Theorem ehl1eudisval 25362

Description: The value of the Euclidean distance function in a real Euclidean space of dimension 1. (Contributed by AV, 16-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ehl1eudis.e	⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘1)
ehl1eudis.x	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m {1})
ehl1eudis.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
ehl1eudisval	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (abs‘((𝐹‘1) − (𝐺‘1))))

Proof of Theorem ehl1eudisval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6889	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐹 → (𝑥‘1) = (𝐹‘1))
2	1	fvoveq1d 7435	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐹 → (abs‘((𝑥‘1) − (𝑦‘1))) = (abs‘((𝐹‘1) − (𝑦‘1))))
3		fveq1 6889	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐺 → (𝑦‘1) = (𝐺‘1))
4	3	oveq2d 7429	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐺 → ((𝐹‘1) − (𝑦‘1)) = ((𝐹‘1) − (𝐺‘1)))
5	4	fveq2d 6894	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐺 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝑦‘1))) = (abs‘((𝐹‘1) − (𝐺‘1))))
6		ehl1eudis.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘1)
7		ehl1eudis.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m {1})
8		ehl1eudis.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
9	6, 7, 8	ehl1eudis 25361	. 2 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (abs‘((𝑥‘1) − (𝑦‘1))))
10		fvex 6903	. 2 ⊢ (abs‘((𝐹‘1) − (𝐺‘1))) ∈ V
11	2, 5, 9, 10	ovmpo 7575	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (abs‘((𝐹‘1) − (𝐺‘1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4625  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413   ↑_m cmap 8838  ℝcr 11132  1c1 11134   − cmin 11469  abscabs 15208  distcds 17236  𝔼_hilcehl 25325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212  ax-mulf 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-rp 13002  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-sum 15660  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-prds 17423  df-pws 17425  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-rhm 20410  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-drng 20625  df-field 20626  df-staf 20724  df-srng 20725  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-cnfld 21279  df-refld 21536  df-dsmm 21665  df-frlm 21680  df-nm 24504  df-tng 24506  df-tcph 25110  df-rrx 25326  df-ehl 25327

This theorem is referenced by: (None)