Theorem ehl1eudisval 25631

Description: The value of the Euclidean distance function in a real Euclidean space of dimension 1. (Contributed by AV, 16-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ehl1eudis.e	⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘1)
ehl1eudis.x	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m {1})
ehl1eudis.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
ehl1eudisval	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (abs‘((𝐹‘1) − (𝐺‘1))))

Proof of Theorem ehl1eudisval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6884	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐹 → (𝑥‘1) = (𝐹‘1))
2	1	fvoveq1d 7441	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐹 → (abs‘((𝑥‘1) − (𝑦‘1))) = (abs‘((𝐹‘1) − (𝑦‘1))))
3		fveq1 6884	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐺 → (𝑦‘1) = (𝐺‘1))
4	3	oveq2d 7435	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐺 → ((𝐹‘1) − (𝑦‘1)) = ((𝐹‘1) − (𝐺‘1)))
5	4	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐺 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝑦‘1))) = (abs‘((𝐹‘1) − (𝐺‘1))))
6		ehl1eudis.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘1)
7		ehl1eudis.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m {1})
8		ehl1eudis.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
9	6, 7, 8	ehl1eudis 25630	. 2 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (abs‘((𝑥‘1) − (𝑦‘1))))
10		fvex 6898	. 2 ⊢ (abs‘((𝐹‘1) − (𝐺‘1))) ∈ V
11	2, 5, 9, 10	ovmpo 7579	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (abs‘((𝐹‘1) − (𝐺‘1))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {csn 4591  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ↑_m cmap 8830  ℝcr 11114  1c1 11116   − cmin 11456  abscabs 15309  distcds 17341  𝔼_hilcehl 25594

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193  ax-addf 11194  ax-mulf 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-sup 9409  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-rp 13033  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-seq 14056  df-exp 14116  df-hash 14385  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-clim 15563  df-sum 15762  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-starv 17347  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-ip 17350  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-unif 17355  df-hom 17356  df-cco 17357  df-0g 17516  df-gsum 17517  df-prds 17522  df-pws 17524  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-mhm 18878  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-sbg 19049  df-subg 19233  df-ghm 19328  df-cntz 19431  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-rng 20275  df-ur 20308  df-ring 20361  df-cring 20362  df-oppr 20465  df-dvdsr 20485  df-unit 20486  df-invr 20516  df-dvr 20529  df-rhm 20600  df-subrng 20695  df-subrg 20719  df-drng 20879  df-field 20880  df-staf 20992  df-srng 20993  df-lmod 21033  df-lss 21103  df-sra 21344  df-rgmod 21345  df-cnfld 21573  df-refld 21805  df-dsmm 21932  df-frlm 21947  df-nm 24790  df-tng 24792  df-tcph 25379  df-rrx 25595  df-ehl 25596

This theorem is used by: (None)