MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchr1cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchr1cl 25325
Description: Closure of the principal Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrn0.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrn0.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchr1cl.o 1 = (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0))
dchr1cl.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
dchr1cl (𝜑1𝐷)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑈,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑘)   1 (𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem dchr1cl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchr1cl.o . 2 1 = (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0))
2 dchrmhm.g . . 3 𝐺 = (DChr‘𝑁)
3 dchrmhm.z . . 3 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4 dchrn0.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑍)
5 dchrn0.u . . 3 𝑈 = (Unit‘𝑍)
6 dchr1cl.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
7 dchrmhm.b . . 3 𝐷 = (Base‘𝐺)
8 eqidd 2798 . . 3 (𝑘 = 𝑥 → 1 = 1)
9 eqidd 2798 . . 3 (𝑘 = 𝑦 → 1 = 1)
10 eqidd 2798 . . 3 (𝑘 = (𝑥(.r𝑍)𝑦) → 1 = 1)
11 eqidd 2798 . . 3 (𝑘 = (1r𝑍) → 1 = 1)
12 1cnd 10321 . . 3 ((𝜑𝑘𝑈) → 1 ∈ ℂ)
13 1t1e1 11478 . . . . 5 (1 · 1) = 1
1413eqcomi 2806 . . . 4 1 = (1 · 1)
1514a1i 11 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 1 = (1 · 1))
16 eqidd 2798 . . 3 (𝜑 → 1 = 1)
172, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16dchrelbasd 25313 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐵 ↦ if(𝑘𝑈, 1, 0)) ∈ 𝐷)
181, 17syl5eqel 2880 1 (𝜑1𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  ifcif 4275  cmpt 4920  cfv 6099  (class class class)co 6876  0cc0 10222  1c1 10223   · cmul 10227  cn 11310  Basecbs 16181  .rcmulr 16265  1rcur 18814  Unitcui 18952  ℤ/nczn 20170  DChrcdchr 25306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-addf 10301  ax-mulf 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-tpos 7588  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-oadd 7801  df-er 7980  df-ec 7982  df-qs 7986  df-map 8095  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-sup 8588  df-inf 8589  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-4 11374  df-5 11375  df-6 11376  df-7 11377  df-8 11378  df-9 11379  df-n0 11577  df-z 11663  df-dec 11780  df-uz 11927  df-fz 12577  df-struct 16183  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-starv 16279  df-sca 16280  df-vsca 16281  df-ip 16282  df-tset 16283  df-ple 16284  df-ds 16286  df-unif 16287  df-0g 16414  df-imas 16480  df-qus 16481  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-mhm 17647  df-grp 17738  df-minusg 17739  df-sbg 17740  df-subg 17901  df-nsg 17902  df-eqg 17903  df-cmn 18507  df-abl 18508  df-mgp 18803  df-ur 18815  df-ring 18862  df-cring 18863  df-oppr 18936  df-dvdsr 18954  df-unit 18955  df-subrg 19093  df-lmod 19180  df-lss 19248  df-lsp 19290  df-sra 19492  df-rgmod 19493  df-lidl 19494  df-rsp 19495  df-2idl 19552  df-cnfld 20066  df-zring 20138  df-zn 20174  df-dchr 25307
This theorem is referenced by:  dchrmulid2  25326  dchrabl  25328  dchr1  25331
  Copyright terms: Public domain W3C validator