Theorem deg1ldgn 26154

Description: An index at which a polynomial is zero, cannot be its degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1z.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1z.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1z.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1nn0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1ldg.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)
deg1ldg.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
deg1ldgn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1ldgn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1ldgn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ0)
deg1ldgn.e	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
deg1ldgn	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≠ 𝑋)

Proof of Theorem deg1ldgn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1ldgn.e	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = 𝑌)
2		fveq2 6922	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷‘𝐹) = 𝑋 → (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) = (𝐴‘𝑋))
3	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) = 𝑋) → (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) = (𝐴‘𝑋))
4		deg1ldgn.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) = 𝑋) → 𝑅 ∈ Ring)
6		deg1ldgn.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) = 𝑋) → 𝐹 ∈ 𝐵)
8		deg1ldgn.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ0)
9		eleq1a 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ0 → ((𝐷‘𝐹) = 𝑋 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) = 𝑋 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))
11	10	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) = 𝑋) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
12		deg1z.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
13		deg1z.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
14		deg1z.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
15		deg1nn0cl.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
16	12, 13, 14, 15	deg1nn0clb 26151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐹 ≠ 0 ↔ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))
17	4, 6, 16	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≠ 0 ↔ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) = 𝑋) → (𝐹 ≠ 0 ↔ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))
19	11, 18	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) = 𝑋) → 𝐹 ≠ 0 )
20		deg1ldg.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)
21		deg1ldg.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
22	12, 13, 14, 15, 20, 21	deg1ldg 26153	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌)
23	5, 7, 19, 22	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) = 𝑋) → (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌)
24	3, 23	eqnetrrd 3015	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) = 𝑋) → (𝐴‘𝑋) ≠ 𝑌)
25	24	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) = 𝑋 → (𝐴‘𝑋) ≠ 𝑌))
26	25	necon2d 2969	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑋) = 𝑌 → (𝐷‘𝐹) ≠ 𝑋))
27	1, 26	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≠ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ‘cfv 6575  ℕ₀cn0 12555  Basecbs 17260  0_gc0g 17501  Ringcrg 20262  Poly₁cpl1 22201  coe₁cco1 22202  deg₁cdg1 26115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263  ax-addf 11265

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-isom 6584  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-of 7716  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-supp 8204  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-er 8765  df-map 8888  df-ixp 8958  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-fsupp 9434  df-sup 9513  df-oi 9581  df-card 10010  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-4 12360  df-5 12361  df-6 12362  df-7 12363  df-8 12364  df-9 12365  df-n0 12556  df-z 12642  df-dec 12761  df-uz 12906  df-fz 13570  df-fzo 13714  df-seq 14055  df-hash 14382  df-struct 17196  df-sets 17213  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-ress 17290  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-starv 17328  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-ip 17331  df-tset 17332  df-ple 17333  df-ds 17335  df-unif 17336  df-hom 17337  df-cco 17338  df-0g 17503  df-gsum 17504  df-prds 17509  df-pws 17511  df-mgm 18680  df-sgrp 18759  df-mnd 18775  df-submnd 18821  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-mulg 19110  df-subg 19165  df-cntz 19359  df-cmn 19826  df-abl 19827  df-mgp 20164  df-ur 20211  df-ring 20264  df-cring 20265  df-cnfld 21390  df-psr 21954  df-mpl 21956  df-opsr 21958  df-psr1 22204  df-ply1 22206  df-coe1 22207  df-mdeg 26116  df-deg1 26117

This theorem is referenced by:  deg1sublt  26171