Theorem limcdm0 46903

Description: If a function has empty domain, every complex number is a limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcdm0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:∅⟶ℂ)
limcdm0.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
limcdm0	⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ℂ)

Proof of Theorem limcdm0

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 26250	. . . . 5 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ℂ
2	1	sseli 3909	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
4		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
5		1rp 13164	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ+
6		ral0 4457	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 1) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑦)
7		brimralrspcev 5172	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 1) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑦))
8	5, 6, 7	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑦)
9	8	rgenw 3084	. . . . 5 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑦)
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑦))
11		limcdm0.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∅⟶ℂ)
12	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐹:∅⟶ℂ)
13		0ss 4353	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ ℂ
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ∅ ⊆ ℂ)
15		limcdm0.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
16	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
17	12, 14, 16	ellimc3 26254	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑦))))
18	4, 10, 17	mpbir2and 726	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
19	3, 18	impbida 813	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ℂ))
20	19	eqrdv 2761	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281   class class class wbr 5108  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  1c1 11240   < clt 11382   − cmin 11580  ℝ⁺crp 13160  abscabs 15444   lim_ℂ climc 26237

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-fz 13680  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-struct 17369  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-euf 17499  df-rest 17643  df-topn 17644  df-topgen 17664  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-cnfld 21730  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-cnp 23601  df-xms 24694  df-ms 24695  df-limc 26241

This theorem is used by:  ioodvbdlimc1  47216  ioodvbdlimc2  47218