Theorem resincld 15279

Description: Closure of the sine function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
resincld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resincld	⊢ (𝜑 → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resincld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resincld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resincl 15276	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6137  ℝcr 10273  sincsin 15200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352  ax-addf 10353  ax-mulf 10354

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-pm 8145  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-n0 11647  df-z 11733  df-uz 11997  df-rp 12142  df-ico 12497  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-fl 12916  df-seq 13124  df-exp 13183  df-fac 13383  df-hash 13440  df-shft 14218  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-limsup 14614  df-clim 14631  df-rlim 14632  df-sum 14829  df-ef 15204  df-sin 15206

This theorem is referenced by:  sin01bnd  15321  sinltx  15325  sin01gt0  15326  pilem3  24648  pilem3OLD  24649  sincosq2sgn  24693  sincosq3sgn  24694  sincosq4sgn  24695  tanrpcl  24698  tangtx  24699  sinq12ge0  24702  sinq34lt0t  24703  sineq0  24715  cosordlem  24719  tanord1  24725  argimgt0  24799  logf1o2  24837  cxpsqrtlem  24889  heron  25020  asinsinlem  25073  basellem3  25265  basellem4  25266  basellem8  25270  sinccvglem  32167  circum  32169  sin2h  34029  wallispilem1  41219  dirker2re  41246  dirkercncflem2  41258  dirkercncflem4  41260  fourierdlem5  41266  fourierdlem21  41282  fourierdlem22  41283  fourierdlem39  41300  fourierdlem43  41304  fourierdlem56  41316  fourierdlem57  41317  fourierdlem58  41318  fourierdlem62  41322  fourierdlem66  41326  fourierdlem68  41328  fourierdlem72  41332  fourierdlem76  41336  fourierdlem78  41338  fourierdlem83  41343  fourierdlem87  41347  fourierdlem103  41363  fourierdlem104  41364  fourierdlem112  41372  sqwvfourb  41383