Theorem deg1lt 26084

Description: If the degree of a univariate polynomial is less than some index, then that coefficient must be zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1leb.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1leb.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1leb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1leb.y	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
deg1leb.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
deg1lt	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝐺) → (𝐴‘𝐺) = 0 )

Proof of Theorem deg1lt

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1145	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝐺) → (𝐷‘𝐹) < 𝐺)
2		breq2 5079	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐺 → ((𝐷‘𝐹) < 𝑥 ↔ (𝐷‘𝐹) < 𝐺))
3		fveqeq2 6840	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐺 → ((𝐴‘𝑥) = 0 ↔ (𝐴‘𝐺) = 0 ))
4	2, 3	imbi12d 346	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐺 → (((𝐷‘𝐹) < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 ) ↔ ((𝐷‘𝐹) < 𝐺 → (𝐴‘𝐺) = 0 )))
5		deg1leb.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
6		deg1leb.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
7		deg1leb.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
8	5, 6, 7	deg1xrcl 26069	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
9	8	3ad2ant1 1140	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝐺) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
10	9	xrleidd 13098	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝐺) → (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐹))
11		simp1 1143	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝐺) → 𝐹 ∈ 𝐵)
12		deg1leb.y	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13		deg1leb.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
14	5, 6, 7, 12, 13	deg1leb 26082	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝐷‘𝐹) < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 )))
15	11, 8, 14	syl2anc2 592	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝐺) → ((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝐷‘𝐹) < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 )))
16	10, 15	mpbid 234	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝐺) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝐷‘𝐹) < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 ))
17		simp2 1144	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝐺) → 𝐺 ∈ ℕ0)
18	4, 16, 17	rspcdva 3563	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝐺) → ((𝐷‘𝐹) < 𝐺 → (𝐴‘𝐺) = 0 ))
19	1, 18	mpd 15	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝐺) → (𝐴‘𝐺) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  ℝ^*cxr 11173   < clt 11174   ≤ cle 11175  ℕ₀cn0 12432  Basecbs 17174  0_gc0g 17397  Poly₁cpl1 22166  coe₁cco1 22167  deg₁cdg1 26041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-mulg 19039  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-ur 20158  df-ring 20211  df-cring 20212  df-cnfld 21352  df-psr 21888  df-mpl 21890  df-opsr 21892  df-psr1 22169  df-ply1 22171  df-coe1 22172  df-mdeg 26042  df-deg1 26043

This theorem is referenced by:  deg1ge  26085  coe1mul3  26086  deg1add  26090  evl1deg1  33671  evl1deg2  33672  evl1deg3  33673  ply1coedeg  33684  ply1degltdimlem  33818