Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1lt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1lt 24687
 Description: If the degree of a univariate polynomial is less than some index, then that coefficient must be zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1leb.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1leb.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1leb.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1leb.y 0 = (0g𝑅)
deg1leb.a 𝐴 = (coe1𝐹)
Assertion
Ref Expression
deg1lt ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → (𝐴𝐺) = 0 )

Proof of Theorem deg1lt
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1135 . 2 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → (𝐷𝐹) < 𝐺)
2 breq2 5051 . . . 4 (𝑥 = 𝐺 → ((𝐷𝐹) < 𝑥 ↔ (𝐷𝐹) < 𝐺))
3 fveqeq2 6660 . . . 4 (𝑥 = 𝐺 → ((𝐴𝑥) = 0 ↔ (𝐴𝐺) = 0 ))
42, 3imbi12d 348 . . 3 (𝑥 = 𝐺 → (((𝐷𝐹) < 𝑥 → (𝐴𝑥) = 0 ) ↔ ((𝐷𝐹) < 𝐺 → (𝐴𝐺) = 0 )))
5 deg1leb.d . . . . . . 7 𝐷 = ( deg1𝑅)
6 deg1leb.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
7 deg1leb.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
85, 6, 7deg1xrcl 24672 . . . . . 6 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
983ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
109xrleidd 12531 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → (𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐹))
11 simp1 1133 . . . . 5 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → 𝐹𝐵)
12 deg1leb.y . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
13 deg1leb.a . . . . . 6 𝐴 = (coe1𝐹)
145, 6, 7, 12, 13deg1leb 24685 . . . . 5 ((𝐹𝐵 ∧ (𝐷𝐹) ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝐷𝐹) < 𝑥 → (𝐴𝑥) = 0 )))
1511, 8, 14syl2anc2 588 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → ((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝐷𝐹) < 𝑥 → (𝐴𝑥) = 0 )))
1610, 15mpbid 235 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝐷𝐹) < 𝑥 → (𝐴𝑥) = 0 ))
17 simp2 1134 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → 𝐺 ∈ ℕ0)
184, 16, 17rspcdva 3610 . 2 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → ((𝐷𝐹) < 𝐺 → (𝐴𝐺) = 0 ))
191, 18mpd 15 1 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → (𝐴𝐺) = 0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3132   class class class wbr 5047  ‘cfv 6336  ℝ*cxr 10659   < clt 10660   ≤ cle 10661  ℕ0cn0 11883  Basecbs 16472  0gc0g 16702  Poly1cpl1 20331  coe1cco1 20332   deg1 cdg1 24644 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600  ax-addf 10601  ax-mulf 10602 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-se 5496  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-of 7392  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-7 11691  df-8 11692  df-9 11693  df-n0 11884  df-z 11968  df-dec 12085  df-uz 12230  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-hash 13685  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-starv 16569  df-sca 16570  df-vsca 16571  df-tset 16573  df-ple 16574  df-ds 16576  df-unif 16577  df-0g 16704  df-gsum 16705  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17946  df-grp 18095  df-minusg 18096  df-mulg 18214  df-cntz 18436  df-cmn 18897  df-abl 18898  df-mgp 19229  df-ur 19241  df-ring 19288  df-cring 19289  df-psr 20122  df-mpl 20124  df-opsr 20126  df-psr1 20334  df-ply1 20336  df-coe1 20337  df-cnfld 20532  df-mdeg 24645  df-deg1 24646 This theorem is referenced by:  deg1ge  24688  coe1mul3  24689  deg1add  24693
 Copyright terms: Public domain W3C validator