Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpg 41088
Description: Part 1 of proof of the first fundamental theorem of projective geometry. Part (1) in [Baer] p. 44. Our notation corresponds to Baer's as follows: 𝑀 for *, π‘β€˜{} for F(), π½β€˜{} for G(), 𝑋 for x, 𝐺 for x', π‘Œ for y, β„Ž for y'. TODO: Rename variables per mapdhval 41106. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpg.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdpg.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpg.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpg.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
mapdpg.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
mapdpg.z 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
mapdpg.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
mapdpg.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpg.f 𝐹 = (Baseβ€˜πΆ)
mapdpg.r 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
mapdpg.j 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
mapdpg.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdpg.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdpg.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdpg.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpg.ne (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
mapdpg.e (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐺}))
Assertion
Ref Expression
mapdpg (πœ‘ β†’ βˆƒ!β„Ž ∈ 𝐹 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(πΊπ‘…β„Ž)})))
Distinct variable groups:   𝐢,β„Ž   β„Ž,𝐹   β„Ž,𝐺   β„Ž,𝐽   β„Ž,𝑀   β„Ž,𝑁   𝑅,β„Ž   βˆ’ ,β„Ž   π‘ˆ,β„Ž   β„Ž,𝑋   β„Ž,π‘Œ   πœ‘,β„Ž
Allowed substitution hints:   𝐻(β„Ž)   𝐾(β„Ž)   𝑉(β„Ž)   π‘Š(β„Ž)   0 (β„Ž)

Proof of Theorem mapdpg
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdpg.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 mapdpg.m . . 3 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 mapdpg.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 mapdpg.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
5 mapdpg.s . . 3 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
6 mapdpg.z . . 3 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
7 mapdpg.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
8 mapdpg.c . . 3 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 mapdpg.f . . 3 𝐹 = (Baseβ€˜πΆ)
10 mapdpg.r . . 3 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
11 mapdpg.j . . 3 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
12 mapdpg.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
13 mapdpg.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
14 mapdpg.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
15 mapdpg.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
16 mapdpg.ne . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
17 mapdpg.e . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐺}))
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17mapdpglem24 41086 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐹 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(πΊπ‘…β„Ž)})))
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17mapdpglem32 41087 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (β„Ž ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(πΊπ‘…β„Ž)})) ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝑖}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐺𝑅𝑖)})))) β†’ β„Ž = 𝑖)
20193exp 1116 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β„Ž ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) β†’ ((((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(πΊπ‘…β„Ž)})) ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝑖}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐺𝑅𝑖)}))) β†’ β„Ž = 𝑖)))
2120ralrimivv 3192 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€β„Ž ∈ 𝐹 βˆ€π‘– ∈ 𝐹 ((((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(πΊπ‘…β„Ž)})) ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝑖}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐺𝑅𝑖)}))) β†’ β„Ž = 𝑖))
22 sneq 4633 . . . . . 6 (β„Ž = 𝑖 β†’ {β„Ž} = {𝑖})
2322fveq2d 6888 . . . . 5 (β„Ž = 𝑖 β†’ (π½β€˜{β„Ž}) = (π½β€˜{𝑖}))
2423eqeq2d 2737 . . . 4 (β„Ž = 𝑖 β†’ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{β„Ž}) ↔ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝑖})))
25 oveq2 7412 . . . . . . 7 (β„Ž = 𝑖 β†’ (πΊπ‘…β„Ž) = (𝐺𝑅𝑖))
2625sneqd 4635 . . . . . 6 (β„Ž = 𝑖 β†’ {(πΊπ‘…β„Ž)} = {(𝐺𝑅𝑖)})
2726fveq2d 6888 . . . . 5 (β„Ž = 𝑖 β†’ (π½β€˜{(πΊπ‘…β„Ž)}) = (π½β€˜{(𝐺𝑅𝑖)}))
2827eqeq2d 2737 . . . 4 (β„Ž = 𝑖 β†’ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(πΊπ‘…β„Ž)}) ↔ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐺𝑅𝑖)})))
2924, 28anbi12d 630 . . 3 (β„Ž = 𝑖 β†’ (((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(πΊπ‘…β„Ž)})) ↔ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝑖}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐺𝑅𝑖)}))))
3029reu4 3722 . 2 (βˆƒ!β„Ž ∈ 𝐹 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(πΊπ‘…β„Ž)})) ↔ (βˆƒβ„Ž ∈ 𝐹 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(πΊπ‘…β„Ž)})) ∧ βˆ€β„Ž ∈ 𝐹 βˆ€π‘– ∈ 𝐹 ((((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(πΊπ‘…β„Ž)})) ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝑖}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐺𝑅𝑖)}))) β†’ β„Ž = 𝑖)))
3118, 21, 30sylanbrc 582 1 (πœ‘ β†’ βˆƒ!β„Ž ∈ 𝐹 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(πΊπ‘…β„Ž)})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  βˆƒ!wreu 3368   βˆ– cdif 3940  {csn 4623  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  0gc0g 17392  -gcsg 18863  LSpanclspn 20816  HLchlt 38731  LHypclh 39366  DVecHcdvh 40460  LCDualclcd 40968  mapdcmpd 41006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 38334
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-undef 8256  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-0g 17394  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19048  df-cntz 19231  df-oppg 19260  df-lsm 19554  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-invr 20288  df-dvr 20301  df-drng 20587  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817  df-lvec 20949  df-lsatoms 38357  df-lshyp 38358  df-lcv 38400  df-lfl 38439  df-lkr 38467  df-ldual 38505  df-oposet 38557  df-ol 38559  df-oml 38560  df-covers 38647  df-ats 38648  df-atl 38679  df-cvlat 38703  df-hlat 38732  df-llines 38880  df-lplanes 38881  df-lvols 38882  df-lines 38883  df-psubsp 38885  df-pmap 38886  df-padd 39178  df-lhyp 39370  df-laut 39371  df-ldil 39486  df-ltrn 39487  df-trl 39541  df-tgrp 40125  df-tendo 40137  df-edring 40139  df-dveca 40385  df-disoa 40411  df-dvech 40461  df-dib 40521  df-dic 40555  df-dih 40611  df-doch 40730  df-djh 40777  df-lcdual 40969  df-mapd 41007
This theorem is referenced by:  mapdhcl  41109  mapdheq  41110  hdmap1eq  41183
  Copyright terms: Public domain W3C validator