Theorem ellimcabssub0 44977

Description: An equivalent condition for being a limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellimcabssub0.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
ellimcabssub0.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))
ellimcabssub0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
ellimcabssub0.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
ellimcabssub0.p	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
ellimcabssub0.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
ellimcabssub0	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷) ↔ 0 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem ellimcabssub0

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellimcabssub0.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		0cnd 11231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
3	1, 2	2thd 265	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 0 ∈ ℂ))
4		ellimcabssub0.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
6	4, 5	subcld 11595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
7		ellimcabssub0.g	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))
8	6, 7	fmptd 7118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
9	8	ffvelcdmda 7088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
10	9	subid1d 11584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑧) − 0) = (𝐺‘𝑧))
11		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
12		csbov1g 7459	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ V → ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐵 − 𝐶) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − 𝐶))
13	12	elv 3475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐵 − 𝐶) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − 𝐶)
14		sban 2076	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ([𝑧 / 𝑥](𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ ([𝑧 / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑧 / 𝑥]𝑥 ∈ 𝐴))
15		nfv 1910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
16	15	sbf 2255	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜑)
17		clelsb1 2855	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴)
18	16, 17	anbi12i 626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (([𝑧 / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑧 / 𝑥]𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
19	14, 18	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ([𝑧 / 𝑥](𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
20	4	nfth 1796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20	sbf 2255	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ))
22		sbim 2292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ([𝑧 / 𝑥](𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ))
23	21, 22	sylbb1 236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) → ([𝑧 / 𝑥](𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ))
24	19, 23	biimtrrid 242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ))
25	4, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ)
26		sbsbc 3778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ ↔ [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ)
27		sbcel1g 4409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ V → ([𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ))
28	27	elv 3475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
29	26, 28	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
30	25, 29	sylib 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
31	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
32	30, 31	subcld 11595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
33	13, 32	eqeltrid 2832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
34	7	fvmpts 7002	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑧) = ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐵 − 𝐶))
35	11, 33, 34	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑧) = ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐵 − 𝐶))
36		ellimcabssub0.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
37	36	fvmpts 7002	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑧) = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
38	11, 30, 37	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
39	38	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑧) − 𝐶) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − 𝐶))
40	13, 39	eqtr4id 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐵 − 𝐶) = ((𝐹‘𝑧) − 𝐶))
41	10, 35, 40	3eqtrrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑧) − 𝐶) = ((𝐺‘𝑧) − 0))
42	41	fveq2d 6895	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) = (abs‘((𝐺‘𝑧) − 0)))
43	42	breq1d 5152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 0)) < 𝑦))
44	43	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 0)) < 𝑦)))
45	44	ralbidva 3170	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 0)) < 𝑦)))
46	45	rexbidv 3173	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 0)) < 𝑦)))
47	46	ralbidv 3172	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 0)) < 𝑦)))
48	3, 47	anbi12d 630	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (0 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 0)) < 𝑦))))
49	4, 36	fmptd 7118	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
50		ellimcabssub0.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
51		ellimcabssub0.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
52	49, 50, 51	ellimc3 25801	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑦))))
53	8, 50, 51	ellimc3 25801	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷) ↔ (0 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 0)) < 𝑦))))
54	48, 52, 53	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷) ↔ 0 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534  [wsb 2060   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  ∀wral 3056  ∃wrex 3065  Vcvv 3469  [wsbc 3774  ⦋csb 3889   ⊆ wss 3944   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℂcc 11130  0cc0 11132   < clt 11272   − cmin 11468  ℝ⁺crp 13000  abscabs 15207   lim_ℂ climc 25784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13118  df-xadd 13119  df-xmul 13120  df-fz 13511  df-seq 13993  df-exp 14053  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-struct 17109  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-rest 17397  df-topn 17398  df-topgen 17418  df-psmet 21264  df-xmet 21265  df-met 21266  df-bl 21267  df-mopn 21268  df-cnfld 21273  df-top 22789  df-topon 22806  df-topsp 22828  df-bases 22842  df-cnp 23125  df-xms 24219  df-ms 24220  df-limc 25788

This theorem is referenced by:  reclimc  45013