Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ellimcabssub0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellimcabssub0 44418
Description: An equivalent condition for being a limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ellimcabssub0.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
ellimcabssub0.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 βˆ’ 𝐢))
ellimcabssub0.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
ellimcabssub0.b ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
ellimcabssub0.p (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
ellimcabssub0.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
ellimcabssub0 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷) ↔ 0 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐷)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐢   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐷(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem ellimcabssub0
Dummy variables 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ellimcabssub0.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
2 0cnd 11209 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
31, 22thd 264 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ β„‚ ↔ 0 ∈ β„‚))
4 ellimcabssub0.b . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
51adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
64, 5subcld 11573 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
7 ellimcabssub0.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 βˆ’ 𝐢))
86, 7fmptd 7115 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚)
98ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
109subid1d 11562 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 0) = (πΊβ€˜π‘§))
11 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
12 csbov1g 7456 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ V β†’ ⦋𝑧 / π‘₯⦌(𝐡 βˆ’ 𝐢) = (⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ 𝐢))
1312elv 3480 . . . . . . . . . . . 12 ⦋𝑧 / π‘₯⦌(𝐡 βˆ’ 𝐢) = (⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ 𝐢)
14 sban 2083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ([𝑧 / π‘₯](πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ↔ ([𝑧 / π‘₯]πœ‘ ∧ [𝑧 / π‘₯]π‘₯ ∈ 𝐴))
15 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘₯πœ‘
1615sbf 2262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ([𝑧 / π‘₯]πœ‘ ↔ πœ‘)
17 clelsb1 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ([𝑧 / π‘₯]π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴)
1816, 17anbi12i 627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (([𝑧 / π‘₯]πœ‘ ∧ [𝑧 / π‘₯]π‘₯ ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
1914, 18bitri 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ([𝑧 / π‘₯](πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
204nfth 1803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘₯((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2120sbf 2262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ([𝑧 / π‘₯]((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚) ↔ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚))
22 sbim 2299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ([𝑧 / π‘₯]((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚) ↔ ([𝑧 / π‘₯](πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ [𝑧 / π‘₯]𝐡 ∈ β„‚))
2321, 22sylbb1 236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ([𝑧 / π‘₯](πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ [𝑧 / π‘₯]𝐡 ∈ β„‚))
2419, 23biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ [𝑧 / π‘₯]𝐡 ∈ β„‚))
254, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ [𝑧 / π‘₯]𝐡 ∈ β„‚)
26 sbsbc 3781 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([𝑧 / π‘₯]𝐡 ∈ β„‚ ↔ [𝑧 / π‘₯]𝐡 ∈ β„‚)
27 sbcel1g 4413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ V β†’ ([𝑧 / π‘₯]𝐡 ∈ β„‚ ↔ ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚))
2827elv 3480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([𝑧 / π‘₯]𝐡 ∈ β„‚ ↔ ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚)
2926, 28bitri 274 . . . . . . . . . . . . . 14 ([𝑧 / π‘₯]𝐡 ∈ β„‚ ↔ ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚)
3025, 29sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚)
311adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
3230, 31subcld 11573 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
3313, 32eqeltrid 2837 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ⦋𝑧 / π‘₯⦌(𝐡 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
347fvmpts 7001 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑧 / π‘₯⦌(𝐡 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = ⦋𝑧 / π‘₯⦌(𝐡 βˆ’ 𝐢))
3511, 33, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = ⦋𝑧 / π‘₯⦌(𝐡 βˆ’ 𝐢))
36 ellimcabssub0.f . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
3736fvmpts 7001 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡)
3811, 30, 37syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡)
3938oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢) = (⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ 𝐢))
4013, 39eqtr4id 2791 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ⦋𝑧 / π‘₯⦌(𝐡 βˆ’ 𝐢) = ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢))
4110, 35, 403eqtrrd 2777 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢) = ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 0))
4241fveq2d 6895 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 0)))
4342breq1d 5158 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦 ↔ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 0)) < 𝑦))
4443imbi2d 340 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦) ↔ ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 0)) < 𝑦)))
4544ralbidva 3175 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 0)) < 𝑦)))
4645rexbidv 3178 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 0)) < 𝑦)))
4746ralbidv 3177 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 0)) < 𝑦)))
483, 47anbi12d 631 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦)) ↔ (0 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 0)) < 𝑦))))
494, 36fmptd 7115 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
50 ellimcabssub0.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
51 ellimcabssub0.p . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
5249, 50, 51ellimc3 25403 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷) ↔ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦))))
538, 50, 51ellimc3 25403 . 2 (πœ‘ β†’ (0 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐷) ↔ (0 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 0)) < 𝑦))))
5448, 52, 533bitr4d 310 1 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷) ↔ 0 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  [wsb 2067   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474  [wsbc 3777  β¦‹csb 3893   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  0cc0 11112   < clt 11250   βˆ’ cmin 11446  β„+crp 12976  abscabs 15183   limβ„‚ climc 25386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-fz 13487  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-struct 17082  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-rest 17370  df-topn 17371  df-topgen 17391  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cnp 22739  df-xms 23833  df-ms 23834  df-limc 25390
This theorem is referenced by:  reclimc  44454
  Copyright terms: Public domain W3C validator