Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jumpncnp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jumpncnp 44229
Description: Jump discontinuity or discontinuity of the first kind: if the left and the right limit don't match, the function is discontinuous at the point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
jumpncnp.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
jumpncnp.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
jumpncnp.3 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
jumpncnp.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
jumpncnp.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
jumpncnp.lpt1 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))))
jumpncnp.lpt2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜(𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))))
jumpncnp.8 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡))
jumpncnp.9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞)) limβ„‚ 𝐡))
jumpncnp.lner (πœ‘ β†’ 𝐿 β‰  𝑅)
Assertion
Ref Expression
jumpncnp (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π΅))

Proof of Theorem jumpncnp
StepHypRef Expression
1 jumpncnp.k . . . . 5 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
2 jumpncnp.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
3 jumpncnp.3 . . . . 5 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
4 jumpncnp.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
5 jumpncnp.lpt1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))))
6 jumpncnp.lpt2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜(𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))))
7 jumpncnp.8 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡))
8 jumpncnp.9 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞)) limβ„‚ 𝐡))
9 jumpncnp.lner . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐿 β‰  𝑅)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9limclner 43982 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) = βˆ…)
11 ne0i 4298 . . . . 5 ((πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β‰  βˆ…)
1211necon2bi 2971 . . . 4 ((𝐹 limβ„‚ 𝐡) = βˆ… β†’ Β¬ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
1310, 12syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
1413intnand 490 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝐹:β„βŸΆβ„‚ ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)))
15 ax-resscn 11116 . . 3 ℝ βŠ† β„‚
16 jumpncnp.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
17 eqid 2733 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
1817tgioo2 24189 . . . . 5 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
193, 18eqtri 2761 . . . 4 𝐽 = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
2017, 19cnplimc 25274 . . 3 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π΅) ↔ (𝐹:β„βŸΆβ„‚ ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))))
2115, 16, 20sylancr 588 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π΅) ↔ (𝐹:β„βŸΆβ„‚ ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))))
2214, 21mtbird 325 1 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  ran crn 5638   β†Ύ cres 5639  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058  +∞cpnf 11194  -∞cmnf 11195  (,)cioo 13273   β†Ύt crest 17310  TopOpenctopn 17311  topGenctg 17327  β„‚fldccnfld 20819  limPtclp 22508   CnP ccnp 22599   limβ„‚ climc 25249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-fz 13434  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-struct 17027  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-rest 17312  df-topn 17313  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-lp 22510  df-cnp 22602  df-xms 23696  df-ms 23697  df-limc 25253
This theorem is referenced by:  fouriersw  44562
  Copyright terms: Public domain W3C validator