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Theorem ellimcabssub0 40323
Description: An equivalent condition for being a limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ellimcabssub0.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
ellimcabssub0.g 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶))
ellimcabssub0.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
ellimcabssub0.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
ellimcabssub0.p (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
ellimcabssub0.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
ellimcabssub0 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐷) ↔ 0 ∈ (𝐺 lim 𝐷)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem ellimcabssub0
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ellimcabssub0.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2 0cnd 10312 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
31, 22thd 256 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 0 ∈ ℂ))
4 ellimcabssub0.b . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
51adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
64, 5subcld 10671 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
7 ellimcabssub0.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶))
86, 7fmptd 6600 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℂ)
98ffvelrnda 6575 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
109subid1d 10660 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) − 0) = (𝐺𝑧))
11 simpr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
12 vex 3390 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 ∈ V
13 csbov1g 6912 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ V → 𝑧 / 𝑥(𝐵𝐶) = (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶))
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 / 𝑥(𝐵𝐶) = (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶)
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 / 𝑥(𝐵𝐶) = (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶))
16 sban 2557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ([𝑧 / 𝑥](𝜑𝑥𝐴) ↔ ([𝑧 / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑧 / 𝑥]𝑥𝐴))
17 nfv 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥𝜑
1817sbf 2538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ([𝑧 / 𝑥]𝜑𝜑)
19 clelsb3 2909 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ([𝑧 / 𝑥]𝑥𝐴𝑧𝐴)
2018, 19anbi12i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (([𝑧 / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑧 / 𝑥]𝑥𝐴) ↔ (𝜑𝑧𝐴))
2116, 20bitri 266 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ([𝑧 / 𝑥](𝜑𝑥𝐴) ↔ (𝜑𝑧𝐴))
224nfth 1883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2322sbf 2538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ([𝑧 / 𝑥]((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ))
24 sbim 2553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ([𝑧 / 𝑥]((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ([𝑧 / 𝑥](𝜑𝑥𝐴) → [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ))
2523, 24sylbb1 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) → ([𝑧 / 𝑥](𝜑𝑥𝐴) → [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ))
2621, 25syl5bir 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝜑𝑧𝐴) → [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ))
274, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴) → [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ)
28 sbsbc 3631 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ ↔ [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ)
29 sbcel1g 4178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ V → ([𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑧 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ))
3012, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑧 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
3128, 30bitri 266 . . . . . . . . . . . . . 14 ([𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑧 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
3227, 31sylib 209 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
331adantr 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
3432, 33subcld 10671 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶) ∈ ℂ)
3515, 34eqeltrd 2881 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 / 𝑥(𝐵𝐶) ∈ ℂ)
367fvmpts 6500 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐴𝑧 / 𝑥(𝐵𝐶) ∈ ℂ) → (𝐺𝑧) = 𝑧 / 𝑥(𝐵𝐶))
3711, 35, 36syl2anc 575 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐺𝑧) = 𝑧 / 𝑥(𝐵𝐶))
38 ellimcabssub0.f . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
3938fvmpts 6500 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝐴𝑧 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹𝑧) = 𝑧 / 𝑥𝐵)
4011, 32, 39syl2anc 575 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) = 𝑧 / 𝑥𝐵)
4140oveq1d 6883 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) − 𝐶) = (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶))
4241, 14syl6reqr 2855 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 / 𝑥(𝐵𝐶) = ((𝐹𝑧) − 𝐶))
4310, 37, 423eqtrrd 2841 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) − 𝐶) = ((𝐺𝑧) − 0))
4443fveq2d 6406 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐴) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) = (abs‘((𝐺𝑧) − 0)))
4544breq1d 4847 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐴) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐺𝑧) − 0)) < 𝑦))
4645imbi2d 331 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐴) → (((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺𝑧) − 0)) < 𝑦)))
4746ralbidva 3169 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺𝑧) − 0)) < 𝑦)))
4847rexbidv 3236 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺𝑧) − 0)) < 𝑦)))
4948ralbidv 3170 . . 3 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺𝑧) − 0)) < 𝑦)))
503, 49anbi12d 618 . 2 (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (0 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺𝑧) − 0)) < 𝑦))))
514, 38fmptd 6600 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
52 ellimcabssub0.a . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
53 ellimcabssub0.p . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
5451, 52, 53ellimc3 23851 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐷) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑦))))
558, 52, 53ellimc3 23851 . 2 (𝜑 → (0 ∈ (𝐺 lim 𝐷) ↔ (0 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺𝑧) − 0)) < 𝑦))))
5650, 54, 553bitr4d 302 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐷) ↔ 0 ∈ (𝐺 lim 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  [wsb 2059  wcel 2155  wne 2974  wral 3092  wrex 3093  Vcvv 3387  [wsbc 3627  csb 3722  wss 3763   class class class wbr 4837  cmpt 4916  cfv 6095  (class class class)co 6868  cc 10213  0cc0 10215   < clt 10353  cmin 10545  +crp 12040  abscabs 14191   lim climc 23834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-rep 4957  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090  ax-un 7173  ax-cnex 10271  ax-resscn 10272  ax-1cn 10273  ax-icn 10274  ax-addcl 10275  ax-addrcl 10276  ax-mulcl 10277  ax-mulrcl 10278  ax-mulcom 10279  ax-addass 10280  ax-mulass 10281  ax-distr 10282  ax-i2m1 10283  ax-1ne0 10284  ax-1rid 10285  ax-rnegex 10286  ax-rrecex 10287  ax-cnre 10288  ax-pre-lttri 10289  ax-pre-lttrn 10290  ax-pre-ltadd 10291  ax-pre-mulgt0 10292  ax-pre-sup 10293
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-nel 3078  df-ral 3097  df-rex 3098  df-reu 3099  df-rmo 3100  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-pss 3779  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-tp 4369  df-op 4371  df-uni 4624  df-int 4663  df-iun 4707  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-tr 4940  df-id 5213  df-eprel 5218  df-po 5226  df-so 5227  df-fr 5264  df-we 5266  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-pred 5887  df-ord 5933  df-on 5934  df-lim 5935  df-suc 5936  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102  df-fv 6103  df-riota 6829  df-ov 6871  df-oprab 6872  df-mpt2 6873  df-om 7290  df-1st 7392  df-2nd 7393  df-wrecs 7636  df-recs 7698  df-rdg 7736  df-1o 7790  df-oadd 7794  df-er 7973  df-map 8088  df-pm 8089  df-en 8187  df-dom 8188  df-sdom 8189  df-fin 8190  df-fi 8550  df-sup 8581  df-inf 8582  df-pnf 10355  df-mnf 10356  df-xr 10357  df-ltxr 10358  df-le 10359  df-sub 10547  df-neg 10548  df-div 10964  df-nn 11300  df-2 11358  df-3 11359  df-4 11360  df-5 11361  df-6 11362  df-7 11363  df-8 11364  df-9 11365  df-n0 11554  df-z 11638  df-dec 11754  df-uz 11899  df-q 12002  df-rp 12041  df-xneg 12156  df-xadd 12157  df-xmul 12158  df-fz 12544  df-seq 13019  df-exp 13078  df-cj 14056  df-re 14057  df-im 14058  df-sqrt 14192  df-abs 14193  df-struct 16064  df-ndx 16065  df-slot 16066  df-base 16068  df-plusg 16160  df-mulr 16161  df-starv 16162  df-tset 16166  df-ple 16167  df-ds 16169  df-unif 16170  df-rest 16282  df-topn 16283  df-topgen 16303  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-cnfld 19949  df-top 20906  df-topon 20923  df-topsp 20945  df-bases 20958  df-cnp 21240  df-xms 22332  df-ms 22333  df-limc 23838
This theorem is referenced by:  reclimc  40359
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