MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat2pmatf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat2pmatf1 21878
Description: The matrix transformation is a 1-1 function from the matrices to the polynomial matrices. (Contributed by AV, 28-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 27-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat2pmatbas.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatbas.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatbas.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat2pmatbas.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
mat2pmatbas.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mat2pmatbas0.h 𝐻 = (Base‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
mat2pmatf1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵1-1𝐻)

Proof of Theorem mat2pmatf1
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat2pmatbas.t . . 3 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
2 mat2pmatbas.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 mat2pmatbas.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 mat2pmatbas.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 mat2pmatbas.c . . 3 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
6 mat2pmatbas0.h . . 3 𝐻 = (Base‘𝐶)
71, 2, 3, 4, 5, 6mat2pmatf 21877 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵𝐻)
8 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑥𝐵)
98anim2i 617 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝐵))
10 df-3an 1088 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝐵))
119, 10sylibr 233 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵))
12 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
131, 2, 3, 4, 12mat2pmatvalel 21874 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑇𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
1411, 13sylan 580 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑇𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
15 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
1615anim2i 617 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦𝐵))
17 df-3an 1088 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦𝐵))
1816, 17sylibr 233 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵))
191, 2, 3, 4, 12mat2pmatvalel 21874 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑇𝑦)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))
2018, 19sylan 580 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑇𝑦)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))
2114, 20eqeq12d 2754 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((𝑖(𝑇𝑥)𝑗) = (𝑖(𝑇𝑦)𝑗) ↔ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
22 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
23 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
244, 12, 22, 23ply1sclf1 21460 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)–1-1→(Base‘𝑃))
2524ad3antlr 728 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)–1-1→(Base‘𝑃))
26 simprl 768 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
27 simprr 770 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
28 simplrl 774 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑥𝐵)
292, 22, 3, 26, 27, 28matecld 21575 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
30 simplrr 775 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑦𝐵)
312, 22, 3, 26, 27, 30matecld 21575 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
32 f1veqaeq 7130 . . . . . . 7 (((algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)–1-1→(Base‘𝑃) ∧ ((𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅))) → (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) → (𝑖𝑥𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
3325, 29, 31, 32syl12anc 834 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) → (𝑖𝑥𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
3421, 33sylbid 239 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((𝑖(𝑇𝑥)𝑗) = (𝑖(𝑇𝑦)𝑗) → (𝑖𝑥𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
3534ralimdvva 3126 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖(𝑇𝑥)𝑗) = (𝑖(𝑇𝑦)𝑗) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑥𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
361, 2, 3, 4, 5, 6mat2pmatbas0 21876 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) → (𝑇𝑥) ∈ 𝐻)
3711, 36syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇𝑥) ∈ 𝐻)
381, 2, 3, 4, 5, 6mat2pmatbas0 21876 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) → (𝑇𝑦) ∈ 𝐻)
3918, 38syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇𝑦) ∈ 𝐻)
405, 6eqmat 21573 . . . . 5 (((𝑇𝑥) ∈ 𝐻 ∧ (𝑇𝑦) ∈ 𝐻) → ((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖(𝑇𝑥)𝑗) = (𝑖(𝑇𝑦)𝑗)))
4137, 39, 40syl2anc 584 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖(𝑇𝑥)𝑗) = (𝑖(𝑇𝑦)𝑗)))
422, 3eqmat 21573 . . . . 5 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑥𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
4342adantl 482 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑥𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
4435, 41, 433imtr4d 294 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
4544ralrimivva 3123 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
46 dff13 7128 . 2 (𝑇:𝐵1-1𝐻 ↔ (𝑇:𝐵𝐻 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
477, 45, 46sylanbrc 583 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵1-1𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  wf 6429  1-1wf1 6430  cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  Basecbs 16912  Ringcrg 19783  algSccascl 21059  Poly1cpl1 21348   Mat cmat 21554   matToPolyMat cmat2pmat 21853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-dsmm 20939  df-frlm 20954  df-ascl 21062  df-psr 21112  df-mvr 21113  df-mpl 21114  df-opsr 21116  df-psr1 21351  df-vr1 21352  df-ply1 21353  df-coe1 21354  df-mat 21555  df-mat2pmat 21856
This theorem is referenced by:  m2cpmf1  21892
  Copyright terms: Public domain W3C validator