Theorem dfprm2 20056

Description: The positive irreducible elements of ℤ are the prime numbers. This is an alternative way to define ℙ. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmirred.i	⊢ 𝐼 = (Irred‘ℤring)

Assertion

Ref	Expression
dfprm2	⊢ ℙ = (ℕ ∩ 𝐼)

Proof of Theorem dfprm2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 15594	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ ℕ)
2		prmirred.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Irred‘ℤring)
3	2	prmirredlem 20055	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ 𝐼 ↔ 𝑥 ∈ ℙ))
4	3	bicomd 213	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℙ ↔ 𝑥 ∈ 𝐼))
5	1, 4	biadan2 802	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝐼))
6		elin 3947	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℕ ∩ 𝐼) ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝐼))
7	5, 6	bitr4i 267	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ ↔ 𝑥 ∈ (ℕ ∩ 𝐼))
8	7	eqriv 2768	1 ⊢ ℙ = (ℕ ∩ 𝐼)

Syntax hints:   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3722  ‘cfv 6031  ℕcn 11221  ℙcprime 15591  Irredcir 18847  ℤ_ringzring 20032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-addf 10216  ax-mulf 10217

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-tpos 7503  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fz 12533  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-dvds 15189  df-prm 15592  df-gz 15840  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-subg 17798  df-cmn 18401  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-cring 18757  df-oppr 18830  df-dvdsr 18848  df-unit 18849  df-irred 18850  df-invr 18879  df-dvr 18890  df-drng 18958  df-subrg 18987  df-cnfld 19961  df-zring 20033

This theorem is referenced by: (None)