Theorem jumpncnp 46084

Description: Jump discontinuity or discontinuity of the first kind: if the left and the right limit don't match, the function is discontinuous at the point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
jumpncnp.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
jumpncnp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
jumpncnp.3	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
jumpncnp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
jumpncnp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
jumpncnp.lpt1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
jumpncnp.lpt2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
jumpncnp.8	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) limℂ 𝐵))
jumpncnp.9	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) limℂ 𝐵))
jumpncnp.lner	⊢ (𝜑 → 𝐿 ≠ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
jumpncnp	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵))

Proof of Theorem jumpncnp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		jumpncnp.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
2		jumpncnp.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		jumpncnp.3	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
4		jumpncnp.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5		jumpncnp.lpt1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
6		jumpncnp.lpt2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
7		jumpncnp.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) limℂ 𝐵))
8		jumpncnp.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) limℂ 𝐵))
9		jumpncnp.lner	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≠ 𝑅)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	limclner 45837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ∅)
11		ne0i 4291	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅)
12	11	necon2bi 2960	. . . 4 ⊢ ((𝐹 limℂ 𝐵) = ∅ → ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
13	10, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
14	13	intnand 488	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
15		ax-resscn 11081	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
16		jumpncnp.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
17		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
18		tgioo4 24747	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
19	3, 18	eqtri 2757	. . . 4 ⊢ 𝐽 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
20	17, 19	cnplimc 25842	. . 3 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))))
21	15, 16, 20	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))))
22	14, 21	mtbird 325	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4283  ran crn 5623   ↾ cres 5624  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  ℝcr 11023  +∞cpnf 11161  -∞cmnf 11162  (,)cioo 13259   ↾_t crest 17338  TopOpenctopn 17339  topGenctg 17355  ℂ_fldccnfld 21307  limPtclp 23076   CnP ccnp 23167   lim_ℂ climc 25817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fi 9312  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-ioo 13263  df-fz 13422  df-seq 13923  df-exp 13983  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-struct 17072  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-rest 17340  df-topn 17341  df-topgen 17361  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-cnfld 21308  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-cld 22961  df-ntr 22962  df-cls 22963  df-nei 23040  df-lp 23078  df-cnp 23170  df-xms 24262  df-ms 24263  df-limc 25821

This theorem is referenced by:  fouriersw  46417