Theorem psrascl 21999

Description: Value of the scalar injection into the power series algebra. (Contributed by SN, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrascl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrascl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrascl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psrascl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrascl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑆)
psrascl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrascl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrascl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
psrascl	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 )))

Distinct variable groups:   0 ,𝑓   𝑦,𝐷   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦   𝑦,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑦,𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐼(𝑦)   𝐾(𝑦,𝑓)   𝑉(𝑦,𝑓)   𝑋(𝑓)   0 (𝑦)

Proof of Theorem psrascl

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrascl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
2		psrascl.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		psrascl.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
4		psrascl.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
5		psrascl.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	3, 4, 5	psrsca 21967	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑆))
7	6	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
8	2, 7	eqtrid 2789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
9	1, 8	eleqtrd 2843	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)))
10		psrascl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑆)
11		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
12		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑆)) = (Base‘(Scalar‘𝑆))
13		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑆)
14		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
15	10, 11, 12, 13, 14	asclval 21900	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑆)(1r‘𝑆)))
16	9, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑆)(1r‘𝑆)))
17		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
18		eqid 2737	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19		psrascl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
20	3, 4, 5	psrring 21990	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
21	17, 14	ringidcl 20262	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
23	3, 13, 2, 17, 18, 19, 1, 22	psrvsca 21969	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑆)(1r‘𝑆)) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)(1r‘𝑆)))
24		fnconstg 6796	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐾 → (𝐷 × {𝑋}) Fn 𝐷)
25	1, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × {𝑋}) Fn 𝐷)
26	3, 2, 19, 17, 22	psrelbas 21954	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆):𝐷⟶𝐾)
27	26	ffnd 6737	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) Fn 𝐷)
28		ovexd 7466	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V)
29	19, 28	rabexd 5340	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
30		inidm 4227	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∩ 𝐷) = 𝐷
31		fvconst2g 7222	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝐷 × {𝑋})‘𝑦) = 𝑋)
32	1, 31	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝐷 × {𝑋})‘𝑦) = 𝑋)
33		psrascl.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
34		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
35	3, 4, 5, 19, 33, 34, 14	psr1 21991	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) = (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 )))
36	35	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (1r‘𝑆) = (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 )))
37	36	fveq1d 6908	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((1r‘𝑆)‘𝑦) = ((𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))‘𝑦))
38		eqeq1 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝑦 → (𝑑 = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = (𝐼 × {0})))
39	38	ifbid 4549	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 𝑦 → if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))
40		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 )) = (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))
41		fvex 6919	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) ∈ V
42	33	fvexi 6920	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
43	41, 42	ifex 4576	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ) ∈ V
44	39, 40, 43	fvmpt 7016	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → ((𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))‘𝑦) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))
45	44	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))‘𝑦) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))
46	37, 45	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((1r‘𝑆)‘𝑦) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))
47	25, 27, 29, 29, 30, 32, 46	offval 7706	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)(1r‘𝑆)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑋(.r‘𝑅)if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))))
48		ovif2 7532	. . . . 5 ⊢ (𝑋(.r‘𝑅)if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 )) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (𝑋(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)), (𝑋(.r‘𝑅) 0 ))
49	2, 18, 34, 5, 1	ringridmd 20270	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑋)
50	2, 18, 33, 5, 1	ringrzd 20293	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
51	49, 50	ifeq12d 4547	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (𝑋(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)), (𝑋(.r‘𝑅) 0 )) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 ))
52	48, 51	eqtrid 2789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅)if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 )) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 ))
53	52	mpteq2dv 5244	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑋(.r‘𝑅)if(𝑦 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), 0 ))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 )))
54	47, 53	eqtrd 2777	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)(1r‘𝑆)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 )))
55	16, 23, 54	3eqtrd 2781	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑋, 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480  ifcif 4525  {csn 4626   ↦ cmpt 5225   × cxp 5683  ^◡ccnv 5684   “ cima 5688   Fn wfn 6556  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695   ↑_m cmap 8866  Fincfn 8985  0cc0 11155  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  Basecbs 17247  ._rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  0_gc0g 17484  1_rcur 20178  Ringcrg 20230  algSccascl 21872   mPwSer cmps 21924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-ascl 21875  df-psr 21929

This theorem is referenced by: (None)