Theorem limcdm0 43166

Description: If a function has empty domain, every complex number is a limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcdm0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:∅⟶ℂ)
limcdm0.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
limcdm0	⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ℂ)

Proof of Theorem limcdm0

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 25048	. . . . 5 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ℂ
2	1	sseli 3918	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
4		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
5		1rp 12743	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ+
6		ral0 4444	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 1) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑦)
7		brimralrspcev 5136	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 1) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑦))
8	5, 6, 7	mp2an 689	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑦)
9	8	rgenw 3077	. . . . 5 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑦)
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑦))
11		limcdm0.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∅⟶ℂ)
12	11	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐹:∅⟶ℂ)
13		0ss 4331	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ ℂ
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ∅ ⊆ ℂ)
15		limcdm0.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
16	15	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
17	12, 14, 16	ellimc3 25052	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑦))))
18	4, 10, 17	mpbir2and 710	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
19	3, 18	impbida 798	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ℂ))
20	19	eqrdv 2737	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2944  ∀wral 3065  ∃wrex 3066   ⊆ wss 3888  ∅c0 4257   class class class wbr 5075  ⟶wf 6433  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284  ℂcc 10878  1c1 10881   < clt 11018   − cmin 11214  ℝ⁺crp 12739  abscabs 14954   lim_ℂ climc 25035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-er 8507  df-map 8626  df-pm 8627  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-fi 9179  df-sup 9210  df-inf 9211  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-4 12047  df-5 12048  df-6 12049  df-7 12050  df-8 12051  df-9 12052  df-n0 12243  df-z 12329  df-dec 12447  df-uz 12592  df-q 12698  df-rp 12740  df-xneg 12857  df-xadd 12858  df-xmul 12859  df-fz 13249  df-seq 13731  df-exp 13792  df-cj 14819  df-re 14820  df-im 14821  df-sqrt 14955  df-abs 14956  df-struct 16857  df-slot 16892  df-ndx 16904  df-base 16922  df-plusg 16984  df-mulr 16985  df-starv 16986  df-tset 16990  df-ple 16991  df-ds 16993  df-unif 16994  df-rest 17142  df-topn 17143  df-topgen 17163  df-psmet 20598  df-xmet 20599  df-met 20600  df-bl 20601  df-mopn 20602  df-cnfld 20607  df-top 22052  df-topon 22069  df-topsp 22091  df-bases 22105  df-cnp 22388  df-xms 23482  df-ms 23483  df-limc 25039

This theorem is referenced by:  ioodvbdlimc1  43481  ioodvbdlimc2  43483