Theorem limcdm0 45664

Description: If a function has empty domain, every complex number is a limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcdm0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:∅⟶ℂ)
limcdm0.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
limcdm0	⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ℂ)

Proof of Theorem limcdm0

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 25804	. . . . 5 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ℂ
2	1	sseli 3930	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
4		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
5		1rp 12894	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ+
6		ral0 4463	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 1) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑦)
7		brimralrspcev 5152	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 1) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑦))
8	5, 6, 7	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑦)
9	8	rgenw 3051	. . . . 5 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑦)
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑦))
11		limcdm0.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∅⟶ℂ)
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐹:∅⟶ℂ)
13		0ss 4350	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ ℂ
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ∅ ⊆ ℂ)
15		limcdm0.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
17	12, 14, 16	ellimc3 25808	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑦))))
18	4, 10, 17	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
19	3, 18	impbida 800	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ℂ))
20	19	eqrdv 2729	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283   class class class wbr 5091  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  1c1 11007   < clt 11146   − cmin 11344  ℝ⁺crp 12890  abscabs 15141   lim_ℂ climc 25791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-fz 13408  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-rest 17326  df-topn 17327  df-topgen 17347  df-psmet 21284  df-xmet 21285  df-met 21286  df-bl 21287  df-mopn 21288  df-cnfld 21293  df-top 22810  df-topon 22827  df-topsp 22849  df-bases 22862  df-cnp 23144  df-xms 24236  df-ms 24237  df-limc 25795

This theorem is referenced by:  ioodvbdlimc1  45977  ioodvbdlimc2  45979