MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1lt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1lt 25272
Description: If the degree of a univariate polynomial is less than some index, then that coefficient must be zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1leb.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1leb.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1leb.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1leb.y 0 = (0g𝑅)
deg1leb.a 𝐴 = (coe1𝐹)
Assertion
Ref Expression
deg1lt ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → (𝐴𝐺) = 0 )

Proof of Theorem deg1lt
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1137 . 2 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → (𝐷𝐹) < 𝐺)
2 breq2 5077 . . . 4 (𝑥 = 𝐺 → ((𝐷𝐹) < 𝑥 ↔ (𝐷𝐹) < 𝐺))
3 fveqeq2 6775 . . . 4 (𝑥 = 𝐺 → ((𝐴𝑥) = 0 ↔ (𝐴𝐺) = 0 ))
42, 3imbi12d 345 . . 3 (𝑥 = 𝐺 → (((𝐷𝐹) < 𝑥 → (𝐴𝑥) = 0 ) ↔ ((𝐷𝐹) < 𝐺 → (𝐴𝐺) = 0 )))
5 deg1leb.d . . . . . . 7 𝐷 = ( deg1𝑅)
6 deg1leb.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
7 deg1leb.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
85, 6, 7deg1xrcl 25257 . . . . . 6 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
983ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
109xrleidd 12896 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → (𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐹))
11 simp1 1135 . . . . 5 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → 𝐹𝐵)
12 deg1leb.y . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
13 deg1leb.a . . . . . 6 𝐴 = (coe1𝐹)
145, 6, 7, 12, 13deg1leb 25270 . . . . 5 ((𝐹𝐵 ∧ (𝐷𝐹) ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝐷𝐹) < 𝑥 → (𝐴𝑥) = 0 )))
1511, 8, 14syl2anc2 585 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → ((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝐷𝐹) < 𝑥 → (𝐴𝑥) = 0 )))
1610, 15mpbid 231 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝐷𝐹) < 𝑥 → (𝐴𝑥) = 0 ))
17 simp2 1136 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → 𝐺 ∈ ℕ0)
184, 16, 17rspcdva 3561 . 2 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → ((𝐷𝐹) < 𝐺 → (𝐴𝐺) = 0 ))
191, 18mpd 15 1 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐹) < 𝐺) → (𝐴𝐺) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064   class class class wbr 5073  cfv 6426  *cxr 11018   < clt 11019  cle 11020  0cn0 12243  Basecbs 16922  0gc0g 17160  Poly1cpl1 21358  coe1cco1 21359   deg1 cdg1 25226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-pre-sup 10959  ax-addf 10960  ax-mulf 10961
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-se 5540  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-isom 6435  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-of 7523  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-supp 7965  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-er 8485  df-map 8604  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-fsupp 9116  df-sup 9188  df-oi 9256  df-card 9707  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-7 12051  df-8 12052  df-9 12053  df-n0 12244  df-z 12330  df-dec 12448  df-uz 12593  df-fz 13250  df-fzo 13393  df-seq 13732  df-hash 14055  df-struct 16858  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-ress 16952  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-starv 16987  df-sca 16988  df-vsca 16989  df-tset 16991  df-ple 16992  df-ds 16994  df-unif 16995  df-0g 17162  df-gsum 17163  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-submnd 18441  df-grp 18590  df-minusg 18591  df-mulg 18711  df-cntz 18933  df-cmn 19398  df-abl 19399  df-mgp 19731  df-ur 19748  df-ring 19795  df-cring 19796  df-cnfld 20608  df-psr 21122  df-mpl 21124  df-opsr 21126  df-psr1 21361  df-ply1 21363  df-coe1 21364  df-mdeg 25227  df-deg1 25228
This theorem is referenced by:  deg1ge  25273  coe1mul3  25274  deg1add  25278
  Copyright terms: Public domain W3C validator