Theorem limcdm0 45633

Description: If a function has empty domain, every complex number is a limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcdm0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:∅⟶ℂ)
limcdm0.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
limcdm0	⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ℂ)

Proof of Theorem limcdm0

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 25910	. . . . 5 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ℂ
2	1	sseli 3979	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
4		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
5		1rp 13038	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ+
6		ral0 4513	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 1) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑦)
7		brimralrspcev 5204	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 1) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑦))
8	5, 6, 7	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑦)
9	8	rgenw 3065	. . . . 5 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑦)
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑦))
11		limcdm0.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∅⟶ℂ)
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐹:∅⟶ℂ)
13		0ss 4400	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ ℂ
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ∅ ⊆ ℂ)
15		limcdm0.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
17	12, 14, 16	ellimc3 25914	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑦))))
18	4, 10, 17	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
19	3, 18	impbida 801	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ℂ))
20	19	eqrdv 2735	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333   class class class wbr 5143  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  1c1 11156   < clt 11295   − cmin 11492  ℝ⁺crp 13034  abscabs 15273   lim_ℂ climc 25897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cnp 23236  df-xms 24330  df-ms 24331  df-limc 25901

This theorem is referenced by:  ioodvbdlimc1  45948  ioodvbdlimc2  45950