MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat2pmatf1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mat2pmatf1 22452
Description: The matrix transformation is a 1-1 function from the matrices to the polynomial matrices. (Contributed by AV, 28-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 27-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat2pmatbas.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatbas.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatbas.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
mat2pmatbas.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
mat2pmatbas.c 𝐢 = (𝑁 Mat 𝑃)
mat2pmatbas0.h 𝐻 = (Baseβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
mat2pmatf1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑇:𝐡–1-1→𝐻)
Proof of Theorem mat2pmatf1
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat2pmatbas.t . . 3 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
2 mat2pmatbas.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 mat2pmatbas.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
4 mat2pmatbas.p . . 3 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
5 mat2pmatbas.c . . 3 𝐢 = (𝑁 Mat 𝑃)
6 mat2pmatbas0.h . . 3 𝐻 = (Baseβ€˜πΆ)
71, 2, 3, 4, 5, 6mat2pmatf 22451 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑇:𝐡⟢𝐻)
8 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
98anim2i 616 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡))
10 df-3an 1088 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡))
119, 10sylibr 233 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡))
12 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (algScβ€˜π‘ƒ) = (algScβ€˜π‘ƒ)
131, 2, 3, 4, 12mat2pmatvalel 22448 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑖(π‘‡β€˜π‘₯)𝑗) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗)))
1411, 13sylan 579 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑖(π‘‡β€˜π‘₯)𝑗) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗)))
15 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
1615anim2i 616 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
17 df-3an 1088 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
1816, 17sylibr 233 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
191, 2, 3, 4, 12mat2pmatvalel 22448 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑖(π‘‡β€˜π‘¦)𝑗) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗)))
2018, 19sylan 579 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑖(π‘‡β€˜π‘¦)𝑗) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗)))
2114, 20eqeq12d 2747 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ ((𝑖(π‘‡β€˜π‘₯)𝑗) = (𝑖(π‘‡β€˜π‘¦)𝑗) ↔ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗)) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗))))
22 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
23 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
244, 12, 22, 23ply1sclf1 22032 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ (algScβ€˜π‘ƒ):(Baseβ€˜π‘…)–1-1β†’(Baseβ€˜π‘ƒ))
2524ad3antlr 728 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (algScβ€˜π‘ƒ):(Baseβ€˜π‘…)–1-1β†’(Baseβ€˜π‘ƒ))
26 simprl 768 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ 𝑖 ∈ 𝑁)
27 simprr 770 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ 𝑗 ∈ 𝑁)
28 simplrl 774 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
292, 22, 3, 26, 27, 28matecld 22149 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑖π‘₯𝑗) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
30 simplrr 775 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
312, 22, 3, 26, 27, 30matecld 22149 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
32 f1veqaeq 7259 . . . . . . 7 (((algScβ€˜π‘ƒ):(Baseβ€˜π‘…)–1-1β†’(Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ ((𝑖π‘₯𝑗) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗)) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗)) β†’ (𝑖π‘₯𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
3325, 29, 31, 32syl12anc 834 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖π‘₯𝑗)) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(𝑖𝑦𝑗)) β†’ (𝑖π‘₯𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
3421, 33sylbid 239 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ ((𝑖(π‘‡β€˜π‘₯)𝑗) = (𝑖(π‘‡β€˜π‘¦)𝑗) β†’ (𝑖π‘₯𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
3534ralimdvva 3203 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖(π‘‡β€˜π‘₯)𝑗) = (𝑖(π‘‡β€˜π‘¦)𝑗) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖π‘₯𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
361, 2, 3, 4, 5, 6mat2pmatbas0 22450 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ 𝐻)
3711, 36syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ 𝐻)
381, 2, 3, 4, 5, 6mat2pmatbas0 22450 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘‡β€˜π‘¦) ∈ 𝐻)
3918, 38syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‡β€˜π‘¦) ∈ 𝐻)
405, 6eqmat 22147 . . . . 5 (((π‘‡β€˜π‘₯) ∈ 𝐻 ∧ (π‘‡β€˜π‘¦) ∈ 𝐻) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖(π‘‡β€˜π‘₯)𝑗) = (𝑖(π‘‡β€˜π‘¦)𝑗)))
4137, 39, 40syl2anc 583 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖(π‘‡β€˜π‘₯)𝑗) = (𝑖(π‘‡β€˜π‘¦)𝑗)))
422, 3eqmat 22147 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖π‘₯𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
4342adantl 481 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖π‘₯𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
4435, 41, 433imtr4d 293 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦))
4544ralrimivva 3199 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘‡β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦))
46 dff13 7257 . 2 (𝑇:𝐡–1-1→𝐻 ↔ (𝑇:𝐡⟢𝐻 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘‡β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
477, 45, 46sylanbrc 582 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑇:𝐡–1-1→𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  βŸΆwf 6540  β€“1-1β†’wf1 6541  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Fincfn 8942  Basecbs 17149  Ringcrg 20128  algSccascl 21627  Poly1cpl1 21921   Mat cmat 22128   matToPolyMat cmat2pmat 22427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-ofr 7674  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-sup 9440  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-hash 14296  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-dsmm 21507  df-frlm 21522  df-ascl 21630  df-psr 21682  df-mvr 21683  df-mpl 21684  df-opsr 21686  df-psr1 21924  df-vr1 21925  df-ply1 21926  df-coe1 21927  df-mat 22129  df-mat2pmat 22430
This theorem is referenced by:  m2cpmf1  22466
  Copyright terms: Public domain W3C validator