Theorem jumpncnp 45858

Description: Jump discontinuity or discontinuity of the first kind: if the left and the right limit don't match, the function is discontinuous at the point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
jumpncnp.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
jumpncnp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
jumpncnp.3	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
jumpncnp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
jumpncnp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
jumpncnp.lpt1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
jumpncnp.lpt2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
jumpncnp.8	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) limℂ 𝐵))
jumpncnp.9	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) limℂ 𝐵))
jumpncnp.lner	⊢ (𝜑 → 𝐿 ≠ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
jumpncnp	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵))

Proof of Theorem jumpncnp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		jumpncnp.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
2		jumpncnp.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		jumpncnp.3	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
4		jumpncnp.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5		jumpncnp.lpt1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
6		jumpncnp.lpt2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
7		jumpncnp.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) limℂ 𝐵))
8		jumpncnp.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) limℂ 𝐵))
9		jumpncnp.lner	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≠ 𝑅)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	limclner 45611	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ∅)
11		ne0i 4323	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅)
12	11	necon2bi 2961	. . . 4 ⊢ ((𝐹 limℂ 𝐵) = ∅ → ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
13	10, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
14	13	intnand 488	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
15		ax-resscn 11195	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
16		jumpncnp.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
17		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
18		tgioo4 24781	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
19	3, 18	eqtri 2757	. . . 4 ⊢ 𝐽 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
20	17, 19	cnplimc 25877	. . 3 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))))
21	15, 16, 20	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))))
22	14, 21	mtbird 325	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931   ∩ cin 3932   ⊆ wss 3933  ∅c0 4315  ran crn 5668   ↾ cres 5669  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℂcc 11136  ℝcr 11137  +∞cpnf 11275  -∞cmnf 11276  (,)cioo 13370   ↾_t crest 17441  TopOpenctopn 17442  topGenctg 17458  ℂ_fldccnfld 21331  limPtclp 23107   CnP ccnp 23198   lim_ℂ climc 25852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-tp 4613  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-iin 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-er 8728  df-map 8851  df-pm 8852  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11904  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-4 12314  df-5 12315  df-6 12316  df-7 12317  df-8 12318  df-9 12319  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12862  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13374  df-fz 13531  df-seq 14026  df-exp 14086  df-cj 15121  df-re 15122  df-im 15123  df-sqrt 15257  df-abs 15258  df-struct 17167  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-rest 17443  df-topn 17444  df-topgen 17464  df-psmet 21323  df-xmet 21324  df-met 21325  df-bl 21326  df-mopn 21327  df-cnfld 21332  df-top 22867  df-topon 22884  df-topsp 22906  df-bases 22919  df-cld 22992  df-ntr 22993  df-cls 22994  df-nei 23071  df-lp 23109  df-cnp 23201  df-xms 24294  df-ms 24295  df-limc 25856

This theorem is referenced by:  fouriersw  46191