Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ellimcabssub0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellimcabssub0 44633
Description: An equivalent condition for being a limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ellimcabssub0.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
ellimcabssub0.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 βˆ’ 𝐢))
ellimcabssub0.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
ellimcabssub0.b ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
ellimcabssub0.p (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
ellimcabssub0.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
ellimcabssub0 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷) ↔ 0 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐷)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐢   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐷(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem ellimcabssub0
Dummy variables 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ellimcabssub0.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
2 0cnd 11212 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
31, 22thd 264 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ β„‚ ↔ 0 ∈ β„‚))
4 ellimcabssub0.b . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
51adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
64, 5subcld 11576 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
7 ellimcabssub0.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 βˆ’ 𝐢))
86, 7fmptd 7116 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚)
98ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
109subid1d 11565 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 0) = (πΊβ€˜π‘§))
11 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
12 csbov1g 7457 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ V β†’ ⦋𝑧 / π‘₯⦌(𝐡 βˆ’ 𝐢) = (⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ 𝐢))
1312elv 3479 . . . . . . . . . . . 12 ⦋𝑧 / π‘₯⦌(𝐡 βˆ’ 𝐢) = (⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ 𝐢)
14 sban 2082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ([𝑧 / π‘₯](πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ↔ ([𝑧 / π‘₯]πœ‘ ∧ [𝑧 / π‘₯]π‘₯ ∈ 𝐴))
15 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘₯πœ‘
1615sbf 2261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ([𝑧 / π‘₯]πœ‘ ↔ πœ‘)
17 clelsb1 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ([𝑧 / π‘₯]π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴)
1816, 17anbi12i 626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (([𝑧 / π‘₯]πœ‘ ∧ [𝑧 / π‘₯]π‘₯ ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
1914, 18bitri 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ([𝑧 / π‘₯](πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
204nfth 1802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘₯((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2120sbf 2261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ([𝑧 / π‘₯]((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚) ↔ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚))
22 sbim 2298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ([𝑧 / π‘₯]((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚) ↔ ([𝑧 / π‘₯](πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ [𝑧 / π‘₯]𝐡 ∈ β„‚))
2321, 22sylbb1 236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ([𝑧 / π‘₯](πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ [𝑧 / π‘₯]𝐡 ∈ β„‚))
2419, 23biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ [𝑧 / π‘₯]𝐡 ∈ β„‚))
254, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ [𝑧 / π‘₯]𝐡 ∈ β„‚)
26 sbsbc 3782 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([𝑧 / π‘₯]𝐡 ∈ β„‚ ↔ [𝑧 / π‘₯]𝐡 ∈ β„‚)
27 sbcel1g 4414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ V β†’ ([𝑧 / π‘₯]𝐡 ∈ β„‚ ↔ ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚))
2827elv 3479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([𝑧 / π‘₯]𝐡 ∈ β„‚ ↔ ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚)
2926, 28bitri 274 . . . . . . . . . . . . . 14 ([𝑧 / π‘₯]𝐡 ∈ β„‚ ↔ ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚)
3025, 29sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚)
311adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
3230, 31subcld 11576 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
3313, 32eqeltrid 2836 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ⦋𝑧 / π‘₯⦌(𝐡 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
347fvmpts 7002 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑧 / π‘₯⦌(𝐡 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = ⦋𝑧 / π‘₯⦌(𝐡 βˆ’ 𝐢))
3511, 33, 34syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = ⦋𝑧 / π‘₯⦌(𝐡 βˆ’ 𝐢))
36 ellimcabssub0.f . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
3736fvmpts 7002 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡)
3811, 30, 37syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡)
3938oveq1d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢) = (⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ 𝐢))
4013, 39eqtr4id 2790 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ⦋𝑧 / π‘₯⦌(𝐡 βˆ’ 𝐢) = ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢))
4110, 35, 403eqtrrd 2776 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢) = ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 0))
4241fveq2d 6896 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 0)))
4342breq1d 5159 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦 ↔ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 0)) < 𝑦))
4443imbi2d 339 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦) ↔ ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 0)) < 𝑦)))
4544ralbidva 3174 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 0)) < 𝑦)))
4645rexbidv 3177 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 0)) < 𝑦)))
4746ralbidv 3176 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 0)) < 𝑦)))
483, 47anbi12d 630 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦)) ↔ (0 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 0)) < 𝑦))))
494, 36fmptd 7116 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
50 ellimcabssub0.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
51 ellimcabssub0.p . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
5249, 50, 51ellimc3 25629 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷) ↔ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦))))
538, 50, 51ellimc3 25629 . 2 (πœ‘ β†’ (0 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐷) ↔ (0 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 0)) < 𝑦))))
5448, 52, 533bitr4d 310 1 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷) ↔ 0 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540  [wsb 2066   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  Vcvv 3473  [wsbc 3778  β¦‹csb 3894   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  β„‚cc 11111  0cc0 11113   < clt 11253   βˆ’ cmin 11449  β„+crp 12979  abscabs 15186   limβ„‚ climc 25612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-fz 13490  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-rest 17373  df-topn 17374  df-topgen 17394  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cnp 22953  df-xms 24047  df-ms 24048  df-limc 25616
This theorem is referenced by:  reclimc  44669
  Copyright terms: Public domain W3C validator