Theorem cnncvs 24600

Description: The module of complex numbers (as a module over itself) is a normed subcomplex vector space. The vector operation is +, the scalar product is ·, and the norm is abs (see cnnm 24601) . (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Dec-2006.) (Revised by AV, 9-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnrnvc.c	⊢ 𝐶 = (ringLMod‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnncvs	⊢ 𝐶 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec)

Proof of Theorem cnncvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnrnvc.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (ringLMod‘ℂfld)
2	1	cnrnvc 24599	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ NrmVec
3	1	cncvs 24585	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℂVec
4	2, 3	elini 4186	1 ⊢ 𝐶 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3940  ‘cfv 6529  ringLModcrglmod 20726  ℂ_fldccnfld 20873  NrmVeccnvc 24014  ℂVecccvs 24563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705  ax-cnex 11145  ax-resscn 11146  ax-1cn 11147  ax-icn 11148  ax-addcl 11149  ax-addrcl 11150  ax-mulcl 11151  ax-mulrcl 11152  ax-mulcom 11153  ax-addass 11154  ax-mulass 11155  ax-distr 11156  ax-i2m1 11157  ax-1ne0 11158  ax-1rid 11159  ax-rnegex 11160  ax-rrecex 11161  ax-cnre 11162  ax-pre-lttri 11163  ax-pre-lttrn 11164  ax-pre-ltadd 11165  ax-pre-mulgt0 11166  ax-pre-sup 11167  ax-addf 11168  ax-mulf 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-tp 4624  df-op 4626  df-uni 4899  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6286  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-f1 6534  df-fo 6535  df-f1o 6536  df-fv 6537  df-riota 7346  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7836  df-1st 7954  df-2nd 7955  df-tpos 8190  df-frecs 8245  df-wrecs 8276  df-recs 8350  df-rdg 8389  df-1o 8445  df-er 8683  df-map 8802  df-en 8920  df-dom 8921  df-sdom 8922  df-fin 8923  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11425  df-neg 11426  df-div 11851  df-nn 12192  df-2 12254  df-3 12255  df-4 12256  df-5 12257  df-6 12258  df-7 12259  df-8 12260  df-9 12261  df-n0 12452  df-z 12538  df-dec 12657  df-uz 12802  df-q 12912  df-rp 12954  df-xneg 13071  df-xadd 13072  df-xmul 13073  df-ico 13309  df-fz 13464  df-seq 13946  df-exp 14007  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-sqrt 15161  df-abs 15162  df-struct 17059  df-sets 17076  df-slot 17094  df-ndx 17106  df-base 17124  df-ress 17153  df-plusg 17189  df-mulr 17190  df-starv 17191  df-sca 17192  df-vsca 17193  df-ip 17194  df-tset 17195  df-ple 17196  df-ds 17198  df-unif 17199  df-rest 17347  df-topn 17348  df-0g 17366  df-topgen 17368  df-mgm 18540  df-sgrp 18589  df-mnd 18600  df-grp 18794  df-minusg 18795  df-sbg 18796  df-subg 18972  df-cmn 19611  df-mgp 19944  df-ur 19961  df-ring 20013  df-cring 20014  df-oppr 20099  df-dvdsr 20120  df-unit 20121  df-invr 20151  df-dvr 20162  df-drng 20264  df-subrg 20305  df-abv 20369  df-lmod 20417  df-lvec 20658  df-sra 20729  df-rgmod 20730  df-psmet 20865  df-xmet 20866  df-met 20867  df-bl 20868  df-mopn 20869  df-cnfld 20874  df-top 22320  df-topon 22337  df-topsp 22359  df-bases 22373  df-xms 23750  df-ms 23751  df-nm 24015  df-ngp 24016  df-nrg 24018  df-nlm 24019  df-nvc 24020  df-clm 24503  df-cvs 24564

This theorem is referenced by: (None)