Theorem limcdm0 44334

Description: If a function has empty domain, every complex number is a limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcdm0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:∅⟶ℂ)
limcdm0.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
limcdm0	⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ℂ)

Proof of Theorem limcdm0

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 25392	. . . . 5 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ℂ
2	1	sseli 3979	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	adantl 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
4		simpr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
5		1rp 12978	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ+
6		ral0 4513	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 1) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑦)
7		brimralrspcev 5210	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 1) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑦))
8	5, 6, 7	mp2an 691	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑦)
9	8	rgenw 3066	. . . . 5 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑦)
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑦))
11		limcdm0.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∅⟶ℂ)
12	11	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐹:∅⟶ℂ)
13		0ss 4397	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ ℂ
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ∅ ⊆ ℂ)
15		limcdm0.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
16	15	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
17	12, 14, 16	ellimc3 25396	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑦))))
18	4, 10, 17	mpbir2and 712	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
19	3, 18	impbida 800	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ℂ))
20	19	eqrdv 2731	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323   class class class wbr 5149  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  1c1 11111   < clt 11248   − cmin 11444  ℝ⁺crp 12974  abscabs 15181   lim_ℂ climc 25379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-rest 17368  df-topn 17369  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cnp 22732  df-xms 23826  df-ms 23827  df-limc 25383

This theorem is referenced by:  ioodvbdlimc1  44649  ioodvbdlimc2  44651