Theorem dchr1cl 27424

Description: Closure of the principal Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrmhm.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrn0.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchr1cl.o	⊢ 1 = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))
dchr1cl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
dchr1cl	⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑈,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑘)   1 (𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem dchr1cl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchr1cl.o	. 2 ⊢ 1 = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))
2		dchrmhm.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
3		dchrmhm.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4		dchrn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
5		dchrn0.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
6		dchr1cl.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7		dchrmhm.b	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
8		eqidd 2764	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → 1 = 1)
9		eqidd 2764	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → 1 = 1)
10		eqidd 2764	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → 1 = 1)
11		eqidd 2764	. . 3 ⊢ (𝑘 = (1r‘𝑍) → 1 = 1)
12		1cnd 11206	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 1 ∈ ℂ)
13		1t1e1 12406	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
14	13	eqcomi 2772	. . . 4 ⊢ 1 = (1 · 1)
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 1 = (1 · 1))
16		eqidd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = 1)
17	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16	dchrelbasd 27412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)) ∈ 𝐷)
18	1, 17	eqeltrid 2867	1 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ifcif 4487   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11104  1c1 11105   · cmul 11109  ℕcn 12237  Basecbs 17273  ._rcmulr 17315  1_rcur 20267  Unitcui 20442  ℤ/nℤczn 21661  DChrcdchr 27405

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-addf 11183  ax-mulf 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-ec 8692  df-qs 8696  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-fz 13540  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-starv 17329  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-ip 17332  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-unif 17337  df-0g 17498  df-imas 17566  df-qus 17567  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-mhm 18845  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-sbg 19009  df-subg 19193  df-nsg 19194  df-eqg 19195  df-cmn 19856  df-abl 19857  df-mgp 20221  df-rng 20235  df-ur 20268  df-ring 20321  df-cring 20322  df-oppr 20424  df-dvdsr 20444  df-unit 20445  df-subrng 20654  df-subrg 20678  df-lmod 20992  df-lss 21062  df-lsp 21102  df-sra 21303  df-rgmod 21304  df-lidl 21341  df-rsp 21342  df-2idl 21398  df-cnfld 21532  df-zring 21606  df-zn 21665  df-dchr 27406

This theorem is used by:  dchrmullid  27425  dchrabl  27427  dchr1  27430