MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1maprnss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evls1maprnss 22301
Description: The function 𝐹 mapping polynomials 𝑝 to their subring evaluation at a given point 𝐴 takes all values in the subring 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1maprhm.q 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
evls1maprhm.p 𝑃 = (Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝑆))
evls1maprhm.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
evls1maprhm.u π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘ƒ)
evls1maprhm.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
evls1maprhm.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
evls1maprhm.y (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
evls1maprhm.f 𝐹 = (𝑝 ∈ π‘ˆ ↦ ((π‘‚β€˜π‘)β€˜π‘‹))
Assertion
Ref Expression
evls1maprnss (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† ran 𝐹)
Distinct variable groups:   𝐡,𝑝   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝   π‘ˆ,𝑝   𝑋,𝑝   πœ‘,𝑝   𝑆,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑝)   𝐹(𝑝)

Proof of Theorem evls1maprnss
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evls1maprhm.f . . . 4 𝐹 = (𝑝 ∈ π‘ˆ ↦ ((π‘‚β€˜π‘)β€˜π‘‹))
2 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (Poly1β€˜π‘…) = (Poly1β€˜π‘…)
3 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) = (algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))
4 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (𝑅 β†Ύs 𝑆) = (𝑅 β†Ύs 𝑆)
5 evls1maprhm.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = (Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝑆))
6 evls1maprhm.s . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
7 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (algScβ€˜π‘ƒ) = (algScβ€˜π‘ƒ)
82, 3, 4, 5, 6, 7subrg1ascl 22182 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (algScβ€˜π‘ƒ) = ((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) β†Ύ 𝑆))
98adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (algScβ€˜π‘ƒ) = ((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) β†Ύ 𝑆))
109fveq1d 6892 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦) = (((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) β†Ύ 𝑆)β€˜π‘¦))
11 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
1211fvresd 6910 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) β†Ύ 𝑆)β€˜π‘¦) = ((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘¦))
1310, 12eqtrd 2765 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦) = ((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘¦))
14 evls1maprhm.u . . . . . . 7 π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘ƒ)
156adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
163, 4, 2, 5, 14, 15, 11asclply1subcl 22297 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘¦) ∈ π‘ˆ)
1713, 16eqeltrd 2825 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦) ∈ π‘ˆ)
18 fveq2 6890 . . . . . . . 8 (𝑝 = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦) β†’ (π‘‚β€˜π‘) = (π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦)))
1918fveq1d 6892 . . . . . . 7 (𝑝 = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦) β†’ ((π‘‚β€˜π‘)β€˜π‘‹) = ((π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦))β€˜π‘‹))
2019eqeq2d 2736 . . . . . 6 (𝑝 = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦) β†’ (𝑦 = ((π‘‚β€˜π‘)β€˜π‘‹) ↔ 𝑦 = ((π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦))β€˜π‘‹)))
2120adantl 480 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦)) β†’ (𝑦 = ((π‘‚β€˜π‘)β€˜π‘‹) ↔ 𝑦 = ((π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦))β€˜π‘‹)))
22 evls1maprhm.q . . . . . . . 8 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
23 evls1maprhm.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
24 evls1maprhm.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
2524adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
2622, 5, 4, 23, 7, 25, 15, 11evls1sca 22246 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦)) = (𝐡 Γ— {𝑦}))
2726fveq1d 6892 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦))β€˜π‘‹) = ((𝐡 Γ— {𝑦})β€˜π‘‹))
28 evls1maprhm.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2928adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
30 vex 3467 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
3130fvconst2 7210 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ ((𝐡 Γ— {𝑦})β€˜π‘‹) = 𝑦)
3229, 31syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((𝐡 Γ— {𝑦})β€˜π‘‹) = 𝑦)
3327, 32eqtr2d 2766 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 = ((π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦))β€˜π‘‹))
3417, 21, 33rspcedvd 3605 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑦 = ((π‘‚β€˜π‘)β€˜π‘‹))
351, 34, 11elrnmptd 5958 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ ran 𝐹)
3635ex 411 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ ran 𝐹))
3736ssrdv 3979 1 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† ran 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3941  {csn 4625   ↦ cmpt 5227   Γ— cxp 5671  ran crn 5674   β†Ύ cres 5675  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  Basecbs 17174   β†Ύs cress 17203  CRingccrg 20173  SubRingcsubrg 20505  algSccascl 21785  Poly1cpl1 22099   evalSub1 ces1 22236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-hash 14317  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-prds 17423  df-pws 17425  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-srg 20126  df-ring 20174  df-cring 20175  df-rhm 20410  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lsp 20855  df-assa 21786  df-asp 21787  df-ascl 21788  df-psr 21841  df-mvr 21842  df-mpl 21843  df-opsr 21845  df-evls 22020  df-psr1 22102  df-ply1 22104  df-evls1 22238
This theorem is referenced by:  algextdeglem4  33441
  Copyright terms: Public domain W3C validator