MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1lt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1lt 26094
Description: If the degree of a univariate polynomial is less than some index, then that coefficient must be zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1leb.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1leb.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1leb.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1leb.y 0 = (0g𝑅)
deg1leb.a 𝐴 = (coe1𝐹)
Assertion
Ref Expression
deg1lt ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → (𝐴𝐺) = 0 )

Proof of Theorem deg1lt
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1135 . 2 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → (𝐷𝐹) < 𝐺)
2 breq2 5153 . . . 4 (𝑥 = 𝐺 → ((𝐷𝐹) < 𝑥 ↔ (𝐷𝐹) < 𝐺))
3 fveqeq2 6905 . . . 4 (𝑥 = 𝐺 → ((𝐴𝑥) = 0 ↔ (𝐴𝐺) = 0 ))
42, 3imbi12d 343 . . 3 (𝑥 = 𝐺 → (((𝐷𝐹) < 𝑥 → (𝐴𝑥) = 0 ) ↔ ((𝐷𝐹) < 𝐺 → (𝐴𝐺) = 0 )))
5 deg1leb.d . . . . . . 7 𝐷 = ( deg1𝑅)
6 deg1leb.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
7 deg1leb.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
85, 6, 7deg1xrcl 26079 . . . . . 6 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
983ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
109xrleidd 13171 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → (𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐹))
11 simp1 1133 . . . . 5 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → 𝐹𝐵)
12 deg1leb.y . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
13 deg1leb.a . . . . . 6 𝐴 = (coe1𝐹)
145, 6, 7, 12, 13deg1leb 26092 . . . . 5 ((𝐹𝐵 ∧ (𝐷𝐹) ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝐷𝐹) < 𝑥 → (𝐴𝑥) = 0 )))
1511, 8, 14syl2anc2 583 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → ((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝐷𝐹) < 𝑥 → (𝐴𝑥) = 0 )))
1610, 15mpbid 231 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝐷𝐹) < 𝑥 → (𝐴𝑥) = 0 ))
17 simp2 1134 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → 𝐺 ∈ ℕ0)
184, 16, 17rspcdva 3607 . 2 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → ((𝐷𝐹) < 𝐺 → (𝐴𝐺) = 0 ))
191, 18mpd 15 1 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → (𝐴𝐺) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050   class class class wbr 5149  cfv 6549  *cxr 11284   < clt 11285  cle 11286  0cn0 12510  Basecbs 17199  0gc0g 17440  Poly1cpl1 22136  coe1cco1 22137   deg1 cdg1 26048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223  ax-addf 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9393  df-sup 9472  df-oi 9540  df-card 9969  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14008  df-hash 14334  df-struct 17135  df-sets 17152  df-slot 17170  df-ndx 17182  df-base 17200  df-ress 17229  df-plusg 17265  df-mulr 17266  df-starv 17267  df-sca 17268  df-vsca 17269  df-tset 17271  df-ple 17272  df-ds 17274  df-unif 17275  df-0g 17442  df-gsum 17443  df-mgm 18619  df-sgrp 18698  df-mnd 18714  df-submnd 18760  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-mulg 19048  df-cntz 19297  df-cmn 19766  df-abl 19767  df-mgp 20104  df-ur 20151  df-ring 20204  df-cring 20205  df-cnfld 21314  df-psr 21876  df-mpl 21878  df-opsr 21880  df-psr1 22139  df-ply1 22141  df-coe1 22142  df-mdeg 26049  df-deg1 26050
This theorem is referenced by:  deg1ge  26095  coe1mul3  26096  deg1add  26100  evl1deg1  33405  evl1deg3  33406  ply1degltdimlem  33470
  Copyright terms: Public domain W3C validator