Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat2pmatf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat2pmatf1 21419
 Description: The matrix transformation is a 1-1 function from the matrices to the polynomial matrices. (Contributed by AV, 28-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 27-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat2pmatbas.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatbas.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatbas.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat2pmatbas.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
mat2pmatbas.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mat2pmatbas0.h 𝐻 = (Base‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
mat2pmatf1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵1-1𝐻)

Proof of Theorem mat2pmatf1
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat2pmatbas.t . . 3 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
2 mat2pmatbas.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 mat2pmatbas.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 mat2pmatbas.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 mat2pmatbas.c . . 3 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
6 mat2pmatbas0.h . . 3 𝐻 = (Base‘𝐶)
71, 2, 3, 4, 5, 6mat2pmatf 21418 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵𝐻)
8 simpl 487 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑥𝐵)
98anim2i 620 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝐵))
10 df-3an 1087 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝐵))
119, 10sylibr 237 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵))
12 eqid 2759 . . . . . . . . 9 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
131, 2, 3, 4, 12mat2pmatvalel 21415 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑇𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
1411, 13sylan 584 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑇𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
15 simpr 489 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
1615anim2i 620 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦𝐵))
17 df-3an 1087 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦𝐵))
1816, 17sylibr 237 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵))
191, 2, 3, 4, 12mat2pmatvalel 21415 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑇𝑦)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))
2018, 19sylan 584 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑇𝑦)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))
2114, 20eqeq12d 2775 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((𝑖(𝑇𝑥)𝑗) = (𝑖(𝑇𝑦)𝑗) ↔ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
22 eqid 2759 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
23 eqid 2759 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
244, 12, 22, 23ply1sclf1 21003 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)–1-1→(Base‘𝑃))
2524ad3antlr 731 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)–1-1→(Base‘𝑃))
26 simprl 771 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
27 simprr 773 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
28 simplrl 777 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑥𝐵)
292, 22, 3, 26, 27, 28matecld 21116 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
30 simplrr 778 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑦𝐵)
312, 22, 3, 26, 27, 30matecld 21116 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
32 f1veqaeq 7005 . . . . . . 7 (((algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)–1-1→(Base‘𝑃) ∧ ((𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅))) → (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) → (𝑖𝑥𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
3325, 29, 31, 32syl12anc 836 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) → (𝑖𝑥𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
3421, 33sylbid 243 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((𝑖(𝑇𝑥)𝑗) = (𝑖(𝑇𝑦)𝑗) → (𝑖𝑥𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
3534ralimdvva 3111 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖(𝑇𝑥)𝑗) = (𝑖(𝑇𝑦)𝑗) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑥𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
361, 2, 3, 4, 5, 6mat2pmatbas0 21417 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) → (𝑇𝑥) ∈ 𝐻)
3711, 36syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇𝑥) ∈ 𝐻)
381, 2, 3, 4, 5, 6mat2pmatbas0 21417 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) → (𝑇𝑦) ∈ 𝐻)
3918, 38syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇𝑦) ∈ 𝐻)
405, 6eqmat 21114 . . . . 5 (((𝑇𝑥) ∈ 𝐻 ∧ (𝑇𝑦) ∈ 𝐻) → ((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖(𝑇𝑥)𝑗) = (𝑖(𝑇𝑦)𝑗)))
4137, 39, 40syl2anc 588 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖(𝑇𝑥)𝑗) = (𝑖(𝑇𝑦)𝑗)))
422, 3eqmat 21114 . . . . 5 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑥𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
4342adantl 486 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑥𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
4435, 41, 433imtr4d 298 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
4544ralrimivva 3121 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
46 dff13 7003 . 2 (𝑇:𝐵1-1𝐻 ↔ (𝑇:𝐵𝐻 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
477, 45, 46sylanbrc 587 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵1-1𝐻)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∀wral 3071  ⟶wf 6329  –1-1→wf1 6330  ‘cfv 6333  (class class class)co 7148  Fincfn 8525  Basecbs 16531  Ringcrg 19355  algSccascl 20607  Poly1cpl1 20891   Mat cmat 21097   matToPolyMat cmat2pmat 21394 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7457  ax-cnex 10621  ax-resscn 10622  ax-1cn 10623  ax-icn 10624  ax-addcl 10625  ax-addrcl 10626  ax-mulcl 10627  ax-mulrcl 10628  ax-mulcom 10629  ax-addass 10630  ax-mulass 10631  ax-distr 10632  ax-i2m1 10633  ax-1ne0 10634  ax-1rid 10635  ax-rnegex 10636  ax-rrecex 10637  ax-cnre 10638  ax-pre-lttri 10639  ax-pre-lttrn 10640  ax-pre-ltadd 10641  ax-pre-mulgt0 10642 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4419  df-pw 4494  df-sn 4521  df-pr 4523  df-tp 4525  df-op 4527  df-ot 4529  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-se 5482  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6292  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7403  df-ofr 7404  df-om 7578  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7834  df-wrecs 7955  df-recs 8016  df-rdg 8054  df-1o 8110  df-2o 8111  df-oadd 8114  df-er 8297  df-map 8416  df-pm 8417  df-ixp 8478  df-en 8526  df-dom 8527  df-sdom 8528  df-fin 8529  df-fsupp 8857  df-sup 8929  df-oi 8997  df-card 9391  df-pnf 10705  df-mnf 10706  df-xr 10707  df-ltxr 10708  df-le 10709  df-sub 10900  df-neg 10901  df-nn 11665  df-2 11727  df-3 11728  df-4 11729  df-5 11730  df-6 11731  df-7 11732  df-8 11733  df-9 11734  df-n0 11925  df-z 12011  df-dec 12128  df-uz 12273  df-fz 12930  df-fzo 13073  df-seq 13409  df-hash 13731  df-struct 16533  df-ndx 16534  df-slot 16535  df-base 16537  df-sets 16538  df-ress 16539  df-plusg 16626  df-mulr 16627  df-sca 16629  df-vsca 16630  df-ip 16631  df-tset 16632  df-ple 16633  df-ds 16635  df-hom 16637  df-cco 16638  df-0g 16763  df-gsum 16764  df-prds 16769  df-pws 16771  df-mre 16905  df-mrc 16906  df-acs 16908  df-mgm 17908  df-sgrp 17957  df-mnd 17968  df-mhm 18012  df-submnd 18013  df-grp 18162  df-minusg 18163  df-sbg 18164  df-mulg 18282  df-subg 18333  df-ghm 18413  df-cntz 18504  df-cmn 18965  df-abl 18966  df-mgp 19298  df-ur 19310  df-ring 19357  df-subrg 19591  df-lmod 19694  df-lss 19762  df-sra 20002  df-rgmod 20003  df-dsmm 20487  df-frlm 20502  df-ascl 20610  df-psr 20661  df-mvr 20662  df-mpl 20663  df-opsr 20665  df-psr1 20894  df-vr1 20895  df-ply1 20896  df-coe1 20897  df-mat 21098  df-mat2pmat 21397 This theorem is referenced by:  m2cpmf1  21433
 Copyright terms: Public domain W3C validator