Theorem deg1lt 26159

Description: If the degree of a univariate polynomial is less than some index, then that coefficient must be zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1leb.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1leb.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1leb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1leb.y	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
deg1leb.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
deg1lt	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝐺) → (𝐴‘𝐺) = 0 )

Proof of Theorem deg1lt

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1152	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝐺) → (𝐷‘𝐹) < 𝐺)
2		breq2 5106	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐺 → ((𝐷‘𝐹) < 𝑥 ↔ (𝐷‘𝐹) < 𝐺))
3		fveqeq2 6878	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐺 → ((𝐴‘𝑥) = 0 ↔ (𝐴‘𝐺) = 0 ))
4	2, 3	imbi12d 346	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐺 → (((𝐷‘𝐹) < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 ) ↔ ((𝐷‘𝐹) < 𝐺 → (𝐴‘𝐺) = 0 )))
5		deg1leb.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
6		deg1leb.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
7		deg1leb.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
8	5, 6, 7	deg1xrcl 26144	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
9	8	3ad2ant1 1147	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝐺) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
10	9	xrleidd 13156	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝐺) → (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐹))
11		simp1 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝐺) → 𝐹 ∈ 𝐵)
12		deg1leb.y	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13		deg1leb.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
14	5, 6, 7, 12, 13	deg1leb 26157	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝐷‘𝐹) < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 )))
15	11, 8, 14	syl2anc2 594	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝐺) → ((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝐷‘𝐹) < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 )))
16	10, 15	mpbid 234	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝐺) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝐷‘𝐹) < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 ))
17		simp2 1151	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝐺) → 𝐺 ∈ ℕ0)
18	4, 16, 17	rspcdva 3584	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝐺) → ((𝐷‘𝐹) < 𝐺 → (𝐴‘𝐺) = 0 ))
19	1, 18	mpd 15	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝐺) → (𝐴‘𝐺) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ∀wral 3078   class class class wbr 5102  ‘cfv 6523  ℝ^*cxr 11217   < clt 11218   ≤ cle 11219  ℕ₀cn0 12483  Basecbs 17247  0_gc0g 17470  Poly₁cpl1 22241  coe₁cco1 22242  deg₁cdg1 26116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-of 7662  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8143  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-seq 14017  df-hash 14346  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-starv 17303  df-sca 17304  df-vsca 17305  df-tset 17307  df-ple 17308  df-ds 17310  df-unif 17311  df-0g 17472  df-gsum 17473  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-submnd 18820  df-grp 18980  df-minusg 18981  df-mulg 19112  df-cntz 19359  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20189  df-ur 20234  df-ring 20287  df-cring 20288  df-cnfld 21427  df-psr 21963  df-mpl 21965  df-opsr 21967  df-psr1 22244  df-ply1 22246  df-coe1 22247  df-mdeg 26117  df-deg1 26118

This theorem is referenced by:  deg1ge  26160  coe1mul3  26161  deg1add  26165  evl1deg1  33774  evl1deg2  33775  evl1deg3  33776  ply1coedeg  33787  ply1degltdimlem  33921