Theorem evls1maprnss 22538

Description: The function 𝐹 mapping polynomials 𝑝 to their subring evaluation at a given point 𝐴 takes all values in the subring 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1maprhm.q	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
evls1maprhm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
evls1maprhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evls1maprhm.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evls1maprhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evls1maprhm.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
evls1maprhm.y	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
evls1maprhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
evls1maprnss	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ran 𝐹)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝   𝑈,𝑝   𝑋,𝑝   𝜑,𝑝   𝑆,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑝)   𝐹(𝑝)

Proof of Theorem evls1maprnss

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1maprhm.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))
2		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
3		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (algSc‘(Poly1‘𝑅)) = (algSc‘(Poly1‘𝑅))
4		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
5		evls1maprhm.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
6		evls1maprhm.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
7		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	subrg1ascl 22420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (algSc‘𝑃) = ((algSc‘(Poly1‘𝑅)) ↾ 𝑆))
9	8	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (algSc‘𝑃) = ((algSc‘(Poly1‘𝑅)) ↾ 𝑆))
10	9	fveq1d 6883	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((algSc‘𝑃)‘𝑦) = (((algSc‘(Poly1‘𝑅)) ↾ 𝑆)‘𝑦))
11		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
12	11	fvresd 6901	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((algSc‘(Poly1‘𝑅)) ↾ 𝑆)‘𝑦) = ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑦))
13	10, 12	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((algSc‘𝑃)‘𝑦) = ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑦))
14		evls1maprhm.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
15	6	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
16	3, 4, 2, 5, 14, 15, 11	asclply1subcl 22534	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑦) ∈ 𝑈)
17	13, 16	eqeltrd 2863	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((algSc‘𝑃)‘𝑦) ∈ 𝑈)
18		fveq2 6881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = ((algSc‘𝑃)‘𝑦) → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑦)))
19	18	fveq1d 6883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = ((algSc‘𝑃)‘𝑦) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑦))‘𝑋))
20	19	eqeq2d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ((algSc‘𝑃)‘𝑦) → (𝑦 = ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) ↔ 𝑦 = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑦))‘𝑋)))
21	20	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 = ((algSc‘𝑃)‘𝑦)) → (𝑦 = ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) ↔ 𝑦 = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑦))‘𝑋)))
22		evls1maprhm.q	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
23		evls1maprhm.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
24		evls1maprhm.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
25	24	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ CRing)
26	22, 5, 4, 23, 7, 25, 15, 11	evls1sca 22483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑦)) = (𝐵 × {𝑦}))
27	26	fveq1d 6883	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑦))‘𝑋) = ((𝐵 × {𝑦})‘𝑋))
28		evls1maprhm.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
29	28	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝐵)
30		vex 3459	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
31	30	fvconst2 7202	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝐵 × {𝑦})‘𝑋) = 𝑦)
32	29, 31	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝐵 × {𝑦})‘𝑋) = 𝑦)
33	27, 32	eqtr2d 2799	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑦))‘𝑋))
34	17, 21, 33	rspcedvd 3583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∃𝑝 ∈ 𝑈 𝑦 = ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))
35	1, 34, 11	elrnmptd 5953	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
36	35	ex 417	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ ran 𝐹))
37	36	ssrdv 3943	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ran 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905  {csn 4589   ↦ cmpt 5192   × cxp 5659  ran crn 5662   ↾ cres 5663  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264   ↾_s cress 17285  CRingccrg 20311  SubRingcsubrg 20668  algSccascl 22002  Poly₁cpl1 22337   evalSub₁ ces1 22473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-hom 17329  df-cco 17330  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-prds 17495  df-pws 17497  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-mulg 19129  df-subg 19184  df-ghm 19279  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-srg 20264  df-ring 20312  df-cring 20313  df-rhm 20550  df-subrng 20645  df-subrg 20669  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-lsp 21093  df-assa 22003  df-asp 22004  df-ascl 22005  df-psr 22059  df-mvr 22060  df-mpl 22061  df-opsr 22063  df-evls 22225  df-psr1 22340  df-ply1 22342  df-evls1 22475

This theorem is referenced by:  algextdeglem4  34110