Theorem dchr1cl 27189

Description: Closure of the principal Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrmhm.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrn0.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchr1cl.o	⊢ 1 = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))
dchr1cl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
dchr1cl	⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑈,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑘)   1 (𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem dchr1cl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchr1cl.o	. 2 ⊢ 1 = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))
2		dchrmhm.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
3		dchrmhm.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4		dchrn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
5		dchrn0.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
6		dchr1cl.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7		dchrmhm.b	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
8		eqidd 2732	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → 1 = 1)
9		eqidd 2732	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → 1 = 1)
10		eqidd 2732	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → 1 = 1)
11		eqidd 2732	. . 3 ⊢ (𝑘 = (1r‘𝑍) → 1 = 1)
12		1cnd 11107	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 1 ∈ ℂ)
13		1t1e1 12282	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
14	13	eqcomi 2740	. . . 4 ⊢ 1 = (1 · 1)
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 1 = (1 · 1))
16		eqidd 2732	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = 1)
17	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16	dchrelbasd 27177	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)) ∈ 𝐷)
18	1, 17	eqeltrid 2835	1 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ifcif 4472   ↦ cmpt 5170  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006  1c1 11007   · cmul 11011  ℕcn 12125  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162  1_rcur 20099  Unitcui 20273  ℤ/nℤczn 21439  DChrcdchr 27170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-addf 11085  ax-mulf 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-ec 8624  df-qs 8628  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-0g 17345  df-imas 17412  df-qus 17413  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-subg 19036  df-nsg 19037  df-eqg 19038  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-cring 20154  df-oppr 20255  df-dvdsr 20275  df-unit 20276  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-lsp 20905  df-sra 21107  df-rgmod 21108  df-lidl 21145  df-rsp 21146  df-2idl 21187  df-cnfld 21292  df-zring 21384  df-zn 21443  df-dchr 27171

This theorem is referenced by:  dchrmullid  27190  dchrabl  27192  dchr1  27195