MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmatcollpw1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmatcollpw1 22652
Description: Write a polynomial matrix as a matrix of sums of scaled monomials. (Contributed by AV, 29-Sep-2019.) (Revised by AV, 3-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmatcollpw1.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
pmatcollpw1.c ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
pmatcollpw1.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
pmatcollpw1.m ร— = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
pmatcollpw1.e โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
pmatcollpw1.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
pmatcollpw1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘€ = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘—) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹))))))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘›   ๐‘›,๐‘€   ๐‘›,๐‘   ๐‘…,๐‘›   ๐‘›,๐‘‹   ร— ,๐‘›   โ†‘ ,๐‘›   ๐‘ƒ,๐‘›   ๐ต,๐‘–,๐‘—   ๐‘–,๐‘€,๐‘—   ๐‘–,๐‘,๐‘—   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘—,๐‘›   ๐‘…,๐‘–,๐‘—   ๐‘–,๐‘‹,๐‘—   ร— ,๐‘–,๐‘—   โ†‘ ,๐‘–,๐‘—
Allowed substitution hints:   ๐ถ(๐‘–,๐‘—,๐‘›)

Proof of Theorem pmatcollpw1
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmatcollpw1.p . . . . 5 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
2 pmatcollpw1.c . . . . 5 ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
3 pmatcollpw1.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
4 pmatcollpw1.m . . . . 5 ร— = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
5 pmatcollpw1.e . . . . 5 โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
6 pmatcollpw1.x . . . . 5 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
71, 2, 3, 4, 5, 6pmatcollpw1lem2 22651 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘Ž๐‘€๐‘) = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘Ž(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹)))))
8 eqidd 2728 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘—) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹))))) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘—) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹))))))
9 oveq12 7423 . . . . . . . . 9 ((๐‘– = ๐‘Ž โˆง ๐‘— = ๐‘) โ†’ (๐‘–(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘—) = (๐‘Ž(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘))
109oveq1d 7429 . . . . . . . 8 ((๐‘– = ๐‘Ž โˆง ๐‘— = ๐‘) โ†’ ((๐‘–(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘—) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹)) = ((๐‘Ž(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹)))
1110mpteq2dv 5244 . . . . . . 7 ((๐‘– = ๐‘Ž โˆง ๐‘— = ๐‘) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘—) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘Ž(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹))))
1211oveq2d 7430 . . . . . 6 ((๐‘– = ๐‘Ž โˆง ๐‘— = ๐‘) โ†’ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘—) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹)))) = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘Ž(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹)))))
1312adantl 481 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โˆง (๐‘– = ๐‘Ž โˆง ๐‘— = ๐‘)) โ†’ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘—) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹)))) = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘Ž(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹)))))
14 simprl 770 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ ๐‘)
15 simprr 772 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)
16 eqid 2727 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐‘ƒ) = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
17 eqid 2727 . . . . . 6 (0gโ€˜๐‘ƒ) = (0gโ€˜๐‘ƒ)
181ply1ring 22140 . . . . . . . . 9 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
19 ringcmn 20200 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ Ring โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ CMnd)
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ CMnd)
21203ad2ant2 1132 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ CMnd)
2221adantr 480 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ CMnd)
23 nn0ex 12494 . . . . . . 7 โ„•0 โˆˆ V
2423a1i 11 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โ†’ โ„•0 โˆˆ V)
25 simpl2 1190 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2625adantr 480 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
27 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (๐‘ Mat ๐‘…) = (๐‘ Mat ๐‘…)
28 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
29 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…)) = (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))
30 simplrl 776 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ ๐‘)
3115adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)
32 simpl3 1191 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
3332adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
34 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
351, 2, 3, 27, 29decpmatcl 22643 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ decompPMat ๐‘›) โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…)))
3626, 33, 34, 35syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ decompPMat ๐‘›) โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…)))
3727, 28, 29, 30, 31, 36matecld 22302 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘Ž(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
38 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (mulGrpโ€˜๐‘ƒ) = (mulGrpโ€˜๐‘ƒ)
3928, 1, 6, 4, 38, 5, 16ply1tmcl 22165 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘Ž(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘Ž(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
4026, 37, 34, 39syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘Ž(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
4140fmpttd 7119 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘Ž(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹))):โ„•0โŸถ(Baseโ€˜๐‘ƒ))
421, 2, 3, 4, 5, 6pmatcollpw1lem1 22650 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘Ž(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹))) finSupp (0gโ€˜๐‘ƒ))
43423expb 1118 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘Ž(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹))) finSupp (0gโ€˜๐‘ƒ))
4416, 17, 22, 24, 41, 43gsumcl 19854 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘Ž(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
458, 13, 14, 15, 44ovmpod 7565 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘Ž(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘—) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹)))))๐‘) = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘Ž(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹)))))
467, 45eqtr4d 2770 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘Ž๐‘€๐‘) = (๐‘Ž(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘—) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹)))))๐‘))
4746ralrimivva 3195 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ (๐‘Ž๐‘€๐‘) = (๐‘Ž(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘—) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹)))))๐‘))
48 simp3 1136 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
49 simp1 1134 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
50183ad2ant2 1132 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
51213ad2ant1 1131 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ CMnd)
5223a1i 11 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ โ„•0 โˆˆ V)
53 simpl12 1247 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
54 simpl2 1190 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
55 simpl3 1191 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘)
56483ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
5756adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
58 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
5953, 57, 58, 35syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ decompPMat ๐‘›) โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…)))
6027, 28, 29, 54, 55, 59matecld 22302 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘–(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
6128, 1, 6, 4, 38, 5, 16ply1tmcl 22165 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘–(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘–(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘—) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
6253, 60, 58, 61syl3anc 1369 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘–(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘—) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
6362fmpttd 7119 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘—) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹))):โ„•0โŸถ(Baseโ€˜๐‘ƒ))
641, 2, 3, 4, 5, 6pmatcollpw1lem1 22650 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘—) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹))) finSupp (0gโ€˜๐‘ƒ))
6516, 17, 51, 52, 63, 64gsumcl 19854 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘—) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
662, 16, 3, 49, 50, 65matbas2d 22299 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘—) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹))))) โˆˆ ๐ต)
672, 3eqmat 22300 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘—) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹))))) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘€ = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘—) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹))))) โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ (๐‘Ž๐‘€๐‘) = (๐‘Ž(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘—) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹)))))๐‘)))
6848, 66, 67syl2anc 583 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘€ = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘—) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹))))) โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ (๐‘Ž๐‘€๐‘) = (๐‘Ž(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘—) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹)))))๐‘)))
6947, 68mpbird 257 1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘€ = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–(๐‘€ decompPMat ๐‘›)๐‘—) ร— (๐‘› โ†‘ ๐‘‹))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3056  Vcvv 3469   class class class wbr 5142   โ†ฆ cmpt 5225  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   โˆˆ cmpo 7416  Fincfn 8953   finSupp cfsupp 9375  โ„•0cn0 12488  Basecbs 17165   ยท๐‘  cvsca 17222  0gc0g 17406   ฮฃg cgsu 17407  .gcmg 19007  CMndccmn 19719  mulGrpcmgp 20058  Ringcrg 20157  var1cv1 22069  Poly1cpl1 22070   Mat cmat 22281   decompPMat cdecpmat 22638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-sup 9451  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-hash 14308  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-prds 17414  df-pws 17416  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mhm 18725  df-submnd 18726  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19008  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-srg 20111  df-ring 20159  df-subrng 20465  df-subrg 20490  df-lmod 20727  df-lss 20798  df-sra 21040  df-rgmod 21041  df-dsmm 21646  df-frlm 21661  df-psr 21822  df-mvr 21823  df-mpl 21824  df-opsr 21826  df-psr1 22073  df-vr1 22074  df-ply1 22075  df-coe1 22076  df-mat 22282  df-decpmat 22639
This theorem is referenced by:  pmatcollpw2  22654
  Copyright terms: Public domain W3C validator