Theorem ellimcabssub0 45727

Description: An equivalent condition for being a limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellimcabssub0.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
ellimcabssub0.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))
ellimcabssub0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
ellimcabssub0.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
ellimcabssub0.p	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
ellimcabssub0.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
ellimcabssub0	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷) ↔ 0 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem ellimcabssub0

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellimcabssub0.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		0cnd 11105	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
3	1, 2	2thd 265	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 0 ∈ ℂ))
4		ellimcabssub0.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
6	4, 5	subcld 11472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
7		ellimcabssub0.g	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))
8	6, 7	fmptd 7047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
9	8	ffvelcdmda 7017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
10	9	subid1d 11461	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑧) − 0) = (𝐺‘𝑧))
11		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
12		csbov1g 7393	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ V → ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐵 − 𝐶) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − 𝐶))
13	12	elv 3441	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐵 − 𝐶) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − 𝐶)
14		sban 2083	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ([𝑧 / 𝑥](𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ ([𝑧 / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑧 / 𝑥]𝑥 ∈ 𝐴))
15		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
16	15	sbf 2273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜑)
17		clelsb1 2858	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴)
18	16, 17	anbi12i 628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (([𝑧 / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑧 / 𝑥]𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
19	14, 18	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ([𝑧 / 𝑥](𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
20	4	nfth 1802	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20	sbf 2273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ))
22		sbim 2305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ([𝑧 / 𝑥](𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ))
23	21, 22	sylbb1 237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) → ([𝑧 / 𝑥](𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ))
24	19, 23	biimtrrid 243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ))
25	4, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ)
26		sbsbc 3740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ ↔ [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ)
27		sbcel1g 4363	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ V → ([𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ))
28	27	elv 3441	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
29	26, 28	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
30	25, 29	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
31	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
32	30, 31	subcld 11472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
33	13, 32	eqeltrid 2835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
34	7	fvmpts 6932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑧) = ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐵 − 𝐶))
35	11, 33, 34	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑧) = ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐵 − 𝐶))
36		ellimcabssub0.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
37	36	fvmpts 6932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑧) = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
38	11, 30, 37	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
39	38	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑧) − 𝐶) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − 𝐶))
40	13, 39	eqtr4id 2785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐵 − 𝐶) = ((𝐹‘𝑧) − 𝐶))
41	10, 35, 40	3eqtrrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑧) − 𝐶) = ((𝐺‘𝑧) − 0))
42	41	fveq2d 6826	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) = (abs‘((𝐺‘𝑧) − 0)))
43	42	breq1d 5099	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 0)) < 𝑦))
44	43	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 0)) < 𝑦)))
45	44	ralbidva 3153	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 0)) < 𝑦)))
46	45	rexbidv 3156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 0)) < 𝑦)))
47	46	ralbidv 3155	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 0)) < 𝑦)))
48	3, 47	anbi12d 632	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (0 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 0)) < 𝑦))))
49	4, 36	fmptd 7047	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
50		ellimcabssub0.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
51		ellimcabssub0.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
52	49, 50, 51	ellimc3 25807	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑦))))
53	8, 50, 51	ellimc3 25807	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷) ↔ (0 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 0)) < 𝑦))))
54	48, 52, 53	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷) ↔ 0 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  [wsb 2067   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  Vcvv 3436  [wsbc 3736  ⦋csb 3845   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006   < clt 11146   − cmin 11344  ℝ⁺crp 12890  abscabs 15141   lim_ℂ climc 25790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-fz 13408  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-rest 17326  df-topn 17327  df-topgen 17347  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-cnfld 21292  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22861  df-cnp 23143  df-xms 24235  df-ms 24236  df-limc 25794

This theorem is referenced by:  reclimc  45761