Theorem deg1lt 26362

Description: If the degree of a univariate polynomial is less than some index, then that coefficient must be zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1leb.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1leb.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1leb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1leb.y	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
deg1leb.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
deg1lt	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝐺) → (𝐴‘𝐺) = 0 )

Proof of Theorem deg1lt

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1156	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝐺) → (𝐷‘𝐹) < 𝐺)
2		breq2 5107	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐺 → ((𝐷‘𝐹) < 𝑥 ↔ (𝐷‘𝐹) < 𝐺))
3		fveqeq2 6883	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐺 → ((𝐴‘𝑥) = 0 ↔ (𝐴‘𝐺) = 0 ))
4	2, 3	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐺 → (((𝐷‘𝐹) < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 ) ↔ ((𝐷‘𝐹) < 𝐺 → (𝐴‘𝐺) = 0 )))
5		deg1leb.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
6		deg1leb.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
7		deg1leb.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
8	5, 6, 7	deg1xrcl 26347	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
9	8	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝐺) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
10	9	xrleidd 13236	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝐺) → (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐹))
11		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝐺) → 𝐹 ∈ 𝐵)
12		deg1leb.y	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13		deg1leb.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
14	5, 6, 7, 12, 13	deg1leb 26360	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝐷‘𝐹) < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 )))
15	11, 8, 14	syl2anc2 597	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝐺) → ((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝐷‘𝐹) < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 )))
16	10, 15	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝐺) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝐷‘𝐹) < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 ))
17		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝐺) → 𝐺 ∈ ℕ0)
18	4, 16, 17	rspcdva 3577	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝐺) → ((𝐷‘𝐹) < 𝐺 → (𝐴‘𝐺) = 0 ))
19	1, 18	mpd 16	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝐺) → (𝐴‘𝐺) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   class class class wbr 5103  ‘cfv 6528  ℝ^*cxr 11299   < clt 11300   ≤ cle 11301  ℕ₀cn0 12561  Basecbs 17334  0_gc0g 17557  Poly₁cpl1 22442  coe₁cco1 22443  deg₁cdg1 26319

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235  ax-addf 11236

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7677  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-z 12649  df-dec 12770  df-uz 12921  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-seq 14099  df-hash 14428  df-struct 17272  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-starv 17390  df-sca 17391  df-vsca 17392  df-tset 17394  df-ple 17395  df-ds 17397  df-unif 17398  df-0g 17559  df-gsum 17560  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-submnd 18926  df-grp 19094  df-minusg 19095  df-mulg 19225  df-cntz 19478  df-cmn 19943  df-abl 19944  df-mgp 20308  df-ur 20355  df-ring 20408  df-cring 20409  df-cnfld 21626  df-psr 22164  df-mpl 22166  df-opsr 22168  df-psr1 22445  df-ply1 22447  df-coe1 22448  df-mdeg 26320  df-deg1 26321

This theorem is used by:  deg1ge  26363  coe1mul3  26364  deg1add  26368  evl1deg1  34027  evl1deg2  34028  evl1deg3  34029  ply1coedeg  34040  ply1degltdimlem  34173