Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ellimcabssub0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellimcabssub0 43865
Description: An equivalent condition for being a limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ellimcabssub0.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
ellimcabssub0.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 βˆ’ 𝐢))
ellimcabssub0.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
ellimcabssub0.b ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
ellimcabssub0.p (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
ellimcabssub0.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
ellimcabssub0 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷) ↔ 0 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐷)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐢   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐷(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem ellimcabssub0
Dummy variables 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ellimcabssub0.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
2 0cnd 11149 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
31, 22thd 265 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ β„‚ ↔ 0 ∈ β„‚))
4 ellimcabssub0.b . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
51adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
64, 5subcld 11513 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
7 ellimcabssub0.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 βˆ’ 𝐢))
86, 7fmptd 7063 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚)
98ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
109subid1d 11502 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 0) = (πΊβ€˜π‘§))
11 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
12 csbov1g 7403 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ V β†’ ⦋𝑧 / π‘₯⦌(𝐡 βˆ’ 𝐢) = (⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ 𝐢))
1312elv 3452 . . . . . . . . . . . 12 ⦋𝑧 / π‘₯⦌(𝐡 βˆ’ 𝐢) = (⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ 𝐢)
14 sban 2084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ([𝑧 / π‘₯](πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ↔ ([𝑧 / π‘₯]πœ‘ ∧ [𝑧 / π‘₯]π‘₯ ∈ 𝐴))
15 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘₯πœ‘
1615sbf 2263 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ([𝑧 / π‘₯]πœ‘ ↔ πœ‘)
17 clelsb1 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ([𝑧 / π‘₯]π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴)
1816, 17anbi12i 628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (([𝑧 / π‘₯]πœ‘ ∧ [𝑧 / π‘₯]π‘₯ ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
1914, 18bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ([𝑧 / π‘₯](πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
204nfth 1804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘₯((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2120sbf 2263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ([𝑧 / π‘₯]((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚) ↔ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚))
22 sbim 2300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ([𝑧 / π‘₯]((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚) ↔ ([𝑧 / π‘₯](πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ [𝑧 / π‘₯]𝐡 ∈ β„‚))
2321, 22sylbb1 236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ([𝑧 / π‘₯](πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ [𝑧 / π‘₯]𝐡 ∈ β„‚))
2419, 23biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ [𝑧 / π‘₯]𝐡 ∈ β„‚))
254, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ [𝑧 / π‘₯]𝐡 ∈ β„‚)
26 sbsbc 3744 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([𝑧 / π‘₯]𝐡 ∈ β„‚ ↔ [𝑧 / π‘₯]𝐡 ∈ β„‚)
27 sbcel1g 4374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ V β†’ ([𝑧 / π‘₯]𝐡 ∈ β„‚ ↔ ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚))
2827elv 3452 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([𝑧 / π‘₯]𝐡 ∈ β„‚ ↔ ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚)
2926, 28bitri 275 . . . . . . . . . . . . . 14 ([𝑧 / π‘₯]𝐡 ∈ β„‚ ↔ ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚)
3025, 29sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚)
311adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
3230, 31subcld 11513 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
3313, 32eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ⦋𝑧 / π‘₯⦌(𝐡 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
347fvmpts 6952 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑧 / π‘₯⦌(𝐡 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = ⦋𝑧 / π‘₯⦌(𝐡 βˆ’ 𝐢))
3511, 33, 34syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = ⦋𝑧 / π‘₯⦌(𝐡 βˆ’ 𝐢))
36 ellimcabssub0.f . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
3736fvmpts 6952 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡)
3811, 30, 37syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = ⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡)
3938oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢) = (⦋𝑧 / π‘₯⦌𝐡 βˆ’ 𝐢))
4013, 39eqtr4id 2796 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ⦋𝑧 / π‘₯⦌(𝐡 βˆ’ 𝐢) = ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢))
4110, 35, 403eqtrrd 2782 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢) = ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 0))
4241fveq2d 6847 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 0)))
4342breq1d 5116 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦 ↔ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 0)) < 𝑦))
4443imbi2d 341 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦) ↔ ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 0)) < 𝑦)))
4544ralbidva 3173 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 0)) < 𝑦)))
4645rexbidv 3176 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 0)) < 𝑦)))
4746ralbidv 3175 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 0)) < 𝑦)))
483, 47anbi12d 632 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦)) ↔ (0 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 0)) < 𝑦))))
494, 36fmptd 7063 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
50 ellimcabssub0.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
51 ellimcabssub0.p . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
5249, 50, 51ellimc3 25246 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷) ↔ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑦))))
538, 50, 51ellimc3 25246 . 2 (πœ‘ β†’ (0 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐷) ↔ (0 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 0)) < 𝑦))))
5448, 52, 533bitr4d 311 1 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷) ↔ 0 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  [wsb 2068   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3446  [wsbc 3740  β¦‹csb 3856   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11050  0cc0 11052   < clt 11190   βˆ’ cmin 11386  β„+crp 12916  abscabs 15120   limβ„‚ climc 25229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fi 9348  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xneg 13034  df-xadd 13035  df-xmul 13036  df-fz 13426  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-struct 17020  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-starv 17149  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-unif 17157  df-rest 17305  df-topn 17306  df-topgen 17326  df-psmet 20791  df-xmet 20792  df-met 20793  df-bl 20794  df-mopn 20795  df-cnfld 20800  df-top 22246  df-topon 22263  df-topsp 22285  df-bases 22299  df-cnp 22582  df-xms 23676  df-ms 23677  df-limc 25233
This theorem is referenced by:  reclimc  43901
  Copyright terms: Public domain W3C validator