Theorem resincld 16068

Description: Closure of the sine function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
resincld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resincld	⊢ (𝜑 → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resincld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resincld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resincl 16065	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  ℝcr 11025  sincsin 15986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-ico 13267  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-seq 13925  df-exp 13985  df-fac 14197  df-hash 14254  df-shft 14990  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-limsup 15394  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610  df-ef 15990  df-sin 15992

This theorem is referenced by:  sin01bnd  16110  sinltx  16114  sin01gt0  16115  pilem3  26419  sincosq2sgn  26464  sincosq3sgn  26465  sincosq4sgn  26466  tanrpcl  26469  tangtx  26470  sinq12ge0  26473  sinq34lt0t  26474  sineq0  26489  cosordlem  26495  tanord1  26502  argimgt0  26577  logf1o2  26615  cxpsqrtlem  26667  heron  26804  asinsinlem  26857  basellem3  27049  basellem4  27050  basellem8  27054  sinccvglem  35866  circum  35868  sin2h  37811  wallispilem1  46309  dirker2re  46336  dirkercncflem2  46348  dirkercncflem4  46350  fourierdlem5  46356  fourierdlem21  46372  fourierdlem22  46373  fourierdlem39  46390  fourierdlem43  46394  fourierdlem56  46406  fourierdlem57  46407  fourierdlem58  46408  fourierdlem62  46412  fourierdlem66  46416  fourierdlem68  46418  fourierdlem72  46422  fourierdlem76  46426  fourierdlem78  46428  fourierdlem83  46433  fourierdlem87  46437  fourierdlem103  46453  fourierdlem104  46454  fourierdlem112  46462  sqwvfourb  46473