Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evls1maprnss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evls1maprnss 33294
Description: The function 𝐹 mapping polynomials 𝑝 to their subring evaluation at a given point 𝐴 takes all values in the subring 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1maprhm.q 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
evls1maprhm.p 𝑃 = (Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝑆))
evls1maprhm.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
evls1maprhm.u π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘ƒ)
evls1maprhm.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
evls1maprhm.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
evls1maprhm.y (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
evls1maprhm.f 𝐹 = (𝑝 ∈ π‘ˆ ↦ ((π‘‚β€˜π‘)β€˜π‘‹))
Assertion
Ref Expression
evls1maprnss (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† ran 𝐹)
Distinct variable groups:   𝐡,𝑝   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝   π‘ˆ,𝑝   𝑋,𝑝   πœ‘,𝑝   𝑆,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑝)   𝐹(𝑝)

Proof of Theorem evls1maprnss
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evls1maprhm.f . . . 4 𝐹 = (𝑝 ∈ π‘ˆ ↦ ((π‘‚β€˜π‘)β€˜π‘‹))
2 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (Poly1β€˜π‘…) = (Poly1β€˜π‘…)
3 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) = (algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))
4 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (𝑅 β†Ύs 𝑆) = (𝑅 β†Ύs 𝑆)
5 evls1maprhm.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = (Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝑆))
6 evls1maprhm.s . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
7 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (algScβ€˜π‘ƒ) = (algScβ€˜π‘ƒ)
82, 3, 4, 5, 6, 7subrg1ascl 22152 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (algScβ€˜π‘ƒ) = ((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) β†Ύ 𝑆))
98adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (algScβ€˜π‘ƒ) = ((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) β†Ύ 𝑆))
109fveq1d 6893 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦) = (((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) β†Ύ 𝑆)β€˜π‘¦))
11 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
1211fvresd 6911 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) β†Ύ 𝑆)β€˜π‘¦) = ((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘¦))
1310, 12eqtrd 2767 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦) = ((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘¦))
14 evls1maprhm.u . . . . . . 7 π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘ƒ)
156adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
163, 4, 2, 5, 14, 15, 11asclply1subcl 33180 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((algScβ€˜(Poly1β€˜π‘…))β€˜π‘¦) ∈ π‘ˆ)
1713, 16eqeltrd 2828 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦) ∈ π‘ˆ)
18 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑝 = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦) β†’ (π‘‚β€˜π‘) = (π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦)))
1918fveq1d 6893 . . . . . . 7 (𝑝 = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦) β†’ ((π‘‚β€˜π‘)β€˜π‘‹) = ((π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦))β€˜π‘‹))
2019eqeq2d 2738 . . . . . 6 (𝑝 = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦) β†’ (𝑦 = ((π‘‚β€˜π‘)β€˜π‘‹) ↔ 𝑦 = ((π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦))β€˜π‘‹)))
2120adantl 481 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦)) β†’ (𝑦 = ((π‘‚β€˜π‘)β€˜π‘‹) ↔ 𝑦 = ((π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦))β€˜π‘‹)))
22 evls1maprhm.q . . . . . . . 8 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
23 evls1maprhm.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
24 evls1maprhm.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
2524adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
2622, 5, 4, 23, 7, 25, 15, 11evls1sca 22216 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦)) = (𝐡 Γ— {𝑦}))
2726fveq1d 6893 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦))β€˜π‘‹) = ((𝐡 Γ— {𝑦})β€˜π‘‹))
28 evls1maprhm.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2928adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
30 vex 3473 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
3130fvconst2 7210 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ ((𝐡 Γ— {𝑦})β€˜π‘‹) = 𝑦)
3229, 31syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((𝐡 Γ— {𝑦})β€˜π‘‹) = 𝑦)
3327, 32eqtr2d 2768 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 = ((π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘¦))β€˜π‘‹))
3417, 21, 33rspcedvd 3609 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑦 = ((π‘‚β€˜π‘)β€˜π‘‹))
351, 34, 11elrnmptd 5957 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ ran 𝐹)
3635ex 412 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ ran 𝐹))
3736ssrdv 3984 1 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† ran 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3944  {csn 4624   ↦ cmpt 5225   Γ— cxp 5670  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165   β†Ύs cress 17194  CRingccrg 20158  SubRingcsubrg 20488  algSccascl 21766  Poly1cpl1 22070   evalSub1 ces1 22206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-sup 9451  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-hash 14308  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-prds 17414  df-pws 17416  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mhm 18725  df-submnd 18726  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19008  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-srg 20111  df-ring 20159  df-cring 20160  df-rhm 20393  df-subrng 20465  df-subrg 20490  df-lmod 20727  df-lss 20798  df-lsp 20838  df-assa 21767  df-asp 21768  df-ascl 21769  df-psr 21822  df-mvr 21823  df-mpl 21824  df-opsr 21826  df-evls 21996  df-psr1 22073  df-ply1 22075  df-evls1 22208
This theorem is referenced by:  algextdeglem4  33311
  Copyright terms: Public domain W3C validator