Theorem psrascl 22093

Description: Value of the scalar injection into the power series algebra. (Contributed by SN, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrascl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrascl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrascl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psrascl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrascl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑆)
psrascl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrascl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrascl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
psrascl	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 )))

Distinct variable groups:   0 ,𝑓   𝑦,𝐷   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦   𝑦,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑦,𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐼(𝑦)   𝐾(𝑦,𝑓)   𝑉(𝑦,𝑓)   𝑋(𝑓)   0 (𝑦)

Proof of Theorem psrascl

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrascl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
2		psrascl.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		psrascl.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
4		psrascl.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
5		psrascl.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	3, 4, 5	psrsca 22062	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑆))
7	6	fveq2d 6883	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
8	2, 7	eqtrid 2816	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
9	1, 8	eleqtrd 2871	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)))
10		psrascl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑆)
11		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
12		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑆)) = (Base‘(Scalar‘𝑆))
13		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑆)
14		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
15	10, 11, 12, 13, 14	asclval 21994	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑆)(1r‘𝑆)))
16	9, 15	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑆)(1r‘𝑆)))
17		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
18		eqid 2769	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19		psrascl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
20	3, 4, 5	psrring 22084	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
21	17, 14	ringidcl 20344	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
22	20, 21	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
23	3, 13, 2, 17, 18, 19, 1, 22	psrvsca 22064	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑆)(1r‘𝑆)) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)(1r‘𝑆)))
24		fnconstg 6764	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐾 → (𝐷 × {𝑋}) Fn 𝐷)
25	1, 24	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × {𝑋}) Fn 𝐷)
26	3, 2, 19, 17, 22	psrelbas 22050	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆):𝐷⟶𝐾)
27	26	ffnd 6704	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) Fn 𝐷)
28		ovexd 7443	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V)
29	19, 28	rabexd 5308	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
30		inidm 4187	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∩ 𝐷) = 𝐷
31		fvconst2g 7198	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝐷 × {𝑋})‘𝑦) = 𝑋)
32	1, 31	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝐷 × {𝑋})‘𝑦) = 𝑋)
33		psrascl.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
34		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
35	3, 4, 5, 19, 33, 34, 14	psr1 22085	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) = (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 )))
36	35	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (1r‘𝑆) = (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 )))
37	36	fveq1d 6881	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((1r‘𝑆)‘𝑦) = ((𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))‘𝑦))
38		eqeq1 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝑦 → (𝑑 = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = (𝐼 × {0})))
39	38	ifbid 4513	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 𝑦 → if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))
40		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 )) = (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))
41		fvex 6892	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) ∈ V
42	33	fvexi 6893	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
43	41, 42	ifex 4540	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ) ∈ V
44	39, 40, 43	fvmpt 6987	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → ((𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))‘𝑦) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))
45	44	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))‘𝑦) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))
46	37, 45	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((1r‘𝑆)‘𝑦) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))
47	25, 27, 29, 29, 30, 32, 46	offval 7681	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)(1r‘𝑆)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑋(.r‘𝑅)if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))))
48		ovif2 7507	. . . . 5 ⊢ (𝑋(.r‘𝑅)if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 )) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (𝑋(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)), (𝑋(.r‘𝑅) 0 ))
49	2, 18, 34, 5, 1	ringridmd 20352	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑋)
50	2, 18, 33, 5, 1	ringrzd 20375	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
51	49, 50	ifeq12d 4511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (𝑋(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)), (𝑋(.r‘𝑅) 0 )) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 ))
52	48, 51	eqtrid 2816	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅)if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 )) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 ))
53	52	mpteq2dv 5206	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑋(.r‘𝑅)if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 )))
54	47, 53	eqtrd 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)(1r‘𝑆)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 )))
55	16, 23, 54	3eqtrd 2808	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {crab 3423  Vcvv 3463  ifcif 4489  {csn 4591   ↦ cmpt 5193   × cxp 5657  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662   Fn wfn 6528  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408   ∘_f cof 7670   ↑_m cmap 8820  Fincfn 8939  0cc0 11096  ℕcn 12229  ℕ₀cn0 12500  Basecbs 17265  ._rcmulr 17307  Scalarcsca 17309   ·_𝑠 cvsca 17310  0_gc0g 17488  1_rcur 20259  Ringcrg 20311  algSccascl 21967   mPwSer cmps 22019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-hom 17330  df-cco 17331  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-prds 17496  df-pws 17498  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-mhm 18837  df-submnd 18838  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-mulg 19130  df-ghm 19280  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-ascl 21970  df-psr 22024

This theorem is referenced by: (None)