Theorem psrascl 22022

Description: Value of the scalar injection into the power series algebra. (Contributed by SN, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrascl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrascl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrascl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psrascl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrascl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑆)
psrascl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrascl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrascl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
psrascl	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 )))

Distinct variable groups:   0 ,𝑓   𝑦,𝐷   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦   𝑦,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑦,𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐼(𝑦)   𝐾(𝑦,𝑓)   𝑉(𝑦,𝑓)   𝑋(𝑓)   0 (𝑦)

Proof of Theorem psrascl

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrascl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
2		psrascl.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		psrascl.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
4		psrascl.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
5		psrascl.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	3, 4, 5	psrsca 21990	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑆))
7	6	fveq2d 6924	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
8	2, 7	eqtrid 2792	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
9	1, 8	eleqtrd 2846	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)))
10		psrascl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑆)
11		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
12		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑆)) = (Base‘(Scalar‘𝑆))
13		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑆)
14		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
15	10, 11, 12, 13, 14	asclval 21923	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑆)(1r‘𝑆)))
16	9, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑆)(1r‘𝑆)))
17		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
18		eqid 2740	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19		psrascl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
20	3, 4, 5	psrring 22013	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
21	17, 14	ringidcl 20289	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
23	3, 13, 2, 17, 18, 19, 1, 22	psrvsca 21992	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑆)(1r‘𝑆)) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)(1r‘𝑆)))
24		fnconstg 6809	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐾 → (𝐷 × {𝑋}) Fn 𝐷)
25	1, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × {𝑋}) Fn 𝐷)
26	3, 2, 19, 17, 22	psrelbas 21977	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆):𝐷⟶𝐾)
27	26	ffnd 6748	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) Fn 𝐷)
28		ovexd 7483	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V)
29	19, 28	rabexd 5358	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
30		inidm 4248	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∩ 𝐷) = 𝐷
31		fvconst2g 7239	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝐷 × {𝑋})‘𝑦) = 𝑋)
32	1, 31	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝐷 × {𝑋})‘𝑦) = 𝑋)
33		psrascl.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
34		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
35	3, 4, 5, 19, 33, 34, 14	psr1 22014	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) = (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 )))
36	35	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (1r‘𝑆) = (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 )))
37	36	fveq1d 6922	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((1r‘𝑆)‘𝑦) = ((𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))‘𝑦))
38		eqeq1 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝑦 → (𝑑 = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = (𝐼 × {0})))
39	38	ifbid 4571	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 𝑦 → if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))
40		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 )) = (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))
41		fvex 6933	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) ∈ V
42	33	fvexi 6934	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
43	41, 42	ifex 4598	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ) ∈ V
44	39, 40, 43	fvmpt 7029	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → ((𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))‘𝑦) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))
45	44	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))‘𝑦) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))
46	37, 45	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((1r‘𝑆)‘𝑦) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))
47	25, 27, 29, 29, 30, 32, 46	offval 7723	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)(1r‘𝑆)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑋(.r‘𝑅)if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))))
48		ovif2 7549	. . . . 5 ⊢ (𝑋(.r‘𝑅)if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 )) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (𝑋(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)), (𝑋(.r‘𝑅) 0 ))
49	2, 18, 34, 5, 1	ringridmd 20296	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑋)
50	2, 18, 33, 5, 1	ringrzd 20319	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
51	49, 50	ifeq12d 4569	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (𝑋(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)), (𝑋(.r‘𝑅) 0 )) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 ))
52	48, 51	eqtrid 2792	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅)if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 )) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 ))
53	52	mpteq2dv 5268	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑋(.r‘𝑅)if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 )))
54	47, 53	eqtrd 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)(1r‘𝑆)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 )))
55	16, 23, 54	3eqtrd 2784	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443  Vcvv 3488  ifcif 4548  {csn 4648   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698  ^◡ccnv 5699   “ cima 5703   Fn wfn 6568  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∘_f cof 7712   ↑_m cmap 8884  Fincfn 9003  0cc0 11184  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  0_gc0g 17499  1_rcur 20208  Ringcrg 20260  algSccascl 21895   mPwSer cmps 21947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-mulg 19108  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-ascl 21898  df-psr 21952

This theorem is referenced by: (None)