MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmslsschl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cmslsschl 24885
Description: A complete linear subspace of a subcomplex Hilbert space is a subcomplex Hilbert space. (Contributed by AV, 8-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cmslsschl.x 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
cmslsschl.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cmslsschl ((π‘Š ∈ β„‚Hil ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ β„‚Hil)
Proof of Theorem cmslsschl
StepHypRef Expression
1 hlbn 24871 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Hil β†’ π‘Š ∈ Ban)
2 bnnvc 24848 . . . . 5 (π‘Š ∈ Ban β†’ π‘Š ∈ NrmVec)
31, 2syl 17 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚Hil β†’ π‘Š ∈ NrmVec)
433ad2ant1 1133 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Hil ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘Š ∈ NrmVec)
5 eqid 2732 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
65bnsca 24847 . . . . 5 (π‘Š ∈ Ban β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp)
71, 6syl 17 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚Hil β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp)
873ad2ant1 1133 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Hil ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp)
9 3simpc 1150 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Hil ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆))
10 cmslsschl.x . . . 4 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
11 cmslsschl.s . . . 4 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
1210, 11cmslssbn 24880 . . 3 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆)) β†’ 𝑋 ∈ Ban)
134, 8, 9, 12syl21anc 836 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Hil ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ Ban)
14 hlcph 24872 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚Hil β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
1510, 11cphsscph 24759 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ β„‚PreHil)
1614, 15sylan 580 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Hil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ β„‚PreHil)
17163adant2 1131 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Hil ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ β„‚PreHil)
18 ishl 24870 . 2 (𝑋 ∈ β„‚Hil ↔ (𝑋 ∈ Ban ∧ 𝑋 ∈ β„‚PreHil))
1913, 17, 18sylanbrc 583 1 ((π‘Š ∈ β„‚Hil ∧ 𝑋 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ β„‚Hil)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   β†Ύs cress 17169  Scalarcsca 17196  LSubSpclss 20534  NrmVeccnvc 24081  β„‚PreHilccph 24674  CMetSpccms 24840  Bancbn 24841  β„‚Hilchl 24842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ico 13326  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ds 17215  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-topgen 17385  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lmhm 20625  df-lvec 20706  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-phl 21170  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-xms 23817  df-ms 23818  df-nm 24082  df-ngp 24083  df-nlm 24086  df-nvc 24087  df-cph 24676  df-bn 24844  df-hl 24845
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator