Theorem jumpncnp 45889

Description: Jump discontinuity or discontinuity of the first kind: if the left and the right limit don't match, the function is discontinuous at the point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
jumpncnp.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
jumpncnp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
jumpncnp.3	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
jumpncnp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
jumpncnp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
jumpncnp.lpt1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
jumpncnp.lpt2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
jumpncnp.8	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) limℂ 𝐵))
jumpncnp.9	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) limℂ 𝐵))
jumpncnp.lner	⊢ (𝜑 → 𝐿 ≠ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
jumpncnp	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵))

Proof of Theorem jumpncnp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		jumpncnp.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
2		jumpncnp.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		jumpncnp.3	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
4		jumpncnp.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5		jumpncnp.lpt1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
6		jumpncnp.lpt2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
7		jumpncnp.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) limℂ 𝐵))
8		jumpncnp.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) limℂ 𝐵))
9		jumpncnp.lner	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≠ 𝑅)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	limclner 45642	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ∅)
11		ne0i 4292	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅)
12	11	necon2bi 2955	. . . 4 ⊢ ((𝐹 limℂ 𝐵) = ∅ → ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
13	10, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
14	13	intnand 488	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
15		ax-resscn 11066	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
16		jumpncnp.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
17		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
18		tgioo4 24691	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
19	3, 18	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ 𝐽 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
20	17, 19	cnplimc 25786	. . 3 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))))
21	15, 16, 20	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))))
22	14, 21	mtbird 325	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  ran crn 5620   ↾ cres 5621  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  ℝcr 11008  +∞cpnf 11146  -∞cmnf 11147  (,)cioo 13248   ↾_t crest 17324  TopOpenctopn 17325  topGenctg 17341  ℂ_fldccnfld 21261  limPtclp 23019   CnP ccnp 23110   lim_ℂ climc 25761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-fz 13411  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-rest 17326  df-topn 17327  df-topgen 17347  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-cnfld 21262  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-cld 22904  df-ntr 22905  df-cls 22906  df-nei 22983  df-lp 23021  df-cnp 23113  df-xms 24206  df-ms 24207  df-limc 25765

This theorem is referenced by:  fouriersw  46222