Theorem ellimcabssub0 41394

Description: An equivalent condition for being a limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellimcabssub0.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
ellimcabssub0.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))
ellimcabssub0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
ellimcabssub0.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
ellimcabssub0.p	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
ellimcabssub0.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
ellimcabssub0	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷) ↔ 0 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem ellimcabssub0

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellimcabssub0.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		0cnd 10469	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
3	1, 2	2thd 266	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 0 ∈ ℂ))
4		ellimcabssub0.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
6	4, 5	subcld 10834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
7		ellimcabssub0.g	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))
8	6, 7	fmptd 6732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
9	8	ffvelrnda 6707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
10	9	subid1d 10823	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑧) − 0) = (𝐺‘𝑧))
11		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
12		csbov1g 7051	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ V → ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐵 − 𝐶) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − 𝐶))
13	12	elv 3437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐵 − 𝐶) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − 𝐶)
14		sban 2057	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ([𝑧 / 𝑥](𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ ([𝑧 / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑧 / 𝑥]𝑥 ∈ 𝐴))
15		nfv 1890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
16	15	sbf 2232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜑)
17		clelsb3 2908	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴)
18	16, 17	anbi12i 626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (([𝑧 / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑧 / 𝑥]𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
19	14, 18	bitri 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ([𝑧 / 𝑥](𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
20	4	nfth 1781	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20	sbf 2232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ))
22		sbim 2275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ([𝑧 / 𝑥](𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ))
23	21, 22	sylbb1 238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) → ([𝑧 / 𝑥](𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ))
24	19, 23	syl5bir 244	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ))
25	4, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ)
26		sbsbc 3705	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ ↔ [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ)
27		sbcel1g 4279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ V → ([𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ))
28	27	elv 3437	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
29	26, 28	bitri 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
30	25, 29	sylib 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
31	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
32	30, 31	subcld 10834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
33	13, 32	syl5eqel 2885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
34	7	fvmpts 6629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑧) = ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐵 − 𝐶))
35	11, 33, 34	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑧) = ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐵 − 𝐶))
36		ellimcabssub0.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
37	36	fvmpts 6629	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑧) = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
38	11, 30, 37	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
39	38	oveq1d 7022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑧) − 𝐶) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − 𝐶))
40	39, 13	syl6reqr 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐵 − 𝐶) = ((𝐹‘𝑧) − 𝐶))
41	10, 35, 40	3eqtrrd 2834	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑧) − 𝐶) = ((𝐺‘𝑧) − 0))
42	41	fveq2d 6534	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) = (abs‘((𝐺‘𝑧) − 0)))
43	42	breq1d 4966	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 0)) < 𝑦))
44	43	imbi2d 342	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 0)) < 𝑦)))
45	44	ralbidva 3161	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 0)) < 𝑦)))
46	45	rexbidv 3257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 0)) < 𝑦)))
47	46	ralbidv 3162	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 0)) < 𝑦)))
48	3, 47	anbi12d 630	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (0 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 0)) < 𝑦))))
49	4, 36	fmptd 6732	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
50		ellimcabssub0.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
51		ellimcabssub0.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
52	49, 50, 51	ellimc3 24148	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑦))))
53	8, 50, 51	ellimc3 24148	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷) ↔ (0 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 0)) < 𝑦))))
54	48, 52, 53	3bitr4d 312	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷) ↔ 0 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1520  [wsb 2040   ∈ wcel 2079   ≠ wne 2982  ∀wral 3103  ∃wrex 3104  Vcvv 3432  [wsbc 3701  ⦋csb 3806   ⊆ wss 3854   class class class wbr 4956   ↦ cmpt 5035  ‘cfv 6217  (class class class)co 7007  ℂcc 10370  0cc0 10372   < clt 10510   − cmin 10706  ℝ⁺crp 12228  abscabs 14415   lim_ℂ climc 24131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-fal 1533  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-oadd 7948  df-er 8130  df-map 8249  df-pm 8250  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-fi 8711  df-sup 8742  df-inf 8743  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-4 11539  df-5 11540  df-6 11541  df-7 11542  df-8 11543  df-9 11544  df-n0 11735  df-z 11819  df-dec 11937  df-uz 12083  df-q 12187  df-rp 12229  df-xneg 12346  df-xadd 12347  df-xmul 12348  df-fz 12732  df-seq 13208  df-exp 13268  df-cj 14280  df-re 14281  df-im 14282  df-sqrt 14416  df-abs 14417  df-struct 16302  df-ndx 16303  df-slot 16304  df-base 16306  df-plusg 16395  df-mulr 16396  df-starv 16397  df-tset 16401  df-ple 16402  df-ds 16404  df-unif 16405  df-rest 16513  df-topn 16514  df-topgen 16534  df-psmet 20207  df-xmet 20208  df-met 20209  df-bl 20210  df-mopn 20211  df-cnfld 20216  df-top 21174  df-topon 21191  df-topsp 21213  df-bases 21226  df-cnp 21508  df-xms 22601  df-ms 22602  df-limc 24135

This theorem is referenced by:  reclimc  41430