Theorem mat2pmat1 23062

Description: The transformation of the identity matrix results in the identity polynomial matrix. (Contributed by AV, 29-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat2pmatbas.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatbas.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat2pmatbas.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
mat2pmatbas.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mat2pmatbas0.h	⊢ 𝐻 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mat2pmat1	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝐶))

Proof of Theorem mat2pmat1

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
2		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
3		mat2pmatbas.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4	3	matring 22770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
5		mat2pmatbas.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
6		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
7	5, 6	ringidcl 20506	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
8	4, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
9	1, 2, 8	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵))
10		mat2pmatbas.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
11		mat2pmatbas.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
12		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
13	10, 3, 5, 11, 12	mat2pmatvalel 23055	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑇‘(1r‘𝐴))𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(1r‘𝐴)𝑗)))
14	9, 13	sylan 592	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑇‘(1r‘𝐴))𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(1r‘𝐴)𝑗)))
15		fvif 6909	. . . . . 6 ⊢ ((algSc‘𝑃)‘if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))
16		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
17		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
18	11, 12, 16, 17	ply1scl1 22623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
19	18	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
20		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
21		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
22	11, 12, 20, 21	ply1scl0 22621	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
23	22	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
24	19, 23	ifeq12d 4506	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)))
25	15, 24	eqtrid 2810	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((algSc‘𝑃)‘if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)))
26	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
27	2	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
28		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
29	28	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
30		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
31	30	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
32	3, 16, 20, 26, 27, 29, 31, 6	mat1ov 22775	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(1r‘𝐴)𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
33	32	fveq2d 6897	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(1r‘𝐴)𝑗)) = ((algSc‘𝑃)‘if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
34		mat2pmatbas.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
35	11	ply1ring 22577	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
36	35	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑃 ∈ Ring)
37		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝐶) = (1r‘𝐶)
38	34, 17, 21, 26, 36, 29, 31, 37	mat1ov 22775	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(1r‘𝐶)𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)))
39	25, 33, 38	3eqtr4d 2808	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(1r‘𝐴)𝑗)) = (𝑖(1r‘𝐶)𝑗))
40	14, 39	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑇‘(1r‘𝐴))𝑗) = (𝑖(1r‘𝐶)𝑗))
41	40	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑇‘(1r‘𝐴))𝑗) = (𝑖(1r‘𝐶)𝑗))
42		mat2pmatbas0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Base‘𝐶)
43	10, 3, 5, 11, 34, 42	mat2pmatbas0 23057	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐻)
44	9, 43	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐻)
45	11, 34	pmatring 23022	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
46	42, 37	ringidcl 20506	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Ring → (1r‘𝐶) ∈ 𝐻)
47	45, 46	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐶) ∈ 𝐻)
48	34, 42	eqmat 22751	. . 3 ⊢ (((𝑇‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐻 ∧ (1r‘𝐶) ∈ 𝐻) → ((𝑇‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝐶) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑇‘(1r‘𝐴))𝑗) = (𝑖(1r‘𝐶)𝑗)))
49	44, 47, 48	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑇‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝐶) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑇‘(1r‘𝐴))𝑗) = (𝑖(1r‘𝐶)𝑗)))
50	41, 49	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3079  ifcif 4484  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  Fincfn 8984  Basecbs 17399  0_gc0g 17622  1_rcur 20419  Ringcrg 20471  algSccascl 22172  Poly₁cpl1 22507   Mat cmat 22734   matToPolyMat cmat2pmat 23034

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-ot 4861  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-of 7700  df-ofr 7701  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-supp 8188  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8728  df-map 8860  df-pm 8861  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9365  df-sup 9444  df-oi 9514  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-seq 14155  df-hash 14485  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-sca 17456  df-vsca 17457  df-ip 17458  df-tset 17459  df-ple 17460  df-ds 17462  df-hom 17464  df-cco 17465  df-0g 17624  df-gsum 17625  df-prds 17630  df-pws 17632  df-mre 17768  df-mrc 17769  df-acs 17771  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-mhm 18990  df-submnd 18991  df-grp 19159  df-minusg 19160  df-sbg 19161  df-mulg 19290  df-subg 19345  df-ghm 19440  df-cntz 19543  df-cmn 20008  df-abl 20009  df-mgp 20373  df-rng 20387  df-ur 20420  df-ring 20473  df-subrng 20810  df-subrg 20834  df-lmod 21149  df-lss 21219  df-sra 21460  df-rgmod 21461  df-dsmm 22050  df-frlm 22065  df-ascl 22175  df-psr 22229  df-mpl 22231  df-opsr 22233  df-psr1 22510  df-ply1 22512  df-mamu 22718  df-mat 22735  df-mat2pmat 23037

This theorem is used by:  mat2pmatmhm  23063  idmatidpmat  23067