Theorem cnncvs 24313

Description: The module of complex numbers (as a module over itself) is a normed subcomplex vector space. The vector operation is +, the scalar product is ·, and the norm is abs (see cnnm 24314) . (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Dec-2006.) (Revised by AV, 9-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnrnvc.c	⊢ 𝐶 = (ringLMod‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnncvs	⊢ 𝐶 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec)

Proof of Theorem cnncvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnrnvc.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (ringLMod‘ℂfld)
2	1	cnrnvc 24312	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ NrmVec
3	1	cncvs 24298	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℂVec
4	2, 3	elini 4132	1 ⊢ 𝐶 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ∩ cin 3891  ‘cfv 6431  ringLModcrglmod 20421  ℂ_fldccnfld 20587  NrmVeccnvc 23727  ℂVecccvs 24276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941  ax-pre-sup 10942  ax-addf 10943  ax-mulf 10944

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7702  df-1st 7818  df-2nd 7819  df-tpos 8027  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-1o 8282  df-er 8473  df-map 8592  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-fin 8712  df-sup 9171  df-inf 9172  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-div 11625  df-nn 11966  df-2 12028  df-3 12029  df-4 12030  df-5 12031  df-6 12032  df-7 12033  df-8 12034  df-9 12035  df-n0 12226  df-z 12312  df-dec 12429  df-uz 12574  df-q 12680  df-rp 12722  df-xneg 12839  df-xadd 12840  df-xmul 12841  df-ico 13076  df-fz 13231  df-seq 13712  df-exp 13773  df-cj 14800  df-re 14801  df-im 14802  df-sqrt 14936  df-abs 14937  df-struct 16838  df-sets 16855  df-slot 16873  df-ndx 16885  df-base 16903  df-ress 16932  df-plusg 16965  df-mulr 16966  df-starv 16967  df-sca 16968  df-vsca 16969  df-ip 16970  df-tset 16971  df-ple 16972  df-ds 16974  df-unif 16975  df-rest 17123  df-topn 17124  df-0g 17142  df-topgen 17144  df-mgm 18316  df-sgrp 18365  df-mnd 18376  df-grp 18570  df-minusg 18571  df-sbg 18572  df-subg 18742  df-cmn 19378  df-mgp 19711  df-ur 19728  df-ring 19775  df-cring 19776  df-oppr 19852  df-dvdsr 19873  df-unit 19874  df-invr 19904  df-dvr 19915  df-drng 19983  df-subrg 20012  df-abv 20067  df-lmod 20115  df-lvec 20355  df-sra 20424  df-rgmod 20425  df-psmet 20579  df-xmet 20580  df-met 20581  df-bl 20582  df-mopn 20583  df-cnfld 20588  df-top 22033  df-topon 22050  df-topsp 22072  df-bases 22086  df-xms 23463  df-ms 23464  df-nm 23728  df-ngp 23729  df-nrg 23731  df-nlm 23732  df-nvc 23733  df-clm 24216  df-cvs 24277

This theorem is referenced by: (None)