Theorem mat2pmat1 23050

Description: The transformation of the identity matrix results in the identity polynomial matrix. (Contributed by AV, 29-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat2pmatbas.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatbas.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat2pmatbas.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
mat2pmatbas.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mat2pmatbas0.h	⊢ 𝐻 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mat2pmat1	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝐶))

Proof of Theorem mat2pmat1

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
2		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
3		mat2pmatbas.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4	3	matring 22758	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
5		mat2pmatbas.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
6		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
7	5, 6	ringidcl 20494	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
8	4, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
9	1, 2, 8	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵))
10		mat2pmatbas.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
11		mat2pmatbas.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
12		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
13	10, 3, 5, 11, 12	mat2pmatvalel 23043	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑇‘(1r‘𝐴))𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(1r‘𝐴)𝑗)))
14	9, 13	sylan 592	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑇‘(1r‘𝐴))𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(1r‘𝐴)𝑗)))
15		fvif 6901	. . . . . 6 ⊢ ((algSc‘𝑃)‘if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))
16		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
17		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
18	11, 12, 16, 17	ply1scl1 22611	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
19	18	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
20		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
21		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
22	11, 12, 20, 21	ply1scl0 22609	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
23	22	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
24	19, 23	ifeq12d 4504	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)))
25	15, 24	eqtrid 2808	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((algSc‘𝑃)‘if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)))
26	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
27	2	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
28		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
29	28	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
30		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
31	30	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
32	3, 16, 20, 26, 27, 29, 31, 6	mat1ov 22763	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(1r‘𝐴)𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
33	32	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(1r‘𝐴)𝑗)) = ((algSc‘𝑃)‘if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
34		mat2pmatbas.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
35	11	ply1ring 22565	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
36	35	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑃 ∈ Ring)
37		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝐶) = (1r‘𝐶)
38	34, 17, 21, 26, 36, 29, 31, 37	mat1ov 22763	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(1r‘𝐶)𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)))
39	25, 33, 38	3eqtr4d 2806	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(1r‘𝐴)𝑗)) = (𝑖(1r‘𝐶)𝑗))
40	14, 39	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑇‘(1r‘𝐴))𝑗) = (𝑖(1r‘𝐶)𝑗))
41	40	ralrimivva 3206	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑇‘(1r‘𝐴))𝑗) = (𝑖(1r‘𝐶)𝑗))
42		mat2pmatbas0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Base‘𝐶)
43	10, 3, 5, 11, 34, 42	mat2pmatbas0 23045	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐻)
44	9, 43	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐻)
45	11, 34	pmatring 23010	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
46	42, 37	ringidcl 20494	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Ring → (1r‘𝐶) ∈ 𝐻)
47	45, 46	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐶) ∈ 𝐻)
48	34, 42	eqmat 22739	. . 3 ⊢ (((𝑇‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐻 ∧ (1r‘𝐶) ∈ 𝐻) → ((𝑇‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝐶) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑇‘(1r‘𝐴))𝑗) = (𝑖(1r‘𝐶)𝑗)))
49	44, 47, 48	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑇‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝐶) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑇‘(1r‘𝐴))𝑗) = (𝑖(1r‘𝐶)𝑗)))
50	41, 49	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ifcif 4482  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8973  Basecbs 17387  0_gc0g 17610  1_rcur 20407  Ringcrg 20459  algSccascl 22160  Poly₁cpl1 22495   Mat cmat 22722   matToPolyMat cmat2pmat 23022

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-dsmm 22038  df-frlm 22053  df-ascl 22163  df-psr 22217  df-mpl 22219  df-opsr 22221  df-psr1 22498  df-ply1 22500  df-mamu 22706  df-mat 22723  df-mat2pmat 23025

This theorem is used by:  mat2pmatmhm  23051  idmatidpmat  23055