MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchr1cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchr1cl 27202
Description: Closure of the principal Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchrmhm.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchrmhm.b 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchrn0.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
dchrn0.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
dchr1cl.o 1 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))
dchr1cl.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
Assertion
Ref Expression
dchr1cl (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   π‘ˆ,π‘˜   π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘˜)   1 (π‘˜)   𝐺(π‘˜)

Proof of Theorem dchr1cl
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchr1cl.o . 2 1 = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0))
2 dchrmhm.g . . 3 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
3 dchrmhm.z . . 3 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
4 dchrn0.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
5 dchrn0.u . . 3 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
6 dchr1cl.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
7 dchrmhm.b . . 3 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
8 eqidd 2728 . . 3 (π‘˜ = π‘₯ β†’ 1 = 1)
9 eqidd 2728 . . 3 (π‘˜ = 𝑦 β†’ 1 = 1)
10 eqidd 2728 . . 3 (π‘˜ = (π‘₯(.rβ€˜π‘)𝑦) β†’ 1 = 1)
11 eqidd 2728 . . 3 (π‘˜ = (1rβ€˜π‘) β†’ 1 = 1)
12 1cnd 11245 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘ˆ) β†’ 1 ∈ β„‚)
13 1t1e1 12410 . . . . 5 (1 Β· 1) = 1
1413eqcomi 2736 . . . 4 1 = (1 Β· 1)
1514a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 1 = (1 Β· 1))
16 eqidd 2728 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 = 1)
172, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16dchrelbasd 27190 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ if(π‘˜ ∈ π‘ˆ, 1, 0)) ∈ 𝐷)
181, 17eqeltrid 2832 1 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4530   ↦ cmpt 5233  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  0cc0 11144  1c1 11145   Β· cmul 11149  β„•cn 12248  Basecbs 17185  .rcmulr 17239  1rcur 20126  Unitcui 20299  β„€/nβ„€czn 21433  DChrcdchr 27183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-addf 11223  ax-mulf 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-tpos 8236  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-ec 8731  df-qs 8735  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-fz 13523  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-starv 17253  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-unif 17261  df-0g 17428  df-imas 17495  df-qus 17496  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18745  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-subg 19083  df-nsg 19084  df-eqg 19085  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-cring 20181  df-oppr 20278  df-dvdsr 20301  df-unit 20302  df-subrng 20488  df-subrg 20513  df-lmod 20750  df-lss 20821  df-lsp 20861  df-sra 21063  df-rgmod 21064  df-lidl 21109  df-rsp 21110  df-2idl 21149  df-cnfld 21285  df-zring 21378  df-zn 21437  df-dchr 27184
This theorem is referenced by:  dchrmullid  27203  dchrabl  27205  dchr1  27208
  Copyright terms: Public domain W3C validator