Theorem evls1maprnss 22705

Description: The function 𝐹 mapping polynomials 𝑝 to their subring evaluation at a given point 𝐴 takes all values in the subring 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1maprhm.q	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
evls1maprhm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
evls1maprhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evls1maprhm.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evls1maprhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evls1maprhm.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
evls1maprhm.y	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
evls1maprhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
evls1maprnss	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ran 𝐹)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝   𝑈,𝑝   𝑋,𝑝   𝜑,𝑝   𝑆,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑝)   𝐹(𝑝)

Proof of Theorem evls1maprnss

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1maprhm.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))
2		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
3		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (algSc‘(Poly1‘𝑅)) = (algSc‘(Poly1‘𝑅))
4		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
5		evls1maprhm.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
6		evls1maprhm.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
7		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	subrg1ascl 22587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (algSc‘𝑃) = ((algSc‘(Poly1‘𝑅)) ↾ 𝑆))
9	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (algSc‘𝑃) = ((algSc‘(Poly1‘𝑅)) ↾ 𝑆))
10	9	fveq1d 6892	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((algSc‘𝑃)‘𝑦) = (((algSc‘(Poly1‘𝑅)) ↾ 𝑆)‘𝑦))
11		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
12	11	fvresd 6910	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((algSc‘(Poly1‘𝑅)) ↾ 𝑆)‘𝑦) = ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑦))
13	10, 12	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((algSc‘𝑃)‘𝑦) = ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑦))
14		evls1maprhm.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
15	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
16	3, 4, 2, 5, 14, 15, 11	asclply1subcl 22701	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑦) ∈ 𝑈)
17	13, 16	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((algSc‘𝑃)‘𝑦) ∈ 𝑈)
18		fveq2 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = ((algSc‘𝑃)‘𝑦) → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑦)))
19	18	fveq1d 6892	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = ((algSc‘𝑃)‘𝑦) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑦))‘𝑋))
20	19	eqeq2d 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ((algSc‘𝑃)‘𝑦) → (𝑦 = ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) ↔ 𝑦 = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑦))‘𝑋)))
21	20	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 = ((algSc‘𝑃)‘𝑦)) → (𝑦 = ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) ↔ 𝑦 = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑦))‘𝑋)))
22		evls1maprhm.q	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
23		evls1maprhm.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
24		evls1maprhm.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
25	24	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ CRing)
26	22, 5, 4, 23, 7, 25, 15, 11	evls1sca 22650	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑦)) = (𝐵 × {𝑦}))
27	26	fveq1d 6892	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑦))‘𝑋) = ((𝐵 × {𝑦})‘𝑋))
28		evls1maprhm.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
29	28	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝐵)
30		vex 3454	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
31	30	fvconst2 7214	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝐵 × {𝑦})‘𝑋) = 𝑦)
32	29, 31	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝐵 × {𝑦})‘𝑋) = 𝑦)
33	27, 32	eqtr2d 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑦))‘𝑋))
34	17, 21, 33	rspcedvd 3578	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∃𝑝 ∈ 𝑈 𝑦 = ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))
35	1, 34, 11	elrnmptd 5946	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
36	35	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ ran 𝐹))
37	36	ssrdv 3915	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ran 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896  {csn 4584   ↦ cmpt 5185   × cxp 5649  ran crn 5652   ↾ cres 5653  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Basecbs 17396   ↾_s cress 17417  CRingccrg 20469  SubRingcsubrg 20830  algSccascl 22169  Poly₁cpl1 22504   evalSub₁ ces1 22640

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8184  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8724  df-map 8856  df-pm 8857  df-ixp 8933  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-fsupp 9361  df-sup 9441  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-hash 14482  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-hom 17461  df-cco 17462  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-prds 17627  df-pws 17629  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-mhm 18987  df-submnd 18988  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-mulg 19287  df-subg 19342  df-ghm 19437  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-abl 20006  df-mgp 20370  df-rng 20384  df-ur 20417  df-srg 20422  df-ring 20470  df-cring 20471  df-rhm 20711  df-subrng 20807  df-subrg 20831  df-lmod 21146  df-lss 21216  df-lsp 21256  df-assa 22170  df-asp 22171  df-ascl 22172  df-psr 22226  df-mvr 22227  df-mpl 22228  df-opsr 22230  df-evls 22392  df-psr1 22507  df-ply1 22509  df-evls1 22642

This theorem is used by:  algextdeglem4  34402