Theorem mat2pmat1 22889

Description: The transformation of the identity matrix results in the identity polynomial matrix. (Contributed by AV, 29-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat2pmatbas.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatbas.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat2pmatbas.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
mat2pmatbas.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mat2pmatbas0.h	⊢ 𝐻 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mat2pmat1	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝐶))

Proof of Theorem mat2pmat1

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
2		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
3		mat2pmatbas.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4	3	matring 22600	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
5		mat2pmatbas.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
6		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
7	5, 6	ringidcl 20344	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
8	4, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
9	1, 2, 8	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵))
10		mat2pmatbas.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
11		mat2pmatbas.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
12		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
13	10, 3, 5, 11, 12	mat2pmatvalel 22882	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑇‘(1r‘𝐴))𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(1r‘𝐴)𝑗)))
14	9, 13	sylan 591	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑇‘(1r‘𝐴))𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(1r‘𝐴)𝑗)))
15		fvif 6897	. . . . . 6 ⊢ ((algSc‘𝑃)‘if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))
16		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
17		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
18	11, 12, 16, 17	ply1scl1 22453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
19	18	ad2antlr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
20		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
21		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
22	11, 12, 20, 21	ply1scl0 22451	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
23	22	ad2antlr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
24	19, 23	ifeq12d 4509	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)))
25	15, 24	eqtrid 2810	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((algSc‘𝑃)‘if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)))
26	1	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
27	2	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
28		simpl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
29	28	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
30		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
31	30	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
32	3, 16, 20, 26, 27, 29, 31, 6	mat1ov 22605	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(1r‘𝐴)𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
33	32	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(1r‘𝐴)𝑗)) = ((algSc‘𝑃)‘if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
34		mat2pmatbas.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
35	11	ply1ring 22407	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
36	35	ad2antlr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑃 ∈ Ring)
37		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝐶) = (1r‘𝐶)
38	34, 17, 21, 26, 36, 29, 31, 37	mat1ov 22605	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(1r‘𝐶)𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)))
39	25, 33, 38	3eqtr4d 2808	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(1r‘𝐴)𝑗)) = (𝑖(1r‘𝐶)𝑗))
40	14, 39	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑇‘(1r‘𝐴))𝑗) = (𝑖(1r‘𝐶)𝑗))
41	40	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑇‘(1r‘𝐴))𝑗) = (𝑖(1r‘𝐶)𝑗))
42		mat2pmatbas0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Base‘𝐶)
43	10, 3, 5, 11, 34, 42	mat2pmatbas0 22884	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐻)
44	9, 43	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐻)
45	11, 34	pmatring 22849	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
46	42, 37	ringidcl 20344	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Ring → (1r‘𝐶) ∈ 𝐻)
47	45, 46	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐶) ∈ 𝐻)
48	34, 42	eqmat 22581	. . 3 ⊢ (((𝑇‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐻 ∧ (1r‘𝐶) ∈ 𝐻) → ((𝑇‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝐶) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑇‘(1r‘𝐴))𝑗) = (𝑖(1r‘𝐶)𝑗)))
49	44, 47, 48	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑇‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝐶) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑇‘(1r‘𝐴))𝑗) = (𝑖(1r‘𝐶)𝑗)))
50	41, 49	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ifcif 4487  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8939  Basecbs 17264  0_gc0g 17487  1_rcur 20258  Ringcrg 20310  algSccascl 22002  Poly₁cpl1 22337   Mat cmat 22564   matToPolyMat cmat2pmat 22861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-hom 17329  df-cco 17330  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-prds 17495  df-pws 17497  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-mulg 19129  df-subg 19184  df-ghm 19279  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-subrng 20645  df-subrg 20669  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-sra 21294  df-rgmod 21295  df-dsmm 21882  df-frlm 21897  df-ascl 22005  df-psr 22059  df-mpl 22061  df-opsr 22063  df-psr1 22340  df-ply1 22342  df-mamu 22548  df-mat 22565  df-mat2pmat 22864

This theorem is referenced by:  mat2pmatmhm  22890  idmatidpmat  22894