Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ellimcabssub0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellimcabssub0 42257
Description: An equivalent condition for being a limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ellimcabssub0.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
ellimcabssub0.g 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶))
ellimcabssub0.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
ellimcabssub0.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
ellimcabssub0.p (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
ellimcabssub0.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
ellimcabssub0 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐷) ↔ 0 ∈ (𝐺 lim 𝐷)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem ellimcabssub0
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ellimcabssub0.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2 0cnd 10623 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
31, 22thd 268 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 0 ∈ ℂ))
4 ellimcabssub0.b . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
51adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
64, 5subcld 10986 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
7 ellimcabssub0.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶))
86, 7fmptd 6855 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℂ)
98ffvelrnda 6828 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
109subid1d 10975 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) − 0) = (𝐺𝑧))
11 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
12 csbov1g 7180 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ V → 𝑧 / 𝑥(𝐵𝐶) = (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶))
1312elv 3446 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 / 𝑥(𝐵𝐶) = (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶)
14 sban 2085 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ([𝑧 / 𝑥](𝜑𝑥𝐴) ↔ ([𝑧 / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑧 / 𝑥]𝑥𝐴))
15 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥𝜑
1615sbf 2268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ([𝑧 / 𝑥]𝜑𝜑)
17 clelsb3 2917 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ([𝑧 / 𝑥]𝑥𝐴𝑧𝐴)
1816, 17anbi12i 629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (([𝑧 / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑧 / 𝑥]𝑥𝐴) ↔ (𝜑𝑧𝐴))
1914, 18bitri 278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ([𝑧 / 𝑥](𝜑𝑥𝐴) ↔ (𝜑𝑧𝐴))
204nfth 1803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2120sbf 2268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ([𝑧 / 𝑥]((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ))
22 sbim 2307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ([𝑧 / 𝑥]((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ([𝑧 / 𝑥](𝜑𝑥𝐴) → [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ))
2321, 22sylbb1 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) → ([𝑧 / 𝑥](𝜑𝑥𝐴) → [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ))
2419, 23syl5bir 246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝜑𝑧𝐴) → [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ))
254, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴) → [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ)
26 sbsbc 3724 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ ↔ [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ)
27 sbcel1g 4321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ V → ([𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑧 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ))
2827elv 3446 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑧 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
2926, 28bitri 278 . . . . . . . . . . . . . 14 ([𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑧 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
3025, 29sylib 221 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
311adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
3230, 31subcld 10986 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶) ∈ ℂ)
3313, 32eqeltrid 2894 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 / 𝑥(𝐵𝐶) ∈ ℂ)
347fvmpts 6748 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐴𝑧 / 𝑥(𝐵𝐶) ∈ ℂ) → (𝐺𝑧) = 𝑧 / 𝑥(𝐵𝐶))
3511, 33, 34syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐺𝑧) = 𝑧 / 𝑥(𝐵𝐶))
36 ellimcabssub0.f . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
3736fvmpts 6748 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝐴𝑧 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹𝑧) = 𝑧 / 𝑥𝐵)
3811, 30, 37syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) = 𝑧 / 𝑥𝐵)
3938oveq1d 7150 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) − 𝐶) = (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶))
4013, 39eqtr4id 2852 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 / 𝑥(𝐵𝐶) = ((𝐹𝑧) − 𝐶))
4110, 35, 403eqtrrd 2838 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) − 𝐶) = ((𝐺𝑧) − 0))
4241fveq2d 6649 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐴) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) = (abs‘((𝐺𝑧) − 0)))
4342breq1d 5040 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐴) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐺𝑧) − 0)) < 𝑦))
4443imbi2d 344 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐴) → (((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺𝑧) − 0)) < 𝑦)))
4544ralbidva 3161 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺𝑧) − 0)) < 𝑦)))
4645rexbidv 3256 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺𝑧) − 0)) < 𝑦)))
4746ralbidv 3162 . . 3 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺𝑧) − 0)) < 𝑦)))
483, 47anbi12d 633 . 2 (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (0 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺𝑧) − 0)) < 𝑦))))
494, 36fmptd 6855 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
50 ellimcabssub0.a . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
51 ellimcabssub0.p . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
5249, 50, 51ellimc3 24482 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐷) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑦))))
538, 50, 51ellimc3 24482 . 2 (𝜑 → (0 ∈ (𝐺 lim 𝐷) ↔ (0 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺𝑧) − 0)) < 𝑦))))
5448, 52, 533bitr4d 314 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐷) ↔ 0 ∈ (𝐺 lim 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  [wsb 2069  wcel 2111  wne 2987  wral 3106  wrex 3107  Vcvv 3441  [wsbc 3720  csb 3828  wss 3881   class class class wbr 5030  cmpt 5110  cfv 6324  (class class class)co 7135  cc 10524  0cc0 10526   < clt 10664  cmin 10859  +crp 12377  abscabs 14585   lim climc 24465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-fz 12886  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-rest 16688  df-topn 16689  df-topgen 16709  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cnp 21833  df-xms 22927  df-ms 22928  df-limc 24469
This theorem is referenced by:  reclimc  42293
  Copyright terms: Public domain W3C validator