Theorem deg1ldgn 26158

Description: An index at which a polynomial is zero, cannot be its degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1z.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1z.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1z.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1nn0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1ldg.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)
deg1ldg.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
deg1ldgn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1ldgn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1ldgn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ0)
deg1ldgn.e	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
deg1ldgn	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≠ 𝑋)

Proof of Theorem deg1ldgn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1ldgn.e	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = 𝑌)
2		fveq2 6914	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷‘𝐹) = 𝑋 → (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) = (𝐴‘𝑋))
3	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) = 𝑋) → (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) = (𝐴‘𝑋))
4		deg1ldgn.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) = 𝑋) → 𝑅 ∈ Ring)
6		deg1ldgn.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) = 𝑋) → 𝐹 ∈ 𝐵)
8		deg1ldgn.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ0)
9		eleq1a 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ0 → ((𝐷‘𝐹) = 𝑋 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) = 𝑋 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))
11	10	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) = 𝑋) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
12		deg1z.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
13		deg1z.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
14		deg1z.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
15		deg1nn0cl.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
16	12, 13, 14, 15	deg1nn0clb 26155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐹 ≠ 0 ↔ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))
17	4, 6, 16	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≠ 0 ↔ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) = 𝑋) → (𝐹 ≠ 0 ↔ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))
19	11, 18	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) = 𝑋) → 𝐹 ≠ 0 )
20		deg1ldg.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)
21		deg1ldg.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
22	12, 13, 14, 15, 20, 21	deg1ldg 26157	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌)
23	5, 7, 19, 22	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) = 𝑋) → (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌)
24	3, 23	eqnetrrd 3009	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) = 𝑋) → (𝐴‘𝑋) ≠ 𝑌)
25	24	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) = 𝑋 → (𝐴‘𝑋) ≠ 𝑌))
26	25	necon2d 2963	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑋) = 𝑌 → (𝐷‘𝐹) ≠ 𝑋))
27	1, 26	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≠ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ‘cfv 6569  ℕ₀cn0 12533  Basecbs 17254  0_gc0g 17495  Ringcrg 20260  Poly₁cpl1 22203  coe₁cco1 22204  deg₁cdg1 26119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239  ax-addf 11241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-tp 4639  df-op 4641  df-uni 4916  df-int 4955  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-se 5646  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-isom 6578  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-of 7704  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8194  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-1o 8514  df-er 8753  df-map 8876  df-ixp 8946  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-fin 8997  df-fsupp 9409  df-sup 9489  df-oi 9557  df-card 9986  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-nn 12274  df-2 12336  df-3 12337  df-4 12338  df-5 12339  df-6 12340  df-7 12341  df-8 12342  df-9 12343  df-n0 12534  df-z 12621  df-dec 12741  df-uz 12886  df-fz 13554  df-fzo 13701  df-seq 14049  df-hash 14376  df-struct 17190  df-sets 17207  df-slot 17225  df-ndx 17237  df-base 17255  df-ress 17284  df-plusg 17320  df-mulr 17321  df-starv 17322  df-sca 17323  df-vsca 17324  df-ip 17325  df-tset 17326  df-ple 17327  df-ds 17329  df-unif 17330  df-hom 17331  df-cco 17332  df-0g 17497  df-gsum 17498  df-prds 17503  df-pws 17505  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-cnfld 21392  df-psr 21956  df-mpl 21958  df-opsr 21960  df-psr1 22206  df-ply1 22208  df-coe1 22209  df-mdeg 26120  df-deg1 26121

This theorem is referenced by:  deg1sublt  26175