Theorem psrascl 22157

Description: Value of the scalar injection into the power series algebra. (Contributed by SN, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrascl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrascl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrascl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psrascl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrascl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑆)
psrascl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrascl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrascl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
psrascl	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 )))

Distinct variable groups:   0 ,𝑓   𝑦,𝐷   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦   𝑦,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑦, 𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐼(𝑦)   𝐾(𝑦, 𝑓)   𝑉(𝑦, 𝑓)   𝑋(𝑓)   0 (𝑦)

Proof of Theorem psrascl

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrascl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
2		psrascl.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		psrascl.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
4		psrascl.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
5		psrascl.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	3, 4, 5	psrsca 22126	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑆))
7	6	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
8	2, 7	eqtrid 2812	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
9	1, 8	eleqtrd 2867	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)))
10		psrascl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑆)
11		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
12		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑆)) = (Base‘(Scalar‘𝑆))
13		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑆)
14		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
15	10, 11, 12, 13, 14	asclval 22058	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑆)(1r‘𝑆)))
16	9, 15	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑆)(1r‘𝑆)))
17		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
18		eqid 2765	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19		psrascl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
20	3, 4, 5	psrring 22148	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
21	17, 14	ringidcl 20372	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
22	20, 21	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
23	3, 13, 2, 17, 18, 19, 1, 22	psrvsca 22128	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑆)(1r‘𝑆)) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)(1r‘𝑆)))
24		fnconstg 6770	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐾 → (𝐷 × {𝑋}) Fn 𝐷)
25	1, 24	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × {𝑋}) Fn 𝐷)
26	3, 2, 19, 17, 22	psrelbas 22114	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆):𝐷⟶𝐾)
27	26	ffnd 6710	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) Fn 𝐷)
28		ovexd 7451	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V)
29	19, 28	rabexd 5312	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
30		inidm 4179	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∩ 𝐷) = 𝐷
31		fvconst2g 7204	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝐷 × {𝑋})‘𝑦) = 𝑋)
32	1, 31	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝐷 × {𝑋})‘𝑦) = 𝑋)
33		psrascl.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
34		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
35	3, 4, 5, 19, 33, 34, 14	psr1 22149	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) = (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 )))
36	35	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (1r‘𝑆) = (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 )))
37	36	fveq1d 6887	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((1r‘𝑆)‘𝑦) = ((𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))‘𝑦))
38		eqeq1 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝑦 → (𝑑 = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = (𝐼 × {0})))
39	38	ifbid 4513	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 𝑦 → if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))
40		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 )) = (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))
41		fvex 6898	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) ∈ V
42	33	fvexi 6899	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
43	41, 42	ifex 4540	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ) ∈ V
44	39, 40, 43	fvmpt 6993	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → ((𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))‘𝑦) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))
45	44	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))‘𝑦) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))
46	37, 45	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((1r‘𝑆)‘𝑦) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))
47	25, 27, 29, 29, 30, 32, 46	offval 7689	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)(1r‘𝑆)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑋(.r‘𝑅)if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))))
48		ovif2 7515	. . . . 5 ⊢ (𝑋(.r‘𝑅)if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 )) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (𝑋(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)), (𝑋(.r‘𝑅) 0 ))
49	2, 18, 34, 5, 1	ringridmd 20380	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑋)
50	2, 18, 33, 5, 1	ringrzd 20404	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
51	49, 50	ifeq12d 4511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (𝑋(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)), (𝑋(.r‘𝑅) 0 )) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 ))
52	48, 51	eqtrid 2812	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅)if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 )) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 ))
53	52	mpteq2dv 5207	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑋(.r‘𝑅)if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 )))
54	47, 53	eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)(1r‘𝑆)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 )))
55	16, 23, 54	3eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 )))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3418  Vcvv 3457  ifcif 4489  {csn 4591   ↦ cmpt 5194   × cxp 5661  ^◡ccnv 5662   “ cima 5666   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ∘_f cof 7678   ↑_m cmap 8826  Fincfn 8945  0cc0 11111  ℕcn 12244  ℕ₀cn0 12515  Basecbs 17286  ._rcmulr 17328  Scalarcsca 17330   ·_𝑠 cvsca 17331  0_gc0g 17509  1_rcur 20286  Ringcrg 20338  algSccascl 22031   mPwSer cmps 22083

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-ofr 7681  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-sup 9405  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-seq 14051  df-hash 14380  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-sca 17343  df-vsca 17344  df-ip 17345  df-tset 17346  df-ple 17347  df-ds 17349  df-hom 17351  df-cco 17352  df-0g 17511  df-gsum 17512  df-prds 17517  df-pws 17519  df-mre 17655  df-mrc 17656  df-acs 17658  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-mhm 18864  df-submnd 18865  df-grp 19026  df-minusg 19027  df-mulg 19157  df-ghm 19307  df-cntz 19410  df-cmn 19875  df-abl 19876  df-mgp 20240  df-rng 20254  df-ur 20287  df-ring 20340  df-ascl 22034  df-psr 22088

This theorem is used by: (None)