Theorem evls1maprnss 22429

Description: The function 𝐹 mapping polynomials 𝑝 to their subring evaluation at a given point 𝐴 takes all values in the subring 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1maprhm.q	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
evls1maprhm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
evls1maprhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evls1maprhm.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evls1maprhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evls1maprhm.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
evls1maprhm.y	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
evls1maprhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
evls1maprnss	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ran 𝐹)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝   𝑈,𝑝   𝑋,𝑝   𝜑,𝑝   𝑆,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑝)   𝐹(𝑝)

Proof of Theorem evls1maprnss

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1maprhm.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))
2		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
3		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (algSc‘(Poly1‘𝑅)) = (algSc‘(Poly1‘𝑅))
4		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
5		evls1maprhm.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
6		evls1maprhm.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
7		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	subrg1ascl 22310	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (algSc‘𝑃) = ((algSc‘(Poly1‘𝑅)) ↾ 𝑆))
9	8	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (algSc‘𝑃) = ((algSc‘(Poly1‘𝑅)) ↾ 𝑆))
10	9	fveq1d 6864	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((algSc‘𝑃)‘𝑦) = (((algSc‘(Poly1‘𝑅)) ↾ 𝑆)‘𝑦))
11		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
12	11	fvresd 6882	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((algSc‘(Poly1‘𝑅)) ↾ 𝑆)‘𝑦) = ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑦))
13	10, 12	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((algSc‘𝑃)‘𝑦) = ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑦))
14		evls1maprhm.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
15	6	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
16	3, 4, 2, 5, 14, 15, 11	asclply1subcl 22425	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑦) ∈ 𝑈)
17	13, 16	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((algSc‘𝑃)‘𝑦) ∈ 𝑈)
18		fveq2 6862	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = ((algSc‘𝑃)‘𝑦) → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑦)))
19	18	fveq1d 6864	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = ((algSc‘𝑃)‘𝑦) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑦))‘𝑋))
20	19	eqeq2d 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ((algSc‘𝑃)‘𝑦) → (𝑦 = ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) ↔ 𝑦 = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑦))‘𝑋)))
21	20	adantl 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 = ((algSc‘𝑃)‘𝑦)) → (𝑦 = ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) ↔ 𝑦 = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑦))‘𝑋)))
22		evls1maprhm.q	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
23		evls1maprhm.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
24		evls1maprhm.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
25	24	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ CRing)
26	22, 5, 4, 23, 7, 25, 15, 11	evls1sca 22374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑦)) = (𝐵 × {𝑦}))
27	26	fveq1d 6864	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑦))‘𝑋) = ((𝐵 × {𝑦})‘𝑋))
28		evls1maprhm.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
29	28	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝐵)
30		vex 3457	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
31	30	fvconst2 7183	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝐵 × {𝑦})‘𝑋) = 𝑦)
32	29, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝐵 × {𝑦})‘𝑋) = 𝑦)
33	27, 32	eqtr2d 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑦))‘𝑋))
34	17, 21, 33	rspcedvd 3582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∃𝑝 ∈ 𝑈 𝑦 = ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))
35	1, 34, 11	elrnmptd 5935	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
36	35	ex 416	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ ran 𝐹))
37	36	ssrdv 3940	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ran 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3902  {csn 4579   ↦ cmpt 5178   × cxp 5641  ran crn 5644   ↾ cres 5645  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  Basecbs 17236   ↾_s cress 17257  CRingccrg 20271  SubRingcsubrg 20606  algSccascl 21892  Poly₁cpl1 22227   evalSub₁ ces1 22364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-ofr 7656  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-supp 8135  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9302  df-sup 9382  df-oi 9452  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-seq 14009  df-hash 14338  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-hom 17301  df-cco 17302  df-0g 17461  df-gsum 17462  df-prds 17467  df-pws 17469  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18969  df-minusg 18970  df-sbg 18971  df-mulg 19101  df-subg 19156  df-ghm 19245  df-cntz 19348  df-cmn 19813  df-abl 19814  df-mgp 20178  df-rng 20190  df-ur 20219  df-srg 20224  df-ring 20272  df-cring 20273  df-rhm 20508  df-subrng 20583  df-subrg 20607  df-lmod 20917  df-lss 20987  df-lsp 21027  df-assa 21893  df-asp 21894  df-ascl 21895  df-psr 21949  df-mvr 21950  df-mpl 21951  df-opsr 21953  df-evls 22115  df-psr1 22230  df-ply1 22232  df-evls1 22366

This theorem is referenced by:  algextdeglem4  33978