MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat2pmatf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat2pmatf1 20859
Description: The matrix transformation is a 1-1 function from the matrices to the polynomial matrices. (Contributed by AV, 28-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 27-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat2pmatbas.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatbas.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatbas.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat2pmatbas.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
mat2pmatbas.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mat2pmatbas0.h 𝐻 = (Base‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
mat2pmatf1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵1-1𝐻)

Proof of Theorem mat2pmatf1
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat2pmatbas.t . . 3 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
2 mat2pmatbas.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 mat2pmatbas.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 mat2pmatbas.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 mat2pmatbas.c . . 3 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
6 mat2pmatbas0.h . . 3 𝐻 = (Base‘𝐶)
71, 2, 3, 4, 5, 6mat2pmatf 20858 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵𝐻)
8 simpl 475 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑥𝐵)
98anim2i 611 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝐵))
10 df-3an 1110 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝐵))
119, 10sylibr 226 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵))
12 eqid 2797 . . . . . . . . 9 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
131, 2, 3, 4, 12mat2pmatvalel 20855 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑇𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
1411, 13sylan 576 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑇𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
15 simpr 478 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
1615anim2i 611 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦𝐵))
17 df-3an 1110 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦𝐵))
1816, 17sylibr 226 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵))
191, 2, 3, 4, 12mat2pmatvalel 20855 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑇𝑦)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))
2018, 19sylan 576 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑇𝑦)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))
2114, 20eqeq12d 2812 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((𝑖(𝑇𝑥)𝑗) = (𝑖(𝑇𝑦)𝑗) ↔ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
22 eqid 2797 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
23 eqid 2797 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
244, 12, 22, 23ply1sclf1 19978 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)–1-1→(Base‘𝑃))
2524ad3antlr 723 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)–1-1→(Base‘𝑃))
26 simprl 788 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
27 simprr 790 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
28 simplrl 796 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑥𝐵)
292, 22, 3, 26, 27, 28matecld 20554 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
30 simplrr 797 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑦𝐵)
312, 22, 3, 26, 27, 30matecld 20554 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
32 f1veqaeq 6740 . . . . . . 7 (((algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)–1-1→(Base‘𝑃) ∧ ((𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅))) → (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) → (𝑖𝑥𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
3325, 29, 31, 32syl12anc 866 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) → (𝑖𝑥𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
3421, 33sylbid 232 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((𝑖(𝑇𝑥)𝑗) = (𝑖(𝑇𝑦)𝑗) → (𝑖𝑥𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
3534ralimdvva 3143 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖(𝑇𝑥)𝑗) = (𝑖(𝑇𝑦)𝑗) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑥𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
361, 2, 3, 4, 5, 6mat2pmatbas0 20857 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) → (𝑇𝑥) ∈ 𝐻)
3711, 36syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇𝑥) ∈ 𝐻)
381, 2, 3, 4, 5, 6mat2pmatbas0 20857 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) → (𝑇𝑦) ∈ 𝐻)
3918, 38syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇𝑦) ∈ 𝐻)
405, 6eqmat 20552 . . . . 5 (((𝑇𝑥) ∈ 𝐻 ∧ (𝑇𝑦) ∈ 𝐻) → ((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖(𝑇𝑥)𝑗) = (𝑖(𝑇𝑦)𝑗)))
4137, 39, 40syl2anc 580 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖(𝑇𝑥)𝑗) = (𝑖(𝑇𝑦)𝑗)))
422, 3eqmat 20552 . . . . 5 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑥𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
4342adantl 474 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑥𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
4435, 41, 433imtr4d 286 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
4544ralrimivva 3150 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
46 dff13 6738 . 2 (𝑇:𝐵1-1𝐻 ↔ (𝑇:𝐵𝐻 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
477, 45, 46sylanbrc 579 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵1-1𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3087  wf 6095  1-1wf1 6096  cfv 6099  (class class class)co 6876  Fincfn 8193  Basecbs 16181  Ringcrg 18860  algSccascl 19631  Poly1cpl1 19866   Mat cmat 20535   matToPolyMat cmat2pmat 20834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-inf2 8786  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-ot 4375  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-iin 4711  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-se 5270  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-isom 6108  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-of 7129  df-ofr 7130  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-supp 7531  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-2o 7798  df-oadd 7801  df-er 7980  df-map 8095  df-pm 8096  df-ixp 8147  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-fsupp 8516  df-sup 8588  df-oi 8655  df-card 9049  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-4 11374  df-5 11375  df-6 11376  df-7 11377  df-8 11378  df-9 11379  df-n0 11577  df-z 11663  df-dec 11780  df-uz 11927  df-fz 12577  df-fzo 12717  df-seq 13052  df-hash 13367  df-struct 16183  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-sca 16280  df-vsca 16281  df-ip 16282  df-tset 16283  df-ple 16284  df-ds 16286  df-hom 16288  df-cco 16289  df-0g 16414  df-gsum 16415  df-prds 16420  df-pws 16422  df-mre 16558  df-mrc 16559  df-acs 16561  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-mhm 17647  df-submnd 17648  df-grp 17738  df-minusg 17739  df-sbg 17740  df-mulg 17854  df-subg 17901  df-ghm 17968  df-cntz 18059  df-cmn 18507  df-abl 18508  df-mgp 18803  df-ur 18815  df-ring 18862  df-subrg 19093  df-lmod 19180  df-lss 19248  df-sra 19492  df-rgmod 19493  df-ascl 19634  df-psr 19676  df-mvr 19677  df-mpl 19678  df-opsr 19680  df-psr1 19869  df-vr1 19870  df-ply1 19871  df-coe1 19872  df-dsmm 20398  df-frlm 20413  df-mat 20536  df-mat2pmat 20837
This theorem is referenced by:  m2cpmf1  20873
  Copyright terms: Public domain W3C validator