MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat2pmatf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat2pmatf1 22101
Description: The matrix transformation is a 1-1 function from the matrices to the polynomial matrices. (Contributed by AV, 28-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 27-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat2pmatbas.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatbas.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatbas.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
mat2pmatbas.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
mat2pmatbas.c 𝐢 = (𝑁 Mat 𝑃)
mat2pmatbas0.h 𝐻 = (Baseβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
mat2pmatf1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑇:𝐡–1-1→𝐻)

Proof of Theorem mat2pmatf1
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat2pmatbas.t . . 3 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
2 mat2pmatbas.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 mat2pmatbas.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
4 mat2pmatbas.p . . 3 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
5 mat2pmatbas.c . . 3 𝐢 = (𝑁 Mat 𝑃)
6 mat2pmatbas0.h . . 3 𝐻 = (Baseβ€˜πΆ)
71, 2, 3, 4, 5, 6mat2pmatf 22100 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑇:𝐡⟢𝐻)
8 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
98anim2i 618 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡))
10 df-3an 1090 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡))
119, 10sylibr 233 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡))
12 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (algScβ€˜π‘ƒ) = (algScβ€˜π‘ƒ)
131, 2, 3, 4, 12mat2pmatvalel 22097 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑖(π‘‡β€˜π‘₯)𝑗) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗)))
1411, 13sylan 581 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑖(π‘‡β€˜π‘₯)𝑗) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗)))
15 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
1615anim2i 618 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
17 df-3an 1090 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
1816, 17sylibr 233 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
191, 2, 3, 4, 12mat2pmatvalel 22097 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑖(π‘‡β€˜π‘¦)𝑗) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗)))
2018, 19sylan 581 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑖(π‘‡β€˜π‘¦)𝑗) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗)))
2114, 20eqeq12d 2749 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ ((𝑖(π‘‡β€˜π‘₯)𝑗) = (𝑖(π‘‡β€˜π‘¦)𝑗) ↔ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗)) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗))))
22 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
23 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
244, 12, 22, 23ply1sclf1 21683 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ (algScβ€˜π‘ƒ):(Baseβ€˜π‘…)–1-1β†’(Baseβ€˜π‘ƒ))
2524ad3antlr 730 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (algScβ€˜π‘ƒ):(Baseβ€˜π‘…)–1-1β†’(Baseβ€˜π‘ƒ))
26 simprl 770 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ 𝑖 ∈ 𝑁)
27 simprr 772 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ 𝑗 ∈ 𝑁)
28 simplrl 776 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
292, 22, 3, 26, 27, 28matecld 21798 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑖π‘₯𝑗) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
30 simplrr 777 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
312, 22, 3, 26, 27, 30matecld 21798 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
32 f1veqaeq 7208 . . . . . . 7 (((algScβ€˜π‘ƒ):(Baseβ€˜π‘…)–1-1β†’(Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ ((𝑖π‘₯𝑗) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗)) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗)) β†’ (𝑖π‘₯𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
3325, 29, 31, 32syl12anc 836 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗)) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗)) β†’ (𝑖π‘₯𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
3421, 33sylbid 239 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ ((𝑖(π‘‡β€˜π‘₯)𝑗) = (𝑖(π‘‡β€˜π‘¦)𝑗) β†’ (𝑖π‘₯𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
3534ralimdvva 3198 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖(π‘‡β€˜π‘₯)𝑗) = (𝑖(π‘‡β€˜π‘¦)𝑗) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖π‘₯𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
361, 2, 3, 4, 5, 6mat2pmatbas0 22099 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ 𝐻)
3711, 36syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ 𝐻)
381, 2, 3, 4, 5, 6mat2pmatbas0 22099 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘‡β€˜π‘¦) ∈ 𝐻)
3918, 38syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‡β€˜π‘¦) ∈ 𝐻)
405, 6eqmat 21796 . . . . 5 (((π‘‡β€˜π‘₯) ∈ 𝐻 ∧ (π‘‡β€˜π‘¦) ∈ 𝐻) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖(π‘‡β€˜π‘₯)𝑗) = (𝑖(π‘‡β€˜π‘¦)𝑗)))
4137, 39, 40syl2anc 585 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖(π‘‡β€˜π‘₯)𝑗) = (𝑖(π‘‡β€˜π‘¦)𝑗)))
422, 3eqmat 21796 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖π‘₯𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
4342adantl 483 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖π‘₯𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
4435, 41, 433imtr4d 294 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦))
4544ralrimivva 3194 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘‡β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦))
46 dff13 7206 . 2 (𝑇:𝐡–1-1→𝐻 ↔ (𝑇:𝐡⟢𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘‡β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
477, 45, 46sylanbrc 584 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑇:𝐡–1-1→𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βŸΆwf 6496  β€“1-1β†’wf1 6497  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Fincfn 8889  Basecbs 17091  Ringcrg 19972  algSccascl 21281  Poly1cpl1 21571   Mat cmat 21777   matToPolyMat cmat2pmat 22076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-subrg 20262  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-dsmm 21161  df-frlm 21176  df-ascl 21284  df-psr 21334  df-mvr 21335  df-mpl 21336  df-opsr 21338  df-psr1 21574  df-vr1 21575  df-ply1 21576  df-coe1 21577  df-mat 21778  df-mat2pmat 22079
This theorem is referenced by:  m2cpmf1  22115
  Copyright terms: Public domain W3C validator