Theorem mat2pmatf1 22957

Description: The matrix transformation is a 1-1 function from the matrices to the polynomial matrices. (Contributed by AV, 28-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 27-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat2pmatbas.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatbas.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat2pmatbas.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
mat2pmatbas.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mat2pmatbas0.h	⊢ 𝐻 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mat2pmatf1	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵–1-1→𝐻)

Proof of Theorem mat2pmatf1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mat2pmatbas.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
2		mat2pmatbas.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		mat2pmatbas.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		mat2pmatbas.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		mat2pmatbas.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
6		mat2pmatbas0.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Base‘𝐶)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mat2pmatf 22956	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵⟶𝐻)
8		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
9	8	anim2i 629	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
10		df-3an 1105	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
11	9, 10	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
12		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
13	1, 2, 3, 4, 12	mat2pmatvalel 22953	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑇‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
14	11, 13	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑇‘𝑥)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
15		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
16	15	anim2i 629	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
17		df-3an 1105	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
18	16, 17	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
19	1, 2, 3, 4, 12	mat2pmatvalel 22953	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑇‘𝑦)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))
20	18, 19	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑇‘𝑦)𝑗) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))
21	14, 20	eqeq12d 2776	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((𝑖(𝑇‘𝑥)𝑗) = (𝑖(𝑇‘𝑦)𝑗) ↔ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
22		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
23		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
24	4, 12, 22, 23	ply1sclf1 22518	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)–1-1→(Base‘𝑃))
25	24	ad3antlr 744	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)–1-1→(Base‘𝑃))
26		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
27		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
28		simplrl 789	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
29	2, 22, 3, 26, 27, 28	matecld 22651	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
30		simplrr 790	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
31	2, 22, 3, 26, 27, 30	matecld 22651	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
32		f1veqaeq 7254	. . . . . . 7 ⊢ (((algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)–1-1→(Base‘𝑃) ∧ ((𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅))) → (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) → (𝑖𝑥𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
33	25, 29, 31, 32	syl12anc 850	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) → (𝑖𝑥𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
34	21, 33	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((𝑖(𝑇‘𝑥)𝑗) = (𝑖(𝑇‘𝑦)𝑗) → (𝑖𝑥𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
35	34	ralimdvva 3209	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑇‘𝑥)𝑗) = (𝑖(𝑇‘𝑦)𝑗) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑥𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
36	1, 2, 3, 4, 5, 6	mat2pmatbas0 22955	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑥) ∈ 𝐻)
37	11, 36	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘𝑥) ∈ 𝐻)
38	1, 2, 3, 4, 5, 6	mat2pmatbas0 22955	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑦) ∈ 𝐻)
39	18, 38	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘𝑦) ∈ 𝐻)
40	5, 6	eqmat 22649	. . . . 5 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ 𝐻 ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ 𝐻) → ((𝑇‘𝑥) = (𝑇‘𝑦) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑇‘𝑥)𝑗) = (𝑖(𝑇‘𝑦)𝑗)))
41	37, 39, 40	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑇‘𝑥) = (𝑇‘𝑦) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑇‘𝑥)𝑗) = (𝑖(𝑇‘𝑦)𝑗)))
42	2, 3	eqmat 22649	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑥𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
43	42	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑥𝑗) = (𝑖𝑦𝑗)))
44	35, 41, 43	3imtr4d 297	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑇‘𝑥) = (𝑇‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
45	44	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑇‘𝑥) = (𝑇‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
46		dff13 7252	. 2 ⊢ (𝑇:𝐵–1-1→𝐻 ↔ (𝑇:𝐵⟶𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑇‘𝑥) = (𝑇‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
47	7, 45, 46	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵–1-1→𝐻)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ⟶wf 6529  –1-1→wf1 6530  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Fincfn 8955  Basecbs 17304  Ringcrg 20375  algSccascl 22070  Poly₁cpl1 22405   Mat cmat 22632   matToPolyMat cmat2pmat 22932

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-seq 14069  df-hash 14398  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-ip 17363  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-hom 17369  df-cco 17370  df-0g 17529  df-gsum 17530  df-prds 17535  df-pws 17537  df-mre 17673  df-mrc 17674  df-acs 17676  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-mhm 18894  df-submnd 18895  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-sbg 19065  df-mulg 19194  df-subg 19249  df-ghm 19344  df-cntz 19447  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-ring 20377  df-subrng 20711  df-subrg 20735  df-lmod 21049  df-lss 21119  df-sra 21360  df-rgmod 21361  df-dsmm 21948  df-frlm 21963  df-ascl 22073  df-psr 22127  df-mvr 22128  df-mpl 22129  df-opsr 22131  df-psr1 22408  df-vr1 22409  df-ply1 22410  df-coe1 22411  df-mat 22633  df-mat2pmat 22935

This theorem is used by:  m2cpmf1  22971