Theorem cmslsschl 25704

Description: A complete linear subspace of a subcomplex Hilbert space is a subcomplex Hilbert space. (Contributed by AV, 8-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmslsschl.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
cmslsschl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cmslsschl	⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ ℂHil)

Proof of Theorem cmslsschl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlbn 25690	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ Ban)
2		bnnvc 25667	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Ban → 𝑊 ∈ NrmVec)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ NrmVec)
4	3	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ NrmVec)
5		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
6	5	bnsca 25666	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Ban → (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp)
7	1, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp)
8	7	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp)
9		3simpc 1168	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆))
10		cmslsschl.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
11		cmslsschl.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
12	10, 11	cmslssbn 25699	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → 𝑋 ∈ Ban)
13	4, 8, 9, 12	syl21anc 851	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ Ban)
14		hlcph 25691	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
15	10, 11	cphsscph 25578	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ ℂPreHil)
16	14, 15	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ ℂPreHil)
17	16	3adant2 1149	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ ℂPreHil)
18		ishl 25689	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂHil ↔ (𝑋 ∈ Ban ∧ 𝑋 ∈ ℂPreHil))
19	13, 17, 18	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ ℂHil)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ↾_s cress 17414  Scalarcsca 17437  LSubSpclss 21212  NrmVeccnvc 24906  ℂPreHilccph 25493  CMetSpccms 25659  Bancbn 25660  ℂHilchl 25661

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-q 13080  df-rp 13125  df-xneg 13245  df-xadd 13246  df-xmul 13247  df-ico 13486  df-seq 14149  df-exp 14209  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ds 17456  df-rest 17599  df-topn 17600  df-0g 17618  df-topgen 17620  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-sbg 19155  df-subg 19339  df-ghm 19434  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-ring 20467  df-subrg 20828  df-lmod 21143  df-lss 21213  df-lsp 21253  df-lmhm 21303  df-lvec 21384  df-sra 21454  df-rgmod 21455  df-psmet 21676  df-xmet 21677  df-met 21678  df-bl 21679  df-mopn 21680  df-phl 21938  df-top 23218  df-topon 23235  df-topsp 23257  df-bases 23270  df-xms 24645  df-ms 24646  df-nm 24907  df-ngp 24908  df-nlm 24911  df-nvc 24912  df-cph 25495  df-bn 25663  df-hl 25664

This theorem is used by: (None)