Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jumpncnp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jumpncnp 45168
Description: Jump discontinuity or discontinuity of the first kind: if the left and the right limit don't match, the function is discontinuous at the point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
jumpncnp.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
jumpncnp.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
jumpncnp.3 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
jumpncnp.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
jumpncnp.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
jumpncnp.lpt1 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))))
jumpncnp.lpt2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜(𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))))
jumpncnp.8 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡))
jumpncnp.9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞)) limβ„‚ 𝐡))
jumpncnp.lner (πœ‘ β†’ 𝐿 β‰  𝑅)
Assertion
Ref Expression
jumpncnp (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π΅))

Proof of Theorem jumpncnp
StepHypRef Expression
1 jumpncnp.k . . . . 5 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
2 jumpncnp.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
3 jumpncnp.3 . . . . 5 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
4 jumpncnp.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
5 jumpncnp.lpt1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐡))))
6 jumpncnp.lpt2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜(𝐴 ∩ (𝐡(,)+∞))))
7 jumpncnp.8 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡))
8 jumpncnp.9 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐡(,)+∞)) limβ„‚ 𝐡))
9 jumpncnp.lner . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐿 β‰  𝑅)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9limclner 44921 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) = βˆ…)
11 ne0i 4329 . . . . 5 ((πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β‰  βˆ…)
1211necon2bi 2965 . . . 4 ((𝐹 limβ„‚ 𝐡) = βˆ… β†’ Β¬ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
1310, 12syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
1413intnand 488 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝐹:β„βŸΆβ„‚ ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)))
15 ax-resscn 11166 . . 3 ℝ βŠ† β„‚
16 jumpncnp.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
17 eqid 2726 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
1817tgioo2 24669 . . . . 5 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
193, 18eqtri 2754 . . . 4 𝐽 = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
2017, 19cnplimc 25766 . . 3 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π΅) ↔ (𝐹:β„βŸΆβ„‚ ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))))
2115, 16, 20sylancr 586 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π΅) ↔ (𝐹:β„βŸΆβ„‚ ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))))
2214, 21mtbird 325 1 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  β„cr 11108  +∞cpnf 11246  -∞cmnf 11247  (,)cioo 13327   β†Ύt crest 17372  TopOpenctopn 17373  topGenctg 17389  β„‚fldccnfld 21235  limPtclp 22988   CnP ccnp 23079   limβ„‚ climc 25741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-fz 13488  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-rest 17374  df-topn 17375  df-topgen 17395  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-cld 22873  df-ntr 22874  df-cls 22875  df-nei 22952  df-lp 22990  df-cnp 23082  df-xms 24176  df-ms 24177  df-limc 25745
This theorem is referenced by:  fouriersw  45501
  Copyright terms: Public domain W3C validator