MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchr1cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchr1cl 27135
Description: Closure of the principal Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchrmhm.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchrmhm.b 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchrn0.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
dchrn0.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
dchr1cl.o 1 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))
dchr1cl.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
Assertion
Ref Expression
dchr1cl (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   π‘ˆ,π‘˜   π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘˜)   1 (π‘˜)   𝐺(π‘˜)

Proof of Theorem dchr1cl
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchr1cl.o . 2 1 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))
2 dchrmhm.g . . 3 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
3 dchrmhm.z . . 3 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
4 dchrn0.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
5 dchrn0.u . . 3 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
6 dchr1cl.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
7 dchrmhm.b . . 3 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
8 eqidd 2727 . . 3 (π‘˜ = π‘₯ β†’ 1 = 1)
9 eqidd 2727 . . 3 (π‘˜ = 𝑦 β†’ 1 = 1)
10 eqidd 2727 . . 3 (π‘˜ = (π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦) β†’ 1 = 1)
11 eqidd 2727 . . 3 (π‘˜ = (1rβ€˜π‘) β†’ 1 = 1)
12 1cnd 11210 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ 1 ∈ β„‚)
13 1t1e1 12375 . . . . 5 (1 Β· 1) = 1
1413eqcomi 2735 . . . 4 1 = (1 Β· 1)
1514a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 1 = (1 Β· 1))
16 eqidd 2727 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 = 1)
172, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16dchrelbasd 27123 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0)) ∈ 𝐷)
181, 17eqeltrid 2831 1 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4523   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  0cc0 11109  1c1 11110   Β· cmul 11114  β„•cn 12213  Basecbs 17151  .rcmulr 17205  1rcur 20084  Unitcui 20255  β„€/nβ„€czn 21385  DChrcdchr 27116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-0g 17394  df-imas 17461  df-qus 17462  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19048  df-nsg 19049  df-eqg 19050  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-subrng 20444  df-subrg 20469  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-lidl 21065  df-rsp 21066  df-2idl 21105  df-cnfld 21237  df-zring 21330  df-zn 21389  df-dchr 27117
This theorem is referenced by:  dchrmullid  27136  dchrabl  27138  dchr1  27141
  Copyright terms: Public domain W3C validator