Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat2pmat1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat2pmat1 21315
 Description: The transformation of the identity matrix results in the identity polynomial matrix. (Contributed by AV, 29-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat2pmatbas.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatbas.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatbas.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat2pmatbas.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
mat2pmatbas.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mat2pmatbas0.h 𝐻 = (Base‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
mat2pmat1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r𝐴)) = (1r𝐶))

Proof of Theorem mat2pmat1
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
2 simpr 488 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
3 mat2pmatbas.a . . . . . . . 8 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
43matring 21027 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
5 mat2pmatbas.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐴)
6 eqid 2821 . . . . . . . 8 (1r𝐴) = (1r𝐴)
75, 6ringidcl 19296 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Ring → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
84, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
91, 2, 83jca 1125 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝐴) ∈ 𝐵))
10 mat2pmatbas.t . . . . . 6 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
11 mat2pmatbas.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
12 eqid 2821 . . . . . 6 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
1310, 3, 5, 11, 12mat2pmatvalel 21308 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝐴) ∈ 𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑇‘(1r𝐴))𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(1r𝐴)𝑗)))
149, 13sylan 583 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑇‘(1r𝐴))𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(1r𝐴)𝑗)))
15 fvif 6659 . . . . . 6 ((algSc‘𝑃)‘if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑅), (0g𝑅))) = if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))
16 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (1r𝑅) = (1r𝑅)
17 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (1r𝑃) = (1r𝑃)
1811, 12, 16, 17ply1scl1 20435 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) = (1r𝑃))
1918ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) = (1r𝑃))
20 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
21 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (0g𝑃) = (0g𝑃)
2211, 12, 20, 21ply1scl0 20433 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)) = (0g𝑃))
2322ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)) = (0g𝑃))
2419, 23ifeq12d 4460 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))) = if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑃), (0g𝑃)))
2515, 24syl5eq 2868 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((algSc‘𝑃)‘if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑅), (0g𝑅))) = if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑃), (0g𝑃)))
261adantr 484 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
272adantr 484 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
28 simpl 486 . . . . . . . 8 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
2928adantl 485 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
30 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
3130adantl 485 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
323, 16, 20, 26, 27, 29, 31, 6mat1ov 21032 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(1r𝐴)𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑅), (0g𝑅)))
3332fveq2d 6647 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(1r𝐴)𝑗)) = ((algSc‘𝑃)‘if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑅), (0g𝑅))))
34 mat2pmatbas.c . . . . . 6 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
3511ply1ring 20391 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
3635ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑃 ∈ Ring)
37 eqid 2821 . . . . . 6 (1r𝐶) = (1r𝐶)
3834, 17, 21, 26, 36, 29, 31, 37mat1ov 21032 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(1r𝐶)𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑃), (0g𝑃)))
3925, 33, 383eqtr4d 2866 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(1r𝐴)𝑗)) = (𝑖(1r𝐶)𝑗))
4014, 39eqtrd 2856 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑇‘(1r𝐴))𝑗) = (𝑖(1r𝐶)𝑗))
4140ralrimivva 3179 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖(𝑇‘(1r𝐴))𝑗) = (𝑖(1r𝐶)𝑗))
42 mat2pmatbas0.h . . . . 5 𝐻 = (Base‘𝐶)
4310, 3, 5, 11, 34, 42mat2pmatbas0 21310 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝐴) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(1r𝐴)) ∈ 𝐻)
449, 43syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r𝐴)) ∈ 𝐻)
4511, 34pmatring 21276 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
4642, 37ringidcl 19296 . . . 4 (𝐶 ∈ Ring → (1r𝐶) ∈ 𝐻)
4745, 46syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐶) ∈ 𝐻)
4834, 42eqmat 21008 . . 3 (((𝑇‘(1r𝐴)) ∈ 𝐻 ∧ (1r𝐶) ∈ 𝐻) → ((𝑇‘(1r𝐴)) = (1r𝐶) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖(𝑇‘(1r𝐴))𝑗) = (𝑖(1r𝐶)𝑗)))
4944, 47, 48syl2anc 587 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑇‘(1r𝐴)) = (1r𝐶) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖(𝑇‘(1r𝐴))𝑗) = (𝑖(1r𝐶)𝑗)))
5041, 49mpbird 260 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r𝐴)) = (1r𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3126  ifcif 4440  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  Fincfn 8484  Basecbs 16461  0gc0g 16691  1rcur 19229  Ringcrg 19275  algSccascl 20059  Poly1cpl1 20320   Mat cmat 20991   matToPolyMat cmat2pmat 21287 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-ot 4549  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-ofr 7385  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-supp 7806  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-ixp 8437  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fsupp 8810  df-sup 8882  df-oi 8950  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-seq 13353  df-hash 13675  df-struct 16463  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-ress 16469  df-plusg 16556  df-mulr 16557  df-sca 16559  df-vsca 16560  df-ip 16561  df-tset 16562  df-ple 16563  df-ds 16565  df-hom 16567  df-cco 16568  df-0g 16693  df-gsum 16694  df-prds 16699  df-pws 16701  df-mre 16835  df-mrc 16836  df-acs 16838  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-mhm 17934  df-submnd 17935  df-grp 18084  df-minusg 18085  df-sbg 18086  df-mulg 18203  df-subg 18254  df-ghm 18334  df-cntz 18425  df-cmn 18886  df-abl 18887  df-mgp 19218  df-ur 19230  df-ring 19277  df-subrg 19508  df-lmod 19611  df-lss 19679  df-sra 19919  df-rgmod 19920  df-ascl 20062  df-psr 20111  df-mpl 20113  df-opsr 20115  df-psr1 20323  df-ply1 20325  df-dsmm 20851  df-frlm 20866  df-mamu 20970  df-mat 20992  df-mat2pmat 21290 This theorem is referenced by:  mat2pmatmhm  21316  idmatidpmat  21320
 Copyright terms: Public domain W3C validator