Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limcdm0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcdm0 44207
Description: If a function has empty domain, every complex number is a limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcdm0.f (𝜑𝐹:∅⟶ℂ)
limcdm0.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
limcdm0 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ℂ)

Proof of Theorem limcdm0
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 25361 . . . . 5 (𝐹 lim 𝐵) ⊆ ℂ
21sseli 3976 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
32adantl 483 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
4 simpr 486 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
5 1rp 12965 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ+
6 ral0 4508 . . . . . . 7 𝑧 ∈ ∅ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 1) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑥)) < 𝑦)
7 brimralrspcev 5205 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 1) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ∅ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑥)) < 𝑦))
85, 6, 7mp2an 691 . . . . . 6 𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ∅ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑥)) < 𝑦)
98rgenw 3066 . . . . 5 𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ∅ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑥)) < 𝑦)
109a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ∅ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑥)) < 𝑦))
11 limcdm0.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:∅⟶ℂ)
1211adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐹:∅⟶ℂ)
13 0ss 4394 . . . . . 6 ∅ ⊆ ℂ
1413a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ∅ ⊆ ℂ)
15 limcdm0.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1615adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
1712, 14, 16ellimc3 25365 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ∅ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑥)) < 𝑦))))
184, 10, 17mpbir2and 712 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
193, 18impbida 800 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ℂ))
2019eqrdv 2731 1 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  wss 3946  c0 4320   class class class wbr 5144  wf 6531  cfv 6535  (class class class)co 7396  cc 11095  1c1 11098   < clt 11235  cmin 11431  +crp 12961  abscabs 15168   lim climc 25348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174  ax-pre-sup 11175
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8691  df-map 8810  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fi 9393  df-sup 9424  df-inf 9425  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-div 11859  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-4 12264  df-5 12265  df-6 12266  df-7 12267  df-8 12268  df-9 12269  df-n0 12460  df-z 12546  df-dec 12665  df-uz 12810  df-q 12920  df-rp 12962  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-fz 13472  df-seq 13954  df-exp 14015  df-cj 15033  df-re 15034  df-im 15035  df-sqrt 15169  df-abs 15170  df-struct 17067  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-plusg 17197  df-mulr 17198  df-starv 17199  df-tset 17203  df-ple 17204  df-ds 17206  df-unif 17207  df-rest 17355  df-topn 17356  df-topgen 17376  df-psmet 20910  df-xmet 20911  df-met 20912  df-bl 20913  df-mopn 20914  df-cnfld 20919  df-top 22365  df-topon 22382  df-topsp 22404  df-bases 22418  df-cnp 22701  df-xms 23795  df-ms 23796  df-limc 25352
This theorem is referenced by:  ioodvbdlimc1  44522  ioodvbdlimc2  44524
  Copyright terms: Public domain W3C validator