Theorem cnncvs 25098

Description: The module of complex numbers (as a module over itself) is a normed subcomplex vector space. The vector operation is +, the scalar product is ·, and the norm is abs (see cnnm 25099) . (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Dec-2006.) (Revised by AV, 9-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnrnvc.c	⊢ 𝐶 = (ringLMod‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnncvs	⊢ 𝐶 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec)

Proof of Theorem cnncvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnrnvc.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (ringLMod‘ℂfld)
2	1	cnrnvc 25097	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ NrmVec
3	1	cncvs 25083	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℂVec
4	2, 3	elini 4172	1 ⊢ 𝐶 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec)

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3923  ‘cfv 6528  ringLModcrglmod 21117  ℂ_fldccnfld 21302  NrmVeccnvc 24507  ℂVecccvs 25061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5247  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724  ax-cnex 11178  ax-resscn 11179  ax-1cn 11180  ax-icn 11181  ax-addcl 11182  ax-addrcl 11183  ax-mulcl 11184  ax-mulrcl 11185  ax-mulcom 11186  ax-addass 11187  ax-mulass 11188  ax-distr 11189  ax-i2m1 11190  ax-1ne0 11191  ax-1rid 11192  ax-rnegex 11193  ax-rrecex 11194  ax-cnre 11195  ax-pre-lttri 11196  ax-pre-lttrn 11197  ax-pre-ltadd 11198  ax-pre-mulgt0 11199  ax-pre-sup 11200  ax-addf 11201  ax-mulf 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-uni 4882  df-iun 4967  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-tr 5228  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6288  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7857  df-1st 7983  df-2nd 7984  df-tpos 8220  df-frecs 8275  df-wrecs 8306  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8475  df-er 8714  df-map 8837  df-en 8955  df-dom 8956  df-sdom 8957  df-fin 8958  df-sup 9449  df-inf 9450  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11888  df-nn 12234  df-2 12296  df-3 12297  df-4 12298  df-5 12299  df-6 12300  df-7 12301  df-8 12302  df-9 12303  df-n0 12495  df-z 12582  df-dec 12702  df-uz 12846  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13121  df-xadd 13122  df-xmul 13123  df-ico 13360  df-fz 13515  df-seq 14010  df-exp 14070  df-cj 15107  df-re 15108  df-im 15109  df-sqrt 15243  df-abs 15244  df-struct 17153  df-sets 17170  df-slot 17188  df-ndx 17200  df-base 17216  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-starv 17273  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-ip 17276  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ds 17280  df-unif 17281  df-rest 17423  df-topn 17424  df-0g 17442  df-topgen 17444  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-subg 19093  df-cmn 19750  df-abl 19751  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20284  df-dvdsr 20304  df-unit 20305  df-invr 20335  df-dvr 20348  df-subrng 20493  df-subrg 20517  df-drng 20678  df-abv 20756  df-lmod 20806  df-lvec 21048  df-sra 21118  df-rgmod 21119  df-psmet 21294  df-xmet 21295  df-met 21296  df-bl 21297  df-mopn 21298  df-cnfld 21303  df-top 22819  df-topon 22836  df-topsp 22858  df-bases 22871  df-xms 24246  df-ms 24247  df-nm 24508  df-ngp 24509  df-nrg 24511  df-nlm 24512  df-nvc 24513  df-clm 25001  df-cvs 25062

This theorem is referenced by: (None)