Theorem resincld 16194

Description: Closure of the sine function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
resincld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resincld	⊢ (𝜑 → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resincld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resincld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resincl 16191	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  ℝcr 11094  sincsin 16112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-ico 13373  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-hash 14363  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-ef 16116  df-sin 16118

This theorem is referenced by:  sin01bnd  16236  sinltx  16240  sin01gt0  16241  pilem3  26616  sincosq2sgn  26664  sincosq3sgn  26665  sincosq4sgn  26666  tanrpcl  26669  tangtx  26670  sinq12ge0  26673  sinq34lt0t  26674  sineq0  26689  cosordlem  26695  tanord1  26702  argimgt0  26777  logf1o2  26815  cxpsqrtlem  26867  heron  27003  asinsinlem  27056  basellem3  27247  basellem4  27248  basellem8  27252  sinccvglem  36164  circum  36166  sin2h  38261  wallispilem1  46779  dirker2re  46806  dirkercncflem2  46818  dirkercncflem4  46820  fourierdlem5  46826  fourierdlem21  46842  fourierdlem22  46843  fourierdlem39  46860  fourierdlem43  46864  fourierdlem56  46876  fourierdlem57  46877  fourierdlem58  46878  fourierdlem62  46882  fourierdlem66  46886  fourierdlem68  46888  fourierdlem72  46892  fourierdlem76  46896  fourierdlem78  46898  fourierdlem83  46903  fourierdlem87  46907  fourierdlem103  46923  fourierdlem104  46924  fourierdlem112  46932  sqwvfourb  46943