Theorem evls1maprnss 22294

Description: The function 𝐹 mapping polynomials 𝑝 to their subring evaluation at a given point 𝐴 takes all values in the subring 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1maprhm.q	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
evls1maprhm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
evls1maprhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evls1maprhm.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evls1maprhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evls1maprhm.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
evls1maprhm.y	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
evls1maprhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
evls1maprnss	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ran 𝐹)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝   𝑈,𝑝   𝑋,𝑝   𝜑,𝑝   𝑆,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑝)   𝐹(𝑝)

Proof of Theorem evls1maprnss

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1maprhm.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))
2		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
3		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (algSc‘(Poly1‘𝑅)) = (algSc‘(Poly1‘𝑅))
4		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
5		evls1maprhm.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
6		evls1maprhm.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
7		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	subrg1ascl 22174	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (algSc‘𝑃) = ((algSc‘(Poly1‘𝑅)) ↾ 𝑆))
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (algSc‘𝑃) = ((algSc‘(Poly1‘𝑅)) ↾ 𝑆))
10	9	fveq1d 6824	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((algSc‘𝑃)‘𝑦) = (((algSc‘(Poly1‘𝑅)) ↾ 𝑆)‘𝑦))
11		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
12	11	fvresd 6842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((algSc‘(Poly1‘𝑅)) ↾ 𝑆)‘𝑦) = ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑦))
13	10, 12	eqtrd 2766	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((algSc‘𝑃)‘𝑦) = ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑦))
14		evls1maprhm.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
15	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
16	3, 4, 2, 5, 14, 15, 11	asclply1subcl 22290	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑦) ∈ 𝑈)
17	13, 16	eqeltrd 2831	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((algSc‘𝑃)‘𝑦) ∈ 𝑈)
18		fveq2 6822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = ((algSc‘𝑃)‘𝑦) → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑦)))
19	18	fveq1d 6824	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = ((algSc‘𝑃)‘𝑦) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑦))‘𝑋))
20	19	eqeq2d 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ((algSc‘𝑃)‘𝑦) → (𝑦 = ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) ↔ 𝑦 = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑦))‘𝑋)))
21	20	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 = ((algSc‘𝑃)‘𝑦)) → (𝑦 = ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) ↔ 𝑦 = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑦))‘𝑋)))
22		evls1maprhm.q	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
23		evls1maprhm.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
24		evls1maprhm.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
25	24	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ CRing)
26	22, 5, 4, 23, 7, 25, 15, 11	evls1sca 22239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑦)) = (𝐵 × {𝑦}))
27	26	fveq1d 6824	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑦))‘𝑋) = ((𝐵 × {𝑦})‘𝑋))
28		evls1maprhm.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
29	28	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝐵)
30		vex 3440	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
31	30	fvconst2 7138	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝐵 × {𝑦})‘𝑋) = 𝑦)
32	29, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝐵 × {𝑦})‘𝑋) = 𝑦)
33	27, 32	eqtr2d 2767	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑦))‘𝑋))
34	17, 21, 33	rspcedvd 3579	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∃𝑝 ∈ 𝑈 𝑦 = ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))
35	1, 34, 11	elrnmptd 5903	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
36	35	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ ran 𝐹))
37	36	ssrdv 3940	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ran 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3902  {csn 4576   ↦ cmpt 5172   × cxp 5614  ran crn 5617   ↾ cres 5618  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  CRingccrg 20153  SubRingcsubrg 20485  algSccascl 21790  Poly₁cpl1 22090   evalSub₁ ces1 22229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-mulg 18981  df-subg 19036  df-ghm 19126  df-cntz 19230  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20060  df-rng 20072  df-ur 20101  df-srg 20106  df-ring 20154  df-cring 20155  df-rhm 20391  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-lmod 20796  df-lss 20866  df-lsp 20906  df-assa 21791  df-asp 21792  df-ascl 21793  df-psr 21847  df-mvr 21848  df-mpl 21849  df-opsr 21851  df-evls 22010  df-psr1 22093  df-ply1 22095  df-evls1 22231

This theorem is referenced by:  algextdeglem4  33731