MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmslsschl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmslsschl 24274
Description: A complete linear subspace of a subcomplex Hilbert space is a subcomplex Hilbert space. (Contributed by AV, 8-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cmslsschl.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
cmslsschl.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cmslsschl ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ ℂHil)

Proof of Theorem cmslsschl
StepHypRef Expression
1 hlbn 24260 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ Ban)
2 bnnvc 24237 . . . . 5 (𝑊 ∈ Ban → 𝑊 ∈ NrmVec)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ NrmVec)
433ad2ant1 1135 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) → 𝑊 ∈ NrmVec)
5 eqid 2737 . . . . . 6 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
65bnsca 24236 . . . . 5 (𝑊 ∈ Ban → (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp)
71, 6syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂHil → (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp)
873ad2ant1 1135 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp)
9 3simpc 1152 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) → (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆))
10 cmslsschl.x . . . 4 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
11 cmslsschl.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
1210, 11cmslssbn 24269 . . 3 (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆)) → 𝑋 ∈ Ban)
134, 8, 9, 12syl21anc 838 . 2 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ Ban)
14 hlcph 24261 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
1510, 11cphsscph 24148 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ ℂPreHil)
1614, 15sylan 583 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ ℂPreHil)
17163adant2 1133 . 2 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ ℂPreHil)
18 ishl 24259 . 2 (𝑋 ∈ ℂHil ↔ (𝑋 ∈ Ban ∧ 𝑋 ∈ ℂPreHil))
1913, 17, 18sylanbrc 586 1 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ ℂHil)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  cfv 6380  (class class class)co 7213  s cress 16784  Scalarcsca 16805  LSubSpclss 19968  NrmVeccnvc 23479  ℂPreHilccph 24063  CMetSpccms 24229  Bancbn 24230  ℂHilchl 24231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ico 12941  df-seq 13575  df-exp 13636  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ds 16824  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-topgen 16948  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-subg 18540  df-ghm 18620  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-subrg 19798  df-lmod 19901  df-lss 19969  df-lsp 20009  df-lmhm 20059  df-lvec 20140  df-sra 20209  df-rgmod 20210  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-phl 20588  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-xms 23218  df-ms 23219  df-nm 23480  df-ngp 23481  df-nlm 23484  df-nvc 23485  df-cph 24065  df-bn 24233  df-hl 24234
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator