Theorem deg1ldgn 26054

Description: An index at which a polynomial is zero, cannot be its degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1z.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1z.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1z.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1nn0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1ldg.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)
deg1ldg.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
deg1ldgn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1ldgn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1ldgn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ0)
deg1ldgn.e	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
deg1ldgn	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≠ 𝑋)

Proof of Theorem deg1ldgn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1ldgn.e	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = 𝑌)
2		fveq2 6834	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷‘𝐹) = 𝑋 → (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) = (𝐴‘𝑋))
3	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) = 𝑋) → (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) = (𝐴‘𝑋))
4		deg1ldgn.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) = 𝑋) → 𝑅 ∈ Ring)
6		deg1ldgn.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) = 𝑋) → 𝐹 ∈ 𝐵)
8		deg1ldgn.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ0)
9		eleq1a 2831	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ0 → ((𝐷‘𝐹) = 𝑋 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) = 𝑋 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))
11	10	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) = 𝑋) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
12		deg1z.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
13		deg1z.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
14		deg1z.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
15		deg1nn0cl.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
16	12, 13, 14, 15	deg1nn0clb 26051	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐹 ≠ 0 ↔ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))
17	4, 6, 16	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≠ 0 ↔ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) = 𝑋) → (𝐹 ≠ 0 ↔ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))
19	11, 18	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) = 𝑋) → 𝐹 ≠ 0 )
20		deg1ldg.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)
21		deg1ldg.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
22	12, 13, 14, 15, 20, 21	deg1ldg 26053	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌)
23	5, 7, 19, 22	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) = 𝑋) → (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ 𝑌)
24	3, 23	eqnetrrd 3000	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐹) = 𝑋) → (𝐴‘𝑋) ≠ 𝑌)
25	24	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) = 𝑋 → (𝐴‘𝑋) ≠ 𝑌))
26	25	necon2d 2955	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑋) = 𝑌 → (𝐷‘𝐹) ≠ 𝑋))
27	1, 26	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≠ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ‘cfv 6492  ℕ₀cn0 12401  Basecbs 17136  0_gc0g 17359  Ringcrg 20168  Poly₁cpl1 22117  coe₁cco1 22118  deg₁cdg1 26015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-addf 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-prds 17367  df-pws 17369  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-ur 20117  df-ring 20170  df-cring 20171  df-cnfld 21310  df-psr 21865  df-mpl 21867  df-opsr 21869  df-psr1 22120  df-ply1 22122  df-coe1 22123  df-mdeg 26016  df-deg1 26017

This theorem is referenced by:  deg1sublt  26071