Theorem dchr1cl 27470

Description: Closure of the principal Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrmhm.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrn0.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchr1cl.o	⊢ 1 = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))
dchr1cl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
dchr1cl	⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑈,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑘)   1 (𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem dchr1cl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchr1cl.o	. 2 ⊢ 1 = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0))
2		dchrmhm.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
3		dchrmhm.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4		dchrn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
5		dchrn0.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
6		dchr1cl.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7		dchrmhm.b	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
8		eqidd 2766	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → 1 = 1)
9		eqidd 2766	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → 1 = 1)
10		eqidd 2766	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → 1 = 1)
11		eqidd 2766	. . 3 ⊢ (𝑘 = (1r‘𝑍) → 1 = 1)
12		1cnd 11221	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 1 ∈ ℂ)
13		1t1e1 12421	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
14	13	eqcomi 2774	. . . 4 ⊢ 1 = (1 · 1)
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 1 = (1 · 1))
16		eqidd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = 1)
17	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16	dchrelbasd 27458	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑘 ∈ 𝑈, 1, 0)) ∈ 𝐷)
18	1, 17	eqeltrid 2869	1 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ifcif 4489   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11119  1c1 11120   · cmul 11124  ℕcn 12252  Basecbs 17295  ._rcmulr 17337  1_rcur 20311  Unitcui 20487  ℤ/nℤczn 21706  DChrcdchr 27451

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-addf 11198  ax-mulf 11199

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12732  df-uz 12883  df-fz 13556  df-struct 17233  df-sets 17250  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-ress 17317  df-plusg 17349  df-mulr 17350  df-starv 17351  df-sca 17352  df-vsca 17353  df-ip 17354  df-tset 17355  df-ple 17356  df-ds 17358  df-unif 17359  df-0g 17520  df-imas 17588  df-qus 17589  df-mgm 18724  df-sgrp 18813  df-mnd 18829  df-mhm 18882  df-grp 19051  df-minusg 19052  df-sbg 19053  df-subg 19237  df-nsg 19238  df-eqg 19239  df-cmn 19900  df-abl 19901  df-mgp 20265  df-rng 20279  df-ur 20312  df-ring 20365  df-cring 20366  df-oppr 20469  df-dvdsr 20489  df-unit 20490  df-subrng 20699  df-subrg 20723  df-lmod 21037  df-lss 21107  df-lsp 21147  df-sra 21348  df-rgmod 21349  df-lidl 21386  df-rsp 21387  df-2idl 21443  df-cnfld 21577  df-zring 21651  df-zn 21710  df-dchr 27452

This theorem is used by:  dchrmullid  27471  dchrabl  27473  dchr1  27476