Theorem jumpncnp 46560

Description: Jump discontinuity or discontinuity of the first kind: if the left and the right limit don't match, the function is discontinuous at the point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
jumpncnp.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
jumpncnp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
jumpncnp.3	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
jumpncnp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
jumpncnp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
jumpncnp.lpt1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
jumpncnp.lpt2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
jumpncnp.8	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) limℂ 𝐵))
jumpncnp.9	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) limℂ 𝐵))
jumpncnp.lner	⊢ (𝜑 → 𝐿 ≠ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
jumpncnp	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵))

Proof of Theorem jumpncnp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		jumpncnp.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
2		jumpncnp.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		jumpncnp.3	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
4		jumpncnp.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5		jumpncnp.lpt1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
6		jumpncnp.lpt2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
7		jumpncnp.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) limℂ 𝐵))
8		jumpncnp.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) limℂ 𝐵))
9		jumpncnp.lner	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≠ 𝑅)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	limclner 46313	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ∅)
11		ne0i 4293	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅)
12	11	necon2bi 2986	. . . 4 ⊢ ((𝐹 limℂ 𝐵) = ∅ → ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
13	10, 12	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
14	13	intnand 493	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
15		ax-resscn 11156	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
16		jumpncnp.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
17		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
18		tgioo4 24941	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
19	3, 18	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ 𝐽 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
20	17, 19	cnplimc 26025	. . 3 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))))
21	15, 16, 20	sylancr 598	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))))
22	14, 21	mtbird 328	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ran crn 5662   ↾ cres 5663  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11097  ℝcr 11098  +∞cpnf 11239  -∞cmnf 11240  (,)cioo 13371   ↾_t crest 17472  TopOpenctopn 17473  topGenctg 17489  ℂ_fldccnfld 21501  limPtclp 23270   CnP ccnp 23361   lim_ℂ climc 26000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13375  df-fz 13535  df-seq 14037  df-exp 14097  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-struct 17206  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-rest 17474  df-topn 17475  df-topgen 17495  df-psmet 21493  df-xmet 21494  df-met 21495  df-bl 21496  df-mopn 21497  df-cnfld 21502  df-top 23030  df-topon 23047  df-topsp 23069  df-bases 23082  df-cld 23155  df-ntr 23156  df-cls 23157  df-nei 23234  df-lp 23272  df-cnp 23364  df-xms 24456  df-ms 24457  df-limc 26004

This theorem is referenced by:  fouriersw  46893