Theorem cphssphl 24071

Description: A Banach subspace of a subcomplex pre-Hilbert space is a subcomplex Hilbert space. (Contributed by NM, 11-Apr-2008.) (Revised by AV, 25-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphssphl.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
cphssphl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cphssphl	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ Ban) → 𝑋 ∈ ℂHil)

Proof of Theorem cphssphl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1135	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ Ban) → 𝑋 ∈ Ban)
2		cphssphl.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
3		cphssphl.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	2, 3	cphsscph 23951	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ ℂPreHil)
5	4	3adant3 1129	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ Ban) → 𝑋 ∈ ℂPreHil)
6		ishl 24062	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂHil ↔ (𝑋 ∈ Ban ∧ 𝑋 ∈ ℂPreHil))
7	1, 5, 6	sylanbrc 586	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ Ban) → 𝑋 ∈ ℂHil)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   ↾_s cress 16542  LSubSpclss 19771  ℂPreHilccph 23867  Bancbn 24033  ℂHilchl 24034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-sup 8939  df-inf 8940  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-q 12389  df-rp 12431  df-xneg 12548  df-xadd 12549  df-xmul 12550  df-ico 12785  df-seq 13419  df-exp 13480  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-ip 16641  df-tset 16642  df-ds 16645  df-rest 16754  df-topn 16755  df-0g 16773  df-topgen 16775  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-sbg 18174  df-subg 18343  df-ghm 18423  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-ring 19367  df-subrg 19601  df-lmod 19704  df-lss 19772  df-lsp 19812  df-lmhm 19862  df-lvec 19943  df-sra 20012  df-rgmod 20013  df-psmet 20158  df-xmet 20159  df-met 20160  df-bl 20161  df-mopn 20162  df-phl 20391  df-top 21594  df-topon 21611  df-topsp 21633  df-bases 21646  df-xms 23022  df-ms 23023  df-nm 23284  df-ngp 23285  df-nlm 23288  df-cph 23869  df-hl 24037

This theorem is referenced by:  csschl  24076