Theorem ellimcabssub0 45632

Description: An equivalent condition for being a limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellimcabssub0.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
ellimcabssub0.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))
ellimcabssub0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
ellimcabssub0.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
ellimcabssub0.p	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
ellimcabssub0.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
ellimcabssub0	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷) ↔ 0 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem ellimcabssub0

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellimcabssub0.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		0cnd 11254	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
3	1, 2	2thd 265	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 0 ∈ ℂ))
4		ellimcabssub0.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
6	4, 5	subcld 11620	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
7		ellimcabssub0.g	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶))
8	6, 7	fmptd 7134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
9	8	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
10	9	subid1d 11609	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑧) − 0) = (𝐺‘𝑧))
11		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
12		csbov1g 7478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ V → ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐵 − 𝐶) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − 𝐶))
13	12	elv 3485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐵 − 𝐶) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − 𝐶)
14		sban 2080	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ([𝑧 / 𝑥](𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ ([𝑧 / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑧 / 𝑥]𝑥 ∈ 𝐴))
15		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
16	15	sbf 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜑)
17		clelsb1 2868	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴)
18	16, 17	anbi12i 628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (([𝑧 / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑧 / 𝑥]𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
19	14, 18	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ([𝑧 / 𝑥](𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
20	4	nfth 1801	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20	sbf 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ))
22		sbim 2303	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ([𝑧 / 𝑥](𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ))
23	21, 22	sylbb1 237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) → ([𝑧 / 𝑥](𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ))
24	19, 23	biimtrrid 243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ))
25	4, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ)
26		sbsbc 3792	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ ↔ [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ)
27		sbcel1g 4416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ V → ([𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ))
28	27	elv 3485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
29	26, 28	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
30	25, 29	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
31	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
32	30, 31	subcld 11620	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
33	13, 32	eqeltrid 2845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
34	7	fvmpts 7019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑧) = ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐵 − 𝐶))
35	11, 33, 34	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑧) = ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐵 − 𝐶))
36		ellimcabssub0.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
37	36	fvmpts 7019	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑧) = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
38	11, 30, 37	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
39	38	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑧) − 𝐶) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 − 𝐶))
40	13, 39	eqtr4id 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐵 − 𝐶) = ((𝐹‘𝑧) − 𝐶))
41	10, 35, 40	3eqtrrd 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑧) − 𝐶) = ((𝐺‘𝑧) − 0))
42	41	fveq2d 6910	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) = (abs‘((𝐺‘𝑧) − 0)))
43	42	breq1d 5153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 0)) < 𝑦))
44	43	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 0)) < 𝑦)))
45	44	ralbidva 3176	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 0)) < 𝑦)))
46	45	rexbidv 3179	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 0)) < 𝑦)))
47	46	ralbidv 3178	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 0)) < 𝑦)))
48	3, 47	anbi12d 632	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (0 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 0)) < 𝑦))))
49	4, 36	fmptd 7134	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
50		ellimcabssub0.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
51		ellimcabssub0.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
52	49, 50, 51	ellimc3 25914	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑦))))
53	8, 50, 51	ellimc3 25914	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷) ↔ (0 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 0)) < 𝑦))))
54	48, 52, 53	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷) ↔ 0 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  [wsb 2064   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3480  [wsbc 3788  ⦋csb 3899   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155   < clt 11295   − cmin 11492  ℝ⁺crp 13034  abscabs 15273   lim_ℂ climc 25897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cnp 23236  df-xms 24330  df-ms 24331  df-limc 25901

This theorem is referenced by:  reclimc  45668