MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat2pmatf1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mat2pmatf1 22230
Description: The matrix transformation is a 1-1 function from the matrices to the polynomial matrices. (Contributed by AV, 28-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 27-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat2pmatbas.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatbas.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatbas.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
mat2pmatbas.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
mat2pmatbas.c 𝐢 = (𝑁 Mat 𝑃)
mat2pmatbas0.h 𝐻 = (Baseβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
mat2pmatf1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑇:𝐡–1-1→𝐻)
Proof of Theorem mat2pmatf1
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat2pmatbas.t . . 3 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
2 mat2pmatbas.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 mat2pmatbas.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
4 mat2pmatbas.p . . 3 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
5 mat2pmatbas.c . . 3 𝐢 = (𝑁 Mat 𝑃)
6 mat2pmatbas0.h . . 3 𝐻 = (Baseβ€˜πΆ)
71, 2, 3, 4, 5, 6mat2pmatf 22229 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑇:𝐡⟢𝐻)
8 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
98anim2i 617 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡))
10 df-3an 1089 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡))
119, 10sylibr 233 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡))
12 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (algScβ€˜π‘ƒ) = (algScβ€˜π‘ƒ)
131, 2, 3, 4, 12mat2pmatvalel 22226 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑖(π‘‡β€˜π‘₯)𝑗) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗)))
1411, 13sylan 580 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑖(π‘‡β€˜π‘₯)𝑗) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗)))
15 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
1615anim2i 617 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
17 df-3an 1089 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
1816, 17sylibr 233 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
191, 2, 3, 4, 12mat2pmatvalel 22226 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑖(π‘‡β€˜π‘¦)𝑗) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗)))
2018, 19sylan 580 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑖(π‘‡β€˜π‘¦)𝑗) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗)))
2114, 20eqeq12d 2748 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ ((𝑖(π‘‡β€˜π‘₯)𝑗) = (𝑖(π‘‡β€˜π‘¦)𝑗) ↔ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗)) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗))))
22 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
23 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
244, 12, 22, 23ply1sclf1 21810 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ (algScβ€˜π‘ƒ):(Baseβ€˜π‘…)–1-1β†’(Baseβ€˜π‘ƒ))
2524ad3antlr 729 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (algScβ€˜π‘ƒ):(Baseβ€˜π‘…)–1-1β†’(Baseβ€˜π‘ƒ))
26 simprl 769 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ 𝑖 ∈ 𝑁)
27 simprr 771 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ 𝑗 ∈ 𝑁)
28 simplrl 775 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
292, 22, 3, 26, 27, 28matecld 21927 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑖π‘₯𝑗) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
30 simplrr 776 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
312, 22, 3, 26, 27, 30matecld 21927 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
32 f1veqaeq 7255 . . . . . . 7 (((algScβ€˜π‘ƒ):(Baseβ€˜π‘…)–1-1β†’(Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ ((𝑖π‘₯𝑗) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗)) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗)) β†’ (𝑖π‘₯𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
3325, 29, 31, 32syl12anc 835 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗)) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗)) β†’ (𝑖π‘₯𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
3421, 33sylbid 239 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ ((𝑖(π‘‡β€˜π‘₯)𝑗) = (𝑖(π‘‡β€˜π‘¦)𝑗) β†’ (𝑖π‘₯𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
3534ralimdvva 3204 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖(π‘‡β€˜π‘₯)𝑗) = (𝑖(π‘‡β€˜π‘¦)𝑗) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖π‘₯𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
361, 2, 3, 4, 5, 6mat2pmatbas0 22228 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ 𝐻)
3711, 36syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ 𝐻)
381, 2, 3, 4, 5, 6mat2pmatbas0 22228 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘‡β€˜π‘¦) ∈ 𝐻)
3918, 38syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‡β€˜π‘¦) ∈ 𝐻)
405, 6eqmat 21925 . . . . 5 (((π‘‡β€˜π‘₯) ∈ 𝐻 ∧ (π‘‡β€˜π‘¦) ∈ 𝐻) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖(π‘‡β€˜π‘₯)𝑗) = (𝑖(π‘‡β€˜π‘¦)𝑗)))
4137, 39, 40syl2anc 584 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖(π‘‡β€˜π‘₯)𝑗) = (𝑖(π‘‡β€˜π‘¦)𝑗)))
422, 3eqmat 21925 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖π‘₯𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
4342adantl 482 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖π‘₯𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
4435, 41, 433imtr4d 293 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦))
4544ralrimivva 3200 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘‡β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦))
46 dff13 7253 . 2 (𝑇:𝐡–1-1→𝐻 ↔ (𝑇:𝐡⟢𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘‡β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
477, 45, 46sylanbrc 583 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑇:𝐡–1-1→𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βŸΆwf 6539  β€“1-1β†’wf1 6540  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  Basecbs 17143  Ringcrg 20055  algSccascl 21406  Poly1cpl1 21700   Mat cmat 21906   matToPolyMat cmat2pmat 22205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-subrg 20316  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-dsmm 21286  df-frlm 21301  df-ascl 21409  df-psr 21461  df-mvr 21462  df-mpl 21463  df-opsr 21465  df-psr1 21703  df-vr1 21704  df-ply1 21705  df-coe1 21706  df-mat 21907  df-mat2pmat 22208
This theorem is referenced by:  m2cpmf1  22244
  Copyright terms: Public domain W3C validator