MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat2pmatf1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mat2pmatf1 22451
Description: The matrix transformation is a 1-1 function from the matrices to the polynomial matrices. (Contributed by AV, 28-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 27-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat2pmatbas.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatbas.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatbas.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
mat2pmatbas.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
mat2pmatbas.c 𝐢 = (𝑁 Mat 𝑃)
mat2pmatbas0.h 𝐻 = (Baseβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
mat2pmatf1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑇:𝐡–1-1→𝐻)
Proof of Theorem mat2pmatf1
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat2pmatbas.t . . 3 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
2 mat2pmatbas.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 mat2pmatbas.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
4 mat2pmatbas.p . . 3 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
5 mat2pmatbas.c . . 3 𝐢 = (𝑁 Mat 𝑃)
6 mat2pmatbas0.h . . 3 𝐻 = (Baseβ€˜πΆ)
71, 2, 3, 4, 5, 6mat2pmatf 22450 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑇:𝐡⟢𝐻)
8 simpl 481 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
98anim2i 615 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡))
10 df-3an 1087 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡))
119, 10sylibr 233 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡))
12 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (algScβ€˜π‘ƒ) = (algScβ€˜π‘ƒ)
131, 2, 3, 4, 12mat2pmatvalel 22447 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑖(π‘‡β€˜π‘₯)𝑗) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗)))
1411, 13sylan 578 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑖(π‘‡β€˜π‘₯)𝑗) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗)))
15 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
1615anim2i 615 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
17 df-3an 1087 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
1816, 17sylibr 233 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
191, 2, 3, 4, 12mat2pmatvalel 22447 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑖(π‘‡β€˜π‘¦)𝑗) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗)))
2018, 19sylan 578 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑖(π‘‡β€˜π‘¦)𝑗) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗)))
2114, 20eqeq12d 2746 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ ((𝑖(π‘‡β€˜π‘₯)𝑗) = (𝑖(π‘‡β€˜π‘¦)𝑗) ↔ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗)) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗))))
22 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
23 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
244, 12, 22, 23ply1sclf1 22031 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ (algScβ€˜π‘ƒ):(Baseβ€˜π‘…)–1-1β†’(Baseβ€˜π‘ƒ))
2524ad3antlr 727 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (algScβ€˜π‘ƒ):(Baseβ€˜π‘…)–1-1β†’(Baseβ€˜π‘ƒ))
26 simprl 767 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ 𝑖 ∈ 𝑁)
27 simprr 769 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ 𝑗 ∈ 𝑁)
28 simplrl 773 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
292, 22, 3, 26, 27, 28matecld 22148 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑖π‘₯𝑗) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
30 simplrr 774 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
312, 22, 3, 26, 27, 30matecld 22148 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
32 f1veqaeq 7258 . . . . . . 7 (((algScβ€˜π‘ƒ):(Baseβ€˜π‘…)–1-1β†’(Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ ((𝑖π‘₯𝑗) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗)) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗)) β†’ (𝑖π‘₯𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
3325, 29, 31, 32syl12anc 833 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗)) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗)) β†’ (𝑖π‘₯𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
3421, 33sylbid 239 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ ((𝑖(π‘‡β€˜π‘₯)𝑗) = (𝑖(π‘‡β€˜π‘¦)𝑗) β†’ (𝑖π‘₯𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
3534ralimdvva 3202 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖(π‘‡β€˜π‘₯)𝑗) = (𝑖(π‘‡β€˜π‘¦)𝑗) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖π‘₯𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
361, 2, 3, 4, 5, 6mat2pmatbas0 22449 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ 𝐻)
3711, 36syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ 𝐻)
381, 2, 3, 4, 5, 6mat2pmatbas0 22449 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘‡β€˜π‘¦) ∈ 𝐻)
3918, 38syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‡β€˜π‘¦) ∈ 𝐻)
405, 6eqmat 22146 . . . . 5 (((π‘‡β€˜π‘₯) ∈ 𝐻 ∧ (π‘‡β€˜π‘¦) ∈ 𝐻) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖(π‘‡β€˜π‘₯)𝑗) = (𝑖(π‘‡β€˜π‘¦)𝑗)))
4137, 39, 40syl2anc 582 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖(π‘‡β€˜π‘₯)𝑗) = (𝑖(π‘‡β€˜π‘¦)𝑗)))
422, 3eqmat 22146 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖π‘₯𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
4342adantl 480 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖π‘₯𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
4435, 41, 433imtr4d 293 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦))
4544ralrimivva 3198 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘‡β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦))
46 dff13 7256 . 2 (𝑇:𝐡–1-1→𝐻 ↔ (𝑇:𝐡⟢𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘‡β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
477, 45, 46sylanbrc 581 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑇:𝐡–1-1→𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βŸΆwf 6538  β€“1-1β†’wf1 6539  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  Basecbs 17148  Ringcrg 20127  algSccascl 21626  Poly1cpl1 21920   Mat cmat 22127   matToPolyMat cmat2pmat 22426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-dsmm 21506  df-frlm 21521  df-ascl 21629  df-psr 21681  df-mvr 21682  df-mpl 21683  df-opsr 21685  df-psr1 21923  df-vr1 21924  df-ply1 21925  df-coe1 21926  df-mat 22128  df-mat2pmat 22429
This theorem is referenced by:  m2cpmf1  22465
  Copyright terms: Public domain W3C validator