MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1lt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1lt 24294
Description: If the degree of a univariate polynomial is less than some index, then that coefficient must be zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1leb.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1leb.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1leb.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1leb.y 0 = (0g𝑅)
deg1leb.a 𝐴 = (coe1𝐹)
Assertion
Ref Expression
deg1lt ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → (𝐴𝐺) = 0 )

Proof of Theorem deg1lt
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1129 . 2 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → (𝐷𝐹) < 𝐺)
2 breq2 4890 . . . 4 (𝑥 = 𝐺 → ((𝐷𝐹) < 𝑥 ↔ (𝐷𝐹) < 𝐺))
3 fveqeq2 6455 . . . 4 (𝑥 = 𝐺 → ((𝐴𝑥) = 0 ↔ (𝐴𝐺) = 0 ))
42, 3imbi12d 336 . . 3 (𝑥 = 𝐺 → (((𝐷𝐹) < 𝑥 → (𝐴𝑥) = 0 ) ↔ ((𝐷𝐹) < 𝐺 → (𝐴𝐺) = 0 )))
5 deg1leb.d . . . . . . 7 𝐷 = ( deg1𝑅)
6 deg1leb.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
7 deg1leb.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
85, 6, 7deg1xrcl 24279 . . . . . 6 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
983ad2ant1 1124 . . . . 5 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
109xrleidd 12295 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → (𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐹))
11 simp1 1127 . . . . 5 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → 𝐹𝐵)
12 deg1leb.y . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
13 deg1leb.a . . . . . 6 𝐴 = (coe1𝐹)
145, 6, 7, 12, 13deg1leb 24292 . . . . 5 ((𝐹𝐵 ∧ (𝐷𝐹) ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝐷𝐹) < 𝑥 → (𝐴𝑥) = 0 )))
1511, 9, 14syl2anc 579 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → ((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝐷𝐹) < 𝑥 → (𝐴𝑥) = 0 )))
1610, 15mpbid 224 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝐷𝐹) < 𝑥 → (𝐴𝑥) = 0 ))
17 simp2 1128 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → 𝐺 ∈ ℕ0)
184, 16, 17rspcdva 3517 . 2 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → ((𝐷𝐹) < 𝐺 → (𝐴𝐺) = 0 ))
191, 18mpd 15 1 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → (𝐴𝐺) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wral 3090   class class class wbr 4886  cfv 6135  *cxr 10410   < clt 10411  cle 10412  0cn0 11642  Basecbs 16255  0gc0g 16486  Poly1cpl1 19943  coe1cco1 19944   deg1 cdg1 24251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-sup 8636  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-hash 13436  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-cring 18937  df-psr 19753  df-mpl 19755  df-opsr 19757  df-psr1 19946  df-ply1 19948  df-coe1 19949  df-cnfld 20143  df-mdeg 24252  df-deg1 24253
This theorem is referenced by:  deg1ge  24295  coe1mul3  24296  deg1add  24300
  Copyright terms: Public domain W3C validator