MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat2pmatf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat2pmatf1 22160
Description: The matrix transformation is a 1-1 function from the matrices to the polynomial matrices. (Contributed by AV, 28-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 27-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat2pmatbas.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatbas.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatbas.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat2pmatbas.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
mat2pmatbas.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mat2pmatbas0.h 𝐻 = (Base‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
mat2pmatf1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵1-1𝐻)

Proof of Theorem mat2pmatf1
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat2pmatbas.t . . 3 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
2 mat2pmatbas.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 mat2pmatbas.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 mat2pmatbas.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 mat2pmatbas.c . . 3 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
6 mat2pmatbas0.h . . 3 𝐻 = (Base‘𝐶)
71, 2, 3, 4, 5, 6mat2pmatf 22159 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵𝐻)
8 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑥𝐵)
98anim2i 617 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝐵))
10 df-3an 1089 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝐵))
119, 10sylibr 233 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵))
12 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
131, 2, 3, 4, 12mat2pmatvalel 22156 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑇𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
1411, 13sylan 580 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑇𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
15 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
1615anim2i 617 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦𝐵))
17 df-3an 1089 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦𝐵))
1816, 17sylibr 233 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵))
191, 2, 3, 4, 12mat2pmatvalel 22156 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑇𝑦)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))
2018, 19sylan 580 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑇𝑦)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))
2114, 20eqeq12d 2747 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((𝑖(𝑇𝑥)𝑗) = (𝑖(𝑇𝑦)𝑗) ↔ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
22 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
23 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
244, 12, 22, 23ply1sclf1 21742 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)–1-1→(Base‘𝑃))
2524ad3antlr 729 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)–1-1→(Base‘𝑃))
26 simprl 769 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
27 simprr 771 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
28 simplrl 775 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑥𝐵)
292, 22, 3, 26, 27, 28matecld 21857 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
30 simplrr 776 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑦𝐵)
312, 22, 3, 26, 27, 30matecld 21857 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
32 f1veqaeq 7240 . . . . . . 7 (((algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)–1-1→(Base‘𝑃) ∧ ((𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅))) → (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) → (𝑖𝑥𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
3325, 29, 31, 32syl12anc 835 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) → (𝑖𝑥𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
3421, 33sylbid 239 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((𝑖(𝑇𝑥)𝑗) = (𝑖(𝑇𝑦)𝑗) → (𝑖𝑥𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
3534ralimdvva 3203 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖(𝑇𝑥)𝑗) = (𝑖(𝑇𝑦)𝑗) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑥𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
361, 2, 3, 4, 5, 6mat2pmatbas0 22158 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) → (𝑇𝑥) ∈ 𝐻)
3711, 36syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇𝑥) ∈ 𝐻)
381, 2, 3, 4, 5, 6mat2pmatbas0 22158 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) → (𝑇𝑦) ∈ 𝐻)
3918, 38syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇𝑦) ∈ 𝐻)
405, 6eqmat 21855 . . . . 5 (((𝑇𝑥) ∈ 𝐻 ∧ (𝑇𝑦) ∈ 𝐻) → ((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖(𝑇𝑥)𝑗) = (𝑖(𝑇𝑦)𝑗)))
4137, 39, 40syl2anc 584 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖(𝑇𝑥)𝑗) = (𝑖(𝑇𝑦)𝑗)))
422, 3eqmat 21855 . . . . 5 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑥𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
4342adantl 482 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑥𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
4435, 41, 433imtr4d 293 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
4544ralrimivva 3199 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
46 dff13 7238 . 2 (𝑇:𝐵1-1𝐻 ↔ (𝑇:𝐵𝐻 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
477, 45, 46sylanbrc 583 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵1-1𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3060  wf 6528  1-1wf1 6529  cfv 6532  (class class class)co 7393  Fincfn 8922  Basecbs 17126  Ringcrg 20014  algSccascl 21340  Poly1cpl1 21630   Mat cmat 21836   matToPolyMat cmat2pmat 22135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-ot 4631  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-supp 8129  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8875  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fsupp 9345  df-sup 9419  df-oi 9487  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-seq 13949  df-hash 14273  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17369  df-gsum 17370  df-prds 17375  df-pws 17377  df-mre 17512  df-mrc 17513  df-acs 17515  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-mhm 18647  df-submnd 18648  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-sbg 18799  df-mulg 18923  df-subg 18975  df-ghm 19056  df-cntz 19147  df-cmn 19614  df-abl 19615  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-ring 20016  df-subrg 20310  df-lmod 20422  df-lss 20492  df-sra 20734  df-rgmod 20735  df-dsmm 21220  df-frlm 21235  df-ascl 21343  df-psr 21393  df-mvr 21394  df-mpl 21395  df-opsr 21397  df-psr1 21633  df-vr1 21634  df-ply1 21635  df-coe1 21636  df-mat 21837  df-mat2pmat 22138
This theorem is referenced by:  m2cpmf1  22174
  Copyright terms: Public domain W3C validator