Theorem psrascl 21939

Description: Value of the scalar injection into the power series algebra. (Contributed by SN, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrascl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrascl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrascl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psrascl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrascl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑆)
psrascl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrascl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrascl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
psrascl	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 )))

Distinct variable groups:   0 ,𝑓   𝑦,𝐷   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦   𝑦,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑦,𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐼(𝑦)   𝐾(𝑦,𝑓)   𝑉(𝑦,𝑓)   𝑋(𝑓)   0 (𝑦)

Proof of Theorem psrascl

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrascl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
2		psrascl.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		psrascl.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
4		psrascl.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
5		psrascl.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	3, 4, 5	psrsca 21907	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑆))
7	6	fveq2d 6880	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
8	2, 7	eqtrid 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
9	1, 8	eleqtrd 2836	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)))
10		psrascl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑆)
11		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
12		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑆)) = (Base‘(Scalar‘𝑆))
13		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑆)
14		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
15	10, 11, 12, 13, 14	asclval 21840	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑆)(1r‘𝑆)))
16	9, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑆)(1r‘𝑆)))
17		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
18		eqid 2735	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19		psrascl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
20	3, 4, 5	psrring 21930	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
21	17, 14	ringidcl 20225	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
23	3, 13, 2, 17, 18, 19, 1, 22	psrvsca 21909	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑆)(1r‘𝑆)) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)(1r‘𝑆)))
24		fnconstg 6766	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐾 → (𝐷 × {𝑋}) Fn 𝐷)
25	1, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × {𝑋}) Fn 𝐷)
26	3, 2, 19, 17, 22	psrelbas 21894	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆):𝐷⟶𝐾)
27	26	ffnd 6707	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) Fn 𝐷)
28		ovexd 7440	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V)
29	19, 28	rabexd 5310	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
30		inidm 4202	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∩ 𝐷) = 𝐷
31		fvconst2g 7194	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝐷 × {𝑋})‘𝑦) = 𝑋)
32	1, 31	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝐷 × {𝑋})‘𝑦) = 𝑋)
33		psrascl.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
34		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
35	3, 4, 5, 19, 33, 34, 14	psr1 21931	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) = (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 )))
36	35	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (1r‘𝑆) = (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 )))
37	36	fveq1d 6878	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((1r‘𝑆)‘𝑦) = ((𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))‘𝑦))
38		eqeq1 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝑦 → (𝑑 = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = (𝐼 × {0})))
39	38	ifbid 4524	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 𝑦 → if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))
40		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 )) = (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))
41		fvex 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) ∈ V
42	33	fvexi 6890	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
43	41, 42	ifex 4551	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ) ∈ V
44	39, 40, 43	fvmpt 6986	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → ((𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))‘𝑦) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))
45	44	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))‘𝑦) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))
46	37, 45	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((1r‘𝑆)‘𝑦) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))
47	25, 27, 29, 29, 30, 32, 46	offval 7680	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)(1r‘𝑆)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑋(.r‘𝑅)if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))))
48		ovif2 7506	. . . . 5 ⊢ (𝑋(.r‘𝑅)if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 )) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (𝑋(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)), (𝑋(.r‘𝑅) 0 ))
49	2, 18, 34, 5, 1	ringridmd 20233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑋)
50	2, 18, 33, 5, 1	ringrzd 20256	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
51	49, 50	ifeq12d 4522	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (𝑋(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)), (𝑋(.r‘𝑅) 0 )) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 ))
52	48, 51	eqtrid 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅)if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 )) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 ))
53	52	mpteq2dv 5215	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑋(.r‘𝑅)if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 )))
54	47, 53	eqtrd 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)(1r‘𝑆)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 )))
55	16, 23, 54	3eqtrd 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3415  Vcvv 3459  ifcif 4500  {csn 4601   ↦ cmpt 5201   × cxp 5652  ^◡ccnv 5653   “ cima 5657   Fn wfn 6526  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ∘_f cof 7669   ↑_m cmap 8840  Fincfn 8959  0cc0 11129  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  Basecbs 17228  ._rcmulr 17272  Scalarcsca 17274   ·_𝑠 cvsca 17275  0_gc0g 17453  1_rcur 20141  Ringcrg 20193  algSccascl 21812   mPwSer cmps 21864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-ofr 7672  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-sup 9454  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-hash 14349  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-hom 17295  df-cco 17296  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-prds 17461  df-pws 17463  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-mulg 19051  df-ghm 19196  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-ascl 21815  df-psr 21869

This theorem is referenced by: (None)