ;03
60	57, 58, 59	3eqtri 2263	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 0) = ;03
61	7, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60	decmac 9844	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + ;10) = ;43
62		0lt1 8460	. . . 4 ⊢ 0 < 1
63	7, 22, 21, 62	declt 9820	. . 3 ⊢ ;10 < ;11
64	49, 6, 50, 61, 63	ndvdsi 12725	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;43
65	7, 2	decnncl 9811	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
66		eqid 2238	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
67	1	dec0h 9814	. . . 4 ⊢ 4 = ;04
68	53, 28	oveq12i 6100	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
69	68, 30	eqtri 2259	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
70		3t3e9 9472	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
71	70	oveq1i 6098	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
72		9p4e13 9881	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
73	71, 72	eqtri 2259	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
74	7, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73	decmac 9844	. . 3 ⊢ ((;13 · 3) + 4) = ;43
75	21, 6, 1, 10	declti 9830	. . 3 ⊢ 4 < ;13
76	65, 6, 13, 74, 75	ndvdsi 12725	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;43
77	7, 43	decnncl 9811	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
78		9nn 9484	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
79	43	nnnn0i 9582	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
80	78	nnnn0i 9582	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
81		eqid 2238	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
82	80	dec0h 9814	. . . 4 ⊢ 9 = ;09
83	16	addlidi 8476	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
84	17, 83	oveq12i 6100	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = (2 + 2)
85		2p2e4 9440	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
86	84, 85	eqtri 2259	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = 4
87		7t2e14 9901	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
88		1p1e2 9430	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
89	78	nncni 9323	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
90	89, 34, 72	addcomli 8478	. . . . 5 ⊢ (4 + 9) = ;13
91	7, 1, 80, 87, 88, 6, 90	decaddci 9853	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 9) = ;23
92	7, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91	decmac 9844	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 9) = ;43
93		9lt10 9923	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
94	21, 79, 80, 93	declti 9830	. . 3 ⊢ 9 < ;17
95	77, 32, 78, 92, 94	ndvdsi 12725	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;43
96	7, 78	decnncl 9811	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
97		5nn 9480	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
98	97	nnnn0i 9582	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
99		eqid 2238	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
100	98	dec0h 9814	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
101		9t2e18 9914	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
102		8p5e13 9875	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
103	7, 4, 98, 101, 88, 6, 102	decaddci 9853	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 5) = ;23
104	7, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103	decmac 9844	. . 3 ⊢ ((;19 · 2) + 5) = ;43
105		5lt10 9927	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
106	21, 80, 98, 105	declti 9830	. . 3 ⊢ 5 < ;19
107	96, 32, 97, 104, 106	ndvdsi 12725	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;43
108	32, 2	decnncl 9811	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
109		2nn 9477	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
110	109	decnncl2 9816	. . 3 ⊢ ;20 ∈ ℕ
111	108	nncni 9323	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
112	111	mulridi 8334	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
113		eqid 2238	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
114	32, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58	decadd 9846	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;20) = ;43
115		3pos 9407	. . . 4 ⊢ 0 < 3
116	32, 22, 2, 115	declt 9820	. . 3 ⊢ ;20 < ;23
117	108, 7, 110, 114, 116	ndvdsi 12725	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;43
118	3, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117	prmlem2 13263	1 ⊢ ;43 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088  0cc0 8185  1c1 8186   + caddc 8188   · cmul 8190  2c2 9364  3c3 9365  4c4 9366  5c5 9367  6c6 9368  7c7 9369  8c8 9370  9c9 9371  ;cdc 9788  ℙcprime 12910

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-en 7027  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-dec 9789  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-fl 10722  df-mod 10781  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-dvds 12580  df-prm 12911

This theorem is used by:  bpos1  16310