Theorem dchr1cl 27578

Description: Closure of the principal Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrmhm.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrn0.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchr1cl.o	⊢ 1 = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))
dchr1cl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
dchr1cl	⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑈,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑘)   1 (𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem dchr1cl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchr1cl.o	. 2 ⊢ 1 = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))
2		dchrmhm.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
3		dchrmhm.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4		dchrn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
5		dchrn0.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
6		dchr1cl.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7		dchrmhm.b	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
8		eqidd 2762	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → 1 = 1)
9		eqidd 2762	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → 1 = 1)
10		eqidd 2762	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → 1 = 1)
11		eqidd 2762	. . 3 ⊢ (𝑘 = (1r‘𝑍) → 1 = 1)
12		1cnd 11302	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 1 ∈ ℂ)
13		1t1e1 12504	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
14	13	eqcomi 2770	. . . 4 ⊢ 1 = (1 · 1)
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 1 = (1 · 1))
16		eqidd 2762	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = 1)
17	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16	dchrelbasd 27566	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)) ∈ 𝐷)
18	1, 17	eqeltrid 2865	1 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4482   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11200  1c1 11201   · cmul 11205  ℕcn 12335  Basecbs 17387  ._rcmulr 17429  1_rcur 20407  Unitcui 20585  ℤ/nℤczn 21808  DChrcdchr 27559

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-addf 11279  ax-mulf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-ec 8719  df-qs 8723  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-0g 17612  df-imas 17680  df-qus 17681  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-subg 19333  df-nsg 19334  df-eqg 19335  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-lidl 21486  df-rsp 21487  df-2idl 21543  df-cnfld 21679  df-zring 21753  df-zn 21812  df-dchr 27560

This theorem is used by:  dchrmullid  27579  dchrabl  27581  dchr1  27584