Theorem mat2pmat1 21944

Description: The transformation of the identity matrix results in the identity polynomial matrix. (Contributed by AV, 29-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat2pmatbas.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatbas.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat2pmatbas.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
mat2pmatbas.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mat2pmatbas0.h	⊢ 𝐻 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mat2pmat1	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝐶))

Proof of Theorem mat2pmat1

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
2		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
3		mat2pmatbas.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4	3	matring 21655	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
5		mat2pmatbas.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
6		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
7	5, 6	ringidcl 19866	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
8	4, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
9	1, 2, 8	3jca 1127	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵))
10		mat2pmatbas.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
11		mat2pmatbas.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
12		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
13	10, 3, 5, 11, 12	mat2pmatvalel 21937	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑇‘(1r‘𝐴))𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(1r‘𝐴)𝑗)))
14	9, 13	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑇‘(1r‘𝐴))𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(1r‘𝐴)𝑗)))
15		fvif 6820	. . . . . 6 ⊢ ((algSc‘𝑃)‘if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))
16		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
17		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
18	11, 12, 16, 17	ply1scl1 21526	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
19	18	ad2antlr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
20		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
21		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
22	11, 12, 20, 21	ply1scl0 21524	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
23	22	ad2antlr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
24	19, 23	ifeq12d 4485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)))
25	15, 24	eqtrid 2787	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((algSc‘𝑃)‘if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)))
26	1	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
27	2	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
28		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
29	28	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
30		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
31	30	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
32	3, 16, 20, 26, 27, 29, 31, 6	mat1ov 21660	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(1r‘𝐴)𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
33	32	fveq2d 6808	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(1r‘𝐴)𝑗)) = ((algSc‘𝑃)‘if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
34		mat2pmatbas.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
35	11	ply1ring 21482	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
36	35	ad2antlr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑃 ∈ Ring)
37		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝐶) = (1r‘𝐶)
38	34, 17, 21, 26, 36, 29, 31, 37	mat1ov 21660	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(1r‘𝐶)𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)))
39	25, 33, 38	3eqtr4d 2785	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(1r‘𝐴)𝑗)) = (𝑖(1r‘𝐶)𝑗))
40	14, 39	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑇‘(1r‘𝐴))𝑗) = (𝑖(1r‘𝐶)𝑗))
41	40	ralrimivva 3192	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑇‘(1r‘𝐴))𝑗) = (𝑖(1r‘𝐶)𝑗))
42		mat2pmatbas0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Base‘𝐶)
43	10, 3, 5, 11, 34, 42	mat2pmatbas0 21939	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐻)
44	9, 43	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐻)
45	11, 34	pmatring 21904	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
46	42, 37	ringidcl 19866	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Ring → (1r‘𝐶) ∈ 𝐻)
47	45, 46	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐶) ∈ 𝐻)
48	34, 42	eqmat 21636	. . 3 ⊢ (((𝑇‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐻 ∧ (1r‘𝐶) ∈ 𝐻) → ((𝑇‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝐶) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑇‘(1r‘𝐴))𝑗) = (𝑖(1r‘𝐶)𝑗)))
49	44, 47, 48	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑇‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝐶) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑇‘(1r‘𝐴))𝑗) = (𝑖(1r‘𝐶)𝑗)))
50	41, 49	mpbird 256	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1538   ∈ wcel 2103  ∀wral 3060  ifcif 4464  ‘cfv 6458  (class class class)co 7308  Fincfn 8769  Basecbs 16971  0_gc0g 17209  1_rcur 19796  Ringcrg 19842  algSccascl 21122  Poly₁cpl1 21411   Mat cmat 21617   matToPolyMat cmat2pmat 21916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1968  ax-7 2008  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2134  ax-11 2151  ax-12 2168  ax-ext 2706  ax-rep 5217  ax-sep 5231  ax-nul 5238  ax-pow 5296  ax-pr 5360  ax-un 7621  ax-cnex 10987  ax-resscn 10988  ax-1cn 10989  ax-icn 10990  ax-addcl 10991  ax-addrcl 10992  ax-mulcl 10993  ax-mulrcl 10994  ax-mulcom 10995  ax-addass 10996  ax-mulass 10997  ax-distr 10998  ax-i2m1 10999  ax-1ne0 11000  ax-1rid 11001  ax-rnegex 11002  ax-rrecex 11003  ax-cnre 11004  ax-pre-lttri 11005  ax-pre-lttrn 11006  ax-pre-ltadd 11007  ax-pre-mulgt0 11008

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2813  df-nfc 2885  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3339  df-reu 3340  df-rab 3357  df-v 3438  df-sbc 3721  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-ot 4573  df-uni 4844  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5081  df-opab 5143  df-mpt 5164  df-tr 5198  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7265  df-ov 7311  df-oprab 7312  df-mpo 7313  df-of 7566  df-ofr 7567  df-om 7749  df-1st 7867  df-2nd 7868  df-supp 8013  df-frecs 8132  df-wrecs 8163  df-recs 8237  df-rdg 8276  df-1o 8332  df-er 8534  df-map 8653  df-pm 8654  df-ixp 8722  df-en 8770  df-dom 8771  df-sdom 8772  df-fin 8773  df-fsupp 9187  df-sup 9259  df-oi 9327  df-card 9755  df-pnf 11071  df-mnf 11072  df-xr 11073  df-ltxr 11074  df-le 11075  df-sub 11267  df-neg 11268  df-nn 12034  df-2 12096  df-3 12097  df-4 12098  df-5 12099  df-6 12100  df-7 12101  df-8 12102  df-9 12103  df-n0 12294  df-z 12380  df-dec 12498  df-uz 12643  df-fz 13300  df-fzo 13443  df-seq 13782  df-hash 14105  df-struct 16907  df-sets 16924  df-slot 16942  df-ndx 16954  df-base 16972  df-ress 17001  df-plusg 17034  df-mulr 17035  df-sca 17037  df-vsca 17038  df-ip 17039  df-tset 17040  df-ple 17041  df-ds 17043  df-hom 17045  df-cco 17046  df-0g 17211  df-gsum 17212  df-prds 17217  df-pws 17219  df-mre 17354  df-mrc 17355  df-acs 17357  df-mgm 18385  df-sgrp 18434  df-mnd 18445  df-mhm 18489  df-submnd 18490  df-grp 18639  df-minusg 18640  df-sbg 18641  df-mulg 18760  df-subg 18811  df-ghm 18891  df-cntz 18982  df-cmn 19447  df-abl 19448  df-mgp 19780  df-ur 19797  df-ring 19844  df-subrg 20085  df-lmod 20188  df-lss 20257  df-sra 20497  df-rgmod 20498  df-dsmm 21002  df-frlm 21017  df-ascl 21125  df-psr 21175  df-mpl 21177  df-opsr 21179  df-psr1 21414  df-ply1 21416  df-mamu 21596  df-mat 21618  df-mat2pmat 21919

This theorem is referenced by:  mat2pmatmhm  21945  idmatidpmat  21949